文档文本内容
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用函数观点看方程（组）与不等式
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1、能用函数观点看一次方程（组）、不等式；
2、能用辩证的观点认识一次函数与一次方程、不等式的区别与联系；
3、在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化思想.
1．一次函数与一元一次方程
由于任何一元一次方程都可以转为
（
为常数，
）的形式，所以解一元一
次方程可转化为：当某一个函数的值为0 时，求__________的值.从图像上看，这相当于已知直线
，确定它与轴交点的横坐标的值.
2. 一次函数与不等式
由于任何一元一次不等式都可以转为
或
（
为常数，
）的形式，
所以解一元一次不等式可看作：当一次函数的值_________时，求自变量相应的取值范围.
3．一次函数与二元一次方程组
一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是对应两条直线.从“数”的角度看，
解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从的“形”角度
看，解方程组相当于确定两条直线_________的坐标.
参考答案：
1. 相应的自变量
2. 大（小）于0
3. 交点
2
1、解一次函数与一元一次方程
【例1】一个物体现在的速度是5 米/秒，其速度每秒增加2 米/秒，再过几秒它的速度是17 米/秒？
【解析】应用一次函数的与一元一次方程的方法即可求解.
解法1：设再过
秒物体的速度是17 米/秒，列方程得
解法2：速度
（单位：米/秒）是时间
（单位：秒）的函数
由
∴
由下图可看出直线
与
轴的交点为（6,0），得
总结：
解一元一次方程可转化为：当某一个函数的值为0 时，求相应的自变量的值.从图像上看，这
相当于已知直线
，确定它与轴交点的横坐标的值.
练1. 将方程
全部的解写成坐标
的形式，那么用全部的坐标描出的点都在直线（
）上.
A.
B.
C.
D.
【解析】将方程转化成直线
的形式，即可求解.
解： ∵
3
∴
故选C.
练2. （2015 春•启东市校级月考）一次函数
和
的图像的交点坐标是
_____________.
【解析】采用带入法，将其中一个一次函数带入另一个，即可求解坐标.
解： 将
代入
，得
∴
∴交点坐标为（2，-3）.
2．解一次函数与一元一次不等式
【例2】用画函数图像的方法解不等式
.
【解析】化简不等式，再画出一次函数图像，结合图像即可求解.
解法1：原不等式为
，画出直线
，可看出，当
时这条直线上
的点在轴的下方，即这时
，所以不等式的解集为
.
解法2 ：将原不等式为的两边分别看作两个一次函数，画出直线
与
，可看出，它们的交点的横坐标为2，当时，对于同一个，直线上的点在直线上
相应点的下方，这时，所以不等式的解集为
.
4
总结
把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，数形结合即可求解.
练3.如图，直线
与
轴交于点（-4,0），则
时，
的取值范围是______.
【解析】结合图象，满足
时，即直线位于
轴的上方部分，即可求解.
解： ∵直线与
轴交于点（-4,0），
结合图象特点，
∴当
时，
.
练4. （2014 春•江宁区校级月考）一次函数
的图象如下图，则当
________时，
.
【解析】根据函数图象特殊点（-2,4），即可求解.
解： 由图象可知，直线过点（-2,4），
5
∴当
时，
.
3．一次函数与二元一次方程组
【例3】一家电信公司给顾客提供上网费的两种计费方式：方式A 以每分0.1 元的价格按上网时间
计费；方式B 除收月基本费20 元外，再以每分0.05 元的价格按上网时间计费.上网时间为多少分，
两种方式的计费相等？
【解析】计费与上网时间有关，所以可设上网时间为
分，分别写出两种计费方式的函数模型，
然后再考虑自变量为何值时两个函数的值相等．
解：设上网时间为
分
方式A 的计费
元；按方式B 的计费
元.
在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图像.
两个函数的图象交于点（400,40），这表示当时，两个函数的值都等于40.
因此，上网时间为400 分，两种方式的计费相等（都是40 元）.
总结
方程组、不等式与函数之间的相互联系，用函数观点可以把它们统一起来.解决问题时，应根
据具体情况灵活地把它们结合起来考虑.
练5. 如下图，
反映了某公司的销售收入与销售量的关系，
反映了该公司产品的销售成本
与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（ ）
A.
