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八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本部分共12 小题，每小题3 分，共36 分，每小题给出4 个选项，其中只有一个是
正确的）
1．不等式2x
4
﹣≤0 的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列命题正确的有（ ）
①如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半；
②三角形至少有一个内角不大于60°；
③连结任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形；
④十边形内角和为1800°．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
4．如果a＞b，下列各式中正确的是（ ）
A．a
3
﹣＞b
3
﹣
B．ac＞bc
C．﹣2a＞﹣2b
D．
＜
5．如图△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP′
重合，已知AP=3，则PP′的长度是（ ）
A．3 B．
C．
D．4
6．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠CAB 的平分线，DE⊥AB，且DE=2cm，则
AE 的长是（ ）cm．
A．2
+2
B．2
C．4 D．不确定
7．已知点A（2
a
﹣，a+1）在第一象限，则a 的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．﹣1＜a＜2 C．a＜﹣1
D．a＜1
8．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．12a2b=3a•4ab B．（x+3）（x
3
﹣）=x2
9
﹣
C．4x2+8x
1=4x
﹣
（x+2）﹣1 D．x2+3x
4=
﹣
（x
1
﹣）（x+4）
9．若9x2+2（k
3
﹣）x+16 是完全平方式，则k 的值为（ ）
A．15
B．15 或﹣15 C．39 或﹣33 D．15 或﹣9
10．如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（﹣2，0），点A 是y 轴正方向上的一点，且
∠BAO=30°，现将△BAO 顺时针旋转90°至△DCO，直线l 是线段BC 的垂直平分线，点P 是
l 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ）
A．2
B．4 C．2
+1
D．2
+2
11．若a2+2a+b2
6b
﹣
+10=0，则ba的值是（ ）
A．﹣1 B．3 C．﹣3
D．
12．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处，若矩形的面积为16
，
AE=B′D，∠EFB=60°，则线段DE 的长是（ ）
A．4
B．5 C．6 D．6
二、填空题（本题共4 小题，每小题3 分，共12 分）
13．要使分式
的值等于零，则x 的取值是 ．
14．不等式3（x+1）≥5x
3
﹣的正整数解之和是 ．
15．如图的螺旋形由一系列含30°的直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则
第6 个直角三角形的斜边长为 ．
16．如图，过边长为2 的等边△ABC 的边AB 上点P 作PE⊥AC 于E，Q 为BC 延长线上一点，
当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D，则DE 长为 ．
三、解答题（17 题6 分；18 题6 分；19 题6 分；20 题8 分；21 题8 分；22 题9 分；23 题9 分，共
52 分）
17．分解因式：
（1）
x2﹣
（2）（m
n
﹣）2
6
﹣（n
m
﹣）+9．
18．解不等式组：
．
19．先化简
，然后从
中选取一个你认为合适的数
作为x 的值代入求值．
20．如图Rt△ACB 中，已知∠BAC=30°，BC=2，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向
外作等边△ACD，等边△ABE． EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE 是平行四边形；
（2）求四边形ADFE 的周长．
21．某市从今年1 月1 日起调整居民家用水价格，每立方米水费上涨
，小刚家去年12 月份
的水费是15 元，而今年7 月份的水费是30 元，已知小刚家今年7 月份的用水量比去年12 月
份的用水量多5m3，求该市今年居民用水价格．
22．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点B 出
发，沿射线BC 的方向以每秒2 个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上
以每秒1 个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止
运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ 的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？
（3）分别求出当t 为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．
23．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF 有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M 是AF
的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME 的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本部分共12 小题，每小题3 分，共36 分，每小题给出4 个选项，其中只有一个是
正确的）
1．不等式2x
4
