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八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3 分，共36 分）
1．（3 分）数学
，
，π，
，0. 中无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3 分）下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．1.5，2，3 C．6，8，10 D．5，12，13
3．（3 分）如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2）B．（3，﹣4）C．
（﹣4，﹣6）D．（﹣1，3）
4．（3 分）点M（2，1）关于x 轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣1，2）
5．（3 分）下列各式中，正确的是（ ）
A．
=±4 B．±
=4 C．
=
3
﹣
D．
=
4
﹣
6．（3 分）若函数y=（k
1
﹣）x|k|+b+1 是正比例函数，则k 和b 的值为（ ）
A．k=±1，b=
1
﹣B．k=±1，b=0C．k=1，b=
1
﹣D．k=
1
﹣，b=
1
﹣
7．（3 分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）下列命题中，不成立的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．同位角相等，两直线平行
C．一个三角形中至少有一个角不大于60 度
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
9．（3 分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查．那
么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（ ）
A．中位数
B．平均数
C．众数D．加权平均数
10．（3 分）2016 年“龙岗年货博览会”在大运中心体育馆展销，小丽从家出发前去购物，途
中发现忘了带钱，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回走，遇到妈妈后聊了
一会儿，接着继续前往大运中心体育馆．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与体育馆的距
离为S，下面能反映S 与t 的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（3 分）如图，∠x 的两条边被一直线所截，用含α 和β 的式子表示∠x 为（ ）
A．α
β
﹣B．β
α
﹣
C．180°
α
﹣+β D．180°
α
β
﹣﹣
12．（3 分）如图，把一个等腰直角三角形放在间距是1 的横格纸上，三个顶点都在横格上，则
此三角形的斜边长是（ ）
A．3 B．
C．2
D．2
二、填空题（每小题3 分，共12 分）
13．（3 分）16 的平方根是 ．
14．（3 分）数据3，4，6，8，x，7 的众数是7，则数据4，3，6，8，2，x 的中位数是 ．
15．
（3 分）观察下列各式：
=
1
﹣，
=
，
=2﹣
…请利用你发
现的规律计算：
（
+
+
+…+
）×（
+
）= ．
16．（3 分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，现将点A、C 重合，使纸片折叠压平，折痕为
EF，那么重叠部分
△AEF 的面积= ．
三、解答题（第17 题5 分，第18 题6 分，第19 题7 分，第20 题8 分，第21 题8 分，第22 题9
分，第23 题9 分，共52 分）
17．（5 分）计算：
﹣|
|
4
﹣
+
．
18．（6 分）解方程组：
．
19．（7 分）每年9 月举行“全国中学生数学联赛”，成绩优异的选手可参加“全国中学生数
学冬令营”，冬令营再选拔出50 名优秀选手进入“国家集训队”．第31 界冬令营已于2015
年12 月在江西省鹰谭一中成功举行．现将脱颖而出的50 名选手分成两组进行竞赛，每组25
人，成绩整理并绘制成如下的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）请你将表格补充完整：
平均数
中位数
众数
方差
一组
74
104
二组
72
（2）从本次统计数据来看， 组比较稳定．
20．（8 分）已知：如图，∠C=∠1，∠2 和∠D 互余，BE⊥FD 于点G．求证：AB∥CD．
21．（8 分）“双十一”当天，某淘宝网店做出优惠活动，按原价应付额不超过200 元的一律9
折优惠，超过200 元的，其中200 元按9 折算，超过200 元的部分按8 折算．设某买家在该店
购物按原价应付x 元，优惠后实付y 元．
（1）当x＞200 时，试写出y 与x 之间的函数关系式（如果是一次函数，请写成y=kx+b 的形
式）；
（2）该买家挑选的商品按原价应付300 元，求优惠后实付多少元？
22．（9 分）如图，l1反映了甲离开A 地的时间与离A 地的距离的关系l2反映了乙离开A 地的
时间与离开A 地距离之间的关系，根据图象填空：
（1）当时间为0 时，甲离A 地 千米；
（2）当时间为 时，甲、乙两人离A 地距离相等；
（3）图中P 点的坐标是 ；
（4）l1对应的函数表达式是：S1= ；
（5）当t=2 时，甲离A 地的距离是 千米；
（6）当S=28 时，乙离开A 地的时间是 时．
23．（9 分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A、C 分别在
坐标轴上，顶点B 的坐标为（6，4），E 为AB 的中点，过点D（8，0）和点E 的直线分别与BC、y
轴交于点F、G．
（1）求直线DE 的函数关系式；
（2）函数y=mx
2
﹣的图象经过点F 且与x 轴交于点H，求出点F 的坐标和m 值；
（3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG 的面积．
八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3 分，共36 分）
1．（3 分）（2015 秋•龙岗区期末）数学
，
，π，
，0. 中无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】无理数．菁优网版权所有
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有
理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理
数．由此即可判定选择项．
【解答】解：
，π 是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开方开不
尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3 分）（2015 秋•龙岗区期末）下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．1.5，2，3 C．6，8，10 D．5，12，13
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答．
【解答】解：A、82+152=172，能构成直角三角形，不符合题意；
B、1.52+22≠32，不能构成直角三角形，符合题意；
C、62+82=102，能构成直角三角形，不符合题意；
D、52+122=132，能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边
的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．（3 分）（2015 秋•龙岗区期末）如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2）B．（3，﹣4）C．
