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八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题有12 小题，每小题3 分，共36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．不等式2x+1＞x+2 的解集是（ ）
A．x＞1
B．x＜1
C．x≥1
D．x≤1
2．多项式2x2
2y
﹣
2分解因式的结果是（ ）
A．2（x+y）2
B．2（x
y
﹣）2
C．2（x+y）（x
y
﹣）D．2（y+x）（y
x
﹣）
3．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC 的周
长是（ ）
A．6cm
B．7cm
C．8cm
D．9cm
5．要使分式
有意义，那么x 的取值范围是（ ）
A．x≠3
B．x≠3 且x≠﹣3
C．x≠0 且x≠﹣3
D．x≠﹣3
6．如果关于x 的不等式（a+1）x＞a+1 的解集为x＜1，那么a 的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1
B．a＜0
C．a＞﹣1
D．a＞0a＜﹣1
7．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB，CE 平分∠BCD 交AD 边 于点E，且AE=3，则
AB 的长为（ ）
A．4
B．3
C．
D．2
8．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带
的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大
边的长为（ ）
A．3cm
B．6cm
C．
cm
D．
cm
9．如图，在平行四边形ABCD 中，AE⊥BC 于E，AF⊥CD 于F，若AE=4，AF=6，平行四边形
ABCD 的周长为40．则平行四边形ABCD 的面积为（ ）
A．24
B．36
C．40
D．48
10．如图，函数y=2x 和y=ax+4 的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4 的解集为
（ ）
A．x＜
B．x＜3
C．x＞
D．x＞3
11．已知a2+b2=6ab，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．±2
12．△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，P 为线段AB 上一动点，D 为BC 上
中点，则PC+PD 的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
二、填空题：（本题有4 小题，每小题3 分，共12 分）
13．分解因式：2x2
4x
﹣
+2= ．
14．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，则它的边数是 ．
15．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD 的长为 ．
16．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=
，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得
到△ADE，连接BE，则BE 的长是 ．
三、解答题（本大题有七道题，其中17 题6 分，18 题7 分，19 题7 分，20 题7 分，21 题7 分，22
题9 分，23 题9 分，共52 分；）
17．解方程：
．
18．解不等式组：
．
19．先化简，再求值：
，其中a 满足方程a2+4a+1=0．
20．如图，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点A、B、C 在小正方
形的顶点上，将△ABC 向下平移4 个单位、再向右平移3 个单位得到△A1B1C1，然后将
△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．
（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
（2）计算线段AC 在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）
21．如图，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 的中点，F 是DE 延长线上的点，且EF=DE
（1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由；
（2）若△AEF 的面积是3，求四边形BCFD 的面积．
22．我县某汽车销售公司经销某品牌A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年
5 月份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1 万元，如果卖出相同数量的A 款汽车，去年销
售额为100 万元，今年销售额只有90 万元．
（1）今年5 月份A 款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B 款汽车，已知A 款汽车每辆进价7.5
万元，B 款汽车每辆进价为6 万元，公司预计用不多于105 万元且不少于99 万元的资金购进
这两款汽车共15 辆，有几种进货方案？
（3）如果B 款汽车每辆售价为8 万元，为打开B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆B 款汽
车，返还顾客现金a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对
公司更有利？
23．已知两个共一个顶点的等腰直角△ABC 和等腰直角△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接
AF，M 是AF 的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME 的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有12 小题，每小题3 分，共36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．不等式2x+1＞x+2 的解集是（ ）
A．x＞1
B．x＜1
C．x≥1
D．x≤1
【考点】解一元一次不等式．
【分析】先移项，再合并同类项，把x 的系数化为1 即可．
【解答】解：移项得，2x
x
﹣＞2
1
﹣，
合并同类项得，x＞1，
故选A
【点评】本题考查的是在解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题
的关键．
2．多项式2x2
2y
﹣
2分解因式的结果是（ ）
