文档文本内容
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与圆有关的位置关系
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1.掌握点、直线、圆与圆的位置关系；
2.掌握圆的切线有关概念、定理的应用.
1． 判定一个点P 是否在⊙O 上．
设⊙O 的半径为R，OP＝d，则有
d>r
点P 在⊙O 外；
d＝r
点P 在⊙O 上；
d<r
点P 在⊙O 内．
2．直线和圆的位置关系：
设⊙O 半径为R，点O 到直线l 的距离为d．
(1)直线和圆没有公共点
直线和圆_________
d>R．
(2)直线和⊙O 有唯一公共点
直线l 和⊙O________
d＝R．
(3)直线l 和⊙O 有两个公共点
直线l 和⊙O 相交
d<R．
3．圆和圆的位置关系：
设
的半径为R、r(R>r)，圆心距
．
(1)
没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部
外
离
d>R＋r．
(2)
没有公共点，且
的每一个点都在
外部
内含
d<R－r
(3)
有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部
外切
d＝R＋r．
2
(4)
有唯一公共点，除这个点外，
的每个点都在
内部
内切
d＝R－r．
(5)
有两个公共点
相交
__________．
4.切线的判定、性质：
(1)切线的判定：
①____________________________________________是圆的切线．
②到圆心的距离d 等于圆的半径的直线是圆的切线．
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径．
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．
③经过切点作切线的垂线经过圆心．
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，_______________________________长度叫做切线长．
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角．
参考答案：
2.（1）相离(2)相切
3.(5)R－r<d<R＋r
4.(1) 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线
(3) 这一点和切点之间的线段的
1.判断点在圆上
【例1】已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是
A.点在圆上
B. 点在圆内
C. 点在圆外
D.不能确定
【解析】通过判断点到圆心的距离和半径的大小关系来确定点和圆的位置关系。
【答案】B
练习1. 已知⊙O 的半径为7cm,PO=14cm,则PO 的中点和这个圆的位置关系是 .
A.点在圆上
B. 点在圆内
C. 点在圆外
D.不能确定
【答案】A
练习2. ⊙0 的半径为5，A、B 两动点在⊙0 上，AB=4,AB 的中点为点C,在移动的过程中，点C
始终在半径为_______的一个圆上。
【答案】3
2.直线与圆的位置关系
【例2】已知半径为3 的⊙O 上一点P 和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ 和圆的位置
关系是（ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 位置不定
【解析】在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。本
题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线。
【答案】解：∵OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，
3
∴
，
∴△OPQ 是直角三角形，且∠OPQ＝90°，
∴PQ⊥OP。
即圆心O 到PQ 的距离等于圆的半径。
∴PQ 和圆的位置关系相切，故选B。
练习3. 一个圆的周长为a cm,面积为a cm2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线
和这个圆的位置关系是 .
A.相切
B.相离
C.相交
D. 不能确定
【答案】B
练习4. 已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系
是 .
A.相切
B.相离
C.相交
D.不能确定
【答案】C
练习5．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系
是 .
A.相切
B.相离
C.相交
D. 相离或相交
【答案】C
3.圆与圆的位置关系
【例3】⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm 和4cm，若O1O2=10cm，则这两圆的位置关系是
.
A. 外离
B. 外切
C. 相交
D. 内切
【解析】根据圆心距和半径之和的大小关系进行比较，半径之和R1+R2=7cm，O1O2=10cm，
R1+R2＜O1O2，可求出答案。
【答案】A
练习6. 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm 和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的位置关系是 .
A.内切
B. 外切
C. 相交
D. 外离
【答案】D
练习7. 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm 和5cm,若O1O2=1cm,则这两个圆的位置关系是 .
