平行线中的几何模型
第一篇
1
篇一 平行线中的几何模型
1
勤能补拙 熟能生巧
模型一 “猪蹄模型”
若
，则
证明：
如图所示，过点O 作
，则
，
模型二 “铅笔模型”
若
，则
证明：
如图所示，过点O 作
，则
，
模型三 “靴子模型”
若
，则
证明：
如图所示，过点O 作
，则
，
模型四 “尖尖角模型”
若
，则
证明：
如图所示，过点O 作
，则
，
a
b
∥
2
1
3
Ð = Ð + Ð
/ /
ON
a
1
MON
Ð
= Ð
/ /
a
b
!
/ /
ON
a
/ /
ON
b
\
3
NOQ
\Ð
= Ð
2
MON
NOQ
Ð = Ð
+ Ð
!
2
1
3
\Ð = Ð + Ð
a
b
∥
1
2
3
360
Ð + Ð + Ð =
°
/ /
ON
a
+ 1=180
MON
Ð
Ð
°
/ /
a
b
!
/ /
ON
a
/ /
ON
b
\
+ 3=180
NOQ
\Ð
Ð
°
2
MON
NOQ
Ð = Ð
+ Ð
!
1
2+ 3=360
\Ð + Ð
Ð
°
a
b
∥
1
2
3
Ð = Ð + Ð
/ /
ON
a
+ 1=180
MON
Ð
Ð
°
/ /
a
b
!
/ /
ON
a
/ /
ON
b
\
+ 3=180
NOQ
\Ð
Ð
°
+ 2
NOQ
MON
Ð
= Ð
Ð
!
+ 2+ 3=180
MON
\Ð
Ð
Ð
°
1
2+ 3
\Ð = Ð
Ð
a
b
∥
3
1
2
Ð = Ð + Ð
/ /
ON
a
+ 1=180
MON
Ð
Ð
°
/ /
a
b
!
/ /
ON
a
/ /
ON
b
\
+ 3=180
NOQ
\Ð
Ð
°
=
+ 2
MON
NOQ
Ð
Ð
Ð
!
+ 2+ 1=180
NOQ
\Ð
Ð
Ð
°
3
1+ 2
\Ð = Ð
Ð
篇一 平行线中的几何模型
2
持之以恒 水滴石穿
【总结】平行线辅助线作法——过拐点作平行.
模型五 “左右角模型”
若
，则
证明：
如图所示，分别过点
作直线
的平行线
，且
将
分别分为
由题意可知：
，
（猪蹄模型的结论）
，
……
，
上述等式左右两边分别加和可得：
模型六 “橡皮擦模型”
若
，则
证明：
如图所示，分别过点
作直线
的平行线
，且
将
分别分为
由题意可知：
，
，
……
，
上述等式左右两边分别加和可得：
a
b
∥
1
2
1
1
2
1
n
n
n
B
B
B
B
M
A
A
A
N
-
-
Ð
+ Ð
+
+ Ð
+ Ð
Ð
+ Ð
+ Ð
+
+ Ð
+ Ð
!!
!!
=
1
2
1
n
A
A
A -
!!
、
a
1
2
1
n
l
l
l -
!!
、
1
2
1
n
l
l
l -
!!
、
1
2
1
n
A
A
A -
Ð
Ð
Ð
!!
、
1
1
2
2
1
1
n
n
a
b
a
b
a
b
-
-
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
!!
、
，
、
，
、
1
2
1
/ / / /
/ /
/ /
n
a
l
l
l
b
-
!!
1
/ /
a
l
!
1
1
B
M
a
\Ð
= Ð
+Ð
1
2
/ /
l
l
!
2
1
2
B
b
a
\Ð
= Ð
+Ð
1 / /
nl
b
-
!
1
n
n
B
N
b -
\Ð
= Ð
+Ð
1
2
1
1
2
1
n
n
n
B
B
B
B
M
A
A
A
N
-
-
Ð
+ Ð
+
+ Ð
+ Ð
Ð
+ Ð
+ Ð
+
+ Ð
+ Ð
!!
