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八年级（下）期末数学试卷（解析版）
一、选择题（共12 小题，每小题3 分，满分36 分）
1．下列x 的值中，是不等式x＞3 的解的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．2 D．4
2．五边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
3．要使分式
有意义，则x 应满足的条件是（ ）
A．x≠1 B．x≠﹣1
C．x≠0 D．x＞1
4．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，将△ABC 沿着水平方向向右平移后得到△DEF，若BC=3，CE=2，则平移的距离为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若a+b=3，ab=
2
﹣，则代数式a2b+ab2的值为（ ）
A．1 B．﹣1
C．﹣6
D．6
7．如图，用尺规作图法分别作出射线AE、BF，AE 与BF 交于点C，若AB=3，则AC 的长为（
）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
8．如图，平行四边形ABCD 中，BD⊥AD，∠A=30°，BD=2，则CD 的长为（ ）
A．1 B．2 C．2
D．4
9．已知不等式mx+n＞2 的解集是x＜0，则下列图中有可能是函数y=mx+n 的图象的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．从图1 到图2 的拼图过程中，所反映的关系式是（ ）
A．x2+5x+6=（x+2）（x+3）B．x2+5x
6=
﹣
（x+6）（x
1
﹣）
C．x2
5x
﹣
+6=（x
2
﹣）
（x
3
﹣）D．（x+2）（x+3）=x2+5x+6
11．下列命题中是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则3
a
﹣＞3
b
﹣
B．若分式
的值为零，则x=2
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．有两个角为60°的三角形是等边三角形
12．如图，已知函数y=
x+
的图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，点P 是x 轴上一点，
若△PAB 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）
A．
（﹣3
2
﹣
，0）B．
（3，0）C．（﹣1，0）D．（2
，0）
二、填空题（共4 小题，每小题3 分，满分12 分）
13．分解因式x3+6x2+9x=______．
14．如图，已知△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC，E 是AB 的中点，若AC=7，则DE 的长为
______．
15．某公司准备用10000 元购进一批空调和风扇．已知空调每台2500 元，风扇每台300 元，
该公司已购进空调3 台，那么该公司最多还可以购进风扇______台．
16．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，
AD 的垂直平分线交AB 于点E，则△DEF 的面积为______．
三、解答题（共8 小题，满分52 分）
17．解不等式组：
，并在数轴上表示出它的解集．
18．先化简，再求值：（1﹣
）÷
，其中x=2+
．
19．解方程：
+1=
．
20．如图，平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（2，2），C（1，1）．
（1）将△ABC 先向左平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到△A1B1C1，请画出
△A1B1C1，点C1的坐标为______；
（2）将△ABC 绕点O 按顺时针方向旋转180°后得到△A2B2C2，点C2的坐标为______；
（3）若将△ABC 绕点P 按顺时针方向旋转90°后得到△A3B3C3，则点P 的坐标是______．
21．（10 分）（2016 春•深圳期末）（1）如图1，△ABC 与△ADE 均为等边三角形，点D 在BC
上，连接CE，求证：BD=CE．
（2）如图2，在平行四边形ABCD 中，E、F 是对角线AC 上的两点，且AE=CF，求证：
BE∥DF．
22．某体育用品商场分别用10000 元购进A 种品牌，用7500 元购进B 种品牌的自行车进行
销售，已知B 种品牌自行车的进价比A 种品牌的高50%，所购进的A 中品牌自行车比B 种
品牌多10 辆，求每辆A 种品牌自行车的进价．
23．甲乙两人加工同一种机器零件，每时甲比乙少加工2 个这种零件，甲加工64 个这种零件
所用的时间与乙加工80 个这种零件所用的时间相等．
（1）求甲乙两人每时各加工多少个这种零件？
（2）某公司拟从甲乙两人中聘用一人来加工该种机器零件，已知两人加工的质量相同，需支
付给甲的工资标准是：基本工资为每天50 元，另每加工一个零件支付2 元；需支付给乙的工
资标准是：每加工一个零件支付4 元，请问该公司应聘用哪一人，才可使每天所支付的工资
更少？
24．如图，已知直线y=3x+3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，过点C 的直线y=
x
﹣+b 与x 轴
交于点B．
（1）b 的值为______；