A.外切
B.相交
C. 内切
D. 内含
【答案】D
4.位置关系的综合问题
【例4】在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，O 为AB 上一点，AO＝m，⊙O 的半径
，问
m 在什么范围内取值时，AC 与圆：
（1）相离；（2）相切；（3）相交。
【解析】要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。
【答案】解：如图所示，过O 作OD⊥AC 垂足为D，
，
4
∴
（1）当
，即
，也即
时，则AC 与⊙O 相离；
（2）当
，即
，也即
时，AC 与⊙O 相切；
（3）当
，即
，也即
时，AC 与⊙O 相交。
练习8．如图，D 为⊙O 的直径AB 延长线上一点，PD 是⊙O 的切线，∠D=300，求证;PA=PD。
【答案】连接PO,
∵PD 是⊙O 的切线
∴PO⊥PD,∠OPD=90°,
∴∠POD=180°-∠OPD-∠D=60°,
∵AO,PO 为圆O 半径
∴AO=OP,∠A=∠APO,
∵∠POD 是三角形OAP 外角
∴∠POD=∠A+∠APO
∠A= =30°
∴∠A=∠D
∴PA=PD
练习9. 如图5，AB 是⊙O 直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D，∠C=20°。
求∠CDA 的度数。
【答案】125°
5. 切线问题
【例5】已知⊙O 中，AB 是直径，过B 点作⊙O 的切线，连结CO，若AD∥OC 交⊙O 于D，求证：
CD 是⊙O 的切线。
5
【解析】要证CD 是⊙O 的切线，须证CD 垂直于过切点D 的半径，由此想到连结OD。
【答案】证明：连结OD。辅助线OD 构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基
本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。
∵AD∥OC，
∴∠COB＝∠A 及∠COD＝∠ODA
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD
∴∠COB＝∠COD
∵CO 为公用边，OD＝OB
∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC
∵BC 是切线，AB 是直径，
∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，
∴CD 是⊙O 的切线。
练习10．如图所示，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D。
求证：AC 与⊙O 相切。
【解析】显然AC 与⊙O 的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。而AB 与⊙O 切于D 点，可
连结OD，则OD⊥AB。
【答案】 证明：连结OD、OA。过O 作OE⊥AC，垂足为E。
∵AB＝AC，O 为BC 的中点，
∴∠BAO＝∠CAO
又∵AB 切⊙O 于D 点，
∴OD⊥AB，又OE⊥AC，
∴OE＝OD，
∴AC 与⊙O 相切。
练习11. 已知⊙O 的半径OA⊥OB，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D，过D 作⊙O 的
切线CE 交OP 于C，求证：PC＝CD。
【解析】要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同
角（或等角）的余角相等证题。
【答案】证明：连结OD，则OD⊥CE。
∴∠EDA＋∠ODA＝90°
∵OA⊥OB
∴∠A＋∠P＝90°，
又∵OA＝OD，
6
∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA
∵∠EDA＝∠CDP，
∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD
【例6】如图6，AB 是⊙O 直径，CA 与⊙O 相切于点A，连接CO 交⊙O 于D，
CO 的延长线交⊙O 于E。连接BE、BD，∠ABD=30°.求∠EBO 和∠C 的度数。
【解析】由DE 是⊙O 直径，可得直径所对的圆周角是90°，∠DBE=90°，可求∠EBO；进而可求
∠AOD，CA 与⊙O 相切于点A，可求。
【答案】解：∵DE 是⊙O 直径
∴∠DBE=90°，
∵∠ABD=30°
∴∠EBO=∠DBE-∠ABD=60°
∵OB=OE
∴∠EBO=∠OEB=60°
∴∠AOC=∠BOE=60°
∵CA 与⊙O 相切于点A
∴∠CAO=90°
∴∠C=30°
练习12. 如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，求
弦AB 的长．
【答案】解：连接BC ∵PA,PB 切⊙O 于A,B ∴PA=PB
∵∠P=600 ∴△ABC 是正三角形
