文档文本内容
1
一次函数
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1、学生掌握一次函数的性质。
2、学生掌握一次函数图像的性质。
3、掌握解决一次函数相关题目的方法。
1、一次函数的定义
一般地，形如
（
，
是常数，且____）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当
时，一次函数
，又叫做______。
⑴一次函数的解析式的形式是
，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能
化成以上形式．
⑵当
，
时，
仍是一次函数．
⑶当
，
时，它不是一次函数．
⑷__________是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数
2、一次函数性质
一次函数y=kx+b 的图象是经过______和_____两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可
以看作由直线y=kx 平移___个单位长度得到.（当b>0 时，____；当b<0 时，_____）
（1）解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k¿ 0)
（2）必过点：（0，b）和（-
b
k ，0）
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
2
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
{k>0¿¿¿¿直线经过第一、二、三象限 {k>0¿¿¿¿直线经过第一、三、四象限
{k<0¿¿¿¿直线经过第一、二、四象限 {k<0¿¿¿¿直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.
（6）图像的平移： 当b>0 时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；
当b<0 时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.
b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小
3、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零
当k>0 时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0 时，§
直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．
(1) 解析式：y=kx（k 是常数，k≠0）
(2) 必过点：（0，0）、（1，k）
(3) 走向：k>0 时，图像经过_________；k<0 时，§图像经过________
(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而______；k<0，y 随x 增大而_____
(5) 倾斜度：|k|越大，越接近______；|k|越小，越接近_____
3
4、一次函数y=kx＋b 的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所
以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴
的交点：______ , ________即横坐标或纵坐标为0 的点.
5、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到
（当b>0 时，向上平移；当b<0 时，向下平移）
6、正比例函数和一次函数及性质
正比例函数
一次函数
概 念
一般地，形如y=kx(k 是常数，
k≠0)的函数叫做正比例函数，
其中k 叫做比例系数
一般地，形如y=kx＋b(k,b 是常数，k≠0)，
那么y 叫做x 的一次函数. 当b=0 时，是
y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函
数.
自变量
范 围
X 为全体实数
图 象
一条直线
必过点
（0，0）、（1，k）
（0，b）和（-
b
k ，0）
走 向
k>0 时，直线经过一、三象限；
k<0 时，直线经过二、四象限
k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限
k＞0，b＜0 直线经过第一、三、四象限
k＜0，b＞0 直线经过第一、二、四象限
k＜0，b＜0 直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）
k<0，y 随x 的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度
|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴
图像的
平 移
b>0 时，将直线y=kx 的图象向上平移|b|个单
位；
b<0 时，将直线y=kx 的图象向下平移|b|个单
位.
6、直线y=k1 x+b1（k1≠0 ）与y=k2 x+b2（k2≠0 ）的位置关系
（1）两直线平行⇔k1=k2且b1≠b2 （2）两直线相交⇔k1≠k2
（3）两直线重合⇔k1=k2且b1=b2 （4）两直线垂直⇔k1k2=−1
7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知
4
数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
参考答案：1、
正比例函数 正比例函数
2、（0，b） （-
b
k ，0） |b| 向上平移 向下平移
3、一、三象限 二、四象限 增大 减小 y 轴 x 轴
4、（0，b），
1、一次函数的定义
【例1】(2015 河师大附中期末)下列函数关系式：①y=−2x , ②
y=−2
x , ③y=−2 x2
,
④y=2 , ⑤y=2x-1.其中是一次函数的是 （ ）
A、①⑤ B、①④⑤ C、②⑤ D、②④⑤
解析：根据一次函数的定义和一次函数的一般形式，注意：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不
为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数。根据这些判断可知①⑤是一次函数，而②
是反比例函数，因为他的次数是-1，③是二次函数，因为它的次数是2，④是等式，方程，不是函
数，只有自变量，没有因变量。
答案：A
练1、下列函数关系式:①y=−x ;②y=2 x+11;③y=x2+x+1;④
y= 1
x .其中一次函数的个
数是( )
A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
答案：B
练2、下列函数（1）y＝πx；(2)y＝2x－1；(3)y＝；(4)y＝x2－1 中，是一次函数的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
答案：C
【例2】若函数
2
(3
)
m
y
m x
-
=
-
是正比例函数，则常数m 的值是 。
解析：根据一次函数的定义和一次函数的一般形式，注意：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零)
① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数。可知3-m
0，m2-8=1，有这两个条件即可得出m 的
值为-3.