﹣≤0 的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【分析】先移项再系数化1，然后从数轴上找出．
【解答】解：2x
4
﹣≤0
2x≤4
x≤2
故选B．
2．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故错误；
C、是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故正确．
故选D．
3．下列命题正确的有（ ）
①如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半；
②三角形至少有一个内角不大于60°；
③连结任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形；
④十边形内角和为1800°．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【考点】命题与定理．
【分析】利用等腰三角形的性质、三角形的三边关系、中点四边形及多边形的内角和的知识进
行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半，正确，
证明如下：如图：
∵∠B=∠ACB=15°，
∴∠CAB=150°，
∴∠CAD=30°，CD⊥AB，
∴在直角三角形ACD 中，CD=
AC；
②因为三角形的内角和等于180°，所以一个三角形中至少有一个内角不大于60°，所以三角
形至少有一个内角不大于60°正确；
③连结任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形，正确，
证明如下：】证明：如图，连接AC，
∵E、F、G、H 分别是四边形ABCD 边的中点，
∴HG∥AC，HG=
AC，EF∥AC，EF=
AC；
∴EF=HG 且EF∥HG；
∴四边形EFGH 是平行四边形．
故答案是：平行四边形．；
④十边形内角和为（10
2
﹣）×180=1440°，故错误，
正确有3 个，
故选C．
4．如果a＞b，下列各式中正确的是（ ）
A．a
3
﹣＞b
3
﹣
B．ac＞bc
C．﹣2a＞﹣2b
D．
＜
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、a＞b 不等式的两边都减去3 可得a
3
﹣＞b
3
﹣，故本选项正确；
B、a＞b 不等式两边都乘以c，c 的正负情况不确定，所以ac＞bc 不一定成立，故本选项错误；
C、a＞b 不等式的两边都乘以﹣2 可得﹣2a＜﹣2b，故本选项错误；
D、a＞b 不等式两边都除以2 可得
＞
，故本选项错误．
故选A．
5．如图△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP′
重合，已知AP=3，则PP′的长度是（ ）
A．3 B．
C．
D．4
【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．
【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形
的性质，进行计算即可．
【解答】解：∵△ACP′是由△ABP 绕点A 逆时针旋转后得到的，
∴△ACP′≌△ABP，
∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．
∵∠BAC=90°，
∴∠PAP′=90°，
故可得出△APP'是等腰直角三角形，
又∵AP=3，
∴PP′=3
．
故选B．
6．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠CAB 的平分线，DE⊥AB，且DE=2cm，则
AE 的长是（ ）cm．
A．2
+2
B．2
C．4 D．不确定
【考点】等腰直角三角形．
【分析】根据角平分线的性质得出CD=DE=2，再利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠CAB 的平分线，DE⊥AB，
∴DE=CD=2，
∴BE=DE=2，
∴DB=
，
∴BC=AC=AE=2
+2，
故选A
7．已知点A（2
a
﹣，a+1）在第一象限，则a 的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．﹣1＜a＜2 C．a＜﹣1
D．a＜1
【考点】点的坐标；解一元一次不等式组．
【分析】点在第一象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是正数．
【解答】解：∵点A（2
a
﹣，a+1）在第一象限．
∴
．
解得：﹣1＜a＜2．故选B．
8．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．12a2b=3a•4ab B．（x+3）（x
3
﹣）=x2
9
﹣
C．4x2+8x
1=4x
﹣
（x+2）﹣1 D．x2+3x
4=
﹣
（x
1
﹣）（x+4）
【考点】因式分解的意义．
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形
中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【解答】解：A、左边是单项式，不是因式分解，错误；
B、是多项式乘法，不是因式分解，错误．
C、右边不是积的形式，错误；
D、是因式分解，正确．
故选：D．
9．若9x2+2（k
3
﹣）x+16 是完全平方式，则k 的值为（ ）
A．15
B．15 或﹣15 C．39 或﹣33 D．15 或﹣9
【考点】完全平方式．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．
【解答】解：∵9x2+2（k
3
﹣）x+16 是完全平方式，
∴k
3=
﹣
±12，
解得：k=15 或k=
9
﹣，
故选D
10．如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（﹣2，0），点A 是y 轴正方向上的一点，且
∠BAO=30°，现将△BAO 顺时针旋转90°至△DCO，直线l 是线段BC 的垂直平分线，点P 是
l 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ）
A．2
B．4 C．2
+1
D．2
+2
