文档文本内容
1
解直角三角形（1）
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1、了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角
形；
2、通过探讨发现解直角三角形所需的最简条件，使学生体会用化归的思想方法将未知问题转
化为已知问题去解决；
3、通过对问题情境的讨论，培养学生的问题意识，渗透“数学建模”的思想．
1．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角直角的关系：∠A+ B=90°
∠
；
②三边之间的关系：__________；
③边角之间的关系：
sinA= A
∠
的对边：斜边=a：c，cosA= A
∠
的邻边：斜边=b：c，tanA= A
∠
的对边：邻边=a：
b．
（a，b，c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边）
2．特殊角的三角函数值
特指___、_____、_____角的各种三角函数值．
sin30°= ； cos30°=
；tan30°=
；
sin45°=
；cos45°=
；tan45°=1；
sin60°=
；cos60°= ； tan60°=
；
参考答案：
1.（2） a2+b2=c2
2. 30°、45°、60°
1. 解直角三角形中的求边问题．
2
【例1】（2014•黑龙江七台河中学期末）已知，在△ABC 中，∠A=45°，AC=
，AB=
+1，则
边BC 的长为 ．
【分析】作CD AB
⊥
于点D．构造直角三角形求解．
【解答】解：作CD AB
⊥
于点D．
A=45°
∠
∵
，AC=
，∠ACD=45°，
设AD=x，则CD=x．
由勾股定理得2x2=2，
x=1．
AB=
∵
+1，
BD=
∴
．
在Rt
BCD
△
中，
BC2=BD2+CD2，
BC=
∴
=2．
练1. 在△ABC 中，∠B=90°，∠C=30°，AB=3．
（1）求AC 的长；
（2）求BC 的长．
【分析】（1）直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半，易得AC 的长；
（2）运用勾股定理或三角函数的定义，易得BC 的值．
【解答】解：（1）直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半，
故AC=2AB=6；
（2）
．
练2. 如图，直角梯形ABCD 中，AD BC
∥
，∠A=90°，AB=AD=6，DE DC
⊥
交AB 于E，DF 平分
∠EDC 交BC 于F，连接EF．
（1）证明：EF=CF；
（2）当tan ADE=
∠
时，求EF 的长．
3
【分析】（1）过D 作DG BC
⊥
于G，由已知可得四边形ABGD 为正方形，然后利用正方形的性质
和已知条件证明△ADE
GDC
△
≌
，接着利用全等三角形的性质证明△EDF
CDF
≌△
，
（2）由tan ADE=
∠
根据已知条件可以求出AE=GC=2．设EF=x，则BF=8
CF=8
x
﹣
﹣，
BE=4．在Rt
BEF
△
中根据勾股定理即可求出x，也就求出了EF．
【解答】（1）证明：过D 作DG BC
⊥
于G．
由已知可得四边形ABGD 为正方形，
DE
DC
∵
⊥
．
ADE+ EDG=90°= GDC+ EDG
∴∠
∠
∠
∠
，
ADE= GDC
∴∠
∠
．
又∵∠A= DGC
∠
且AD=GD，
ADE
GDC
∴△
△
≌
，
DE=DC
∴
且AE=GC．
在△EDF 和△CDF 中
，
EDF
CDF
∴△
△
≌
，
EF=CF
∴
；
（2）解：∵tan ADE=
∠
= ，
AE=GC=2
∴
．
BC=8
∴
，
BE=4，设CF=x，则BF=8
CF=8
x
﹣
﹣，
在Rt
BEF
△
中，由勾股定理得：x2=（8
x
﹣）2+42，
解得x=5，
即EF=5．
2.求直角三角形中的三角函数值．
【例2】（2015•河北沧州一中月考）如图，在梯形ABCD 中，AD BC
∥
，AB=DC=8，∠B=60°，
BC=12，连接AC．
（1）求tan ACB
∠
的值；
4
（2）若M、N 分别是AB、DC 的中点，连接MN，求线段MN 的长．
【分析】（1）作梯形的一条高AE，发现30°的直角三角形ABE，根据锐角三角函数求得BE，AE
的长，再进一步求得CE 的长，从而完成求解过程；
（2）显然MN 是梯形的中位线，主要是求得上底的长即可．再作梯形的另一条高，根据全
等三角形和矩形的性质求得梯形的上底．
【解答】解：（1）如图，作AE BC
⊥
于点E．
在Rt
ABE
△
中，
BE=AB•cosB=8×cos60°=4，
AE=AB•sinB=8×sin60°=4
，
CE=BC
BE=12
4=8
∴
﹣
﹣
．
在Rt
ACE
△
中，
tan ACB=
∠
．
（2）作DF BC
⊥
于F，则四边形AEFD 是矩形．
AD=EF
∴
，DF=AE．
AB=DC
∵
，∠AEB= DFC=90°
∠
，
Rt
ABE Rt
DCF
∴
△
△
≌
（HL）
CF=BE=4
∴
，
EF=BC
BE
CF=12
4
4=4
﹣
﹣
﹣﹣
，
AD=4
∴
．
又∵M、N 分别是AB、DC 的中点，