A．2（x+y）2
B．2（x
y
﹣）2
C．2（x+y）（x
y
﹣）D．2（y+x）（y
x
﹣）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提公因式2，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：2x2
2y
﹣
2=2（x2
y
﹣2）=2（x+y）（x
y
﹣），
股癣：C．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进
行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
3．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故A 选项错误；
B、不是中心对称图形，故B 选项正确；
C、是中心对称图形，故C 选项错误；
D、是中心对称图形，故D 选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称
图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．
4．如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC 的周
长是（ ）
A．6cm
B．7cm
C．8cm
D．9cm
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由于AB 的垂直平分线交AC 于D，所以AD=BD，而△DBC 的周长
=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，而AC=5cm，BC=4cm，由此即可求出△DBC 的周长．
【解答】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△DBC 的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
而AC=5cm，BC=4cm，
∴△DBC 的周长是9cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个
端点的距离相等．结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
5．要使分式
有意义，那么x 的取值范围是（ ）
A．x≠3
B．x≠3 且x≠﹣3
C．x≠0 且x≠﹣3
D．x≠﹣3
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求解即可．
【解答】解：∵x2+6x+9≠0，
∴（x+3）2≠0，
∴x+3≠0，
∴x≠﹣3，
∴分式
有意义，x 的取值范围x≠﹣3，
故选D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键．
6．如果关于x 的不等式（a+1）x＞a+1 的解集为x＜1，那么a 的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1
B．a＜0
C．a＞﹣1
D．a＞0a＜﹣1
【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据不等式的性质，两边同时除以a+1，a+1 是正数还是负数不确定，所以要分两种情
况，再根据解集为x＜1，发现不等号的符号发生了变化，所以确定a+1＜0，从而得到答案．
【解答】解：（a+1）x＞a+1，
当a+1＞0 时，x＞1，
当a+1＜0 时，x＜1，
∵解集为x＜1，
∴a+1＜0，
a＜﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解不等式，当不等式两边除以同一个数时，这个数的正负性直接影响
不等号．
7．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB，CE 平分∠BCD 交AD 边 于点E，且AE=3，则
AB 的长为（ ）
A．4
B．3
C．
D．2
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，推出∠DEC=∠BCE，求出
∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE 即可．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE 平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，
∵AD=2AB=2CD，CD=DE，
∴AD=2DE，
∴AE=DE=3，
∴DC=AB=DE=3，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定
的应用，关键是求出DE=AE=DC．
8．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带
的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大
边的长为（ ）
A．3cm
B．6cm
C．
cm
D．
cm
【考点】含30 度角的直角三角形；等腰直角三角形．
【分析】过另一个顶点C 作垂线CD 如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的
边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
【解答】解：过点C 作CD⊥AD，∴CD=3，
在直角三角形ADC 中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB=AC=6，
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，
∴BC=6
，
故选：D．
【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直
角边，再由勾股定理求出最大边．
9．如图，在平行四边形ABCD 中，AE⊥BC 于E，AF⊥CD 于F，若AE=4，AF=6，平行四边形
ABCD 的周长为40．则平行四边形ABCD 的面积为（ ）
A．24
B．36
C．40
D．48
【考点】平行四边形的性质．
【分析】已知平行四边形的高AE、AF，设BC=xcm，则CD=（20
x
﹣）cm，根据“等面积法”列
方程，求BC，从而求出平行四边形的面积．
【解答】解：设BC=xcm，则CD=（20
x
﹣）cm，根据“等面积法”得
4x=6（20
x
﹣），解得x=12，
∴平行四边形ABCD 的面积=4x=4×12=48．故选D．
【点评】本题应用的知识点为：平行四边形一组邻边之和为平行四边形周长的一半，平行四边
形的面积=底×高，可用两种方法表示．
10．如图，函数y=2x 和y=ax+4 的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4 的解集为