!!
=
a
b
∥
1
2
1
180
n
M
A
A
A
N
n
-
Ð
+ Ð
+ Ð
+
+ Ð
+ Ð
=
°
!!
"
1
2
1
n
A
A
A -
!!
、
a
1
2
1
n
l
l
l -
!!
、
1
2
1
n
l
l
l -
!!
、
1
2
1
n
A
A
A -
Ð
Ð
Ð
!!
、
1
1
2
2
1
1
n
n
a
b
a
b
a
b
-
-
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
!!
、
，
、
，
、
1
2
1
/ / / /
/ /
/ /
n
a
l
l
l
b
-
!!
1
/ /
a
l
!
1=180
M
a
\Ð
+Ð
°
1
2
/ /
l
l
!
1
2=180
b
a
\Ð
+Ð
°
1 / /
nl
b
-
!
1
=180
n
N
b -
\Ð
+Ð
°
1
2
1
180
n
M
A
A
A
N
n
-
Ð
+ Ð
+ Ð
+
+ Ð
+ Ð
=
°
!!
"
第二篇
三角形中的几何模型
2
篇二 三角形中的几何模型
1
勤能补拙 熟能生巧
模型一 “8 字”模型
结论：
证明：
①
∠BOD 是△ABO 和△COD 的外角
②
在△ABO 中，OA+OB>AB
在△COD 中，OC+OD>CD
OA+OB +OC+OD>AB+CD
即AD+BC>AB+CD
模型二 飞镖模型
结论：
证明：如图，延长BD 交AC 于点E
①根据三角形的外角性质：
∠BEC＝∠A+∠B，
∠BDC＝∠BEC+∠C，
∠BDC=∠A+∠B+∠C
②根据三角形两边之和大于第三边：
，
A
B
C
D
Ð + Ð
= Ð
+ Ð
①
AD
BC
AB
CD
+
>
+
②
!
BOD
A
B
C
D
\Ð
= Ð + Ð
Ð
+ Ð
=
A
B
C
D
\Ð + Ð
= Ð
+ Ð
!
\
D
A
B
C
Ð
= Ð + Ð + Ð
①
AB
AC
BD
CD
+
>
+
②
\
AB
AE
BD
DE
+
>
+
DE
EC
CD
+
>
\ AB
AE
DE
EC
BD
DE
CD
+
+
+
>
+
+
\ AB
AC
BD
CD
+
>
+
篇二 三角形中的几何模型
2
持之以恒 水滴石穿
模型三 “角平分线+飞镖”模型
内内飞镖
BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的
角平分线，则：
证明：
根据飞镖模型的结论可知：
分别是
和
的角平分线
内外飞镖
BP 是∠ABC 的角平分线，CP 是
∠ACB 的外角平分线，则：
证明：
由外角定理得：
∠PCD＝∠P+∠PBC，
∠ACD＝∠A+∠ABC，
平分
,
平分
,
外外飞镖
BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的
外角平分线，则：
证明：
由外角定理得：
∠DBC＝∠A+∠ACB，
∠BCE＝∠A+∠ABC，
平分
,
平分
,
1
90
2
P
A
Ð
=
° +
Ð
P
A
ABP
ACP
Ð
= Ð + Ð
+ Ð
BP
CP
!
、
ABC
Ð
ACB
Ð
1
=
(
)
2
1 (180
)
2
ABP
ACP
ABC
ACB
A
\Ð
+ Ð
Ð
+ Ð
=
° - Ð
1
90
2
P
A
\Ð
=
° +
Ð
1
2
P
A
Ð
=
Ð
BP
!
ABC
Ð
CP
ACD
Ð
\
1
2
PBC
ABC
Ð
=
Ð
1
2
PCD
ACD
Ð
=
Ð
1
1
(
)
2
2
P
PCD
PBC
ACD
ABC
A
\Ð
= Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
=
Ð
1
90
2
P
A
Ð
=
° -
Ð
180
DBC
BCE
A
\Ð
+ Ð
= Ð +
°
BP
!
