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八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题有12 小题，每小题3 分，共36 分）
1．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°
2．如图，木工师傅从边长为90cm 的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木
板的边长为（ ）
A．34cm B．32cm C．30cm D．28cm
3．如图，在等边三角形ABC 中，D 是AC 边上的中点，延长BC 到点E，使CE=CD，则∠E 的
度数为（ ）
A．15°
B．20°
C．30°
D．40°
4．如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D，交BC 于点E．已
知∠BAE=10°，则∠C 的度数为（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
5．不等式组
的整数解共有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
6．已知点P（3
m
﹣，m
1
﹣）在第二象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．不等式
的负整数解有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
8．如图，已知直线y1=x+m 与y2=kx
1
﹣相交于点P（﹣1，1），关于x 的不等式x+m＞kx
1
﹣的
解集是（ ）
A．x≥﹣1
B．x＞﹣1
C．x≤﹣1
D．x＜﹣1
9．已知△ABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，将△ABC 向右平移6 个单位，则平移后
A 点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．
（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
10．如图，若正六边形ABCDEF 绕着中心点O 旋转α 度后得到的图形与原来图形重合，则α
的最小值为（ ）
A．120° B．90°
C．45°
D．60°
11．如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB′C′的位置，
使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数为（ ）
A．25°
B．30°
C．50°
D．55°
12．如图，在4×4 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个
以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个
格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方
形的作法共有（ ）
A．2 种B．3 种C．4 种D．5 种
二、填空题（本大题有4 小题，每小题3 分，共12 分）
13．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC 于点D，则∠CBD=_______．
14．如图，∠ABC=50°，AD 垂直且平分BC 于点D，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E，连接
EC，则∠AEC 的度数是_______度．
15．直线y=2x+b 经过点（3，5），则关于x 的不等式2x+b≥0 的解集为_______．
16．如图，直线y=
x+4 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，把△A0B 绕点A 顺时针旋转90°
后得到△AO′B′，则点B′的坐标是_______．
三、解答题（本大题有7 小题，共52 分）
17．已知不等式5x
2
﹣＜6x+1 的最小正整数解是方程3x﹣
ax=6 的解，求a 的值．
18．某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1 元印刷费，另收500 元制版费；
乙印刷厂提出：每本收2 元印刷费，不收制版费．
（1）分别写出甲、乙两厂的收费y 甲（元）、y 乙（元）与印制数量x（本）之间的关系式；
（2）问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由．
19．P 为正方形ABCD 内一点，且AP=2，将△APB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到
△AP′D．
（1）作出旋转后的图形；
（2）试求△APP′的周长和面积．
20．如图①点A、B、C、D 在同一直线上，AB=CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE=DF．
（1）证明：EF 平分线段BC；
（2）若△BFD 沿AD 方向平移得到图②时，其他条件不变，
（1）中的结论是否仍成立？请说明
理由．
21．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE 的长；
（2）求△ADB 的面积．
22．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 延长线上的一点，线段BD 的垂直平方线EG
交AB 于点E，交BD 于点G．
（1）当∠B=30°时，AE 和EF 有什么关系？请说明理由；
（2）当点D 在BC 延长线上（CD＜BC）运动时，点E 是否在线段AF 的垂直平分线上？
23．如图，在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一
点，连接AP 交BC 于点E，连接BP 交AC 于点F．
（1）证明：∠CAE=∠CBF；
（2）证明：AE=BF；
（3）以线段AE，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG（点E 与点F 重合于点G），记
△ABC 和△ABG 的面积分别为S
ABC
△
和S
ABG
△
，如果存在点P，能使得S
ABC
△
=S
ABG
△
，求
∠ACB 的取值范围．
八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有12 小题，每小题3 分，共36 分）