（﹣4，﹣6）D．（﹣1，3）
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．
【解答】解：笑脸位于第二象限，故D 符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号
特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．（3 分）（2015 秋•龙岗区期末）点M（2，1）关于x 轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣1，2）
【考点】关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：M（2，1）关于x 轴对称的点的坐标是（2，﹣1），
故选：C．
【点评】本题考查了关于x 轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规
律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横
坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．（3 分）（2014•孝南区校级模拟）下列各式中，正确的是（ ）
A．
=±4 B．±
=4 C．
=
3
﹣
D．
=
4
﹣
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据算术平方根的定义对A 进行判断；根据平方根的定义对B 进行判断；根据立方根
的定义对C 进行判断；根据二次根式的性质对D 进行判断．
【解答】解：A、原式=4，所以A 选项错误；
B、原式=±4，所以B 选项错误；
C、原式=
3=
﹣
，所以C 选项正确；
D、原式=|
4
﹣|=4，所以D 选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根
式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
6．（3 分）（2015 秋•龙岗区期末）若函数y=（k
1
﹣）x|k|+b+1 是正比例函数，则k 和b 的值为（
）
A．k=±1，b=
1
﹣B．k=±1，b=0C．k=1，b=
1
﹣D．k=
1
﹣，b=
1
﹣
【考点】正比例函数的定义．菁优网版权所有
【分析】根据正比例函数定义可得b+1=0，|k|=1，且k
1
﹣≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：b+1=0，|k|=1，且k
1
﹣≠0，
解得：b=
1
﹣，k=
1
﹣，
故选：D．
【点评】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做
正比例函数．
7．（3 分）（2012•广州）在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理；点到直线的距离；三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC 中，由AC 及BC 的长，利用
勾股定理求出AB 的长，然后过C 作CD 垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘
积的一半来求，也可以由斜边AB 乘以斜边上的高CD 除以2 来求，两者相等，将AC，AB 及
BC 的长代入求出CD 的长，即为C 到AB 的距离．
【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC 中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB=
=15，
过C 作CD⊥AB，交AB 于点D，
又S△ABC=
AC•BC=
AB•CD，
∴CD=
=
=
，
则点C 到AB 的距离是
．
故选A
【点评】此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理
是解本题的关键．
8．（3 分）（2015 秋•龙岗区期末）下列命题中，不成立的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．同位角相等，两直线平行
C．一个三角形中至少有一个角不大于60 度
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【分析】根据平行线的性质对A 进行判断；根据平行线的判定方法对B 进行判断；根据三角形
内角和定理对C 进行判断；根据三角形外角性质对D 进行判断．
【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，所以A 选项为真命题；
B、同位角相等，两直线平行，所以B 选项为真命题；
C、一个三角形中至少有一个角不大于60 度，所以C 选项为真命题；
D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以D 选项为假命题．
故选D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结
论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如
果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
9．（3 分）（2015 春•无锡期中）为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水
果作了民意调查．那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（ ）
A．中位数
B．平均数
C．众数D．加权平均数
【考点】统计量的选择．菁优网版权所有
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．
【解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一
组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定
是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．
故选C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和
恰当的运用．
10．（3 分）（2015 秋•龙岗区期末）2016 年“龙岗年货博览会”在大运中心体育馆展销，小丽
从家出发前去购物，途中发现忘了带钱，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往
回走，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续前往大运中心体育馆．设小丽从家出发后所用时间
为t，小丽与体育馆的距离为S，下面能反映S 与t 的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据去购物与体育馆的路程随时间的增加而减少，返回时路程随时间的增加而增加，
聊天时路程不变，再去购物时路程随时间的增加而减少，可得答案．
【解答】解：由题意，得
路程减少，路程增加，路程不变，路程减少，
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象，理解题意：去购物与体育馆路程减少，返回路程增加，聊天时路
程不变是解题关键．
11．（3 分）（2015 秋•薛城区期末）如图，∠x 的两条边被一直线所截，用含α 和β 的式子表示
∠x 为（ ）
A．α
β
﹣B．β
α
﹣
C．180°
α
