文档文本内容
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角平分线的性质
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1、会用直尺圆规作一个已知角的平分线；
2、掌握角平分线的性质以及角平分线性质的应用；
3、培养学生的观察、分析、归纳能力，探究精神和创新意识．
1.角平分线的概念
________________________________________________叫角的平分线．
2.角平分线的性质
角平分线上的点到________________________距离相等．
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在________________上．
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：
如图，∵C 在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB ∴CD=CE
3.角平分线的性质证明
要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可
以了．
在△ABC 和△ADC 中：
2
所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB．
即射线AC 就是∠DAB 的平分线．
4.角平分线的画法
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB 的平分线．
作法：
（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB 于M、N．
（2）分别以M、N 为圆心，大于
MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC 即为所求．
参考答案：
1.一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线
2.角的两边的 角的平分线 三条边的距离
1.角平分线的定义．
【例1】（2014•大连六中月考）如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠DOB．若∠COB=35°，则
∠AOD 等于（ ）
A．35°
B．70°
C．110°
D．145°
【解析】首先根据角平分线定义可得∠BOD=2∠BOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠AOD 的度数．
解：∵射线OC 平分∠DOB．
∴∠BOD=2∠BOC，
∵∠COB=35°，
∴∠DOB=70°，
∴∠AOD=180°﹣70°=110°，
故选：C．
3
练1.（2014•滨州渤海中学期末）如图，OB 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠COE 的角平分线，如果
∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD 的度数为（ ）
A．50°
B．60°
C．65°
D．70°
【解析】先根据OB 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠COE 的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°求出
∠BOC 与∠COD 的度数，再根据∠BOD=∠BOC+∠COD 即可得出结论．
解：∵OB 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠COE 的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD= ∠COE= ×60°=30°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．
故选：D．
2.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
【例2】如图，△ABC 的角平分线BM、CN 相交于点P．求证：点P 到三边AB、BC、CA 的距离相等．
【解析】过点P 作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．
∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上．
∴PD=PE．
同理PE=PF．
∴PD=PE=PF．
即点P 到三边AB、BC、CA 的距离相等．
总结：点P 到AB、BC、CA 的垂线段PD、PE、PF 的长就是P 点到三边的距离，Ó也就是说要证：
PD=PE=PF．而BM、CN 分别是∠B、∠C 的平分线，Ó根据角平分线性质和等式的传递性可以
解决这个问题．
练2. 已知：如图6 所示在
中，
，∠BAC、∠BCA 的角平分线AD、CE 相交于O。
求证：AC＝AE＋CD
4
【解析】在AC 上截取AF＝AE。易知
，
。由
，
知
。
，
得：
证明：在AC 上截取AF＝AE
又
即
3. 角平分线的性质；三角形的面积．
【例3】如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 交AC 于点F．S△ABC=7，
DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）
A．4
B．3
C．6
D．5
【解析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结
果．
解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 交AC 于点F，
∴DF=DE=2．
又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=4，
5
∴7= ×4×2
×AC×2，
∴AC=3．
故选B．
总结：主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的大小是一种很好的方法，要注意掌
握应用．
练3. 如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（
）
A．PA=PB
B．PO 平分∠APB
C．OA=OB
D．AB 垂直平分OP
