文档文本内容
1
勾股定理
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1、了解勾股定理的推理过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；
2、从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想；
3、通过研究一系列富有探究性的问题，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．
1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于_____的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在___三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一
条直角边．
2. 直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角___．
性质3：在直角三角形中，斜边上的___等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边
的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．
性质5： 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的___；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所
对的锐角等于___．
3． 勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是
从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：
①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边
长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
2
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整
数的直角三角形的斜边．
4．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最
短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有
关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
参考答案：
1.（1）斜边长；（2）直角
2.（2）互余 中线 一半 30°
4.（1）线段最短
1. 勾股定理．
【例1】（2014•临沂蒙阴中学期末）已知△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高AD=8，则边BC 的
长为（ ）
A．21 B．15 C．6
D．以上答案都不对．
【解析】高线AD 可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别
依据勾股定理即可求解．
解：在直角三角形ABD 中，根据勾股定理，得BD=15；
在直角三角形ACD 中，根据勾股定理，得CD=6．
当AD 在三角形的内部时，BC=15+6=21；
当AD 在三角形的外部时，BC=15﹣6=9．则BC 的长是21 或9．
故选D．
练1. （2014 秋•绥化六中质检）在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 上的高AD 长为12，则△ABC 的面
积为（ ）
A．84
B．24 C．24 或84
D．42 或84
【解析】由于高的位置是不确定的，所以应分情况进行讨论．
解：（1）
△ABC 为锐角三角形，高AD 在△ABC 内部．BD=
=9，CD=
=5
∴△ABC 的面积为×（9+5）×12=84；
3
（2）
△ABC 为钝角三角形，高AD 在△ABC 外部．方法同（1）可得到BD=9，CD=5
∴△ABC 的面积为×（9﹣5）×12=24．
故选C．
练2.（2014 春•江西赣州中学期末）如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【解析】根据勾股定理进行逐一计算即可．
解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，
∴AC=
=
=
；
AD=
=
=
；
AE=
=
=2．
故选D．
2. 等腰直角三角形．
【例2】（2014•鹰潭中学校级模拟）已知△ABC 是腰长为1 的等腰直角三角形，以Rt△ABC 的斜边
AC 为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰
Rt△ADE，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．2n﹣2
B．2n﹣1
C．2n D．2n+1
【解析】根据△ABC 是边长为1 的等腰直角三角形分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE 的面积，
找出规律即可．
解：∵△ABC 是边长为1 的等腰直角三角形，
∴S△ABC= ×1×1= =21﹣2；
AC=
=
，AD=
=2…，
4
∴S△ACD= ×
×
=1=22﹣2；
S△ADE= ×2×2=1=23﹣2…
∴第n 个等腰直角三角形的面积是2n﹣2．
故选A．
练3. 将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩
余部分展开后的平面图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题．
解：拿一张纸具体剪一剪，结果为A．
故选A．
3. 等边三角形的性质；勾股定理．
【例3】（2014•福建泉州中学一模）以边长为2 厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以
第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（ ）
A．2×（
）10厘米 B．2×（）9厘米
C．2×（
）10厘米
D．2×（
）9厘米
【解析】根据正三角形的三线合一以及勾股定理，得正三角形的高是边长的
倍．以此类推，则
第十个正三角形的边长是第一个正三角形的
倍，即选D．
解：∵△ABC 是正三角形，
∵AB=AC=BC=2
∴AD=
=
∴
=
∴第十个正三角形的边长是第一个正三角形的
倍
即：2×
．
故选D．
练4. 等边三角形ABC 的边长是4，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 边的中点为原点，建立直角坐标