（2）若点D 的坐标为（0，﹣1），将△BCD 沿直线BC 对折后，点D 落到第一象限的点E 处，求
证：四边形ABEC 是平行四边形；
（3）在直线BC 上是否存在点P，使得以P、A、D、B 为顶点的四边形是平行四边形？如果存
在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题3 分，满分36 分）
1．下列x 的值中，是不等式x＞3 的解的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．2 D．4
【考点】不等式的解集．
【分析】根据不等式解集的定义即可得出结论．
【解答】解：∵不等式x＞3 的解集是所有大于3 的数，
∴4 是不等式的解．
故选D，
【点评】本题考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解是解
答此题的关键．
2．五边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】n 边形的内角和是（n
2
﹣）180°，由此即可求出答案．
【解答】解：五边形的内角和是（5
2
﹣）×180°=540°．故选B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
3．要使分式
有意义，则x 应满足的条件是（ ）
A．x≠1 B．x≠﹣1
C．x≠0 D．x＞1
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
4．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．
5．如图，将△ABC 沿着水平方向向右平移后得到△DEF，若BC=3，CE=2，则平移的距离为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平移的性质．
【分析】根据平移的性质，结合图形，可直接求得结果．
【解答】解：根据图形可得：线段BE 的长度即是平移的距离，
又BC=3，EC=2，
∴BE=3
2=1
﹣
．
故选A；
【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距
离．注意结合图形解题的思想．
6．若a+b=3，ab=
2
﹣，则代数式a2b+ab2的值为（ ）
A．1 B．﹣1
C．﹣6
D．6
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】直接提取公因式将原式分解因式，进而将已知代入求出答案．
【解答】解：∵a+b=3，ab=
2
﹣，
∴a2b+ab2=ab（a+b）
=
2
﹣×3
=
6
﹣．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
7．如图，用尺规作图法分别作出射线AE、BF，AE 与BF 交于点C，若AB=3，则AC 的长为（
）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的判定与性质．
【分析】直接利用基本作图方法得出：∠MAE=∠MBN，∠MBF=∠NBF，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠MAE=∠MBN，∠MBF=∠NBF，
则AE∥BN，
故∠ACB=∠NBF，
则∠MBC=∠ACB，
故AB=AC=3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的判定方法，正确应用角平分线的性质是
解题关键．
8．如图，平行四边形ABCD 中，BD⊥AD，∠A=30°，BD=2，则CD 的长为（ ）
A．1 B．2 C．2
D．4
【考点】平行四边形的性质．
【分析】在Rt△ABD 中可求得AB 的长，再根据平行四边形的性质可求得CD 的长．
【解答】解：
∵BD⊥AD，
∴△ABD 为直角三角形，
在Rt△ABD 中，BD=2，∠A=30°，
∴AB=2BD=4，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴CD=AB=4，
故选D．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及直角三角形的性质，利用直角三角形中30°角所对
的直角边是斜边的一半求得AB 的长是解题的关键．
9．已知不等式mx+n＞2 的解集是x＜0，则下列图中有可能是函数y=mx+n 的图象的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．
【分析】不等式mx+n＞2 的解集为直线y=mx+n 落在y=2 上方的部分对应的x 的取值范围是
x＜0，根据图象判断即可求解．
【解答】解：A、不等式mx+n＞2 的解集是x＞0，故选项错误；
B、不等式mx+n＞2 的解集是x＜0，故选项正确；
C、不等式mx+n＞2 的解集是x＞6，故选项错误；
D、不等式mx+n＞2 的解集是x＜﹣6，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函
数y=mx+n 的值大于2 的自变量x 的取值范围．
10．从图1 到图2 的拼图过程中，所反映的关系式是（ ）
A．x2+5x+6=（x+2）（x+3）B．x2+5x
6=
﹣
（x+6）（x
1
﹣）
C．x2
5x
﹣
+6=（x
2
﹣）
（x
3
﹣）D．（x+2）（x+3）=x2+5x+6
【考点】多项式乘多项式．
【分析】根据图形得出关系式即可．
【解答】解：根据题意得：x2+5x+6=（x+2）（x+3），
故选A