（ ）
A．x＜
B．x＜3
C．x＞
D．x＞3
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】先根据函数y=2x 和y=ax+4 的图象相交于点A（m，3），求出m 的值，从而得出点A 的
坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4 的解集．
【解答】解：∵函数y=2x 和y=ax+4 的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，
m=
，
∴点A 的坐标是（
，3），
∴不等式2x＜ax+4 的解集为x＜
；
故选A．
【点评】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题
的关键．
11．已知a2+b2=6ab，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．±2
【考点】分式的值．
【分析】首先由a2+b2=6ab，即可求得：
（a+b）2=8ab，
（a
b
﹣）2=4ab，然后代入即可求得答案．
【解答】解：∵a2+b2=6ab，
∴a2+b2+2ab=8ab，a2+b2
2ab=4ab
﹣
，
即：（a+b）2=8ab，（a
b
﹣）2=4ab，
a+b=±2
，a
b=
﹣
±2
，
∴当a+b=2
，a
b=2
﹣
时，
=
；
当a+b=2
，a
b=
2
﹣
﹣
时，
=﹣
；
当a+b=
2
﹣
，a
b=2
﹣
时，
=﹣
；
当a+b=
2
﹣
，a
b=
2
﹣
﹣
时，
=
．
故选：B．
【点评】本题主要考查完全平方公式．注意熟记公式的几个变形公式，还要注意整体思想的应
用．
12．△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，P 为线段AB 上一动点，D 为BC 上
中点，则PC+PD 的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【考点】轴对称-最短路线问题；等腰直角三角形．
【分析】作D 关于AB 的对称点F，连接CF 交AB 于P，连接PD，BF，则AB 垂直平分DF，于
是可得PF=PD，BD=BF，即可求得∠CBF=90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：作D 关于AB 的对称点F，连接CF 交AB 于P，则CF 的长度=PC+PD 的最小值，
连接PD，BF，
则AB 垂直平分DF，
∴PF=PD，BD=BF=
BC=1，∠FBP=∠DBP，
∵△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠ACB=45°，
∴∠CBF=90°，
∴CF2=BC2+BF2=5，
∴CF=
，
∴PC+PD 的最小值是
．
故选C．
【点评】此题考查了线路最短的问题，确定动点P 何位置时，使PC+PD 的值最小是关键．
二、填空题：（本题有4 小题，每小题3 分，共12 分）
13．分解因式：2x2
4x
﹣
+2=
2 （
x
1
﹣
）
2
．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）
2=a2±2ab+b2．
【解答】解：2x2
4x
﹣
+2，
=2（x2
2x
﹣
+1），
=2（x
1
﹣）2．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进
行二次分解因式．
14．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，则它的边数是
10
．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形的外角和是360 度，内角和与外角和的比是4：1，则内角和是1440 度．n 边形
的内角和是（n
2
﹣）180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方
程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据题意，得
（n
2
﹣）180=1440，
解得：n=10．
则此多边形的边数是10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了多边形内角和定理和外角和定理：多边形内角和为（n
2
﹣）180°，外角和为
360°．
15．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD 的长为
2
．
【考点】含30 度角的直角三角形．
【分析】过P 作PE 垂直与OB，由∠AOP=∠BOP，PD 垂直于OA，利用角平分线定理得到
PE=PD，由PC 与OA 平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，又OP 为角平分线得到一
对角相等，等量代换可得∠COP=∠CPO，又∠ECP 为三角形COP 的外角，利用三角形外角
的性质求出∠ECP=30°，在直角三角形ECP 中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜
边PC 的长求出PE 的长，即为PD 的长．
【解答】解：过P 作PE⊥OB，交OB 与点E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO=∠POD，
又∠AOP=∠BOP=15°，
∴∠CPO=∠BOP=15°，
又∠ECP 为△OCP 的外角，
∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，
在直角三角形CEP 中，∠ECP=30°，PC=4，
∴PE=
PC=2，
则PD=PE=2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了含30°角直角三角形的性质，角平分线定理，平行线的性质，以及三角形的
外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．同时注意辅助线的作法．
16．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=
，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得
到△ADE，连接BE，则BE 的长是
2
+2
．
【考点】旋转的性质．
【分析】首先考虑到BE 所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要构造
直角三角形．由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=60°，故△ACE 是等边三角形，可证明
△ABE 与△CBE 全等，可得到∠ABE=45°，∠AEB=30°，再证△AFB 和△AFE 是直角三角形，
然后在根据勾股定理求解