【解析】本题要从已知条件OP 平分∠AOB 入手，利用角平分线的性质，对各选项逐个验证，选项D
是错误的，虽然垂直，但不一定平分OP．
解：∵OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB
∴PA=PB
∴△OPA≌△OPB
∴∠APO=∠BPO，OA=OB
∴A、B、C 项正确
设PO 与AB 相交于E
∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE
∴△AOE≌△BOE
∴∠AEO=∠BEO=90°
∴OP 垂直AB
而不能得到AB 平分OP
故D 不成立
故选D．
练4.如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE⊥AC 于点E．已知PE=3，则点P 到AB 的距离是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
解：已知条件给出了角平分线、PE⊥AC 于点E 等条件，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，
可知点P 到AB 的距离是也是3．
故选：A．
4．角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）．
6
【例4】（2014•扬州一中期末）如图：将一张矩形纸片ABCD 的角C 沿着GF 折叠（F 在BC 边上，不
与B、C 重合）使得C 点落在矩形ABCD 内部的E 处，FH 平分∠BFE，则∠GFH 的度数α 满足
（ ）
A．90°＜α＜180°
B．α=90°
C．0°＜α＜90°
D．α 随着折痕位置的变化而变化
【解析】直接根据SAS 可证明△ABC≌△DEF．
解：由题意可得，∠CFG=∠EFG
又有∠EFH=∠BFH
∴∠GFE+∠EFH=90°
即∠GFH 的α 度数是90°．
故选B．
总结：翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位
置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图
形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求
的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当
的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出
正确的未知数．
练5.（2015•乌兰察布集宁一中月考）如图，已知AC 平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ 上．
下列条件中不能推出AB=AB′的是（ ）
A．BB′⊥AC
B．BC=B′C
C．∠ACB=∠ACB′ D．∠ABC=∠AB′C
【解析】根据已知条件结合三角形全等的判定方法，验证各选项提交的条件是否能证
△ABC≌△AB′C 即可．
解：如图：∵AC 平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ 上，
7
A：若BB′⊥AC，
在△ABC 与△AB′C 中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，∠ACB=∠ACB′，
∴△ABC≌△AB′C，
AB=AB′；
B：若BC=B′C，不能证明△ABC≌△AB′C，即不能证明AB=AB′；
C：若∠ACB=∠ACB′，则在△ABC 与△AB'C 中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，
AB=AB′；
D：若∠ABC=∠AB′C，则∠ACB=∠ACB′∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，AB=AB′．
故选B．
5．线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．
【例5】（2014•三明市中期中）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE
交AB 于点D，交BC 于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A．AE=BE
B．AC=BE
C．CE=DE
D．∠CAE=∠B
【解析】根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE；根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角
三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°，则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得
CE=DE．
解：A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；
B、因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；
C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．
则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确；
D、根据C 的证明过程．故该选项正确．
故选B．
总结：做题时需要综合考虑线段垂直平分线的性质、等角对等边的性质、角平分线的性质．
练6．（2014•曲靖一中月考模拟）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若BC=10，AD 平分∠BAC 交BC 于点
D，且BD：CD=3：2，则点D 到线段AB 的距离为 ．
8
【解析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D 到AB 的距
离= 点D 到AC 的距离=CD．
解：∵BC=10，且BD：CD=3：2，
∴CD=4，
∵AD 平分∠BAC 交BC 于点D，
∴点D 到AB 的距离=CD=4．
练7．（2014•祁县质检）如图，点P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB= 度．
【解析】已知有点P 到∠AOB 两边的距离相等，根据角平分线的逆定理可知，可得OP 为角的平分线，