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．下列命题中是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则3
a
﹣＞3
b
﹣
B．若分式
的值为零，则x=2
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．有两个角为60°的三角形是等边三角形
【考点】命题与定理．
【分析】利于不等式的性质、分式值为0 的条件、平行四边形的判定及等边三角形的判定分别
判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、若a＞b，则3
a
﹣＜3
b
﹣，故错误，是假命题；
B、若分式
的值为零，则x=0，故错误，是假命题；
C、一组对边相等，另一组对边平行的四边形有可能是等腰梯形，故错误，是假命题；
D、有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确，为真命题，
故选D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、分式值为0 的条件、
平行四边形的判定及等边三角形的判定等知识，难度不大．
12．如图，已知函数y=
x+
的图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，点P 是x 轴上一点，
若△PAB 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）
A．
（﹣3
2
﹣
，0）B．
（3，0）C．（﹣1，0）D．（2
，0）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．
【分析】可先求得A、B 两点的坐标，利用勾股定理可求得AB 的长，再分别根据等腰三角形的
性质对四个选项分别判断即可．
【解答】解：如下图所示：
∵函数y=
x+
的图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，
在y=
x+
中，令y=0 可得x=
3
﹣，令x=0 可得y=
，
∴A（﹣3，0），B（0，
），
∴AB=
=2
，
（1）当AB=BP 时，点P 与P1 重合，则P1 （3，0）；
（2）当AP=BP 时，点P 与点P2重合，如图②所示：
过AB 的中点C 作x 轴的垂线，垂足为D，
由题意知：CD2=AD•PD，
∵点C 的坐标为（﹣
，
），设点P 的坐标为（a，0）
∴（
）2=（﹣
+3）（a+3）
解之得：a=
1
﹣
即：点P 的坐标为（﹣1，0）
（3）当AB=AP 时，点P3重合，则P3（﹣3
2
﹣
，0）
综上所述：若△PAB 为等腰三角形，则点P 的坐标可能是（3，0）、（﹣1，0）、（﹣3
2
﹣
，0）
故：选D
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、一次函数的图形的性质等问题，解题的关键是根据等
腰三角形的概念作图分别讨论P 点的位置及坐标．
二、填空题（共4 小题，每小题3 分，满分12 分）
13．分解因式x3+6x2+9x=
x （
x + 3 ）
2
．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=x（9+6x+x2）
=x（x+3）2．
故答案为x（x+3）2
【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法、十字相乘法分解因式，注意分解要彻底．
14．如图，已知△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC，E 是AB 的中点，若AC=7，则DE 的长为
3.5
．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质可得D 是BC 的中点，再根据三角形中位线定理即可求解．
【解答】解：∵AB=AC，AD 平分∠BAC，
∴D 是BC 的中点，
∵E 是AB 的中点，
∴DE 是三角形中位线，
∵AC=7，
∴DE=3.5．
故答案为：3.5．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握等腰三角形
的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的知识点．
15．某公司准备用10000 元购进一批空调和风扇．已知空调每台2500 元，风扇每台300 元，
该公司已购进空调3 台，那么该公司最多还可以购进风扇
8
台．
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】设可以购进电风扇x 台，列出不等式即可解决问题．
【解答】解：设可以购进电风扇x 台．
由题意2500×3+300x≤10000，
解得x≤
，
∵x 是整数，
∴x 的最大整数是8，
∴该公司最多还可以购进风扇8 台．
故答案为8
【点评】本题考查一元一次不等式，解题的关键是学会设未知数，构建不等式解决实际问题，
属于中考常考题型．
16．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，
AD 的垂直平分线交AB 于点E，则△DEF 的面积为
6
4
﹣
．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，AE=AC，根据垂直平分线
的性质得到AF=DF，根据平行线的判定和性质可得△BDF、△BED 是等腰直角三角形，在
