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八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题有12 小题，每小题3 分，共36 分.每小题只有一个正确的选项.）
1．下列各式：
，
，
a+b，（x+3）÷（x
1
﹣），﹣m2，
，其中分式共有（ ）
A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x+y）=ax+ay B．t2+3t
16=
﹣
（t+4）（t
4
﹣）+3t
C．m2
4=
﹣
（m+2）（m
2
﹣）D．a2
b
﹣2+1=（a+b）（a
b
﹣）+1
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．ax＞ay
B．3x＜3y
C．﹣2x＜﹣2y
D．a2x＞a2y
5．若a≠0，a，b 互为相反数，则不等式ax+b＜0 的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＜1 或x＞1
D．x＜﹣1 或x＞﹣1
6．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．因式分解（x
1
﹣）2
9
﹣的结果是（ ）
A．（x+8）（x+1）B．（x+2）（x
4
﹣）C．（x
2
﹣）（x+4）D．（x
10
﹣
）（x+8）
8．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（
）
A．3.5
B．4.2
C．5.8
D．7
9．在分式
（a，b 为正数）中，字母a，b 值分别扩大为原来的2 倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的2 倍B．缩小为原来的
C．不变D．不确定
10．若分式
的值为零，则x 等于（ ）
A．2 B．﹣2
C．±2
D．0
11．已知不等式组
的解集是x＞2，则a 的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a＜2 C．a=2
D．a＞2
12．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG 和△AED 的面积
分别为50 和39，则△EDF 的面积为（ ）
A．11
B．5.5
C．7 D．3.5
二、填空题（每空3 分，共12 分）
13．分解因式：xy2
9x=
﹣
．
14．若x：y=1：2，则
= ．
15．如图，在△ABC 中，BC=5cm，BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD∥AB，
PE∥AC，则△PDE 的周长是 cm．
16．如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上
一点，若AE=2，EM+CM 的最小值为 ．
三、解答题
17．解下列不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上
（1）
．
（2）
．
18．分解因式
（1）x（x
y
﹣）﹣y（y
x
﹣）
（2）（a2+4）2
16a
﹣
2．
19．先化简：
，并从0，﹣1，2 中选一个合适的数作为a 的值代入
求值．
20．一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3 件，则剩余4 件；若前面每人分4 件，则最后一
人能得到的玩具不足3 件，求小朋友的人数及玩具数．
21．在信宜市某“三华李”种植基地有A、B 两个品种的树苗出售，已知A 种比B 种每株多2
元，买1 株A 种树苗和2 株B 种树苗共需20 元．
（1）问A、B 两种树苗每株分别是多少元？
（2）为扩大种植，某农户准备购买A、B 两种树苗共360 株，且A 种树苗数量不少于B 种数量
的一半，请求出费用最省的购买方案．
22．如图，在△ABC 中，AB=BC，CD⊥AB 于点D，CD=BD，BE 平分∠ABC，点H 是BC 边的
中点，连接DH，交BE 于点G，连接CG．
（1）求证：△ADC≌△FDB；
（2）求证：CE=
BF；
（3）判断△ECG 的形状，并证明你的结论；
（4）猜想BG 与CE 的数量关系，并证明你的结论．
23．已知，△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，若E 在直线AC 上任意一点，
DF⊥DE，交直线BC 于F 点．G 为EF 的中点，延长CG 交AB 于点H．
（1）若E 在边AC 上．
①试说明DE=DF；
②试说明CG=GH；
（2）若AE=3，CH=5．求边AC 的长．
八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有12 小题，每小题3 分，共36 分.每小题只有一个正确的选项.）
1．下列各式：
，
，
a+b，（x+3）÷（x
1
﹣），﹣m2，
，其中分式共有（ ）
A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个
【考点】分式的定义．
【分析】根据分式的定义看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则
不是分式，即可得出答案．
【解答】解：在
，
， a+b，（x+3）÷（x
1
﹣），﹣m2，中，其中分式有
，，（x+3）÷
（x
1
﹣），共3 个．
故选A．
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x+y）=ax+ay B．t2+3t
16=