【考点】轴对称-最短路线问题；线段垂直平分线的性质；坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据已知条件得到OA=2
，根据旋转的性质得到OC=OA=2
，由直线l 是线段
BC 的垂直平分线，得到点B，C 关于直线l 对称，连接AC 角直线l 于P，于是得到AC 的长度
=PA+PB 的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵点 B 的坐标是（﹣2，0），
∴OB=2，
∵∠BAO=30°，
∴OA=2
，
∵现将△BAO 顺时针旋转90°至△DCO，
∴OC=OA=2
，
∵直线l 是线段BC 的垂直平分线，
∴点B，C 关于直线l 对称，
连接AC 交直线l 于P，
则此时AC 的长度=PA+PB 的最小值，
∵AC=
=2
，
∴PA+PB 的最小值为2
，
故选A．
11．若a2+2a+b2
6b
﹣
+10=0，则ba的值是（ ）
A．﹣1 B．3 C．﹣3
D．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【分析】先配成非负数的和为0，各项为0，求出a，b 代入即可．
【解答】解：（1）∵a2+2a+b2
6b
﹣
+10=0，
∴（a+1）2+（b
3
﹣）2=0，
∴a=
1
﹣，b=3，
∴ba=3
1
﹣=
，
故选D，
12．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处，若矩形的面积为16
，
AE=B′D，∠EFB=60°，则线段DE 的长是（ ）
A．4
B．5 C．6 D．6
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【分析】由把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处，∠EFB=60°，易证得△EFB′
是等边三角形，继而可得△A′B′E 中，B′E=2A′E，则可求得B′E 的长，然后由勾股定理求得
A′B′的长，继而求得答案．
【解答】解：在矩形ABCD 中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD 沿EF 翻折点B 恰好落在AD 边的B′处，
∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E，AB=A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°
60°=30°
﹣
，
∴B′E=2A′E，
∵矩形的面积为16
，AE=B′D，
∴A′B′=2
，即AB=2
，
∵AD=AE+DE=8，AE=2，
∴DE=6，
故选C
二、填空题（本题共4 小题，每小题3 分，共12 分）
13．要使分式
的值等于零，则x 的取值是 ﹣
1
．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式值为零的条件：分母不为零，分子等于零可得x2
1=0
﹣
，且x
1
﹣≠0，再解即
可．
【解答】解：由题意得：x2
1=0
﹣
，且x
1
﹣≠0，
解得：x=
1
﹣，
故答案为：﹣1．
14．不等式3（x+1）≥5x
3
﹣的正整数解之和是
6
．
【考点】一元一次不等式的整数解．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1 可得解集，
再确定其正整数解之和．
【解答】解：去括号，得：3x+3≥5x
3
﹣，
移项，得：3x
5x
﹣
≥﹣3
3
﹣，
合并同类项，得：﹣2x≥﹣6，
系数化为1，得：x≤3，
∴该不等式的正整数解之和为1+2+3=6，
故答案为：6．
15．如图的螺旋形由一系列含30°的直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则
第6 个直角三角形的斜边长为
．
【考点】勾股定理．
【分析】分别求出各个三角形的边长，找出规律即可解答．
【解答】解：第①个直角三角形中，30°角所对的直角边为1，
则斜边长为2，另一直角边为
，
第②个直角三角形中，斜边为
，
则30°对应直角边为
，
另一直角边为
=
，
第③个直角三角形中，斜边为
，
则30°对应直角边为
，
另一直角边为
，
第④个直角三角形的斜边为
，
第⑤个直角三角形的斜边长为
，
第⑥个直角三角形的斜边成为
，
故答案为
．
16．如图，过边长为2 的等边△ABC 的边AB 上点P 作PE⊥AC 于E，Q 为BC 延长线上一点，
当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D，则DE 长为
1
．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】过P 做BC 的平行线至AC 于F，通过求证△PFD 和△QCD 全等，推出FD=CD，再通
过证明△APF 是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得ED=
AC，即可推出ED 的长度．
【解答】解：过P 做BC 的平行线至AC 于F，
∴∠Q=∠FPD，
∵等边△ABC，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴△APF 是等边三角形，∴AP=PF，AP=CQ，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵在△PFD 和△QCD 中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，∵PE⊥AC 于E，△APF 是等边三角形，∴AE=EF，
∴AE+DC=EF+FD，
∴ED=
AC，∵AC=2，
∴DE=1．
故答案为1．
三、解答题（17 题6 分；18 题6 分；19 题6 分；20 题8 分；21 题8 分；22 题9 分；23 题9 分，共
52 分）
17．分解因式：
（1）
x2﹣
（2）（m
n
﹣）2
6
﹣（n
m
﹣）+9．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=
（x2
9
﹣）=
（x+3）（x
3
﹣）；
（2）原式=（m
n
﹣）2+6（m
n
﹣）+9=（m
n
﹣+3）2．
18．解不等式组：