∵∠PAB=600∵PA 是⊙O 切线
∴CA⊥AP ∴∠CAP=900 ∴∠CAB=300
∵直径AC ∴∠ABC=900
∴cos300=
∴AB=
练习13. 如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，∠OAB＝30°．
（1）求∠APB 的度数；
（2）当OA＝3 时，求AP 的长．
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【答案】解：（1）∵在△ABO 中，OA＝OB，∠OAB＝30°
∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°
∵PA、PB 是⊙O 的切线
∴OA⊥PA，OB⊥PB．即∠OAP＝∠OBP＝90°
∴在四边形OAPB 中，
APB
∠
＝360°－120°－90°－90°＝60°．
（2）如图①，连结OP
∵PA、PB 是⊙O 的切线
∴PO 平分∠APB，即∠APO＝
∠APB＝30°
又∵在Rt△OAP 中，OA＝3， ∠APO＝30°
∴AP＝
＝3
．
1．已知⊙O 的半径为8cm，如一条直线和圆心O 的距离为8cm，那么这条直线和这个圆的位置关
系是（ ）【答案】B
A．相离
B．相切
C．相交
D．相交或相离
2．如图1，AB 与⊙O 切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O 的半径为（ ）【答案】B
A．4
cm
B．2
cm
C．2
cm
D．
m
1 2 3
3．如图2，已知∠AOB=30°，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心，2cm 为半径作⊙M，当
OM=______cm 时，⊙M 与OA 相切．【答案】4
4．已知：如图3，AB 为⊙O 直径，BC 交⊙O 于点D，DE⊥AC 于E，要使DE 是⊙O 的切线，那么图
中的角应满足的条件为_______（只需填一个条件）．【答案】∠B=∠C
5．（2014 四川巴中一模）如图4，AB 为半圆O 的直径，CB 是半圆O 的切线，B 是切点，AC 交半圆
O 于点D，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．【答案】
8
4 5
6．（2014 武汉市中考）如图5，BC 为半⊙O 的直径，点D 是半圆上一点，过点D 作⊙O 的切线
AD，BA⊥DA 于A，BA 交半圆于E，已知BC=10，AD=4，那么直线CE 与以点O 为圆心，
为半径
的圆的位置关系是________．【答案】相离
7．（2014 山西省平遥中考）如图，⊙O 的半径为1，圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动．
当⊙O 移动到与AC 边相切时，OA 的长为多少？
【答案】
8．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D、E、F 分别是切点，判定△DEF 的形状（按角分类），并说
明理由．
【答案】△DEF 是锐角三角形．连结OD、OE、OF．
综合应用圆的切线性质，四边形内角和定理和圆周角定理．
可以证得∠DEF=90°-
∠A，∠DFE=90°-
∠B，∠EDF=90°-
∠C．
△DEF 的三个内角都是锐角 。
9．如图，直线AB 切⊙O 于点A，点C、D 在⊙O 上．
试探求：（1）当AD 为⊙O 的直径时，如图①，∠D 与∠CAB 的大小关系如何？并说明理由．
（2）当AD 不为⊙O 的直径时，如图②，∠D 与∠CAB 的大小关系同②一样吗？为什么？
① ②
9
【答案】（1）∠D=∠CAB，理由（略）
（2）∠D=∠CAB 作直径AE、连结CE
由（1）可知：∠E=∠CAB，而∠E=∠D，∴∠D=∠CAB
10．如图，⊙O 的直径AB=6cm，D 为⊙O 上一点，∠BAD=30°，过点D 的切线交AB 的延长线于点
C．求：（1）∠ADC 的度数；（2）AC 的长．
【答案】（1）∠ADC 的度数为120° （2）9cm
11．（2014 内蒙古包头市一模）在图1 和图2 中，已知OA=OB，AB=24，⊙O 的直径为10．
（1）如图1，AB 与⊙O 相切于点C，试求OA 的值；
（2）如图2，若AB 与⊙O 相交于D、E 两点，且D、E 均为AB 的三等分点，试求tanA 的值．
【答案】（1）解：连结OC，∵AB 与⊙O 相切于C 点，
∴∠OCA=90°，∵OA=OB，∴AC=BC=12
在Rt△ACO 中，OA=
=13
（2）作OF⊥AB 于点F 点，连结OD，∴DF=EF；AF=AD+DF=8+4=12，
在Rt△ODF 中，OF=
=3，
在Rt△AOF 中，tanA=
12．如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M，交BC
于点N．
（1）求证：BA·BM=BC·BN；