DBC
Ð
CP
BCE
Ð
\
1
2
PBC
DBC
Ð
=
Ð
1
2
PCB
BCE
Ð
=
Ð
1
90
2
PBC
PCB
A
\Ð
+ Ð
=
° +
Ð
1
90
2
P
A
\Ð
=
° -
Ð
P
C
B
A
第三篇
全等三角形中的几何模型
3
篇三 全等三角形中的几何模型
1
勤能补拙 熟能生巧
模型一 手拉手模型
模型特点：共顶点+等线段+顶角相等
条
件
：
，
，
结论：
证明：
在
和
中
常见应用图形
等边三角形
图①
图②
图③
条件：
和
是等边三角形
结论：①
②
③连接AO，AO 平分
证明：
如图①所示：
和
是等边三角形
在
和
中
如图②所示：
在
和
中
如图③，过点A 作
，
，
AO 平分
AB
AC
=
AD
AE
=
BAC
DAE
Ð
= Ð
ABD
ACE
D
D
≌
BAC
DAE
Ð
= Ð
!
BAD
CAE
\Ð
= Ð
ABD
D
ACE
D
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
(SAS)
ABD
ACE
\D
D
≌
ABC
D
ADE
D
ABD
ACE
D
D
≌
60
BOC
BAC
DAE
Ð
= Ð
= Ð
=
°
BOE
Ð
ABC
D
!
ADE
D
,
,
60
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
\
=
=
Ð
= Ð
=
°
BAD
CAE
\Ð
= Ð
ABD
D
ACE
D
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
(SAS)
ABD
ACE
\D
D
≌
ABD
ACE
D
D
!
≌
ABD
ACE
\Ð
= Ð
ABH
D
COH
D
180
ABD
BAC
BHA
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
180
BOC
CHO
ACE
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
BHA
CHO
Ð
= Ð
!
60
BOC
BAC
\Ð
= Ð
=
°
AM
BD
^
AN
CE
^
ABD
ACE
D
D
!
≌
,
ABD
ACE
BD
CE S
S
D
D
\
=
=
1
1
,
2
2
ABD
ACE
S
BD
AM S
CE
AN
D
D
•
=
•
!
=
AM
AN
\
=
\
BOE
Ð
篇三 全等三角形中的几何模型
2
持之以恒 水滴石穿
等边三角形
图①
图②
条件：
和
是等边三角形，
且B、A、E 三线共线
结论：①
②
③连接AO，AO 平分
④
(
是等边三角形)
⑤
(或
)
证明：
结论①②③的证法同上.
如图①，连接MN
和
是等边三角形
B、A、E 三点共线
在
和
中
是等边三角形，
如图②所示，在OB 上取
，连
接CP
是等边三角形
在
和
中
同理可证：
ABC
D
ADE
D
ABD
ACE
D
D
≌
60
BOC
BAC
DAE
Ð
= Ð
= Ð
=
°
BOE
Ð
/ /
MN
AB
AMN
D
OB
OA
OC
=
+
OE
OA
OD
=
+
ABD
ACE
D
D
!
≌
ADB
AEC
\Ð
= Ð
ABC
D
!
ADE
D
60
AD
AE
BAC
DAE
\
=
Ð
= Ð
=
°
，
!
180
60
DAC
BAC
DAE
\Ð
=
° - Ð
- Ð
=
°
DAM
D
EAN
D
DAC
DAE
AD
AE
ADB
AEC
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
(ASA)
ADM
AEN
\D
D
≌
AM
AN
\
=
AMN
\D
60
NMA
BAC
\Ð
=
° = Ð
/ /
MN
AB
\
OP
OC
=
60 ,
BOC
OP
OC
Ð
=
°
=
!