小于3 吨 B. 小于4 吨 C. 大于3 吨 D. 大于4 吨
6
【解析】根据图象两直线交点的坐标，赢利时即为
的
值大于的
的
值.
解： 由题意可知，要使得公司赢利，
即
的
值大于的
的
值
∴
∴选D.
练6. （2015 春•天一学校期中）一次函数
与
的图象如下图，则当
____时，
；当
_____时，
;当
_______时，
.
【解析】根据两个函数图象的交点坐标，即可求解.
解： 由图象可知，两函数的交点坐标为（1，-3）
当
时，
;
当
时，
;
当
时，
.
【例4】小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函
数的图象L1，L2，如图所示，他解的这个方程组是（ ）.
A．
B．
C．
D．
7
【解析】根据函数图象特殊点坐标，即可求解．
解：由图象可知，两个函数均过点（2,-2）
且直线L1 过点（1,0），直线L2 过点（-2，0）
∴将点坐标带入选项中的一次函数，即可得，
故选D.
练7．如下图，已知函数
和
的图象交点为P，则不等式
的解
集为_____________.
【解析】根据图象交点坐标，求出直线
在直线
上方的部分即可．
解：由图象交点横坐标可知，
时，两直线的值相等，
∴当
时，
.
练8．（2015•济宁市联考）如图，一次函数的图象经过A,B 两点，则
的解集是（
）.
A.
B.
C.
D.
8
【解析】根据一次函数直线特殊点坐标，求出直线位于
轴上方的部分，即可求解．.
解：由图象可知，直线过点A（-3,0），B（0，2）
要使
，即
故选C.
【例5】已知如图，一次函数
的图象与
轴交于点M，则点M 的横坐标
_______.
（1）
若
，则当
时，
_____0；当
时，
_____0；
（2）
若
，则当
时，
_____0；当
时，
_____0；
【解析】根据函数图象，与
轴交点坐标，及为当
时，求出方程的解即可．
解：由函数图象可知，当
时，即
，故
（1）
若
，则当
时，
；当
时，
；
（2）
若
，则当
时，
；当
时，
总结：
利用一次函数直线与
轴的交点坐标，即可求出
与0 的大小关系.
练9．已知直线
和
，若它们的交点在第四象限内，求
的取值范
围.
【解析】可以根据已知条件列出方程组解题．
9
解：依题意有
则解得
因为两条直线的交点在第四象限内，
∴
∴
，
即
的取值范围是
练10．已知直线
经过点
，且与坐标轴围成的三角形的面积为
，求该直线的
函数解析式．
【解析】由点
在直线
上，可以得到一个关于
的方程，再求出直线与两
坐标轴的交点坐标，由三角形面积为
可列出第二个方程，由两个方程组成的方程组可以解出
的值．
解：∵直线
过点
，
∴
∵直线与
轴、
轴的交点坐标分别为
（O 为原点），
∴
，
由①和②组成的方程组解得
，
10
∴
，
则所求直线的解析式为
或
．
4. 实际应用题
【例6】．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4 分钟内只进水不出水，在随后的8 分
钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量
（单位：升）与时间
（单位：分）之间的关系如图所示.
（1）
求
时
随
变化的函数关系式.
（2）
求
时
随
变化的函数关系式.
（3）
每分钟进水、出水各多少升？
【解析】根据容器内每分钟水量=进水量-出水量建立关系式，再根据前4 分钟只有进水，即可
得到进水的函数关系式，结合图象特殊点坐标，即可求解．
解：由函数图象可知，
（1）当
时，直线过点（0,0）、（4,20）；
∴
（2）当
时，直线过点（4,20）、（12,30）
∴
（3）每分钟进水量=
L；
11
每分钟出水量
=
L.
练11．如图，某公司专销A 产品，第一批A 产品上市40 天内全部售完，该公司对第一批A 产品
上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中甲图中的折线表示的是市场日销
售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件A 产品的销售利润与上市时间的关系.
（1）
试写出第一批A 产品的市场日销售量与上市时间的关系式：
（2）
第一批A 产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
【解析】根据图象特殊点坐标，对应
的变化范围建立函数关系式，即可求解．
解：（1）由甲图可知，图象过点（30，6）
第一批A 产品的市场日销售量与上市时间的关系式为：
当
时，
当
时，
（2）结合甲、乙两图可知，
∵日销售利润=日销售量×每件产品销售利润
∴当
时，
（万元）.