1．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】本题难度中等，考查等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是
底角，因此要分类求解．
【解答】解：设两内角的度数为x、4x；
当等腰三角形的顶角为x 时，x+4x+4x=180°，x=20°；
当等腰三角形的顶角为4x 时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．
故选C．
2．如图，木工师傅从边长为90cm 的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木
板的边长为（ ）
A．34cm B．32cm C．30cm D．28cm
【考点】等边三角形的性质；多边形．
【分析】仔细分析题目，图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以求出
正六边形的周长就可求出正六边形的边长．
【解答】解：图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，
所以正六边形的周长是正三角形的周长的
，正六边形的周长为90×3×
=180cm，
所以正六边形的边长是180÷6=30cm．
故选C．
3．如图，在等边三角形ABC 中，D 是AC 边上的中点，延长BC 到点E，使CE=CD，则∠E 的
度数为（ ）
A．15°
B．20°
C．30°
D．40°
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质可得∠ACB=60°，∠CBD=30°，再根据等边对等角的性质求出
∠E=∠CDE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到∠E
的度数．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，D 是AC 中点，
∴∠ACB=60°，∠CBD=30°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠E=60°，
∴∠E=30°，
故选C．
4．如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D，交BC 于点E．已
知∠BAE=10°，则∠C 的度数为（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．
通过已知条件由∠B=90°，∠BAE=10°⇒∠AEB，
∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C．
【解答】解：∵ED 是AC 的垂直平分线，
∴AE=CE
∴∠EAC=∠C，
又∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠AEB=80°，
又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=40°．
故选：B．
5．不等式组
的整数解共有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x 的取值，根据x 是整数解得出x 的可能取值．
【解答】解：
，
解①得：x≥3，
则不等式组的解集是：3≤x＜5．
则整数解是3 和4，共2 个．
故选：B．
6．已知点P（3
m
﹣，m
1
﹣）在第二象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；点的坐标．
【分析】根据第二象限内点的坐标特点，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：已知点P（3
m
﹣，m
1
﹣）在第二象限，
3
m
﹣＜0 且m
1
﹣＞0，
解得m＞3，m＞1，
故选：A．
7．不等式
的负整数解有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【考点】一元一次不等式的整数解．
【分析】先求出不等式组的解集，再求不等式组的整数解．
【解答】解：去分母得，x
7
﹣+2＜3x
2
﹣，
移项得，﹣2x＜3，
解得x＞﹣
．
故负整数解是﹣1，共1 个．
故选A．
8．如图，已知直线y1=x+m 与y2=kx
1
﹣相交于点P（﹣1，1），关于x 的不等式x+m＞kx
1
﹣的
解集是（ ）
A．x≥﹣1
B．x＞﹣1
C．x≤﹣1
D．x＜﹣1
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】观察函数图象得到当x＞﹣1 时，直线y1=x+m 都在直线y2=kx
1
﹣上方，即x+m＞kx
1
﹣．
【解答】解：根据题意得当x＞﹣1 时，y1＞y2，
所以不等式x+m＞kx
1
﹣的解集为x＞﹣1．
故选B．
9．已知△ABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，将△ABC 向右平移6 个单位，则平移后
A 点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．
（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
【考点】坐标与图形变化-平移．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：原三角形中点A 的坐标是（﹣4，1），将△ABC 向右平移6 个单位后，平移后点的
横坐标变为﹣4+6=2，而纵坐标不变，
所以点A 的坐标变为（2，1）．
故选B．
10．如图，若正六边形ABCDEF 绕着中心点O 旋转α 度后得到的图形与原来图形重合，则α
的最小值为（ ）
A．120° B．90°
C．45°
D．60°
【考点】旋转对称图形．
【分析】先求出正六边形ABCDEF 的中心角，然后根据正六边形的性质可判定正六边形
ABCDEF 绕着中心点O 旋转60°的整数倍后得到的图形与原来图形重合．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF 的中心角的度数为
=60°，
∴正六边形ABCDEF 绕着中心点O 旋转60°的整数倍后得到的图形与原来图形重合．
故选D．
11．如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB′C′的位置，