OPC
\D
60 ,
OCP
CP
CO
\Ð
=
°
=
BCP
ACO
\Ð
= Ð
BCP
D
ACO
D
BC
AC
BCP
ACO
CP
CO
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
(SAS)
BCP
ACO
\D
D
≌
BP
OA
\
=
OB
OP
BP
OC
OA
\
=
+
=
+
OE
OA
OD
=
+
篇三 全等三角形中的几何模型
3
勤能补拙 熟能生巧
常见应用图形
等腰直角三角形
条件：
和
是等腰直角三角形
结论：①
②
且
③连接AO，AO 平分
证明：
证法同等边三角形.
正方形
条件：正方形
和正方形
结论：①
②
且
③连接AO，AO 平分
证明：
证法同等边三角形.
顶角相等的等腰三角形
条件：
和
是等腰三角形
且
结论：①
②
③连接AO，AO 平分
证明：
证法同等边三角形.
ABC
D
ADE
D
ABD
ACE
D
D
≌
BD
CE
=
BD
CE
^
COD
Ð
ABCD
AEFG
ADE
ABG
D
D
≌
BG
DE
=
BG
DE
^
BOE
Ð
ABC
D
ADE
D
BAC
DAE
a
Ð
= Ð
=
ABD
ACE
D
D
≌
BOC
a
Ð
=
BOE
Ð
篇三 全等三角形中的几何模型
4
持之以恒 水滴石穿
篇三 全等三角形中的几何模型
5
勤能补拙 熟能生巧
模型二 半角模型
模型特点：共顶点+等线段+顶角含半角
条件：
，
问题：探究
、
、
三条线段
间的大小关系
辅助线作法：旋转凑等角
常见应用图形
60°含30°
条件：
是等边三角形，
D、E 是边BC 上两点，且
结论：
证明：
如图所示，将
绕点A 逆时针旋
转
得到
，连接EF
是等边三角形，
在
和
中
在
中,
120°含60°
条件：
，
，
D、E 是边BC 上两点，且
结论：
证明：
证法同上.
AB
AC
=
1
2
DAE
BAC
Ð
=
Ð
BD
DE
CE
ABC
D
30
DAE
Ð
=
°
BD
CE
DE
+
>
ABD
D
60°
ACF
D
ABC
D
!
30
DAE
Ð
=
°
30
BAD
CAE
\Ð
+ Ð
=
°
ACF
ABD
D
D
!
≌
,
,
FA
DA CF
BD
FAC
BAD
\
=
=
Ð
= Ð
30
FAE
DAE
\Ð
=
° = Ð
DAE
D
FAE
D
AD
AF
DAE
FAE
AE
AE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
(SAS)
DAE
FAE
\D
D
≌
EF
DE
\
=
!
CEF
D
CF
CE
EF
+
>
BD
CE
DE
\
+
>
AB
AC
=
120
BAC
Ð
=
°
60
DAE
Ð
=
°
BD
CE
DE
+
>
篇三 全等三角形中的几何模型
6
持之以恒 水滴石穿
90°含45°
条件：等腰
中，
，
D、E 是边BC 上两点，且
结论：
证明：
证法同上.
Rt ABC
D
90
BAC
Ð
=
°
45
DAE
Ð
=
°
BD
CE
DE
+
>
篇三 全等三角形中的几何模型
7
勤能补拙 熟能生巧
常见应用图形
90°含45°
条件： E、F 是正方形ABCD 的边BC、CD
上的点，且
结论：①
②
的周长等于正方形边长的2
倍
③若
,则
④
证明：
如图所示，延长EB 至点M，使
BM=DF，连接AM
四边形ABCD 是正方形
AB=AD，∠D=∠ABC=90°
∠ABM=90°
BM=DF
(SAS)
,
,即
(SAS)
又
90°含45°
条件： E、F 是正方形ABCD 的边CB、DC
延长线上的点，且
结论：①
②
的周长等于DF 的2 倍
③若
,则
④
证明：
证法同上.
45
EAF
Ð
=
°
EF
BE
DF
=
+
CEF
D
AH
EF
^
AH
AB
=
AEF
ABE
ADF
S
S
S
D
D
D
=
+
!
\
\
!
ABM
ADF
\D
D
≌
AM
AF
\
=
BAM
DAF
Ð
= Ð
90
45
BAD
EAF
Ð
=
°
Ð
=
°
!