﹣
（t+4）（t
4
﹣）+3t
C．m2
4=
﹣
（m+2）（m
2
﹣）D．a2
b
﹣2+1=（a+b）（a
b
﹣）+1
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个
多项式因式分解分别进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、符合因式分解的定义，故本选项正确；
D、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
故选C．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：D．
4．已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．ax＞ay
B．3x＜3y
C．﹣2x＜﹣2y
D．a2x＞a2y
【考点】不等式的性质．
【分析】直接根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：A、当a＞0 时，ax＞ay，此选项没有标明a 的取值范围，故A 选项错误；
B、两边同时乘以3 可得3x＞3y，故B 选项错误；
C、两边同时乘以﹣2 可得﹣2x＜﹣2y，故C 选项正确；
D、当a≠0 时，a2x＞a2y，故D 选项错误；
故选：C．
5．若a≠0，a，b 互为相反数，则不等式ax+b＜0 的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＜1 或x＞1
D．x＜﹣1 或x＞﹣1
【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据a，b 互为相反数得出
=
1
﹣，再求出x 的取值范围即可．
【解答】解：∵a，b 互为相反数，
∴
=
1
﹣，
∴ax＜﹣b，
当a＞0 时，x＜﹣
=1；
当a＜0 时，x＞﹣
=1．
故选C．
6．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的混合运算．
【分析】运算分式的运算法则计算．有括号的先算括号里的，再乘除，最后加减．
【解答】解：A、应该等于
，故不对；
B、应该等于
，故不对；
C、正确；
D、原式=a（a
1
﹣）
=（a
1
﹣）2，故不对；
故选C．
7．因式分解（x
1
﹣）2
9
﹣的结果是（ ）
A．（x+8）（x+1）B．（x+2）（x
4
﹣）C．（x
2
﹣）（x+4）D．（x
10
﹣
）（x+8）
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】把（x
1
﹣）看成一个整体，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（x
1
﹣）2
9
﹣，
=（x
1
﹣+3）（x
1
3
﹣﹣），
=（x+2）（x
4
﹣）．
故选B．
8．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（
）
A．3.5
B．4.2
C．5.8
D．7
【考点】含30 度角的直角三角形；垂线段最短．
【分析】利用垂线段最短分析AP 最小不能小于3；利用含30 度角的直角三角形的性质得出
AB=6，可知AP 最大不能大于6．此题可解．
【解答】解：根据垂线段最短，可知AP 的长不可小于3；
∵△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
∴AB=6，
∴AP 的长不能大于6．
故选：D．
9．在分式
（a，b 为正数）中，字母a，b 值分别扩大为原来的2 倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的2 倍B．缩小为原来的
C．不变D．不确定
【考点】分式的基本性质．
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：在分式
（a，b 为正数）中，字母a，b 值分别扩大为原来的2 倍，则分式的值是
原来的2 倍，
故选：A．
10．若分式
的值为零，则x 等于（ ）
A．2 B．﹣2
C．±2
D．0
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式的值是0 的条件是：分子为0，分母不为0．
【解答】解：∵x2
4=0
﹣
，
∴x=±2，
当x=2 时，2x
4=0
﹣
，∴x=2 不满足条件．
当x=
2
﹣时，2x
4
﹣≠0，∴当x=
2
﹣时分式的值是0．
故选：B．
11．已知不等式组
的解集是x＞2，则a 的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a＜2 C．a=2
D．a＞2
【考点】不等式的解集．
【分析】根据不等式组的求解规律：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解，
探究a 的取值范围即可．
【解答】解：由不等式组
的解集是x＞2，
因此a 的取值范围是a≤2．
故选：A．
12．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG 和△AED 的面积
分别为50 和39，则△EDF 的面积为（ ）
A．11
B．5.5
C．7 D．3.5
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】作DM=DE 交AC 于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形
EDF 的面积转化为三角形DNM 的面积来求．
【解答】解：作DM=DE 交AC 于M，作DN⊥AC 于点N，