MN
∴
是梯形ABCD 的中位线，
MN=
∴
（AD+BC）= （4+12）=8．
练3. 如图，在梯形ABCD 中，∠A= B=90°
∠
，AB=
，点E 在AB 上，∠AED=45°，DE=6，
CE=7．求：AE 的长及sin BCE
∠
的值．
5
【分析】（1）在Rt
DAE
△
中，∠A=90°，∠AED=45°，DE=6，根据这些条件利用余弦函数求
AE；
（2）在Rt
BCE
△
中，EC=7，再利用（1）的解答结果，根据正弦函数来解答sin BCE
∠
的
值．
【解答】解：（1）如图，在Rt
DAE
△
中，∠A=90°，∠AED=45°，DE=6．
∵
，
AE=DE×cos AED
∴
∠
=6×cos45°
=
．
（2）∵BE=AB
AE
﹣
，
∴
．
在Rt
BCE
△
中，EC=7，
=
．
3. 解直角三角形．
【例3】（2014•天津塘沽中学期中）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是∠BAC 的角
平分线，与BC 相交于点D，且AB=4
，求AD 的长．
【分析】在Rt
ABC
△
，可求AC 的值；运用三角函数的定义求解．
【解答】解：在Rt
ABC
△
中，
B=30°
∵∠
，
AC=
∴
AB= ×4
=2
．
AD
∵
平分∠BAC，
∴在Rt
ACD
△
中，∠CAD=30°，
AD=
∴
=
=4．
练4. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D、E 分别在AC、AB 上，BD 平分∠ABC，DE AB
⊥
，
AE=6，cosA= ．求（1）DE、CD 的长；（2）tan DBC
∠
的值．
6
【分析】（1）由DE AB
⊥
，AE=6，cosA= ，可求出AD 的长，根据勾股定理可求出DE 的长，由
角平分线的性质可得DC=DE=8；
（2）由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18．由∠A= A
∠，∠AED= ACB
∠
，可知
△ADE
ABC
△
∽
，由相似三角形边长的比可求出BC 的长，根据三角函数的定义可求出
tan DBC=
∠
．
【解答】解：（1）在Rt
ADE
△
中，由AE=6，cosA=
= ，得：AD=10，
由勾股定理得DE=
=
=8
BD
∵
平分∠ABC，DE AB
⊥
，∠C=90°，角平分线性质得：DC=DE=8．
（2）方法一：由（1）AD=10，DC=8，得：AC=AD+DC=18．
在△ADE 与△ABC，∠A= A
∠，∠AED= ACB
∠
，
ADE
ABC
∴△
△
∽
得：
=
，即
=
，BC=24，（5 分）
得：tan DBC=
∠
=
= （6 分）
方法二：由（1）得AC=18，又cosA=
= ，得AB=30，
由勾股定理得BC=24（5 分）得：tan DBC=
∠
．
4．矩形中解直角三角形．
【例4】（2014•山东青岛一中期末）如图，在矩形ABCD 中，DE AC
⊥
于E，设∠ADE=α，且
cosα= ，AB=4，则AD 的长为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【分析】由已知条件可知：AB=CD=4，∠ADE= ECD=α
∠
．在Rt
DEC
△
中，cos ECD=cosα=
∠
，由此可以求出CE．然后根据勾股定理求出DE，最后在Rt
AED
△
中利用余弦函数的定义即可求
出AD．
【解答】解：由已知可知：AB=CD=4，∠ADE= ECD=α
∠
．
7
在Rt
DEC
△
中，cos ECD=cosα=
∠
，
即
，
CE=
∴
．
根据勾股定理得DE=
=
．
在Rt
AED
△
中，cosα=
，
即
，
AD=
∴
．
故选：B．
练5. 如图，∠MON=25°，矩形ABCD 的对角线AC ON
⊥
，边BC 在OM 上，当AC=3 时，AD 长是
多少？（结果精确到0.01）
【分析】延长AC 交ON 于点E，即根据等角的余角相等发现∠ACD= O=25°
∠
，再运用解直角三角
形的知识求解．
【解答】解：延长AC 交ON 于点E．
AC
ON
∵
⊥
，
OEC=90°
∴∠
．
∵四边形ABCD 是矩形，
ABC=90°
∴∠
，AD=BC．
又∵∠OCE= ACB
∠
，
BAC= O=25°
∴∠
∠
．
在Rt
ABC
△
中，AC=3，
BC=AC•sin25°≈1.27
∴
，
AD≈1.27
∴
．
5．梯形中解直角三角形．．
8
【例5】（2015•江苏连云港中学期末）如图，在梯形ABCD 中，AD BC
∥
，AB=DC=8，∠B=60°，
BC=12，连接AC．
（1）求tan ACB
∠
的值；
（2）若M、N 分别是AB、DC 的中点，连接MN，求线段MN 的长．
【分析】（1）作梯形的一条高AE，发现30°的直角三角形ABE，根据锐角三角函数求得BE，AE
的长，再进一步求得CE 的长，从而完成求解过程；
（2）显然MN 是梯形的中位线，主要是求得上底的长即可．再作梯形的另一条高，根据全
等三角形和矩形的性质求得梯形的上底．
【解答】解：（1）如图，作AE BC
⊥
于点E．
在Rt
ABE
△
中，
BE=AB•cosB=8×cos60°=4，
AE=AB•sinB=8×sin60°=4