，
45
BAE
DAF
\Ð
+ Ð
=
°
45
BAE
BAM
\Ð
+ Ð
=
°
45
MAE
Ð
=
°
MAE
FAE
\D
D
≌
2
CEF
EF
EM
BE
DF
C
CE
EF
CF
CE
BE
DF
CF
BC
CD
BC
D
\
=
=
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
=
,
AEM
AEF
S
S
ME
EF
D
D
=
=
!
AB
AH
\
=
ABM
DAF
S
S
D
D
=
!
AEF
ABE
ADF
S
S
S
D
D
D
\
=
+
45
EAF
Ð
=
°
EF
DF
BE
=
-
CEF
D
AH
EF
^
AH
AB
=
AEF
ADF
ABE
S
S
S
D
D
D
=
-
篇三 全等三角形中的几何模型
8
持之以恒 水滴石穿
模型三 一线三垂直模型
条件：
,
,
且
结论：①
②
证明：
∵
,
,
∵
,
条件：
,
,
且
结论：①
②
证明：
证法同上.
条件：
,
,
且
结论：①
②
证明：
证法同上.
AB
BD
^
DE
BD
^
AC
CE
^
AC
CE
=
ABC
CDE
D
D
≌
AB
DE
BD
+
=
AB
BD
^
DE
BD
^
90
B
D
\Ð
= Ð
=
°
90
A
ACB
\Ð + Ð
=
°
AC
CE
^
90
ACE
\Ð
=
°
90
DCE
ACB
\Ð
+ Ð
=
°
DCE
A
\Ð
= Ð
AC
CE
=
!
(AAS)
ABC
CDE
\D
D
≌
,
AB
CD BC
DE
\
=
=
AB
DE
BD
\
+
=
AB
BD
^
DE
BD
^
AC
BE
^
AC
BE
=
ABC
BDE
D
D
≌
AB
DE
CD
-
=
AB
BE
^
DE
BD
^
AC
BD
^
AB
BE
=
ABC
BED
D
D
≌
AC
DE
CD
-
=
篇三 全等三角形中的几何模型
9
勤能补拙 熟能生巧
模型延伸 一线三等角
条件：
,
结论：①
;②
证明：
,
,
,
条件：
,
结论：①
;
②
证明：
证法同上.
条件：
,
结论：①
;②
证明：
证法同上.
A
DCE
B
a
Ð
= Ð
= Ð
=
AC
BE
=
ACD
BEC
D
D
≌
AD
BE
AB
+
=
A
a
Ð
=
!
180
D
ACD
a
\Ð
+ Ð
=
° -
DCE
a
Ð
=
!
180
ACD
BCE
a
\Ð
+ Ð
=
° -
BCE
D
\Ð
= Ð
A
B
Ð
= Ð
!
AC
BE
=
(AAS)
ACD
BEC
\D
D
≌
AD
BC
\
=
AB
AC
BC
AD
BE
\
=
+
=
+
ABC
E
AFD
a
Ð
= Ð
= Ð
=
AC
BD
=
ABC
BED
D
D
≌
AB
DE
CE
-
=
ABE
ACD
EDF
a
Ð
= Ð
= Ð
=
AB
BE
=
ABC
BED
D
D
≌
AC
DE
CD
-
=
篇三 全等三角形中的几何模型
10
持之以恒 水滴石穿
模型四 婆氏模型
条件：△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，
连接BE、CD，
,延长HA
交CD 于点M
结论： ①CM=DM
②
③
证明：
如图所示，过点C、D 作直线HM 的垂
线，分别交于点P、Q
易证
，
（一线三垂直模型）
，
，
条件：已知正方形ABCD 和AEFG，连接
BG、DE
是DE 中点，延长MA 交
BG 于点H
结论： ①
；
②
；
③
证明：
如图所示，延长AM 至点N，使得
MN=AM，则
BG=AN，AN=2AM，
即
注：垂直推中点（构造一线三垂直）；中点推垂直（倍长中线）
AH
BE
^
1
= 2
AM
BE
=
ABE
ACD
S
S
D
D
ADQ
EAH
D
D
≌
ACP
BAH
D
D
≌
,
DQ
AH CP
AH
\
=
=
CP
DQ
\
=
(AAS)
CPM
DQM
\D
D
≌
CM
DM
\
=
,
,
AQ
HE AP
BH MQ
MP
=
=
=
!