﹣+β D．180°
α
β
﹣﹣
【考点】三角形的外角性质．菁优网版权所有
【分析】根据β 为角x 和α 的对顶角所在的三角形的外角，再根据三角形一个外角等于和它不
相邻的两个内角的和解答．
【解答】解：如图，∵α=∠1，
∴β=x+∠1
整理得：x=β
α
﹣．
故选B．
【点评】本题主要利用三角形外角的性质求解，需要熟练掌握并灵活运用．
12．（3 分）（2015 秋•龙岗区期末）如图，把一个等腰直角三角形放在间距是1 的横格纸上，三
个顶点都在横格上，则此三角形的斜边长是（ ）
A．3 B．
C．2
D．2
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【分析】作BD⊥a 于D，CE⊥a 于E 则∠BDA=∠AEC=90°，证出∠ABD=∠CAE，由AAS 证
明△ABD≌△CAE，得出对应边相等AE=BD=1，由勾股定理求出AC，再由勾股定理求出BC
即可．
【解答】解：如图所示：作BD⊥a 于D，CE⊥a 于E，
则∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD 和△CAE 中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD=1，
∵CE=2，
∴由勾股定理得：AB=AC=，
=
，
∴BC=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握
勾股定理，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3 分，共12 分）
13．（3 分）（2013•盐城）16 的平方根是
±
4
．
【考点】平方根．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x 就是a 的平
方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2=16，
∴16 的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方
根是0；负数没有平方根．
14．（3 分）（2015 秋•龙岗区期末）数据3，4，6，8，x，7 的众数是7，则数据4，3，6，8，2，x 的中
位数是
5
．
【考点】中位数；众数．菁优网版权所有
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：∵这组数据的众数为7，
∴x=7，
这组数据按从小到大的顺序排列为：2，3，4，6，7，8，
则中位数为：
=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组
数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数
就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数
据的中位数．
15．（3 分）（2015 秋•龙岗区期末）观察下列各式：
=
1
﹣，
=
，
=2﹣
…请利用你发现的规律计算：
（
+
+
+…+
）×（
+
）=
2014
．
【考点】分母有理化．菁优网版权所有
【专题】规律型；实数．
【分析】原式第一个因式中各项分母有理化后，再利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：原式=（
﹣
+2﹣
+
2
﹣+…+
﹣
）×（
+
）=（
﹣
）×（
+
）=2016
2=2014
﹣
，
故答案为：2014
【点评】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式
的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反
绝对值相同．
16．（3 分）（2015 秋•龙岗区期末）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，现将点A、C 重合，
使纸片折叠压平，折痕为EF，那么重叠部分
△AEF 的面积=
．
【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】数形结合．
【分析】重叠部分为△AEF，底为AF，高为AB，根据折叠的性质可知∠AEF=∠CEF，AE=EC，
由平行线的性质可知∠CEF=∠AFE，故有∠AEF=∠AFE，可知AE=AF=EC，设
AE=AF=EC=x，则BE=4
x
﹣，在Rt△ABE 中，运用勾股定理列方程求解．
【解答】解：由折叠的性质可知∠AEF=∠CEF，AE=EC，
由平行线的性质可知∠CEF=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=EC，
设AE=AF=EC=x，则BE=4
x
﹣，
在Rt△ABE 中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2，
即32+（4
x
﹣）2=x2，
解得x=
，
∴S△AEF=
×AF×AB=
×
×3=
．
故本题答案为：
．
【点评】本题考查了翻折变换的性质．关键是由折叠得到相等的线段，相等的角，利用勾股定
理列方程求解．
三、解答题（第17 题5 分，第18 题6 分，第19 题7 分，第20 题8 分，第21 题8 分，第22 题9
分，第23 题9 分，共52 分）
17．（5 分）（2015 秋•龙岗区期末）计算：
﹣|
|
4
﹣
+
．
【考点】实数的运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；实数．
【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用立方根的定义及绝对值的代数意义化简，
第三项化为最简二次根式，最后一项利用二次根式除法法则变形，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2
4
4
﹣﹣×
+
﹣
=2
4
2
﹣﹣
+3
2=
3
﹣
﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6 分）（2015 秋•龙岗区期末）解方程组：
．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：
，
①﹣②得：5y=150，即y=30，
把y=30 代入①得：x=28，
则方程组的解为
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加
减消元法．
19．（7 分）（2015 秋•龙岗区期末）每年9 月举行“全国中学生数学联赛”，成绩优异的选手
可参加“全国中学生数学冬令营”，冬令营再选拔出50 名优秀选手进入“国家集训队”．
第31 界冬令营已于2015 年12 月在江西省鹰谭一中成功举行．现将脱颖而出的50 名选手分
成两组进行竞赛，每组25 人，成绩整理并绘制成如下的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）请你将表格补充完整：
平均数
中位数
众数
方差
一组
74
80
80
104
二组
74
70
80
72
（2）从本次统计数据来看， 二 组比较稳定．
【考点】条形统计图；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数；方差．菁优网版权所有
【分析】（1）首先求得第一组中70 分的人数，则众数、中位数即可求得；
根据扇形统计图，利用总人数25 乘以各组的百分求得每个分数的人数，从而求得平均数、中
位数、众数；
（2）根据方差是描述一组数据波动大小的量，方差小的稳定．
【解答】解：（1）第一组中70 分的人数是25
3
11
7=4
﹣﹣
﹣
，
则中位数是：80 分，众数是80 分；
第二组中90 分的人数是25×8%=2（人），80 分的人数是25×40%=10，70 分的人数是
25×36%=9，