. 练12．（2015 春•德州市期中）某商场计划投入一笔资金购一批紧销商品，经过市场调查发现，
如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，
可获利30%，但要付出仓库储存费用700 元，请根据商场投资情况，分析如何购销获利较多？.
【解析】根据题意建立一次函数关系式，再采用数形结合法，即可求解．
解：设商场投资
元，
月初出售获利：
12
∴
月末出售获利：
在直角坐标系中画出两个函数的图象：
两图象的交点坐标 为 (20000，5300)
∴方程组的
的解是
∴由图象可知：
当
时，
，选择在月初出售；
当
时，
，两种方式任意选；
当
时，
，选择在月末出售.
1．若一次函数
中，
的取值为
，则
的取值范围是___________；若
的取
值为
，则
的取值范围是___________．
13
2．一次函数y=kx+3，当x 减少2 时，y 的值增加6，则此函数的解析式为___________．.
3．已知直线y=kx+3 和y=3x+p 交于(- 3,2 3 )，则k=_______________,p=____________．
4．用作图象的方法解方程组
5. 已知：如图，y1＝3x＋b 和y2＝ax－3 的图象交于点P(－2， －5)， 则3x＋b＞ax－3 的解集是
____.
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_________________________________________________________________________________
1.已知直线y=kx 与直线y=-
1
1
2 x
平行，则k=_________．
2. 直线y=(3k-2)x+b-12 与y=kx-3-2b 重合，则k=_____________，b=____________．
3．一次函数y=mx+n(m≠0)的图象过点(-2，3)，且m：n=2：3，那么这个图象的函数解析式为
_______________．
4．两个函数y1=2x+1 和y2=4x-7，当x__________时，y2＞y1．
5. 用作图象的方法解方程组
.
6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为（-3，0），（0，3）．一次函数图象
上的两点P，Q 在直线AB 的同侧，且直线PQ 与y 轴交点在y 轴正半轴上，若△QAB 的面积
都等于3，求这个一次函数的解析式．
14
参考答案：
当堂检测
1．-
16
3 ≤y≤0 -1≤x≤5 分析：由题意得x=
3
8
4
y
，所以-2≤
3
8
4
y
≤2，解得-
16
3 ≤y≤0，
同理，由-4≤
4
8
3
3
x
≤4 得-1≤x≤5．
2．答案：y=-3x+3 分析：函数y=kx+3 经过点(0，3)，又因为x 减2 时y 的值增加6，故该一次函
数还经过点（-2，9），把（-2，9）代入y=kx+3 得k=-3，所以解析式为y=-3x+3．
3．答案：3
2
5 3 分析：把（- 3,2 3 ）代入两个解析式，得k=
3
2,
5 3
p
．
4．答案：
.
5. 答案：
．
家庭作业
1. -
1
2 .
2. 1 3 分析：两直线重合，即两直线为同一条直线，所以有
3
2
,
1,
12
3
2 ,
3.
k
k
k
b
b
b
解得
.
3. 答案：y=-6x-9. 分析：把点（-2，3）代入y=mx+n 得-2mm+n=3，又因为m：n=2：3，解得
m=-6，n=-9，故解析式为y=-6x-9．
4. 答案：x＞4 分析：由y2＞y1得4x-7＞2x+1，解得x＞4．
5. 答案：
15
6. 解析：三角形的面积=
1
2 ×底×高，由图象可知|AO|=3，|BO|=3，则本题解析式可求．
解：根据图象和已知条件有S△QAB=3，即
1
2 ·|BQ|·|AO|=3，由|AO|=3，可知|BQ|=2，
因为S△PQB=3，即
1
2 ·|PA|·|BO|=3，由|BO|=3，可知|PA|=2
再因为P、Q 两点在直线AB 同侧，所以P 点坐标为(-5，0)．
设直线PQ 的解析式为y=kx+b，则有
5
0,
5,
k
b
b
则
1,
5.
k
b
所以所求一次函数解析式为y=x+5．
课程顾问签字： 教学主管签字：