1 (
)
2
1
1
(
)
2
2
AM
AQ
MQ
EH
BH
AQ
BH
EH
BE
\
=
+
=
+
-
=
+
=
CPM
DQM
D
D
!
≌
ADQ
EAH
D
D
≌
ACP
BAH
D
D
≌
ABE
ABH
AEH
ACP
ADQ
ACM
ADM
ACD
S
S
S
S
S
S
S
S
D
D
D
D
D
D
D
D
\
=
+
=
+
=
+
=
M
AH
BG
^
1
= 2
AM
BG
=
ABG
ADE
S
S
D
D
DMN
EMA
D
D
≌
,
DN
AE
AG
N
MAE
\
=
=
Ð
= Ð
/ /
DN
AE
\
180
ADN
DAE
BAG
\Ð
=
° - Ð
= Ð
AD
AB
=
!
(SAS)
ADN
BAG
\D
D
≌
BAG
ADN
ADM
AME
ADE
S
S
S
S
S
D
D
D
D
D
\
=
+
=
=
!
1
2
AM
BG
\
=
90
DAN
BAH
DAN
ABH
Ð
+ Ð
=
°
Ð
Ð
!
，
=
90
ABH
BAH
\Ð
+ Ð
=
°，
90
AHB
\Ð
=
°，AH
BG
^
篇三 全等三角形中的几何模型
11
勤能补拙 熟能生巧
模型条件弱化
特点：共顶点+等线段+顶角互补
条件：已知AB=AC，AD=AE，连接BG、
DE，
，
是
DE 中点
结论： ①
；②
证明：
证法同上.
180
BAC
DAE
Ð
+ Ð
=
°
M
1
= 2
AM
BD
=
ABD
ACE
S
S
D
D
第四篇
全等三角形中的经典辅助线
4
篇四 全等三角形中的经典辅助线
1
勤能补拙 熟能生巧
倍长中线
遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造“8 字形”全等三角形．
条件：△ABC 中，点D 是BC 的中点
方法：延长AD 到E，使DE=AD
结论：①△ABD≌△ECD；②AB//CE
证明：
点D 是BC 边上的中点
BD=CD
DE=AD，且∠EDC=∠ADB
△ABD≌△ECD（SAS）
∠ABD=∠ECD
AB//CE
条件：△ABC 中，点D 是BC 的中点，
E 是AC 边上任意一点
方法：延长ED 到F，使DF=DE
结论：①△BDF≌△CDE；②BF//CE
证明：
证法同上.
条件：如图，
，点D 是BC 的中点
方法：延长AD 交
于点E
结论：△ABD≌△ECD
证明：
点D 是BC 的中点
BD=CD
△ABD≌△ECD(ASA)
!
\
!
\
\
\
1
2
/ /
l
l
2l
!
\
1
2
/ /
l
l
!
ABD
ECD
\Ð
= Ð
ADB
EDC
Ð
= Ð
!
\
篇四 全等三角形中的经典辅助线
2
持之以恒 水滴石穿
截长补短
截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条
线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，
适合于证明线段的和、差、倍、分等关系的题目．若题目条件或求证结论中含有
“
”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.