．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：由①得，x≥
，由②得，x＞﹣2，
故不等式组的解集为：﹣2＜x≤
．
19．先化简
，然后从
中选取一个你认为合适的数
作为x 的值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先利用分式的运算方法进行化简，本题有两种方法：一是对括号里的式子先通分、
合并，再将后式除法变为乘法，分解因式后约分；二是先把后式除法变乘法，再利用乘法分配
律化简．在选值计算时，要保证在分式有意义的情况下选值．
【解答】解：原式=
=
，
∵x
1
﹣≠0，x+1≠0，∴x≠±1，
当x=
时，
原式=
．
20．如图Rt△ACB 中，已知∠BAC=30°，BC=2，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向
外作等边△ACD，等边△ABE． EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE 是平行四边形；
（2）求四边形ADFE 的周长．
【考点】平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；含30 度角的直角三角形．
【分析】（1）首先Rt△ABC 中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE 是等边三角
形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等
三角形的性质即可证明AC=EF，根据△ACD 是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且
AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形
ADFE 是平行四边形；
（2）直接利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出各边长即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵Rt△ABC 中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE 是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE 和Rt△BCA 中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
∵△ACD 是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE 是平行四边形；
（2）解：∵∠BAC=30°，BC=2，∠ACB=90°，
∴AB=AE=2，
∵AF=BF=
AB=1，
则EF=AD=
，
故四边形ADFE 的周长为：2+2+2
=4+2
．
21．某市从今年1 月1 日起调整居民家用水价格，每立方米水费上涨
，小刚家去年12 月份
的水费是15 元，而今年7 月份的水费是30 元，已知小刚家今年7 月份的用水量比去年12 月
份的用水量多5m3，求该市今年居民用水价格．
【考点】分式方程的应用．
【分析】求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系，本题的关键描述语是：今年7
月份的用水量比去年12 月份的用水量多5m3，等量关系为：7 月份的用水量﹣12 月份的用水
量=5m3．
【解答】解：设去年居民用水价格为x 元/立方米，则今年水费为x（1+
）元/立方米，
根据题意可列方程为：
﹣
=5
∴
，
∴
，
方程两边同时乘以2x，得：
45
30=10x
﹣
，
解得：x=1.5
经检验x=1.5 是原方程的解．
则x（1+
）=2
答：该市今年居民用水价格为2 元/立方米．
22．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点B 出
发，沿射线BC 的方向以每秒2 个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上
以每秒1 个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止
运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ 的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？
（3）分别求出当t 为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．
【考点】直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）S△QDP=
DQ•AB，由题意知：AQ=t，DQ=AD
AQ=16
t
﹣
﹣，将DQ 和AB 的长代入，
可求出S 与t 之间的函数关系式；
（2）当四边形PCDQ 为平行四边形时，PC=DQ，即16
t=21
2t
﹣
﹣，可将t 求出；
（3）当PD=PQ 时，可得：AD=3t，从而可将t 求出；当DQ=PQ 时，根据DQ2=PQ2即：t2+122=
（16
t
﹣）2可将t 求出．
【解答】（1）解：直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16，
依题意AQ=t，BP=2t，则DQ=16
t
﹣，PC=21
2t
﹣，
过点P 作PE⊥AD 于E，
则四边形ABPE 是矩形，PE=AB=12，
∴S△DPQ=
DQ•AB=
（16
t
﹣）×12=
6t
﹣+96．
（2）当四边形PCDQ 是平行四边形时，PC=DQ，
∴21
2t=16
t
﹣
﹣解得：t=5，
∴当t=5 时，四边形PCDQ 是平行四边形．
（3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12，
①当PD=PQ 时，QE=ED=
QD，
∵DE=16
2t
﹣，
∴AE=BP=AQ+QE，即2t=t+16
2t
﹣，
解得：t=
，
∴当t=
时，PD=PQ
②当DQ=PQ 时，DQ2=PQ2
∴t2+122=（16
t
﹣）2解得：t=
∴当t=
时，DQ=PQ