系，则顶点C 的坐标为 ．
【解析】由题意知，点C 是y 轴上，且△AOC 是直角三角形，故可由勾股定理可求得OC 的长．
5
解：由已知可得，OC=
=2
，
则顶点C 的坐标为（0，2
），（0，﹣2
）．
故本题答案为：（0，2
），（0，﹣2
）．
4．勾股定理的应用．
【例4】（2014•福建晋江中学月考）工人师傅从一根长90cm 的钢条上截取一段后恰好与两根长分
别为60cm、100cm 的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（
）
A．80cm
B．
C．80cm 或
D．60cm
【解析】可将截取的钢条做为直角边或斜边，然后根据勾股定理，计算出钢条的长度，看其是否符
合题意．
解：设钢条长度的长度为l cm，
将钢条看作直角边，则钢条长度l2+3600=10000，得到l=80，
将钢条看作斜边，则l2=3600+10000，所以l=
＞90cm，
不合题意；
故选A．
练5. 现有两根铁棒，它们的长分别为2 米和3 米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁
棒的长为（ ）
A．
米
B．
米
C．
米或
米 D．
米
【解析】分两种情况讨论：
①第三根铁棒的长为斜边；
②第三根铁棒的长为直角边．
解：①第三根铁棒为斜边时，其长度为：
=
米；
②第三根铁棒的长为直角边时，其长度为：
=
米．
故选C．
5．平面展开-最短路径问题．
【例5】（2014•贵阳八中期中）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD 为4cm，BC 是直径，
一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C 的最短路程大约是（ ）
A．6cm
B．12cm
C．13cm
D．16cm
【解析】根据题意，先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短．
解：将圆柱体展开，连接D、C，
圆柱体的底面周长为24cm，则DE=12cm，
根据两点之间线段最短，
CD=
=4
≈13cm．
而走B﹣D﹣C 的距离更短，
6
∵BD=4，BC=
，
∴BD+BC≈11.64≈12．
故选B．
练6．（2014 春•普宁市校级期中）如图是一个长4m，宽3m，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处
（长的四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为
（ ）m．
A．4.8
B．
C．5 D．
【解析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
解：有两种展开方法：
①将长方体展开成如图所示，连接A、B，
根据两点之间线段最短，AB=
=
m；
②将长方体展开成如图所示，连接A、B，则AB=
=5＜
m；
故选C．
1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（ ）
A．不能确定
B．
C．17
D．17 或
2．在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c
=（ ）
A．1：
：2
B．
：1：2 C．1：1：2
D．1：2：3
3．直角三角形的两边长分别为3 厘米，4 厘米，则这个直角三角形的周长为（ ）
A．12 厘米
B．15 厘米
C．12 或15 厘米
D．12 或（7+
）厘米
4．有一棵9 米高的大树，树下有一个1 米高的小孩，如果大树在距地面4 米处折断（未完全折
断），则小孩至少离开大树 米之外才是安全的．
5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m 处折断倒下，树干顶部在根部4 米处，这棵大树在
折断前的高度为 m．
7
6．在一个长为2 米，宽为1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽
AD 平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2 米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要
走的最短路程是 米．（精确到0.01 米）
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1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x 值为（ ）
A．5
B．
C．5 或
D．没有
2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（ ）
A．5cm
B．
cm C．5cm 或
cm D．
cm
3．已知Rt△ABC 中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（ ）
A．161
B．289
C．225
D．161 或289
4．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．13
C．16
D．18
5．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B．则蚂
蚁爬行的最短路径的长是 cm．
6．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3 个小正方形．其边长都为1cm，假设
一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟．
7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，
BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是 cm．
8
8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4 米处，
那么这棵树折断之前的高度是 米．
9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一
孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB 距离为1cm，到上盖中与AB 相邻的两边距离
相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h 的最小值大约为 cm．
（精确到个位，参考数据：
≈1.4，
≈1.7，
≈2.2）．
10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔
中心A 和B 的距离为 mm．
9
参考答案：
当堂检测
1.
