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13.3 等腰三角形
13.4 课题学习 最短路径问题
专题一 等腰三角形的性质和判定的综合应用
1．如图在△ABC 中，BF、CF 是角平分线，DE BC
∥
，分别交AB、AC 于点D、E，DE 经过点F．
结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE； ③△ADE 的周长=AB+AC；
④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)
2．如图，在△ABC 中，AB=AC，点D、E、F 分别在边AB、BC、AC 上，且BE=CF，
AD+EC=AB．
（1）求证：△DEF 是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数；
（3）△DEF 可能是等腰直角三角形吗？为什么？
（4）请你猜想：当∠A 为多少度时，∠EDF+ EFD=120°
∠
，并请说明理由．
3．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE BC
⊥
，垂足
为D．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．
（3）如果BC=10，求AB+AE 的长．
专题二 等边三角形的性质和判定
4．如图，在等边△ABC 中，AC=9，点O 在AC 上，且AO=3，点P 是AB 上一动点，连接OP，
以O 为圆心，OP 长为半径画弧交BC 于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP 的长是
__________．
5．如图．在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O，且OD AB
∥
，OE AC
∥
．
（1）试判定△ODE 的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程．
6．如图，△ABC 中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N 分别从点A、点B 同时出发，沿三角
形的边运动，已知点M 的速度为1 cm/s，点N 的速度为2 cm/s．当点N 第一次到达B 点时，
M、N 同时停止运动．
（1）点M、N 运动几秒后，M、N 两点重合？
（2）点M、N 运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰三角形AMN？如存在，请
求出此时M、N 运动的时间．
专题三 最短路径问题
7．如图，A、B 两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a 表示输水总管道，直线b 表示输煤
气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B 两
幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点
A 关于直线b 的对称点，A′B 分别交b、a 于点C、D；点B′是点B 关于直线a 的对称点，B′A 分
别交b、a 于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（ ）
A．F 和C B．F 和E C．D 和C D．D 和E
8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A 、B 两个超市配货，那么这个基地
建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)
状元笔记
【知识要点】
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合
一”)．
2．等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．
3．等边三角形的性质和判定方法
性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4．直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【温馨提示】
1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结
论不一定成立．
2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个
锐角等于30°．
【方法技巧】
1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相
等时，可尝试用“等边对等角”．
2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条
线段相等时，可尝试用“等角对等边”．
3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之
间线段最短和三角形两边之和大于第三边．
参考答案:
1．①②③ 解析：∵DE BC
∥
，∴∠DFB= FBC
∠
，∠EFC= FCB
∠
．∵BF 是∠ABC 的平分线，CF
是∠ACB 的平分线，∴∠FBC= DBF
∠
，∠FCE= FCB
∠
．∴∠DBF= DFB
∠
，∠EFC= ECF
∠
，
∴△DFB，△FEC 都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC．∴△ADE
的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．综上所述，命题①②③正确．
2．解：(1)证明：∵AD+EC=AB，∴BD=CE．
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵BE=CF，
∴△BDE≌△CEF．
∴DE=EF，即△DEF 是等腰三角形．
(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C= 1
2
(180°－∠A)= 1
2
(180°－40°)=70°．
∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF．
∴∠DEF=180°－∠BED－∠CEF=180°－∠BED－∠BDE=∠B=70°．
(3)不能．∵∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF 不可能是等腰直角三角形．
(4)60°．理由：当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°．
∴∠EDF+ EFD=120°
∠
．
3．解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．
（2）AD 与BE 垂直．
证明：∵BE 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABE= DBE
∠
. 又∵∠BAE= BDE=90°
∠
，BE=BE，
∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合．
∴A、D 是对称点．
∴AD BE
⊥
．
（3）∵BE 是∠ABC 的平分线，DE BC
⊥
，EA AB
⊥
，
∴AE=DE．
在Rt
ABE
△
和Rt
DBE
△
中，
AE = DE
BE = BE
，
，
∴Rt
ABE Rt
DBE
△
△
≌
（HL）．
∴AB=BD．
又△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠C=45°．
又∵ED BC
⊥
，
∴△DCE 为等腰直角三角形．
∴DE=DC．
即AB+AE=BD+DC=BC=10．
4．6 解析：连接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD．∴∠DPO=60°．∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A= B=60°
∠
，AC=AB=9．∵∠OPA= PDB= DPA
∠
∠
－60°．∴△OPA
PDB
≌△
．∵AO=3，
AO=PB=3
∴
，∴AP=6．
5．解：（1）△ODE 是等边三角形，
其理由是：∵△ABC 是等边三角形，
ABC= ACB=60°
∴∠
∠
．
OD AB
∥
∵
，OE AC
∥
，
ODE= ABC=60°
∴∠
∠
，∠OED= ACB=60°
∠
．
ODE
∴△
是等边三角形．
（2）BD=DE=EC．
其理由是：∵OB 平分∠ABC，且∠ABC=60°，
ABO= OBD=30°
∴∠
∠
．
OD AB
∵
∥
，
BOD= ABO=30°
∴∠
∠
．
DBO= DOB
∴∠
∠
．
DB=DO
∴
．
同理，EC=EO．
DE=OD=OE
∵
，
BD=DE=EC
∴
．
6．解：（1）设点M、N 运动x 秒后，M、N 两点重合，
x×1+12=2x，
解得：x=12．
（2）设点M、N 运动t 秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，
∵三角形△AMN 是等边三角形，
t=12
∴
－2t．
解得t=4．
∴点M、N 运动4 秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，
由（1）知12 秒时M、N 两点重合，恰好在C 处，
如图②，假设△AMN 是等腰三角形，
AN=AM
∴
．
AMN= ANM
∴∠
∠
．
AMC= ANB
∴∠
∠
．
AB=BC=AC
∵
，
ACB
∴△
是等边三角形．
C= B
∴∠
∠．
在△ACM 和△ABN 中，
AC
AB
C
B
AMC
ANB
，
∠
∠，
∠
∠
，
ACM
ABN
∴△
△
≌
．
CM=BN
∴
．
设当点M、N 在BC 边上运动时，M、N 运动的时间y 秒时，△AMN 是等腰三角形，
CM=y
∴
－12，NB=36－2y，CM=NB．
y－12=36－2y，
解得：y=16．故假设成立．
∴当点M、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN，此时M、N 运动
的时间为16 秒．
7．A 解析：由轴对称－－最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B 关于a 的对称
点B′与A 的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A 关于b 的对称点A′与B 的连线的交
点C．故选A．
8．解：如图，作点B 关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C，则这个基地建在C 处，才
能使它到这两个超市的距离之和最小.