则中位数是70 分，众数是80 分，
平均数是：
=74（分）；
（2）方差小的是二组，则二组稳定．
故答案是：二．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计
图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8 分）（2015 秋•龙岗区期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2 和∠D 互余，BE⊥FD 于点G．求
证：AB∥CD．
【考点】平行线的判定．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【分析】首先由BE⊥FD，得∠1 和∠D 互余，再由已知，∠C=∠1，∠2 和∠D 互余，所以得
∠C=∠2，从而证得AB∥CD．
【解答】证明：∵BE⊥FD，
∴∠EGD=90°，
∴∠1+∠D=90°，
又∠2 和∠D 互余，即∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠2，
又已知∠C=∠1，
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD．
【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD 及三角形内角和定理得出∠1
和∠D 互余．
21．
（8 分）
（2015 秋•龙岗区期末）“双十一”当天，某淘宝网店做出优惠活动，按原价应付额
不超过200 元的一律9 折优惠，超过200 元的，其中200 元按9 折算，超过200 元的部分按8
折算．设某买家在该店购物按原价应付x 元，优惠后实付y 元．
（1）当x＞200 时，试写出y 与x 之间的函数关系式（如果是一次函数，请写成y=kx+b 的形
式）；
（2）该买家挑选的商品按原价应付300 元，求优惠后实付多少元？
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据“双十一”当天，某淘宝网店做出优惠活动，按原价应付额不超过200 元的
一律9 折优惠，超过200 元的，其中200 元按9 折算，超过200 元的部分按8 折算可以列出相
应函数关系式；
（2）将x=300 代入第一问中的函数关系式，可以求得相应的y 的值，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
当x＞200 时，y 与x 之间的函数关系式是：y=200×0.9+（x
200
﹣
）×0.8=0.8x+20，
即当x＞200 时，y 与x 之间的函数关系式是：y=0.8x+20；
（2）当x=300 时，y=0.8×300+20=260，
即该买家挑选的商品按原价应付300 元，优惠后实付260 元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，可以列出相应的函数关系式，并
可以根据具体的自变量的值求出相应的函数值．
22．（9 分）（2015 秋•龙岗区期末）如图，l1反映了甲离开A 地的时间与离A 地的距离的关系
l2反映了乙离开A 地的时间与离开A 地距离之间的关系，根据图象填空：
（1）当时间为0 时，甲离A 地
10
千米；
（2）当时间为
5
时，甲、乙两人离A 地距离相等；
（3）图中P 点的坐标是 （
5 ，
20
）
；
（4）l1对应的函数表达式是：S1=
2t + 10
；
（5）当t=2 时，甲离A 地的距离是
14
千米；
（6）当S=28 时，乙离开A 地的时间是
7
时．
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】推理填空题．
【分析】（1）由图象可以得到当时间为0 时，甲离A 地的距离是多少；
（2）由图象可以得到甲、乙两人离A 地距离相等时的时间；
（3）由图象可以得到点P 的坐标；
（4）设出l1对应的函数表达式，然后根据点（0，10），（5，20）在此函数的图象上，可以求得相
应的函数解析式；
（5）将t=2 代入l1的函数解析式，可以求得S1的值，从而可以解答本题；
（6）设出l2对应的函数表达式，然后根据点（5，20）在此函数的图象上，可以求得l2对应的函
数表达式，然后令S2=28，可以求得相应的t 的值，本题得以解决．
【解答】解：（1）由图象可知，当时间为0 时，甲离A 地10 千米，
故答案为：10；
（2）由图象可知，当时间等于5 时，甲、乙两人离A 地距离相等；
故答案为：5；
（3）由图象可得，点P 的坐标为（5，20）；
故答案为：（5，20）；
（4）设l1对应的函数表达式是：S1=kt+b，
∵点（0，10），（5，20）在此函数的图象上，
∴
解得，k=2，b=10
即l1对应的函数表达式是：S1=2t+10，
故答案为：2t+10；
（5）当t=2 时，S1=2×2+10=14 千米，
故答案为：14；
（6）设l2对应的函数表达式是：S2=mt，
∵点（5，20）在此函数的图象上，
∴20=5m，
解得，m=4，
即l2对应的函数表达式是：S2=4t，
令S2=28 时，28=4t，得t=7，
故答案为：7．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
23．（9 分）（2016 春•罗平县期末）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点
重合，顶点A、C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（6，4），E 为AB 的中点，过点D（8，0）和
点E 的直线分别与BC、y 轴交于点F、G．
（1）求直线DE 的函数关系式；
（2）函数y=mx
2
﹣的图象经过点F 且与x 轴交于点H，求出点F 的坐标和m 值；
（3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG 的面积．
【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由顶点B 的坐标为（6，4），E 为AB 的中点，可求得点E 的坐标，又由过点D（8，
0），利用待定系数法即可求得直线DE 的函数关系式；
（2）由（1）可求得点F 的坐标，又由函数y=mx
2
﹣的图象经过点F，利用待定系数法即可求得
m 值；
（3）首先可求得点H 与G 的坐标，即可求得CG，OC，CF，OH 的长，然后由S 四边形OHFG=S 梯形
OHFC+S△CFG，求得答案．
【解答】解：（1）设直线DE 的解析式为：y=kx+b，
∵顶点B 的坐标为（6，4），E 为AB 的中点，
∴点E 的坐标为：（6，2），
∵D（8，0），
∴
，
解得：
，
∴直线DE 的函数关系式为：y=
x
﹣+8；
（2）∵点F 的纵坐标为4，且点F 在直线DE 上，
∴﹣x+8=4，
解得：x=4，
∴点F 的坐标为；（4，4）；
∵函数y=mx
2
﹣的图象经过点F，
∴4m
2=4
﹣
，
解得：m=
；
（3）由（2）得：直线FH 的解析式为：y=
x
2
﹣，
∵
x
2=0
﹣
，
解得：x=
，
∴点H（
，0），
∵G 是直线DE 与y 轴的交点，
∴点G（0，8），
∴OH=
，CF=4，OC=4，CG=OG
OC=4
﹣
，
∴S 四边形OHFG=S 梯形OHFC+S△CFG=
×（
+4）×4+
×4×4=18
．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、中点坐标的求解方法以及多边形的面
积问题．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；家有儿女；gsls；sd2011；sks；lantin；xiu；
wdxwwzy；蓝月梦；郝老师；caicl；zhjh；马兴田；zgm666；zcx（排名不分先后）
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2016 年12 月16 日