Rt△BED 中，根据勾股定理可得DE 的长，进一步得到EF 的长，再根据三角形面积公式即可
求解．
【解答】解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠CAD=∠EAD，DE=CD，AE=AC=2，
∵AD 的垂直平分线交AB 于点E，
∴AF=DF，
∴∠ADF=∠EAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴AC∥DE，
∴∠BDE=∠C=90°，
∴△BDF、△BED 是等腰直角三角形，
设DE=x，则EF=BE=x，BD=DF=2
x
﹣，
在Rt△BED 中，DE2+BE2=BD2，
∴x2+x2=（2
x
﹣）2，
解得x1=
2
2
﹣﹣
（负值舍去），x2=
2
﹣+2
，
∴△DEF 的面积为（﹣2+2
）×（﹣2+2
）÷2=6
4
﹣
．
故答案为：6
4
﹣
．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平
分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
三、解答题（共8 小题，满分52 分）
17．解不等式组：
，并在数轴上表示出它的解集．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣3，
在同一数轴上分别表示出它们的解集得，
故该不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．先化简，再求值：（1﹣
）÷
，其中x=2+
．
【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值．
【分析】先根据分式的运算法则化简，再把x 的值代入计算即可．
【解答】解：
（1﹣
）÷
=
×
=
×
=
∴当x=2+
时，
原式=
=
．
【点评】本题主要考查分式的计算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
19．解方程：
+1=
．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘以（x
3
﹣），约去分母得x+x
3=3
﹣
，
解得：x=0，
经检验：x=0 是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．如图，平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（2，2），C（1，1）．
（1）将△ABC 先向左平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到△A1B1C1，请画出
△A1B1C1，点C1的坐标为 （﹣
1 ，
0 ）
；
（2）将△ABC 绕点O 按顺时针方向旋转180°后得到△A2B2C2，点C2的坐标为 （﹣
1 ，﹣
1 ）
；
（3）若将△ABC 绕点P 按顺时针方向旋转90°后得到△A3B3C3，则点P 的坐标是 （﹣
2 ，
0 ）
．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用旋转的性质得出旋转中心进而得出等式．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点C1的坐标为：（﹣1，0）；
故答案为：（﹣1，0）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点C2的坐标为（﹣1，﹣1）；
故答案为：（﹣1，﹣1）；
（3）如图所示：点P 的坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确应用旋转的性质是解题关键．
21．（10 分）（2016 春•深圳期末）（1）如图1，△ABC 与△ADE 均为等边三角形，点D 在BC
上，连接CE，求证：BD=CE．
（2）如图2，在平行四边形ABCD 中，E、F 是对角线AC 上的两点，且AE=CF，求证：
BE∥DF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，求出
∠BAD=∠CAE，证出△BAD≌△CAE 即可．
（2）证明△ABE≌△CDF，得出∠AEB=∠CFD，即∠BEC=∠DFA，进而得出DF∥BE．
【解答】（1）证明：∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°（等边三角形的性质），
∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD（等式性质），
∴∠BAD=∠CAE（等量代换），
在△BAD 和△CAE 中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE=BD（全等三角形对应边相等）．
（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEB+∠BEC=180°，∠CFD+∠AFD=180°
∴∠BEC=∠AFD
∴BE∥DF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形的性质、等边三角形的性质的应用；
熟练掌握等边三角形的性质和平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
22．某体育用品商场分别用10000 元购进A 种品牌，用7500 元购进B 种品牌的自行车进行
销售，已知B 种品牌自行车的进价比A 种品牌的高50%，所购进的A 中品牌自行车比B 种