使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数为（ ）
A．25°
B．30°
C．50°
D．55°
【考点】旋转的性质．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，
然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC 绕点A 旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°
2
﹣∠ACC′=180°
2
﹣×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
故选C．
12．如图，在4×4 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个
以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个
格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方
形的作法共有（ ）
A．2 种B．3 种C．4 种D．5 种
【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．
【分析】利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．
【解答】解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
则这个格点正方形的作法共有4 种．
故选：C．
二、填空题（本大题有4 小题，每小题3 分，共12 分）
13．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC 于点D，则∠CBD=18°．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC 的度数．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵BD⊥AC 于点D，
∴∠CBD=90°
72°=18°
﹣
．
故答案为：18°．
14．如图，∠ABC=50°，AD 垂直且平分BC 于点D，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E，连接
EC，则∠AEC 的度数是115 度．
【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质．
【分析】先由题意得出垂直平分线垂直且平分BC，BE=EC，由题意可得∠C=∠EBC=
×50°=25°，所以∠AEC=90°+25°=115°．易求解．
【解答】解：∵AD 垂直且平分BC 于点D，
∴BE=EC，
∴∠DBE=∠DCE，
又∵∠ABC=50°，BE 为∠ABC 的平分线，
∴∠EBC=∠C=
，
∴∠AEC=∠C+∠EDC=90°+25°=115°，
∴∠AEC=115°．
故答案为：115°．
15．直线y=2x+b 经过点（3，5），则关于x 的不等式2x+b≥0 的解集为x≥
．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】首先利用待定系数法计算出b 的值，进而得到不等式，再解不等式即可．
【解答】解：∵直线y=2x+b 经过点（3，5），
∴5=2×3+b，
解得：b=
1
﹣，
∴不等式2x+b≥0 变为不等式2x
1
﹣≥0，
解得：x≥
，
故答案为：x≥
．
16．如图，直线y=
x+4 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，把△A0B 绕点A 顺时针旋转90°
后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（7，3）．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，B′的横坐标等于OA+OB，而纵坐标等
于OA，进而得出B′的坐标．
【解答】解：直线y=﹣
x+4 与x 轴，y 轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点，
∵旋转前后三角形全等，∠O′AO=90°，∠B′O′A=90°
∴OA=O′A，OB=O′B′，O′B′∥x 轴，
∴点B′的纵坐标为OA 长，即为3，
横坐标为OA+OB=OA+O′B′=3+4=7，
故点B′的坐标是（7，3），
故答案为：（7，3）．
三、解答题（本大题有7 小题，共52 分）
17．已知不等式5x
2
﹣＜6x+1 的最小正整数解是方程3x﹣
ax=6 的解，求a 的值．
【考点】一元一次不等式的整数解；一元一次方程的解．
【分析】本题是关于x 的不等式，应先只把x 看成未知数，求得x 的解集，然后根据不等式最
小整数解是方程的解，进而求得a．
【解答】解：∵5x
2
﹣＜6x+1，
∴x＞﹣3，
∴不等式5x
2
﹣＜6x+1 的最小正整数解为x=1，
∵x=1 是方程3x﹣
ax=6 的解，
∴a=
2
﹣．
18．某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1 元印刷费，另收500 元制版费；
乙印刷厂提出：每本收2 元印刷费，不收制版费．
（1）分别写出甲、乙两厂的收费y 甲（元）、y 乙（元）与印制数量x（本）之间的关系式；
（2）问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）利用题目中提供的收费方式列出函数关系式即可；
（2）求出当两种收费方式费用相同的值，并以此为界作出正确的方案即可．
【解答】解：（1）y 甲=x+500，y 乙=2x；
（2）当y 甲＞y 乙时，即x+500＞2x，则x＜500，
当y 甲=y 乙时，即x+500=2x，则x=500，
当y 甲＜y 乙时，即x+500＜2x，则x＞500，
∴该学校印制学生手册数量小于500 本时应选择乙厂合算，当印制学生手册数量大于500 本
时应选择甲厂合算，当印制学生手册数量等于500 本时选择两厂费用都一样．
19．P 为正方形ABCD 内一点，且AP=2，将△APB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到
△AP′D．
（1）作出旋转后的图形；
（2）试求△APP′的周长和面积．
【考点】作图-旋转变换；三角形的面积．
【分析】（1）利用题意得出对应点P′的位置进而得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质求出周长和面积即可．