加上若∠POB=30°，答案可得．
解：∵点P 到∠AOB 两边的距离相等
∴OP 平分∠AOB
∴∠AOB=2∠POB=60°
6.线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质．
【例6】（2015•陕西西安实验期末）如图，∠ABC=50°，AD 垂直且平分BC 于点D，∠ABC 的平分
线BE 交AD 于点E，连接EC，则∠AEC 的度数是 度．
【解析】先由题意得出垂直平分线垂直且平分BC，BE=EC，由题意可得∠C=∠EBC= ×50°=25°，
所以∠AEC=90°+25°=115°．易求解．
解：∵AD 垂直且平分BC 于点D，
∴BE=EC，
∴∠DBE=∠DCE，
又∵∠ABC=50°，BE 为∠ABC 的平分线，
9
∴∠EBC=∠C=
，
∴∠AEC=∠C+∠EDC=90°+25°=115°，
∴∠AEC=115°．
故答案为：115°．
练8．（2014•益阳一中质检）如图，已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A 的两边的距离相等，且
PA=PB，下列确定P 点的方法正确的是（ ）
A．P 是∠A 与∠B 两角平分线的交点
B．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点
C．P 为AC、AB 两边上的高的交点
D．P 为AC、AB 两边的垂直平分线的交点
【解析】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．
解：∵点P 到∠A 的两边的距离相等，
∴点P 在∠A 的角平分线上；
又∵PA=PB，
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．
即P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点．
故选B．
总结：线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分
线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等．
1．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC，交CD 于点E，BC=5，
DE=2，则△BCE 的面积等于（ ）
A．10
B．7
C．5
D．4
2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，
DE=1，则BC=（ ）
10
A．
B．2
C．3
D．
+2
3．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD⊥OA 于点D，PD=6，则点P 到边OB 的距
离为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
4．如图，在边长为
的等边三角形ABC 中，过点C 垂直于BC 的直线交∠ABC 的平分线于点P，
则点P 到边AB 所在直线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．1
5．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，BA 和CD 的延长线交于点E，若点P 使得S△PAB=S△PCD，
则满足此条件的点P（ ）
A．有且只有1 个
B．有且只有2 个
C．组成∠E 的角平分线
D．组成∠E 的角平分线所在的直线（E 点除外）
6．如图，已知OP 平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA 于点D，PE⊥OB 于点
E．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是（ ）
11
A．2
B．
C．
D．
7．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，AC=3，BC=4，则CD 的长是（
）
A．1
B．
C．
D．2
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AD 是△ABC 的一条角平分线．若CD=3，则△ABD 的
面积为 ．
2．如图，∠AOB=70°，QC⊥OA 于C，QD⊥OB 于D，若QC=QD，则∠AOQ= °．
3．（2014 秋•深圳中学月考）在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=
．
12
4．已知OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，
PD=10，则PE 的长度为 ．
5．如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 为BD 上的一点，PE⊥BA 于点E，PE=4cm，则点P 到边BC
的距离为 cm．
6．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D，DE⊥AC 交于点E，DF⊥BC 于点F，且
BC=4，DE=2，则△BCD 的面积是 ．
7．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D，若AD=4，CD=2，则
AB 的长是 ．
8．（2015•株洲一中期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 是△ABC 的一条角平分线．点
O、E、F 分别在BD、BC、AC 上，且四边形OECF 是正方形．
（1）求证：点O 在∠BAC 的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE 的长．
13
9．如图，四边形ABCD 中，AC 为∠BAD 的角平分线，AB=AD，E、F 两点分别在AB、AD 上，
且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF 的面积为四边形ABCD 的一半．
10．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE 的长；
（2）求△ADB 的面积．
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参考答案：
当堂检测
1.