考点：勾股定理．
分析：根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答．
解：
分两种情况进行讨论：
①两直角边分别为8，15，由勾股定理得第三边应该为
=17，
②一直角边为8，一斜边为15，由勾股定理得第三边应该为
=
，
故选D．
点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边
时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
2．
考点：勾股定理；三角形内角和定理．
分析：先根据∠A：∠B：∠C=1：2：3，求出三个角的度数，然后根据直角三角形的性质进
行解答即可．
解：
若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则根据三角形的内角和定理，得∠A=30°，∠B=60°，
∠C=90°．
设a=x，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得c=2x，再根据勾股定理，得b=
x，
则a：b：c=1：
：2．
故选A．
点评：熟记30°的直角三角形的三边比是1：
：2．
3．
考点：勾股定理．
分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边
中的较长边4 既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，
即4 是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解：
设第三边为x
（1）若4 是直角边，则第三边x 是斜边，由勾股定理，得
32+42=x2，所以x=5．周长为：3+4+5=12 厘米；
（2）若4 是斜边，则第三边x 为直角边，由勾股定理，得
32+x2=42，所以x=
，周长为：3+4+
=7+
厘米．
故选D．
点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边
时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
4．
考点：勾股定理的应用．
分析：根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．
解：
如图，
BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m，则BC=4﹣1=3m，AB=9﹣4=5m，
在Rt△ABC 中，AC=
=
=4．
点评：此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．
5．
10
考点：勾股定理的应用．
分析：根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即
可．
解：
由勾股定理得，断下的部分为
=5 米，折断前为5+3=8 米．
点评：此题主要考查学生运用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单．
6．
考点：平面展开-最短路径问题．
分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
解：
由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2 个正方形的宽，
∴长为2+0.2×2=2.4 米；宽为1 米．
于是最短路径为：
=2.60 米．
故答案为：2.60．
家庭作业
1．
考点：勾股定理．
分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边
中的较长边4，既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，
即4 是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解：
设第三边为x
（1）若4 是直角边，则第三边x 是斜边，由勾股定理，得
32+42=x2，所以x=5
（2）若4 是斜边，则第三边x 为直角边，由勾股定理，得
32+x2=42，所以x=
．
所以第三边的长为5 或
．
故选C．
点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边
时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
2．
考点：勾股定理．
分析：分4 为直角边和斜边两种情况利用勾股定理求解．
解：
当3 和4 是直角边时，第三边是
=5；
当4 是斜边时，第三边是
=
．故选C．
点评：考查分类讨论思想，熟练运用勾股定理．
3．
考点：勾股定理．
分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边
中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即
较长是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解：
当b 是直角边时，根据勾股定理得c2=225﹣64=161；
当b 是斜边时，根据勾股定理得c2=225+64=289．
故选D．
点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边
时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
11
4．
考点：勾股定理；等腰三角形的性质．
分析：首先根据勾股定理和等腰三角形的性质，确定出底边的长，进而求出其周长．
解：
如图，作高AD，
△ABC 中，AB=AC=5，AD⊥BC，AD=4；
Rt△ABD 中，AB=5，AD=4；根据勾股定理，得：
BD=
=3；
∴BC=2BD=6；
所以△ABC 的周长=5+5+6=16；
故选C．
5．
考点：平面展开-最短路径问题．
分析：蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平
成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
解：
如图所示，
路径一：AB=
=13；
路径二：AB=
=
；
路径三：AB=
=
；
∵
＞13＞
，
∴
cm 为最短路径．
点评：此题关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．
6．
考点：平面展开-最短路径问题．
分析：把此正方体的点A 所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A 和B 点间的线
段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于5，另一
条直角边长等于2，利用勾股定理可求得．
解：
因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定
最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB=
=
cm；
12
（2）展开底面右面由勾股定理得AB=
=5cm；
所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5 秒．
点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类
问题的关键．
7．
考点：平面展开-最短路径问题．
分析：题中由A 出发，在盒子的表面上爬到点C1，有两种爬法，即从前面到上面和从前面
到右面，将两种爬法所经过的面分别展开，构成两个长方形，连接AC1，用勾股定理
求出距离再比较即可．
解：
（1）如图2，经过上面，AC1=
=
cm．
（2）如图3，经过右面，AC1=
=
cm．
＜
，所以此题答案为
cm．
8．
考点：勾股定理的应用．
分析：由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜
边．
解：
∵AC=4 米，BC=3 米，∠ACB=90°，
∴折断的部分长为
=5，
∴折断前高度为5+3=8（米）．
点评：此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
9．
考点：勾股定理的应用．
分析：本题中，要求露出外面的管长h 的最短值，其实相当于求一个3×4×10 长方体的对
角线（此时，h 最小），据此解答即可．
解：
如图所示：连接DC，CF，
由题意：ED=3，EC=5﹣1=4
CD2=32+42=25=52，
CF2=52+102=125，
∴吸管口到纸盒内的最大距离=
=5
≈11cm．
∴h=13﹣11≈2cm．
故答案为：2．
点评：本题考查了勾股定理的运用，要弄清楚h 最短时管子的摆放姿势，然后根据勾股定
13
理即可得出结论．
10．
考点：勾股定理的应用．
分析：根据图形标出的长度，可以知道AC 和BC 的长度，从而构造直角三角形，根据勾股
定理就可求出斜边A 和B 的距离．
解：
∵AC=150﹣60=90mm，BC=180﹣60=120mm，
∴AB=
=
mm．
课程顾问签字： 教学主管签字：