角平分线辅助线作法
作
双
垂
条件：已知
，
方法：作
于
结论：
证明：
在
和
中
取
等
长
线
条件：已知
，
是OA 上一点
方法：在
上取
，连接CE
结论：
证明：
在
和
中
垂
穿
条件：已知
，
方法：延长DC 交OB 于点E
结论：
证明：
在
和
中
平
行
出
等
腰
条件：
，
交
于
结论：
为等腰三角形（
）
证明：
为等腰三角形且
a
b
c
=
+
1
2
Ð = Ð
CD
OA
^
CE
OB
^
E
OCD
OCE
D
D
≌
OCD
D
OCE
D
1
2
CDO
CEO
OC
OC
Ð
= Ð
ì
ïÐ = Ð
í
ï
=
î
(AAS)
OCD
OCE
\D
D
≌
1
2
Ð = Ð
D
OB
OE
OD
=
OCD
OCE
D
D
≌
OCD
D
OCE
D
1
2
OD
OE
OC
OC
=
ì
ïÐ = Ð
í
ï
=
î
(SAS)
OCD
OCE
\D
D
≌
1
2
Ð = Ð
DC
OC
^
OCD
OCE
D
D
≌
OCD
D
OCE
D
1
2
OC
OC
OCD
OCE
Ð = Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
(ASA)
OCD
OCE
\D
D
≌
3
2
1
O
D
C
B
A
1
2
Ð = Ð
/ /
CD
OB
OA
D
ODC
D
OD
CD
=
/ /
CD
OB
!
2
3
\Ð = Ð
1
2
Ð = Ð
!
1
3
\Ð = Ð
ODC
\D
OD
CD
=
O
E
D
C
B
A
2
1
第五篇
轴对称中的经典构造
5
篇五 轴对称中的经典构造
1
勤能补拙 熟能生巧
类型一 线段和最小
问题描述：如图，在上找一点
，使
最小
作图：
原理说明：两点之间，线段最短
问题描述：如图，在上找一点
，
使
最小
作图：
原理说明：①轴对称的性质
②两点之间，线段最短
问题描述：如图，点
在锐角
的内部，在
边上求作一点
，在
边上求作一点
，使
的周长最小
作图：
原理说明：①轴对称的性质
②两点之间，线段最短
问题描述：如图，点
、
在锐角
的内部，在
边上求作一点
，在
边上求作一点
，使四边
形
周长最小.
作图：
原理说明：①轴对称的性质
②两点之间，线段最短
l
P
PA
PB
+
l
B
A
l
P
PA
PB
+
A
B
l
P
AOB
Ð
OA
C
OB
D
PCD
D
P
O
B
A
C
D
AOB
Ð
OA
E
OB
F
CEFD
O
D
C
B
A
篇五 轴对称中的经典构造
2
持之以恒 水滴石穿
类型一 线段和最小
问题描述：如图，点
在锐角
的内
部，在
边上求作一点
，在
边上求
作一点
，使
最小
作图：
原理说明：①轴对称的性质
②垂线段最短
问题描述：如图，在一组平行线
1、
2 两
侧各有两点
、
，在
1、
2 间找一条线
段MN，使
⊥
1 并且使得
AM+MN+NB 之和最短．
作图：
原理说明：①平移的性质
②两点之间，线段最短
问题描述：如图，直线外有两点
、
有一定长线段
，在直线上找到点
、
,
间的距离等于定长
，使得四边形
的周长最小
作图：
原理说明：①平移的性质；
②轴对称的性质；
③两点之间，线段最短
P
AOB
Ð
OB
D
OA
C
PD
CD
+
A
B
O
P
l
l
A
B
l
l
MN
l
N
M
B
A
l2
l1
l
A
B
a
M
N MN
a
AMNB
篇五 轴对称中的经典构造
3
勤能补拙 熟能生巧
类型二 线段差的最值
问题描述：如图，在上找一点
，使
最大.
作图：
原理：三角形两边之差小于第三边
问题描述：如图，在上找一点
，使
最大.
作图：
原理：①轴对称的性质
②三角形两边之差小于第三边
问题描述：如图，在上找一点
，使
最小.
作图：
原理：①绝对值的非负性
②线段垂直平分线上的点到线段两端点
的距离相等
【总结】轴对称辅助线作法——作点关于线的对称点，连接另一点.
l
P
PA
PB
-
l
P
PA
PB
-
A
B
l
l
P
PA
PB
-
A
B
l