，
CE=BC
BE=12
4=8
∴
﹣
﹣
．
在Rt
ACE
△
中，
tan ACB=
∠
．
（2）作DF BC
⊥
于F，则四边形AEFD 是矩形．
AD=EF
∴
，DF=AE．
AB=DC
∵
，∠AEB= DFC=90°
∠
，
Rt
ABE Rt
DCF
∴
△
△
≌
（HL）
CF=BE=4
∴
，
EF=BC
BE
CF=12
4
4=4
﹣
﹣
﹣﹣
，
AD=4
∴
．
又∵M、N 分别是AB、DC 的中点，
MN
∴
是梯形ABCD 的中位线，
MN=
∴
（AD+BC）= （4+12）=8．
练6．如图，在梯形ABCD 中，AD BC
∥
，AC AB
⊥
，AD=CD，cosB=
，BC=26．
求：（1）cos DAC
∠
的值；
（2）线段AD 的长．
9
【分析】（1）在Rt
ABC
△
中根据已知条件解直角三角形可以求出cos DAC
∠
的值；
（2）因为△ADC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质：底边上的中线也是底边的高就
可以解题．
【解答】解：（1）在Rt
ABC
△
中，∠BAC=90°，cosB=
．
BC=26
∵
，
AB=10
∴
．
AC=
∴
．
AD BC
∵
∥
，
DAC= ACB
∴∠
∠
．
cos DAC=cos ACB=
∴
∠
∠
．
（2）过点D 作DE AC
⊥
，垂足为E，
AD=CD
∵
，AC=24，
AE=EC=
∴
AC=12，又AD=DC，
∴在Rt
ADE
△
中，cos DAE=
∠
．
AD=13
∴
．
1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC 的长为（ ）
A．10tan50° B．10cos50° C．10sin50° D．
2．如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，DE BC
⊥
，垂足为E，若AD=2DC，AB=4DE，则sinB 等于
（ ）
10
A．
B．
C．
D．
3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan DBA=
∠
，则AD
的长是（ ）
A．
B．2 C．1
D．2
4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，D 是AC 上一点，DE AB
⊥
于E，且CD=2，DE=1，则
BC 的长为（ ）
A．2
B．
C．2
D．4
5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD AB
⊥
于D，若AC=2
，AB=3
，则tan BCD
∠
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=16cm，AB 的中垂线MN 交AC 于点D，连接BD，若
cos BDC=
∠
，则BC=（ ）
11
A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm
2．如图，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=
，AC=
，则AB=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
3．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线
上的D′处，那么tan BAD′
∠
等于（ ）
A．1
B．
C．
D．2
4．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AC=4，则BD 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．8
5．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则tanA=（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知，如图，梯形ABCD 中，AD BC
∥
，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD 的长为（ ）
A．
B．4
C．
D．4
7．如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD：AC 等于（ ）
12
A．
：2
B．
：3
C．1：2 D．
：1
8．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c．应选择的关系式是（ ）
A．c=
B．c=
C．c=a•tanA D．c=a•cotA
9．如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，CD AB
⊥
于点D．已知AC=
，BC=2，那么sin ACD=
∠
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= ，则BC 等于（ ）
A．45
B．5
C．
D．
参考答案：
当堂检测
1.
