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【巩固练习】
一、选择题
1. 如图，已知∠C=∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE 的条件是（ ）
A ∠BAD=∠CAE B ∠B=∠D C
D
2．在Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O 在AB 边的中点上，这块三角
板绕O 点旋转，两条直角边始终与AC、BC 边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，
△OEF 与△ABC 的关系是（ ）
A．一定相似B．当E 是AC 中点时相似 C．不一定相似
D．无法判断
3．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC= BC．图中相似三角形共有（
）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
4．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（
）
A．
∠ABD=∠C
B．∠ADB=∠ABC C.
D.
5．下列4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC
相似的三角形所在的网格图形是（ ）
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A
B
C
D
6．在△ABC 与△A′B′C′中，有下列条件：（1）
；（2）
；
（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断
△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
7．如图∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：
，使△ABC∽△ADE．
8．如图，△ABC 中，AB＞AC，D，E 两点分别在边AC，AB 上，且DE 与BC 不平行．请填上一个你认
为合适的条件：
，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一
个条件，多填不给分！）
9．如图，△ABC 与△DEF 的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，
则△ABC
△DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不
相似”）．
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10．如图，AC 与BD 相交于点O，在△AOB 和△DOC 中，已知
，又因为
，可证明
△AOB∽△DOC．
11．如图，△ABD 与△AEC 都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；
③△BOD∽△COE．正确的序号是 ．
12．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC 的平分线分别与AC、AD 相交于点
E、F，则图形中共有 对相似三角形．（不添加任何辅助线）
三、解答题
13. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形．
（1）求证：△MEF∽△MBA；
（2）若AF、BE 分别是∠DAB，∠CBA 的平分线，求证：DF=EC．
14．如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E 在同一条直线上．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD=2
BD，设BD=a，求BC 的长．
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15．已知：正方形ABCD 中，E、F 分别是边CD、DA 上的点，且CE=DF，AE 与BF 交于点M．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）找出图中与△ABM 相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D；
【解析】由题意得，∠C=∠E，
A、若添加∠BAD=∠CAE，则可得∠BAC=∠DAE，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故
本选项错误；
B、若添加∠B=∠D，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；
C、若添加
=
，利用两边及其夹角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；
D、若添加
=
，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；
故选D．
2.【答案】A.
【解析】连结OC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵点O 为AB 的中点，
∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，
∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，
∴∠EOC=∠BOF，
在△COE 和△BOF 中，
∴△COE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF，
∴△OEF 是等腰直角三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，
∴△OEF∽△△CAB．
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故选A．
3.【答案】C；
【解析】图中相似三角形共有3 对．理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，
∵DE=CE，FC= BC，
∴DE：CF=AD：EC=2：1，
∴△ADE∽△ECF，
∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，
∴AE：EF=AD：DE，
即AD：AE=DE：EF，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠CEF+∠AED=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠D=∠AEF，
∴△ADE∽△AEF，
∴△AEF∽△ADE∽△ECF，
即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．
故选C．
4.【答案】C；
【解析】∵∠A 是公共角，
∴当∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC 时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相
似）；故A 与B 正确；
当
时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形
相似）；故D 正确；
当
时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故C 错误．
5.【答案】B；
【解析】根据勾股定理，AB=
=2
，
BC=
=
，
AC=
=
，
所以△ABC 的三边之比为
：2
：
=1：2：
，
A、三角形的三边分别为2，
=
，
=3
，三边之比为2：
：
3
=
：
：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，
=2
，三边之比为2：4：2
=1：2：
，故
本选项正确；
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C、三角形的三边分别为2，3，
=
，三边之比为2：3：
，故本选项错
误；
D、三角形的三边分别为
=
，
=
，4，三边之比为
：
：
4，故本选项错误．
6.【答案】C；
【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），
∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3 组．
故选C．
二、填空题
7．【答案】当∠D=∠B 或∠AED=∠C 或AD：AB=AE：AC 或AD•AC=AB•AE 时两三角形相似；
【解析】∵∠DAB=∠CAE
∴∠DAE=∠BAC
∴当∠D=∠B 或∠AED=∠C 或AD：AB=AE：AC 或AD•AC=AB•AE 时两三角形相似．
8．【答案】∠C=∠2 或∠B=∠1 或
；
9．【答案】一定相似；
【解析】根据图示知：
AB=2，BC=1，AC=
；
DE=2
，EF=
，DF=5，
∴
=
=
=
=
，
∴△ABC∽△DEF．
故答案是：一定相似．
10．【答案】∠AOB=∠DOC;
【解析】∵
=
，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．
故答案为：∠AOB=∠DOC．
11．【答案】①②;
【解析】∵△ABD、△AEC 都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，
∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=DC．
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°，
∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO
=180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°+∠ABE）=60°，
∵△DAC≌△BAE，
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∴∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，
∵∠DBO=∠ABD+∠ABE=60°+∠ABE，∠OCE=∠ACE+∠ACO=60°+∠ACD，
∵∠ABE≠∠ACD，
∴∠DBO≠∠OCE，
∴两个三角形的最大角不相等，
∴△BOD 不相似于△COE；
故答案为：①②．
12．【答案】3
【解析】在△ABC 与△DBA 中，
∵∠ABD=∠ABD，∠BAD=∠C，
∴△ABC∽△DBA，
在△ABF 与△CBE 中，
∵BF 平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBE，
又∠BAF=∠BCE，
∴△ABF∽△CBE．
同理可证得：△ABE∽△DBF，
所以图形中共有3 对相似三角形．
故答案为：3．
三、解答题
13.【解析】
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EFM=∠MAB，∠FEM=∠MBA，
∴△MEF∽△MBA；
（2）∵AB∥CD，∴∠DFA=∠FAB，
∵AF、BE 分别是∠DAB，∠CBA 的平分线，
∴∠DAF=∠FAB，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DA=DF，
同理得出CE=CB，
∴DF=EC．
14.【解析】
（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E 在同一条直线上，
∴∠DBA=∠CAE，
又∵
=
=3，
∴△ABD∽△CAE；
（2）连接BC，
∵AB=3AC=3BD，AD=2
BD，
∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，
∴∠D=90°，
由（1）得△ABD∽△CAE
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∴∠E=∠D=90°，
∵AE= BD，EC= AD=
BD，AB=3BD，
∴在Rt△BCE 中，BC2=（AB+AE）2+EC2
=（3BD+ BD）2+（
BD）2=
BD2=12a2，
∴BC=2
a．
15.【解析】
（1）证明：∵ABCD 是正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°．
∵CE=DF，
∴AD﹣DF=CD﹣CE．
∴AF=DE．
在△ABF 与△DAE 中
，
∴△ABF≌△DAE（SAS）．
（2）解：与△ABM 相似的三角形有：△FAM；△FBA；△EAD，
∵△ABF≌△DAE，
∴∠FBA=∠EAD．
∵∠FBA+∠AFM=90°，∠EAF+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠AFM．
∴△ABM∽△FAM．
同理：△ABM∽△FBA；△ABM∽△EAD．
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