答案：-3
练3、若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m 为常数）中的y 与x 成正比例，则m 的值为（ ）
5
A、m>-
B、m>5 C、m=-
D、m=5
答案：C
练4、已知一次函数y=kx－2,请你补充一个条件 ，使y 随x 的增大而减小。
答案：K 为负数即可
2、一次函数的性质
【例3】(2015 上海七宝中学期末)若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过
（ ）
A、一象限 B、二象限 C、三象限 D、四象限
解析：根据一次函数的性质
{k>0¿¿¿¿直线经过第一、二、三象限 {k>0¿¿¿¿直线经过第一、三、四象限
{k<0¿¿¿¿直线经过第一、二、四象限 {k<0¿¿¿¿直线经过第二、三、四象限
可知，根据第一个函数的性质的描述
，进而可以判断第二个函数的性质为直线经过第
一、三、四象限，故不经过第二象限。
答案：B
练5、若直线y=kx+b 经过一、三、四象限，则直线y=bx+k 不经过第（ ）象限．
（A）一 （B）二 （C）三 （D）四
答案：C
练6、一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则k 0,b 0( 填“>”、“=”或 “<”)
答案：< <
3、一次函数图象的性质
【例4】(2015 闵行二中期末)在直角坐标系中,既是正比例函数y=kx ,又是y 的值随x 值的增大而
减小的图像是( )
6
解析：根据正比例函数的性质，可知图象必经过原点，由此可排除A、D 选项。根据题
意，y 随着x 的增大而减小，由选项可知选C.
答案：C
练7、(2015 华科附中期末)设b>a，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标
系内，则有一组a，b 的取值，使得下列4 个图中的一个为正确的是（ ）
答案：B
练8、已知函数y=kx+b 的图象如图，则y=2kx+b 的图象可能是（ ）
答案：C
【例5】若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1
和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg 时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关
系为（ ）
（A）y1>y2 （B）y1=y2 （C）y1<y2 （D）不能确定
解析：由图可知，量函数的交点是（1,12），当0<x<1 时，y1 的值总是小于y2 的值，记为
y1<y2,；当x>1 时，y1的值总是大于y2的值，记为y1>y2;怎么样由图象直接判断函数在一个自变量范
x
y
O
3
2y
x a
1y
kx b
图6
7
围内的大小值？由此我们可总结一规律，图象在上面的函数值就大；函数图象在下面的函数值就小。
答案：A
练9、一次函数
1y
kx
b
与
2y
x
a
的图象如图6，则下列结论①
0
k
；②
0
a
；③当
3
x
时，
1
2
y
y
中，正确的个数是 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．3w
答案：B
练10、正比例函数y=kx，x 随y 的减小而减小，若点
和
在函数上，则
的大小关
系是？
解答：由于x 随y 的减小而减小，则k>0 ，根据正比例函数的性质，
练11、正比例函数y=kx，x 随y 的增大而增大，若点
和
在函数上，若
，则
的大小关系是？
解答：由于x 随y 的增大而增大，则k>0 ，根据正比例函数的性质，
，
4、一次函数解析式的判定（待定系数法）
【例6】(2015 清华附中期末)函数y=(m+1)x2−m2+n
2−4 是正比例函数，求m，n 的值，并确
定函数解析式。
解析：因为此函数是正比例函数，则有
{m+1≠0¿{2−m
2
=1¿¿¿¿
所以{m=1¿¿¿¿
此正比例函数的解析式是：y=2 x
练12、已知y 与x+3 成正比例，并且x=1 时，y=8，那么y 与x 之间的函数关系式为（ ）
（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3