（2）如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3 时，求AB 的值．
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【答案】（1）证明：连接MN 则∠BMN=90°=∠ACB，
∴△ACB∽△NMB，∴
，∴AB·BM=BC·BN
（2）解：连接OM，则∠OMC=90°，
∵N 为OC 中点，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，
∵OM=OB，∴∠B=
∠MON=30°．
∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6
13．（2014 云南清绵一模）已知：如图，△ABC 内接于⊙O，点D 在OC 的延长线上，sinB=
，
∠CAD=30°．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD 的长．
【答案】（1）证明：如图，连结OA，因为sinB=
，
所以∠B=30°，故∠O=60°，又OA=OC，
所以△ACO 是等边三角形，
故∠OAC=60°，因为∠CAD=30°，
所以∠OAD=90°，所以AD 是⊙O 的切线
（2）解：因为OD⊥AB，所以OC 垂直平分AB，则AC=BC=5，
所以OA=5，在△OAD 中，∠OAD=90°，
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由正切定义，有tan∠AOD=
，所以AD=5
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1.已知⊙O 的半径为r，点P 到点O 的距离等于2 r，那么点P 的位置一定在
【答案】圆外
2.在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB 长为8cm，那么弦AB 的弦心距为 cm【答案】3cm
3.已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分成6cm 和8cm 两段，第二条弦的长为16cm，则第二条
弦被交点分成的两段的长为 【答案】4cm，12cm
4.一个点到圆上的最小距离为4 cm，最大距离为9cm，则圆的半径为 cm【答案】6.5cm 或
2.5cm
5.下列命题错误的是（ ）【答案】A
A.经过三个点一定可以作圆
B.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
6.如图，O 为圆心，A、B、C、D 是圆上四点，下面角度间等量关系不成立的是（ ）【答案】
D
A.∠1＝∠2
B.∠3＝2∠2
C.∠1＋∠2＝∠3
D.∠3＝∠2
7.已知⊙O 的直径为12cm，圆心到直线L 的距离为6cm，则直线L 与⊙O 的公共点的个数为（
）【答案】B
A.2
B.1
C.0
D.不确定
8.圆的外切梯形的中位线长10cm，则梯形的周长为（ ）【答案】C
A.30cm
B.35cm
C.40cm
D.45cm
9. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切 ⊙O 于点C，AD⊥CD，D 为垂足，如果CD = 3，AD = 4，那么AB
= （ ）【答案】A
A.
B.
C.12
D.13
12
10.如图，AT 是⊙O 的切线，OD⊥BC 于点D，并且AT = 10cm，AC= 20cm，OD = 4cm，则半径OC =
（ ）【答案】A
A.8.5cm
B.8cm
C.9.5cm
D.9cm
11.已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，半圆O 切BC 于点B，切AC 于点D，交AB 于点E，
BC= BE =2，求AE 和AD 的长
【答案】AE=
，AD=
12.如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o，在AB 上取一点E，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点
D，若AE=2 cm，AD=4 cm．
(1)求⊙O 的直径BE 的长；
(2)计算△ABC 的面积．
【答案】解：（1）连接OD ∴OD⊥AC
∴△ODA 是Rt△
设半径为r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2—r2=16
解之得：r=3 ∴BE=6
(2) ∵∠ABC=900 ∴OB⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线
13
∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x
∴AC=x+4，BC=4，AB=x，AB=8 ∵
∴
∴S△ABC=
课程顾问签字： 教学主管签字：