考点卡片
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a 的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“﹣a”．
正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a 有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0
的立方根是0．
2．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、
2 的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，
③含有π 的数，如分数π2 是无理数，因为π 是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如
等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3 之间依次多一个0）．
（3）含有π 的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如
是有理数，而不是无
理数．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方
运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，
最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0 指数）运算、根式运算、
特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到
右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①1a=aa•a=aa；②1a+b=a
b
﹣（a+b）（a
b
﹣）=a
ba
b
﹣
﹣．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有
理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：2
3
﹣的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a 可以是任意有理数．
5．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根
式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作
“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解
题途径，往往能事半功倍．
6．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将
这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代
入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x
（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把
求得的x、y 的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的
系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等
或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次
方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任
意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原
方程组的解，用{x=ax=b 的形式表示．
7．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a 和b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x 轴（横轴），竖直数轴叫y 轴（纵轴），x 轴一般取向右为正方向，
y 轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x 轴，又属于y 轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，
第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
8．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平
面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y
的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P
（x，y）的x、y 的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如
果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
9．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k 是常数，
k≠0，k 是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y=kx（k 是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．
当k＞0 时，直线y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随x 的增大而增大；当k＜0
时，直线y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随x 的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k 是常数，k≠0）
的图象．
10．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科
学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根
据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
11．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前
面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
12．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它
只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
13．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同
位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内
错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：
同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
14．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=
×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
15．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的
外角．
16．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角
形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助
线构造三角形．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2
b2
﹣
，b=c2
a2
﹣
及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每
一条直角边．
18．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角
三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较
小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其
他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条
边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
19．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直
角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，
等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角
形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相
等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=
+1，所以r：R=1：
+1．
20．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事
项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面
解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正
确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
21．关于x 轴、y 轴对称的点的坐标
（1）关于x 轴对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y 轴对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y 轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
22．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置
变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图
形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求
的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适
当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出
正确的未知数．
23．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分
数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表
示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是
各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；
按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
24．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然
后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
25．加权平均数
（1）加权平均数：若n 个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…
+xnwnw1+w2+…+wn 叫做这n 个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合
知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的
“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
26．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位
置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数
据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现
在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中
位数描述其趋势．
27．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，
此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中
程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
28．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情
况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1
x¯
﹣
）2+（x2
x¯
﹣
）2+…+（xn
x¯
﹣
）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性
也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
29．统计量的选择
（1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．但这并不是绝对的，
有时多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方
差或标准差的值．从而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行
具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等
或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小．
（2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数
是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波
动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动
范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其
平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，
则离散程度越小，稳定性越好．