∵DE=DG，
∴DM=DG，
∵AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF 和Rt△DMN 中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG 和△AED 的面积分别为50 和39，
∴S
MDG
△
=S ADG
△
S
﹣
ADM
△
=50
39=11
﹣
，
S
DNM
△
=S
EDF
△
=
S
MDG
△
=
×11=5.5．
故选B．
二、填空题（每空3 分，共12 分）
13．分解因式：xy2
9x=
﹣
x （
y + 3 ）（
y
3
﹣
）
．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2
9x=x
﹣
（y2
9
﹣）=x（y
3
﹣）（y+3）．
故答案为：x（y
3
﹣）（y+3）．
14．若x：y=1：2，则
=
．
【考点】比例的性质；分式的值．
【分析】根据题意，设x=k，y=2k．直接代入即可求得
的值．
【解答】解：设x=k，y=2k，
∴
=
=﹣
．
15．如图，在△ABC 中，BC=5cm，BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD∥AB，
PE∥AC，则△PDE 的周长是
5
cm．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP 和△ECP 为等腰三角形，由等
腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE 的周长就转化为BC 边的长，即为5cm．
【解答】解：∵BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE 的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．
故答案为：5．
16．如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上
一点，若AE=2，EM+CM 的最小值为
．
【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理．
【分析】要求EM+CM 的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM 的值，从而找出其最小值
求解．
【解答】解：连接BE，与AD 交于点M．则BE 就是EM+CM 的最小值．
取CE 中点F，连接DF．
∵等边△ABC 的边长为6，AE=2，
∴CE=AC
AE=6
2=4
﹣
﹣
，
∴CF=EF=AE=2，
又∵AD 是BC 边上的中线，
∴DF 是△BCE 的中位线，
∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E 为AF 的中点，
∴M 为AD 的中点，
∴ME 是△ADF 的中位线，
∴DF=2ME，
∴BE=2DF=4ME，
∴BM=BE
ME=4ME
ME=3ME
﹣
﹣
，
∴BE=
BM．
在直角△BDM 中，BD=
BC=3，DM=
AD=
，
∴BM=
=
，
∴BE=
．
∵EM+CM=BE
∴EM+CM 的最小值为
．
三、解答题
17．解下列不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上
（1）
．
（2）
．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】（1）、（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：（1）
，由①得，x＞1，由②得，x≤3，
故此不等式的解集为：1＜x≤3．
在数轴上表示为：
；
（2）
，由①得，x≥﹣1，由②得，x＜2，
故此不等式的解集为：﹣1≤x＜2．
在数轴上表示为：
．
18．分解因式
（1）x（x
y
﹣）﹣y（y
x
﹣）
（2）（a2+4）2
16a
﹣
2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）提取公因式（x
y
﹣）即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式．
【解答】解：（1）x（x
y
﹣）﹣y（y
x
﹣），
=x（x
y
﹣）+y（x
y
﹣），
=（x+y）（x
y
﹣）；
（2）（a2+4）2
16a
﹣
2，
=（a2+4a+4）（a2
4a
﹣
+4），
═（a+2）2（a
2
﹣）2．
19．先化简：
，并从0，﹣1，2 中选一个合适的数作为a 的值代入
求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先把括号的分式通分化简，后面的分式的分子分解因式，然后约分化简，接着计算
分式的乘法，最后代入数值计算即可求解．
【解答】解：
=
×
，
=
×
=﹣
，
当a=0 时，原式=1．
20．一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3 件，则剩余4 件；若前面每人分4 件，则最后一
人能得到的玩具不足3 件，求小朋友的人数及玩具数．
【考点】实数的运算．
【分析】设小朋友的人数为x 人，玩具数为n，则n=3x+4，0＜n
4
﹣（x
1
﹣）＜3，且n，x 的是正整
数，将n=3x+4 代入，0＜n
4
﹣（x
1
﹣）＜3 求出x、n 的值，当求出x 的值后，求n 的值时，根据实
数的运算法则求值．
【解答】解：设小朋友的人数为x 人，玩具数为n，由题意可得：
n=3x+4，0＜n
4
﹣（x
1
﹣）＜3，