品牌多10 辆，求每辆A 种品牌自行车的进价．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设每辆A 种品牌自行车的进价为x 元，则每辆B 种品牌自行车的进价为（1+50%）x 元，
根据所购进的A 中品牌自行车比B 种品牌多10 辆列方程解出即可．
【解答】解：设每辆A 种品牌自行车的进价为x 元，
依题意得：
﹣
=10，
解得x=500，
经检验，x=500 是原方程的解，
答：每辆A 种品牌自行车的进价为500 元．
【点评】本题是分式方程的应用，属于进货问题；购进两类车：A 车和B 车；本金：A 需要
10000 元，B 需要7500 元；数量相差10 辆；单价：B 种品牌自行车的进价比A 种品牌的高
50%；根据单价设未知数，根据数量列分式方程，注意分式方程要进行检验．
23．甲乙两人加工同一种机器零件，每时甲比乙少加工2 个这种零件，甲加工64 个这种零件
所用的时间与乙加工80 个这种零件所用的时间相等．
（1）求甲乙两人每时各加工多少个这种零件？
（2）某公司拟从甲乙两人中聘用一人来加工该种机器零件，已知两人加工的质量相同，需支
付给甲的工资标准是：基本工资为每天50 元，另每加工一个零件支付2 元；需支付给乙的工
资标准是：每加工一个零件支付4 元，请问该公司应聘用哪一人，才可使每天所支付的工资
更少？
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．
【分析】（1）设甲每时加工a 个这种零件，则乙每时加工（a+2）个这种零件，根据甲加工64 个
这种零件所用的时间与乙加工80 个这种零件所用的时间相等列分式方程解出，要检验；
（2）设当每天需加工x 个这种零件时，需支付给甲的工资为y1元，需支付给乙的工资为y2元，
根据题意分别列出两个一次函数关系式，分三种情况进行计算：①y1=y2，②y1＞y2，③y1＜
y2；
【解答】解：（1）设甲每时加工a 个这种零件，
由题意得：
，
解得a=8，
经检验，a=8 是原方程的解，
当a=8 时，a+2=10，
答：甲每时加工8 个这种零件，乙每时加工10 个这种零件．
（2）：设当每天需加工x 个这种零件时，需支付给甲的工资为y1元，需支付给乙的工资为y2
元，
由题意得：y1=2x+50，y2=4x，
由y1=y2得，2x+50=4x，解得x=25，
由y1＞y2得，2x+50＞4x，解得x＜25，
由y1＜y2得，2x+50＜4x，解得x＞25，
故当每天需加工25 个零件时，可任聘其中一人；当每天需加工的零件少于25 个时，聘用乙；
当每天需加工的零件多于25 个时，聘用甲．
【点评】本题是一次函数和分式方程的综合应用，列分式方程时要找准等量关系，注意要检验；
对于本题中的工资支付问题，利用一次函数解决更简单，运用了分类讨论的思想，此类题通
常要分三种情况：相等，大于，小于．
24．如图，已知直线y=3x+3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，过点C 的直线y=
x
﹣+b 与x 轴
交于点B．
（1）b 的值为
3
；
（2）若点D 的坐标为（0，﹣1），将△BCD 沿直线BC 对折后，点D 落到第一象限的点E 处，求
证：四边形ABEC 是平行四边形；
（3）在直线BC 上是否存在点P，使得以P、A、D、B 为顶点的四边形是平行四边形？如果存
在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）先由点C 在直线y=3x+3 上，求出点C 坐标，代入直线y=
x
﹣+b 中即可．
（2）先求出∠OBC=∠OCB=45°，进而判断出CE∥AB，最后判断出CE=AB 即可；
（3）先确定出直线AD，BC 解析式，进而判断出AD∥BC，使得以P、A、D、B 为顶点的四边形
是平行四边形，只要AD=PB 即可．
【解答】（1）∵直线y=3x+3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，
∴C（0，3），
∵过点C 的直线y=
x
﹣+b 与x 轴交于点B，
∴b=3，
故答案为3，
（2）证明：当b=3 时，直线BC 为y=
x
﹣+3
由x=0 得，y=3，
∴C（0，3），OC=3
由y=0 得，x=3，
∴B（3，0），OB=3
∴OB=OC=3
∴∠OBC=∠OCB=45°
由折叠得：∠BCE=∠OCB=45°
CE=CD=OC+OD=4
∴∠OBC=∠BCE
∴CE∥AB
由y=3x+3，令y=0 得，x=
1
﹣，
∴A（﹣1，0）
∴AB=OA+OB=3+1=4
∴AB=CE
∴四边形ABEC 为平行四边形．
（3）解：存在点P，使以P、A、D、B 为顶点的四边形是平行四边形．
如图，
∵A（﹣1，0）、D（0，﹣1），
∴直线AD 解析式为y=
x
1
﹣﹣，
∵B（3，0），C0，3），
∴直线BC 解析式为y=
x
﹣+3．
∴AD∥BC，
∵点P 在直线BC 上，
∴设点P 坐标为（m，﹣m+3），
∴PB2=（m
3
﹣）2+（﹣m+3）2，
∵使得以P、A、D、B 为顶点的四边形是平行四边形，
∴PB=AD，
∴PB2=AD2，
∵AD2=2，
∴（m
3
﹣）2+（﹣m+3）2=2．
∴m1=2，m2=4，
∴P（2，1）或P（4，﹣1），
综上所述，存在点P，使以P、A、D、B 为顶点的四边形是平行四边形．点P 的坐标为P1（2，1）
或P2（4，﹣1）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，待定系数法求函数解析式，
平行四边形的判定和性质，解本题的关键是四边形ABEC 为平行四边形，判断出AD∥BC 是
解本题的难点．