【解答】解：连结CE，设BE 与AC 相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC 中，AB=BC，∠ABC=90°
∴∠BCA=∠BAC=45°
∵Rt△ABC 绕点A 逆时针旋转60°与Rt△ADE 重合，
∴∠BAC=∠DAE=45°，AC=AE
又∵旋转角为60°
∴∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ACE 是等边三角形
∴AC=CE=AE=4
在△ABE 与△CBE 中，
∴△ABE≌△CBE （SSS）
∴∠ABE=∠CBE=45°，∠CEB=∠AEB=30°
∴在△ABF 中，∠BFA=180°
45°
45°=90°
﹣
﹣
∴∠AFB=∠AFE=90°
在Rt△ABF 中，由勾股定理得，
BF=AF=
=2
又在Rt△AFE 中，∠AEF=30，°∠AFE=90°
FE=
AF=2
∴BE=BF+FE=2+2
故，本题的答案是：2+2
【点评】此题是旋转性质题，解决此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握
旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用
三、解答题（本大题有七道题，其中17 题6 分，18 题7 分，19 题7 分，20 题7 分，21 题7 分，22
题9 分，23 题9 分，共52 分；）
17．解方程：
．
【考点】解分式方程．
【分析】找出分式方程的最简公分母为（x+2）（x
2
﹣），去分母后转化为整式方程，求出方程的
解得到x 的值，代入最简公分母中检验即可得到原分式方程的解．
【解答】解：最简公分母为（x+2）（x
2
﹣），
去分母得：（x
2
﹣）2﹣（x+2）（x
2
﹣）=16，
整理得：﹣4x+8=16，
解得：x=
2
﹣，
经检验x=
2
﹣是增根，
故原分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．解不等式组：
．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别解两个不等式得到x＞﹣2 和x≤2，然后根据同小取小确定不等式组的解集．
【解答】解：
，
解①得x≤4，
解②得x＜2，
所以不等式的解集为x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，
同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．
19．先化简，再求值：
，其中a 满足方程a2+4a+1=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】把原式括号里的第二项提取﹣1，然后把原式的各项分子分母都分解因式，找出括号
里两项分母的最简公分母，利用分式的基本性质对括号里两项进行通分，然后利用同分母分
式的减法运算法则：分母不变，只把分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法则：除以
一个数等于乘以这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分式，把a 满
足的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值．
【解答】解：原式=
=
=
=
=
，（6 分）
∵a2+4a+1=0，∴a2+4a=
1
﹣，
∴原式=
．（10 分）
【点评】此题考查了分式的混合运算，以及多项式的运算．分式的化简求值题，应先对原式的
分子分母分解因式，在分式的化简运算中，要通观全局，弄清有哪些运算，然后观察能否用法
则，定律，分解因式及公式来简化运算，同时注意运算的结果要化到最简，然后再代值计算．
20．如图，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点A、B、C 在小正方
形的顶点上，将△ABC 向下平移4 个单位、再向右平移3 个单位得到△A1B1C1，然后将
△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．
（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
（2）计算线段AC 在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）
【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算；作图-平移变换．
【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可；
（2）根据图形平移及旋转的性质可知，将△ABC 向下平移4 个单位AC 所扫过的面积是以4
为底，以2 为高的平行四边形的面积；再向右平移3 个单位AC 扫过的面积是以3 为底以2 为
高的平行四边形的面积；当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的
面积是以A1为圆心以以2
为半径，圆心角为90°的扇形的面积，再减去重叠部分的面积，
根据平行四边形的面积及扇形面积公式进行解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵图中是边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格，
∴AC=
=2
，
∵将△ABC 向下平移4 个单位AC 所扫过的面积是以4 为底，以2 为高的平行四边形的面积；
再向右平移3 个单位AC 扫过的面积是以3 为底以2 为高的平行四边形的面积；当△A1B1C1
绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心以2
为半径，圆
心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A1为圆心，以2
为半径，圆心角为45°的扇形的面
积，
∴线段AC 在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积=4×2+3×2+
﹣
=14+π．
【点评】本题考查的是旋转变换及平移变换，扇形的面积公式，熟知图形旋转、平移不变性的
特点是解答此题的关键．
21．如图，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 的中点，F 是DE 延长线上的点，且EF=DE
（1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由；
（2）若△AEF 的面积是3，求四边形BCFD 的面积．
【考点】平行四边形的判定；三角形的面积；三角形中位线定理．
【分析】（1）由E 为AC 的中点，可得AE=CE，再由条件EF=DE 可得四边形ADCF 是平行四
边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等