答案：B
y
O
x
A
B
1
y
x
2
图3
8
练13、如图3，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y
x
的图象交于点B ，则该一次函数
的表达式为（ ）
A．
2
y
x
B．
2
y
x
C．
2
y
x
D．
2
y
x
答案：D
练14、若正比例函数过点（2 ，-4），则求正比例函数解析式。
解：设正比例函数为y=kx，由于正比例函数过点（2，-4），把点（2，-4）代入上式得
2k=-4 k=-2
所以正比例函数解析式为y=-2x
5、一次函数与实际问题
【例7】如图所反映的过程是：小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后走到新华书店去买书，
然后散步走回家，其中t 表示时间，s 表示小明离家的距离，那么小明在体育馆锻炼和在新华书店
买书共用去的时间是_____分钟。
解析：小明在体育馆锻炼和在书店买书时的路程不随时间的变化而变化，图象的纵坐标表示小明离
家的距离，横坐标表示时间，故路程不变的两段时间是从15 分钟
35 分钟和50 分钟
80 分钟共
50 分钟，
所以答案为50 分钟
答案：50
练15、汽车开始行驶时,油箱内有油40 升,如果每小时耗油5 升,则油箱内的余油量Q(升)与行驶时
间t (小时)之间的函数关系的图象应是 （ ）
Q(Éý)
t(Сʱ)
8
40
O
Q(Éý)
t(Сʱ)
8
40
O
Q(Éý)
t(Сʱ)
8
40
O
（A） （B） （C） （D）
答案：B
练16、汽车由重庆驶往相距400 千米的成都，如果汽车的平均速度是100 千米/时，那么汽车距成
都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系用图象表示应为 （ ）
Q(Éý)
t(Сʱ)
8
40
O
110
80
50
35
15
O
1.5
2.5
t/分钟
s/千米
9
答案：C
练17、某消毒液生产厂家自2003 年初以来，在库存为m(m>0)的情况下，日销售量与产量持平，自
4 月底抗“非典”以来，消毒液需求量猛增，在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，以下表
示2003 年初至脱销期间，库存量y 与时间t 之间函数关系的图象是 （ ）
答案：D
6、两条直线的关系：y=k1 x+b1与y=k2 x+b2
k1=k2,b1≠b2，两直线平行
k1≠k2,b1=b2，两直线与y 轴交点相同
【例8】一次函数由y=3x+2 平移得到，且过点（2，7），求一次函数解析式。
解析：解这类问题的步骤：（1）写出一次函数的一般式；（2）根据条件找出k；（3）把已知
点代入一般形式，解出未知数。
设一次函数解析式为y=kx+b，由于y=kx+b 由y=3x+2 平移得到，则k=3，把点（2，7）代入一次
函数得6+b=7 ，b=1 一次函数的解析式为y=3x+1
练18、一次函数由y=2x+1 平移得到，且过点（4，1），求一次函数解析式。答案：y=2x-7
练19、一次函数由y=4x-3 平移得到，且过点（-2，-3），求一次函数解析式。答案：y=4x+5
1、当a=____时，函数y=x
3a−2
是正比例函数。
2、函数y=－2x＋4 的图象经过___________象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为
_________。
3、一次函数y=kx＋b 的图象经过点（1，5），交y 轴于3，则k=____，b=____。
4、若点（m，m＋3）在函数y=－
1
2 x＋2 的图象上，则m=____。
5、 y 与3x 成正比例，当x=8 时，y=－12，则y 与x 的函数解析式为___________。
C
O
y
t
D
O
y
t
B
O
y
t
O
y
t
A
10
6、函数y=－
3
2 x 的图象是一条过原点及（2，___ ）的直线，这条直线经过第_____象限，
当x 增大时，y 随之________。
7、函数y=2x－4，当x_______，y<0
8、下列说法正确的是（ ）
A、正比例函数是一次函数； B、一次函数是正比例函数;
C、正比例函数不是一次函数; D、不是正比例函数就不是一次函数.