23．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF 有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M 是AF
的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME 的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）证法一：如答图1a 所示，延长AB 交CF 于点D，证明BM 为△ADF 的中位线即
可；
证法二：如答图1b 所示，延长BM 交EF 于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线
互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义
可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM 和△FDM 全等，再根据全等三角形对应边
相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三
角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明
MB∥CF 即可，
（2）解法一：如答图2a 所示，作辅助线，推出BM、ME 是两条中位线；
解法二：先求出BE 的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线
合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求
解即可；
（3）证法一：如答图3a 所示，作辅助线，推出BM、ME 是两条中位线：BM=
DF，ME=
AG；
然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；
证法二：如答图3b 所示，延长BM 交CF 于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行
求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得
AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM 和△FDM 全等，再根据全等三角形对应边相等
可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE 和△DFE 全等，根据全等三角形对应
边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出
∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．
【解答】（1）证法一：
如答图1a，延长AB 交CF 于点D，
则易知△ABC 与△BCD 均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B 为线段AD 的中点，
又∵点M 为线段AF 的中点，
∴BM 为△ADF 的中位线，
∴BM∥CF．
证法二：
如答图1b，延长BM 交EF 于D，
∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M 是AF 的中点，
∴AM=MF，
在△ABM 和△FDM 中，
，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE
BC
﹣
，DE=EF
DF
﹣
，
∴BE=DE，
∴△BDE 是等腰直角三角形，
∴∠EBM=45°，
∵在等腰直角△CEF 中，∠ECF=45°，
∴∠EBM=∠ECF，
∴MB∥CF；
（2）解法一：
如答图2a 所示，延长AB 交CF 于点D，则易知△BCD 与△ABC 为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=CD=
a，
∴点B 为AD 中点，又点M 为AF 中点，
∴BM=
DF．
分别延长FE 与CA 交于点G，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=
a，
∴点E 为FG 中点，又点M 为AF 中点，
∴ME=
AG．
∵CG=CF=
a，CA=CD=
a，
∴AG=DF=
a，
∴BM=ME=
×
a=
a．
解法二：如答图1b．
∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE
CB=2a
a=a
﹣
﹣
，
∵△ABM≌△FDM，
∴BM=DM，
又∵△BED 是等腰直角三角形，
∴△BEM 是等腰直角三角形，
∴BM=ME=
BE=
a；
（3）证法一：
如答图3a，延长AB 交CE 于点D，连接DF，则易知△ABC 与△BCD 均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，AC=CD，
∴点B 为AD 中点，又点M 为AF 中点，∴BM=
DF．
延长FE 与CB 交于点G，连接AG，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG，
∴点E 为FG 中点，又点M 为AF 中点，∴ME=
AG．
在△ACG 与△DCF 中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF=AG，
∴BM=ME．
证法二：
如答图3b，延长BM 交CF 于D，连接BE、DE，
∵∠BCE=45°，
∴∠ACD=45°×2+45°=135°
∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，
∴AB∥CF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M 是AF 的中点，
∴AM=FM，
在△ABM 和△FDM 中，
，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，BM=DM，
∴AB=BC=DF，
在△BCE 和△DFE 中，
，
∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，
∴△BDE 是等腰直角三角形，
又∵BM=DM，
∴BM=ME=
BD，
故BM=ME．
2016 年11 月9 日