考点：角平分线的性质．菁优网版权所有
分析：作EF⊥BC 于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求
得即可．
解答：解：作EF⊥BC 于F，
∵BE 平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE= BC•EF= ×5×2=5，
故选C．
2．
考点：角平分线的性质；含30 度角的直角三角形．菁优网版权所有
分析：根据角平分线的性质即可求得CD 的长，然后在直角△BDE 中，根据30°的锐角所对
的直角边等于斜边的一半，即可求得BD 长，则BC 即可求得．
解答：解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=1，
又∵直角△BDE 中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
∴BC=CD+BD=1+2=3．
故选C．
3．
考点：角平分线的性质．菁优网版权所有
分析：过点P 作PE⊥OB 于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得
PE=PD，从而得解．
解答：解：如图，
过点P 作PE⊥OB 于点E，
∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA 于D，
∴PE=PD，
∵PD=6，
∴PE=6，
即点P 到OB 的距离是6．
故选：A．
4．
考点：角平分线的性质；等边三角形的性质；含30 度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
分析：根据△ABC 为等边三角形，BP 平分∠ABC，得到∠PBC=30°，利用PC⊥BC，所以
∠PCB=90°，在Rt△PCB 中，
=1，即可解答．
解答：解：∵△ABC 为等边三角形，BP 平分∠ABC，
15
∴∠PBC=
=30°，
∵PC⊥BC，
∴∠PCB=90°，
在Rt△PCB 中，
=1，
∴点P 到边AB 所在直线的距离为1，
故选：D．
5．
考点：角平分线的性质．菁优网版权所有
分析：根据角平分线的性质分析，作∠E 的平分线，点P 到AB 和CD 的距离相等，即可得
到S△PAB=S△PCD．
解答：解：作∠E 的平分线，
可得点P 到AB 和CD 的距离相等，
因为AB=CD，
所以此时点P 满足S△PAB=S△PCD．
故选D．
点评：此题考查角平分线的性质，关键是根据AB=CD 和三角形等底作出等高即可．
6．
考点：角平分线的性质；含30 度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．菁优网版权所有
分析：由OP 平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP 是等腰三角形，
∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE 的值，继而求得OP 的
长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM 的长．
解答：解：∵OP 平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠COP=30°，
∵CP∥OA，
∴∠AOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=CP=2，
∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，
∴∠CPE=30°，
∴CE= CP=1，
∴PE=
=
，
∴OP=2PE=2
，
∵PD⊥OA，点M 是OP 的中点，
∴DM= OP=
．
故选：C．
7．
考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理．菁优网版权所有
分析：过点D 作DE⊥AB 于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，利
用勾股定理列式求出AB，再根据△ABC 的面积公式列出方程求解即可．
解答：解：如图，过点D 作DE⊥AB 于E，
∵∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，
∴DE=CD，
16
由勾股定理得，AB=
=
=5，
S△ABC= AB•DE+ AC•CD= AC•BC，
即×5•CD+ ×3•CD= ×3×4，
解得CD= ．
故选C．
家庭作业
1．
考点：角平分线的性质．菁优网版权所有
专题：几何图形问题．
分析：要求△ABD 的面积，现有AB=10 可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作
DE⊥AB 于E．根据角平分线的性质求得DE 的长，即可求解．
解答：解：作DE⊥AB 于E．
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3．
∴△ABD 的面积为×3×10=15．
故答案是：15．
点评：此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出
并求出三角形AB 边上的高时解答本题的关键．
2．
考点：角平分线的性质．菁优网版权所有
分析：根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ 是∠AOB 的平分线，然后根据
角平分线的定义解答即可．
解答：解：∵QC⊥OA 于C，QD⊥OB 于D，QC=QD，
∴OQ 是∠AOB 的平分线，
∵∠AOB=70°，
∴∠AOQ= ∠A0B= ×70°=35°．
故答案为：35．
点评：本题考查了角平分线的判定以及角平分线的定义，根据到角的两边距离相等的点在
角的平分线上判断OQ 是∠AOB 的平分线是解题的关键．
17
3．
考点：角平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