【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【解答】解：∵cosB=
，
BC=ABcosB=10cos50°
∴
．
故选B．
2．
【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．作AF BC
⊥
于点F，则有DE AF
∥
．
根据平行线分线段所成比例关系得三角形边的关系，然后根据三角函数定义进行求解．
【解答】解：作AF BC
⊥
于点F，则有DE AF
∥
．
AD=2DC
∵
，
DC
∴
：AC=1：3=DE：AF，
AF=3DE
∴
．
AB=4DE
∵
，
13
sinB=
∴
= ．
故选D．
3．
【分析】作DE AB
⊥
，构造直角三角形，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长．
【解答】解：作DE AB
⊥
于E 点．
tan DBA=
∵
∠
=
，
BE=5DE
∴
，
ABC
∵△
为等腰直角三角形，
A=45°
∴∠
，
AE=DE
∴
．
BE=5AE
∴
，
又∵AC=6，
AB=6
∴
．
AE+BE=5AE+AE=6
∴
，
AE=
∴
，
∴在等腰直角△ADE 中，由勾股定理，得AD=
AE=2．
故选B．
4．
【分析】由已知可求∠A=30°，AC=4，即求BC=AC•tanA=4×
=
．
【解答】解：∵在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°
A=30°
∴∠
CD=2
∵
，DE=1，
AD=2
∴
，AC=AD+DC=4，
由∠A= A
∠，∠DEA= C=90°
∠
，得
ABC
ADE
△
△
∽
，
∴
=
14
∴
=
BC=
∴
．
故选B．
5．
【分析】证明∠BCD= A
∠，求tanA 即可．根据三角函数的定义求解．
【解答】解：由勾股定理知，c2=a2+b2 BC=
∴
=
．
根据同角的余角相等，∠BCD= A
∠．
tan BCD=tan A=
∴
∠
∠
=
．
故选B．
家庭作业
1．
【分析】根据垂直平分线性质可知BD=AD，所以BD+CD=AC；根据cos BDC=
∠
可求出BD 和
CD，从而根据勾股定理求出BC．
【解答】解：∵MN 为AB 的中垂线，
BD=AD
∴
．
设AD=acm，
BD=acm
∴
，CD=（16
a
﹣）cm，
cos BDC=
∴
∠
= ，
a=10
∴
．
∴在Rt
BCD
△
中，CD=6cm，BD=10cm，
BC=8cm
∴
．
故选A．
2．
【分析】作CD AB
⊥
于点D，构造直角三角形，运用三角函数的定义求解．
【解答】解：作CD AB
⊥
于点D．
由题意知，∵sinA=
，
CD=ACsinA
∴
=ACsin30°
=2
×
=
，
cosA=
∵
，
AD=ACcos30°
∴
=2
×
15
=3．
tanB=
∵
=
，
BD=2
∴
．
AB=AD+BD=2+3=5
∴
．
故选B．
3．
【分析】根据旋转不变性，BD=BD′．根据三角函数的定义可得tan BAD′
∠
的值．
【解答】解：由题知，∠ABD′=90°，BD=BD′=
=2
，
tan BAD′=
∴
∠
=
=
．
故选B．
4．
【分析】由题可知，在直角三角形BOA 中，∠ABO=30°，AO= AC=2，根据勾股定理可求BO，
BD=2BO．
【解答】解：在菱形ABCD 中，AC、BD 是对角线，设相交于O 点．
AC BD
∴
⊥
，AC=4，
AO=2
∴
．
ABC=60°
∵∠
，
ABO=30°
∴∠
．
由勾股定理可知：BO=2
．
则BD=4
．
故选B．
5．
【分析】由勾股定理易得AC 的值，进而根据三角函数的定义求解．
【解答】解：在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，AB=13，BC=5，
由勾股定理得：AC=12．
则tanA=
=
．
故选A．
6．
16
【分析】作AE BC
⊥
于E 点，DF BC
⊥
于F 点，则有AE=DF，sinB=sin45°=
=
，由此可以求出
DF、AE；
又sin DCF=sin60°=
∠
，由此求出CD．
【解答】解：如图，分别作AE BC
⊥
于E 点，DF BC
⊥
于F 点．
则有AE=DF，sinB=sin45°=
=
，
DF=AE=
∴
AB=4
．
又∵sin DCF=sin60°=
∠
=
，
CD=
∴
=
=
．
故选A．
7．
【分析】由菱形的性质知，菱形的对角线互相垂直平分，且平分一组对角，可求得∠ADO，然后根
据特殊角的余切值求得对角线一半的比值，即可解答．
【解答】解：由题可知∠ADO=
ADC=60°
∠
．
cot ADO=cot60°=DO
∴
∠
：AO=BD：AC=
：3．
故选B．
8．
【分析】根据三角函数的定义求解．
【解答】解：在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，
sinA=
∴
c=
∴
．
故选：A．
9．
【分析】根据勾股定理可求出斜边长．易证∠ACD= B
∠，sinB=
．
【解答】解：在Rt
ABC
△
中，
AB
∵
2=AC2+BC2，∴AB=3．
ACD+ BCD=90°
∵∠
∠
，∠B+ BCD=90°
∠
，
ACD= B
∴∠
∠．
17
sin ACD=sinB=
∴
∠
=
．
故选A．
10．
【分析】根据正弦函数的定义求解．
【解答】解：∵sinA= =
，AB=15，
BC=5
∴
．
故选B．
课程顾问签字： 教学主管签字：