9、下面两个变量是成正比例变化的是( )
A、正方形的边长和它的面积; B、变量x 增加,变量y 也随之增加;
C、矩形的一组对边的边长固定,它的周长和另一组对边的边长;
D、圆的周长与它的半径
10、直线y=kx＋b 经过一、二、四象限,则k、b 应满足( )
A、k>0, b<0; B、k>0,b>0; C、k<0, b<0; D、k<0, b>0.
11、已知正比例函数y=kx (k≠0),当x=－1 时, y=－2,则它的图象大致是( )
y y y y
x x x x
A B C D
12、一次函数y=kx－b 的图象（其中k<0，b>0）大致是（ ）
y y y y
x x x x
A B C D
13、已知一次函数y=(m＋2)x＋m－4 的图象经过点（0，2），则m 的值是( )
A、 2 B、 －2 C、 －2 或3 D、 6
14、直线y==kx＋b 在坐标系中的位置如图所示，这直线的函数解析式为（ ）
A、 y=2x＋1 B、 y=－2x＋1 C、 y=2x＋2 D、 y=－2x＋2
15、若点A（2－a，1－2a）关于y 轴的对称点在第三象限，则a 的取值范围是（ ）
A、 a<
1
2 B、 a>2 C、
1
2 <a<2 D、a<
1
2 或a>2
16、下列关系式中，表示y 是x 的正比例函数的是（ ）
A、 y=
6
x B、 y=
x
6 C、 y=x＋1 D、 y=2x2
17、函数y=4x－2 与y=－4x－2 的交点坐标为（ ）
A、（－2，0） B、（0，－2） C、（0，2） D、（2，0）
_________________________________________________________________________________
11
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1、下面哪个点在函数y=
x+1 的图象上（ ）
A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，0） D．（-2，0）
2、下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）
A．y=2x-1 B．y=
C．y=2x2 D．y=-2x+1
3、一次函数y=-5x+3 的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．二、三、四
C．一、二、四 D．一、三、四
4、若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m 为常数）是正比例函数，则m 的值为（ ）
A．m>
B．m=
C．m<
D．m=-
5、若一次函数y=（3-k）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（ ）
A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<3
6、已知一次函数的图象与直线y=-x+1 平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）
A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-1
7、汽车开始行驶时，油箱内有油40 升，如果每小时耗油5 升，则油箱内余油量y（升）与行驶时
间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（ ）
8、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，§中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了
几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师
请学生画出他行进的路程y§（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图
象如图所示，你认为正确的是（ ）
9、一次函数y=kx+b 的图象经过点（2，-1）和（0，3），§那么这个一次函数的解析式为（ ）
A．y=-2x+3 B．y=-3x+2 C．y=3x-2 D．y=
x-3
10、已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，§该函数的解析式为
_________．
12
11、若点（1，3）在正比例函数y=kx 的图象上，则此函数的解析式为________．
12、已知一次函数y=kx+b 的图象经过点A（1，3）和B（-1，-1），则此函数的解析式为
_________．
13、若解方程x+2=3x-2 得x=2，则当x_________时，直线y=x+2 上的点在直线y=3x-2 上相应点的
上方．
14、已知一次函数y=-x+a 与y=x+b 的图象相交于点（m，8），则a+b=_________．
15、若一次函数y=kx+b 交于y§轴的负半轴，§且y 的值随x§的增大而减少，§则k____0，
b______0．（填“>”、“<”或“＝”）
13
参考答案
当堂检测
1、a=1
2、一、二、四 4
3、2 3
4、
5、
6、-3 二、四 减小
7、<2
8-17ADDCCDBCBB
家庭作业
1-9DBCDDCBCA
10、2 y=2x
11、y=3x
12、y=2x+1
13、<2
14、16
15、<0 <0
课程顾问签字： 教学主管签字：