分析：过点D 作DE⊥AB 于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两
边距离相等可得CD=DE，然后根据△ABC 的面积列式计算即可得解．
解答：解：如图，过点D 作DE⊥AB 于E，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=
=
=10，
∵AD 平分∠CAB，
∴CD=DE，
∴S△ABC= AC•CD+ AB•DE= AC•BC，
即×6•CD+ ×10•CD= ×6×8，
解得CD=3．
故答案为：3．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的
面积列出方程是解题的关键．
4．
考点：角平分线的性质．菁优网版权所有
分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD．
解答：解：∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD=10．
故答案为：10．
5．
考点：
角平分线的性质．菁优网版权所有
分析：
BD 是∠ABC 的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P 到BC 的距离．
解答：
解：∵BD 是∠ABC 的平分线，PE⊥AB 于点E，PE=4cm，
∴点P 到BC 的距离=PE=4cm．
故答案为4．
点评：
本题考查了角平分线的性质．由已知能够注意到P 到BC 的距离即为PE 长是解决
的关键．
6．
考点：角平分线的性质．菁优网版权所有
18
专题：压轴题．
分析：首先根据CD 平分∠ACB 交AB 于点D，可得∠DCE=∠DCF；再根据DE⊥AC，DF⊥BC，
可得∠DEC=∠DFC=90°，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△CED≌△CFD，
即可判断出DF=DE；最后根据三角形的面积=底×高÷2，求出△BCD 的面积是多少即
可．
解答：解：∵CD 平分∠ACB 交AB 于点D，
∴∠DCE=∠DCF，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
在△DEC 和△DFC 中，
（AAS）
∴△DEC≌△DFC，
∴DF=DE=2，
∴S△BCD=BC×DF÷2
=4×2÷2
=4
答：△BCD 的面积是4．
故答案为：4．
7．
考点：角平分线的性质；含30 度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
分析：先求出∠CAD=30°，求出∠BAC=60°，∠B=30°，根据勾股定理求出AC，再求出
AB=2AC，代入求出即可．
解答：解：∵在Rt△ACD 中，∠C=90°，CD=2，AD=4，
∴∠CAD=30°，
∴由勾股定理得：AC=
=2
，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4
，
故答案为：4
．
8．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
分析：（1）过点O 作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易
得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O 在∠BAC 的平分线上；
（2）由勾股定理得AB 的长，利用方程思想解得结果．
解答：（1）证明：过点O 作OM⊥AB，
∵BD 是∠ABC 的一条角平分线，
∴OE=OM，
∵四边形OECF 是正方形，
∴OE=OF，
∴OF=OM，
19
∴AO 是∠BAC 的角平分线，即点O 在∠BAC 的平分线上；
（2）解：∵在Rt△ABC 中，AC=5，BC=12，
∴AB=
=
=13，
设OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，
∴
，
解得：
，
∴OE=2．
9．
考点：角平分线的性质；三角形的面积．菁优网版权所有
分析：分别作CG⊥AB 与G，CH⊥AD 与H，由AC 为∠BAD 的角平分线，得到CG=CH，根据等
底等高的三角形的面积相等得到△ABC 面积=△ACD 面积，又由于AE=DF，得到
△AEC 面积=△CDF 面积，于是△BCE 面积=△ABC 面积﹣△AEC 面积，△BCE 面积
=△ACD 面积﹣△CDF 面积，求出△BCE 面积=△ACF 面积，由四边形AECF 面积
=△AEC 面积+△ACF 面积，四边形AECF 面积=△AEC 面积+△BCE 面积，得到四边形
AECF 面积=△ABC 面积，又由于四边形ABCD 面积=△ABC 面积+△ACD 面积，四边形
ABCD 面积=2△ABC 面积，即可得到结果．
解答：解：分别作CG⊥AB 与G，CH⊥AD 与H，
∵AC 为∠BAD 的角平分线，
∴CG=CH，
∵AB=AD，
∴△ABC 面积=△ACD 面积，
又∵AE=DF，
∴△AEC 面积=△CDF 面积，
∴△BCE 面积=△ABC 面积﹣△AEC 面积，
△BCE 面积=△ACD 面积﹣△CDF 面积，
∴△BCE 面积=△ACF 面积，
∵四边形AECF 面积=△AEC 面积+△ACF 面积，
四边形AECF 面积=△AEC 面积+△BCE 面积，
∴四边形AECF 面积=△ABC 面积，
又∵四边形ABCD 面积=△ABC 面积+△ACD 面积，
又∵四边形ABCD 面积=2△ABC 面积，
∴四边形AECF 面积为四边形ABCD 面积的一半．
20
10．
考点：角平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积．
解答：解：（1）∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB=
=
=10，
∴△ADB 的面积为S△ADB= AB•DE= ×10×3=15．
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