【解答】解：（1）如图所示：△AP′D 即为所求；
（2）∵AP=2，将△APB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AP′D，
∴AP′=AP=2，∠PAP′=90°，
∴PP′=2
，
故△APP′的周长为：2+2+2
=4+2
；
△APP′的面积为：
×2×2=2．
20．如图①点A、B、C、D 在同一直线上，AB=CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE=DF．
（1）证明：EF 平分线段BC；
（2）若△BFD 沿AD 方向平移得到图②时，其他条件不变，
（1）中的结论是否仍成立？请说明
理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；平移的性质．
【分析】（1）由AB=CD，利用等式的性质得到AC=BD，再由AE=DF，利用HL 得到直角三角
形ACE 与直角三角形DBF 全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=BF，再利用AAS 得
到三角形ECG 与三角形FBG 全等，利用全等三角形对应边相等得到BG=CG，即可得证；
（2）（1）中的结论成立，理由为：由AC=DB，利用等式的性质得到AC=BD，再由AE=DF，利
用HL 得到直角三角形ACE 与直角三角形DBF 全等，利用全等三角形对应边相等得到
EC=BF，再利用AAS 得到三角形ECG 与三角形FBG 全等，利用全等三角形对应边相等得到
BG=CG，即可得证．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，
在Rt△ACE 和Rt△DBF 中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），
∴CE=FB，
在△CEG 和△BFG 中，
，
∴△CEG≌△BFG（AAS），
∴CG=BG，即EF 平分线段BC；
（2）（1）中结论成立，理由为：
证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB
BC=CD
BC
﹣
﹣
，即AC=DB，
在Rt△ACE 和Rt△DBF 中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），
∴CE=FB，
在△CEG 和△BFG 中，
，
∴△CEG≌△BFG（AAS），
∴CG=BG，即EF 平分线段BC．
21．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE 的长；
（2）求△ADB 的面积．
【考点】角平分线的性质；勾股定理．
【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积．
【解答】解：（1）∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB=
=
=10，
∴△ADB 的面积为S△ADB=
AB•DE=
×10×3=15．
22．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 延长线上的一点，线段BD 的垂直平方线EG
交AB 于点E，交BD 于点G．
（1）当∠B=30°时，AE 和EF 有什么关系？请说明理由；
（2）当点D 在BC 延长线上（CD＜BC）运动时，点E 是否在线段AF 的垂直平分线上？
【考点】含30 度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出DE=BE，求出∠D=∠B=30°，根据三角形内角和
定理和三角形外角性质求出∠A=∠DEA=60°，即可得出答案；
（2）求出∠A=∠AFE，根据线段垂直平分线性质得出即可．
【解答】解：（1）AE=EF，
理由是：∵线段BD 的垂直平方线EG 交AB 于点E，交BD 于点G，
∴DE=BE，
∵∠B=30°，
∴∠D=∠B=30°，
∴∠DEA=∠D+∠B=60°，
∵在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴∠A=∠DEA=60°，
∴△AEF 是等边三角形，
∴AE=EF；
（2）点E 是在线段AF 的垂直平分线，
理由是：∵∠B=∠D，∠ACB=90°=∠FCD，
∴∠A=∠DFC，
∵∠DFC=∠AFE，
∴∠A=∠AFE，
∴EF=AE，
∴点E 是在线段AF 的垂直平分线．
23．如图，在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一
点，连接AP 交BC 于点E，连接BP 交AC 于点F．
（1）证明：∠CAE=∠CBF；
（2）证明：AE=BF；
（3）以线段AE，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG（点E 与点F 重合于点G），记
△ABC 和△ABG 的面积分别为S
ABC
△
和S
ABG
△
，如果存在点P，能使得S
ABC
△
=S
ABG
△
，求
∠ACB 的取值范围．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）证得△ACP≌△BCP 即可；
（2）加上（1）的结论，证得△ACE≌△BCF 即可；
（3）假设存在点P，能使得S
ABC
△
=S
ABG
△
，由（2）得到的AE=BF，则新三角形ABG 也为等腰三
角形，根据底边都为AB，面积相等，得到高相等，所以AC=AE，即三角形ACE 为等腰三角形，
则底角∠ACB 为锐角，即可得到∠ACB 的取值范围．
【解答】（1）证明：∵△ABC 是等腰三角形，CH 是底边上的高线，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△BCP．
∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．
（2）证明：∵在△ACE 与△BCF 中，
，
∴△ACE≌△BCF（ASA）．
∴AE=BF．
（3）解：∵由（2）知△ABG 是以AB 为底边的等腰三角形，
∴S
ABC
△
=S
ABG
△
．
∴AE=AC．
①当∠ACB 为直角或钝角时，在△ACE 中，不论点P 在CH 何处，均有AE＞AC，所以结论不
成立；
②当∠ACB 为锐角时，∠CAH=90°﹣
∠ACB，而∠CAE＜∠CAH，要使AE=AC，只需使
∠ACB=∠CEA，
此时，∠CAE=180°
2
﹣∠ACB，
只须180°
2
﹣∠ACB＜90°﹣
∠ACB，
解得：60°＜∠ACB＜90°．
2016 年9 月8 日