即：0＜3x+4
4
﹣（x
1
﹣）＜3，
解得5＜x＜8，
由于x 的是正整数，所以x 的取值为6 人或7 人，
当x=6 时，n=3x+4=22 件；
当x=7 时，n=3x+4=25 件，
所以小朋友的人数及玩具数分别为6 人、22 件或者7 人、25 件．
21．在信宜市某“三华李”种植基地有A、B 两个品种的树苗出售，已知A 种比B 种每株多2
元，买1 株A 种树苗和2 株B 种树苗共需20 元．
（1）问A、B 两种树苗每株分别是多少元？
（2）为扩大种植，某农户准备购买A、B 两种树苗共360 株，且A 种树苗数量不少于B 种数量
的一半，请求出费用最省的购买方案．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设A 种树苗每株x 元，B 种树苗每株y 元，根据条件建立方程求出其解即可；
（2）设A 种树苗购买a 株，则B 种树苗购买株，共需要的费用为W 元，根据条件建立不等式
组，求出其解即可．
【解答】解：（1）设A 种树苗每株x 元，B 种树苗每株y 元，由题意，得
，
解得：
，
答：A 种树苗每株8 元，B 种树苗每株6 元；
（2）设A 种树苗购买a 株，则B 种树苗购买株，共需要的费用为W 元，由题意，得
，
由①，得
a≥120．
由②，得
W=2a+2160．
∵k=2＞0，
∴W 随a 的增大而增大，
∴a=120 时，W 最小=2400，
∴B 种树苗为：360
120=240
﹣
棵．
∴最省的购买方案是：A 种树苗购买120 棵，B 种树苗购买240 棵．
22．如图，在△ABC 中，AB=BC，CD⊥AB 于点D，CD=BD，BE 平分∠ABC，点H 是BC 边的
中点，连接DH，交BE 于点G，连接CG．
（1）求证：△ADC≌△FDB；
（2）求证：CE=
BF；
（3）判断△ECG 的形状，并证明你的结论；
（4）猜想BG 与CE 的数量关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）首先根据AB=BC，BE 平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，进一步得到
∠ACD=∠DBF，结合CD=BD，即可证明出△ADC≌△FDB；
（2）由△ADC≌△FDB 得到AC=BF，结合CE=AE，即可证明出结论；
（3）由点H 是BC 边的中点，得到GH 垂直平分BC，即GC=GB，由
∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，结合BE⊥AC，即可判断出△ECG 的形状；
（4）由△ECG 为等腰直角三角形，得到GC=
CE，因为GC=GB，即可得到GB=
CE．
【解答】证明：（1）∵AB=BC，BE 平分∠ABC，
∴BE⊥AC，CE=AE，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠DBF，
在△ADC 和△FDB 中，
，
∴△ADC≌△FDB（ASA）；
（2）∵△ADC≌△FDB，
∴AC=BF，
又∵CE=AE，
∴CE=
BF；
（3）△ECG 为等腰直角三角形．
∵点H 是BC 边的中点，
∴GH 垂直平分BC，
∴GC=GB，
∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECG=45°，
又∵BE⊥AC，
∴△ECG 为等腰直角三角形；
（4）GB=
CE；
∵△ECG 为等腰直角三角形，
∴GC=
CE，
∵GC=GB，
∴GB=
CE．
23．已知，△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，若E 在直线AC 上任意一点，
DF⊥DE，交直线BC 于F 点．G 为EF 的中点，延长CG 交AB 于点H．
（1）若E 在边AC 上．
①试说明DE=DF；
②试说明CG=GH；
（2）若AE=3，CH=5．求边AC 的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【分析】（1）①连接CD，推出CD=AD，∠CDF=∠ADE，∠A=∠DCB，证△ADE≌△CDF 即
可；②连接DG，根据直角三角形斜边上中线求出CG=EG=GF=DG，推出∠GCD=∠GDC，推
出∠GDH=∠GHD，推出DG=GH 即可；
（2）求出EF=5，根据勾股定理求出EC，即可得出答案．
【解答】解：（1）①连接CD，
∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点，AC=BC，
∴CD=AD=BD，
又∵AC=BC，
∴CD⊥AB，
∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE 和△CDF 中
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF．
②连接DG，
∵∠ACB=90°，G 为EF 的中点，
∴CG=EG=FG，
∵∠EDF=90°，G 为EF 的中点，
∴DG=EG=FG，
∴CG=DG，
∴∠GCD=∠CDG
又∵CD⊥AB，
∴∠CDH=90°，
∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，
∴∠GHD=∠HDG，
∴GH=GD，
∴CG=GH．
（2）如图，当E 在线段AC 上时，
∵CG=GH=EG=GF，
∴CH=EF=5，
∵△ADE≌△CDF，
∴AE=CF=3，
∴在Rt△ECF 中，由勾股定理得：
，
∴AC=AE+EC=3+4=7；
如图，当E 在线段CA 延长线时，
AC=EC
AE=4
3=1
﹣
﹣
，
综合上述AC=7 或1．
2016 年8 月3 日