可得△CEF 的面积和△CED 的面积都等于△AEF 的面积为3，从而可得四边形BCFD 的面
积为12．
【解答】（1）图中的平行四边形有：平行四边形ADCF，平行四边形BDFC，
理由是：∵E 为AC 的中点，
∴AE=CE，
∵DE=EF，
∴四边形ADCF 是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=CF，
∵D 为AB 的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，BD∥CF，
∴四边形BDFC 是平行四边形．
（2）由（1）知四边形ADCF 是平行四边形，四边形BDFC 是平行四边形，
∴S
CEF
△
=S
CED
△
=S
AEF
△
=3，
∴平行四边形BCFD 的面积是12．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握
平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等．
22．我县某汽车销售公司经销某品牌A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年
5 月份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1 万元，如果卖出相同数量的A 款汽车，去年销
售额为100 万元，今年销售额只有90 万元．
（1）今年5 月份A 款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B 款汽车，已知A 款汽车每辆进价7.5
万元，B 款汽车每辆进价为6 万元，公司预计用不多于105 万元且不少于99 万元的资金购进
这两款汽车共15 辆，有几种进货方案？
（3）如果B 款汽车每辆售价为8 万元，为打开B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆B 款汽
车，返还顾客现金a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对
公司更有利？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量=去
年的销售数量．
（2）关系式为：99≤A 款汽车总价+B 款汽车总价≤105．
（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x 的系数为0 即可；多进B 款汽车对
公司更有利，因为A 款汽车每辆进价为7.5 万元，B 款汽车每辆进价为6 万元，所以要多进B
款．
【解答】解：（1）设今年5 月份A 款汽车每辆售价x 万元．根据题意得：
=
，
解得：x=9，
经检验知，x=9 是原方程的解．
所以今年5 月份A 款汽车每辆售价9 万元．
（2）设A 款汽车购进y 辆．则B 款汽车每辆购进（15
y
﹣）辆．根据题意得：
解得：6≤y≤10，
所以有5 种方案：
方案一：A 款汽车购进6 辆；B 款汽车购进9 辆；
方案二：A 款汽车购进7 辆；B 款汽车购进8 辆；
方案三：A 款汽车购进8 辆；B 款汽车购进7 辆；
方案四：A 款汽车购进9 辆；B 款汽车购进6 辆；
方案五：A 款汽车购进10 辆；B 款汽车购进5 辆．
（3）设利润为W 则：W=（8
6
﹣）×（15
y
﹣）﹣a（15
y
﹣）+（9
7.5
﹣
）y
=30
2y
a
﹣
﹣（15
y
﹣）+1.5y
=30
a
﹣（15
y
﹣）﹣0.5y
方案一：W=30
a
﹣（15
6
﹣）﹣0.5×6=30
9a
3=27
9a
﹣
﹣
﹣
方案二：W=30
a
﹣（15
7
﹣）﹣0.5×7=30
8a
3.5=26.5
8a
﹣
﹣
﹣
方案三：W=30
a
﹣（15
8
﹣）﹣0.5×8=30
7a
4=26
7a
﹣
﹣
﹣
方案四：W=30
a
﹣（15
9
﹣）﹣0.5×9=30
6a
4.5=25.5
6a
﹣
﹣
﹣
方案五：W=30
a
﹣（15
10
﹣
）﹣0.5×10=30
5a
5=25
5a
﹣
﹣
﹣
由27
9a=26.5
8a
﹣
﹣
得a=0.5
方案一对公司更有利．
【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关
系是解决问题的关键．
23．已知两个共一个顶点的等腰直角△ABC 和等腰直角△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接
AF，M 是AF 的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME 的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）如答图1a 所示，延长AB 交CF 于点D，证明BM 为△ADF 的中位线即可；
（2）如答图2a 所示，作辅助线，推出BM、ME 是两条中位线；
（3）如答图3a 所示，作辅助线，推出BM、ME 是两条中位线：BM=
DF，ME=
AG；然后证
明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME．
【解答】
（1）证明：如答图1a，延长AB 交CF 于点D，则易知△ABC 与△BCD 均为等腰直角三
角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B 为线段AD 的中点，
又∵点M 为线段AF 的中点，
∴BM 为△ADF 的中位线，
∴BM∥CF；
（2）如答图2a 所示，延长AB 交CF 于点D，则易知△BCD 与△ABC 为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=CD=
a，
∴点B 为AD 中点，又点M 为AF 中点，
∴BM=
DF．
分别延长FE 与CA 交于点G，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=2
a，
∴点E 为FG 中点，又点M 为AF 中点，
∴ME=
AG．
∵CG=CF=2
a，CA=CD=
a，
∴AG=DF=
a，
∴BM=ME=
×
a=
a．
（3）如答图3a，延长AB 交CE 于点D，连接DF，则易知△ABC 与△BCD 均为等腰直角三角
形，
∴AB=BC=BD，AC=CD，
∴点B 为AD 中点，又点M 为AF 中点，
∴BM=
DF，
延长FE 与CB 交于点G，连接AG，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG，
∴点E 为FG 中点，又点M 为AF 中点，
∴ME=
AG，
在△ACG 与△DCF 中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF=AG，
∴BM=ME．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，
作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
