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矩形
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1、掌握矩形的概念、判定与性质，理解矩形与平行四边形的之间的联系；
2、会用矩形的性质解决简单的证明和计算问题；
3、从矩形与平行四边形的区别与联系体会特殊与一般的关系，培养学生辩证唯物主义观点．
1．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对
角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
2．矩形的性质
（1）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是____；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线____；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的
直线；对称中心是两条对角线的交点．
（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的
___．
3．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的____________，
进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的
性质矩形也都具有．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC 都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，
∠OCB=∠OBC；③点O 到三个顶点的距离都相等．
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4．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定_____斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2 及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一
条直角边．
5．翻折变换（折叠问题）
（1）翻折变换（折叠问题）实质上就是_______变换．
（2）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状以及大小不变，位
置
变化，对应边和对应角相等．
（3）在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形
之
间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的
线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角
三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
1. 矩形的性质．
【例1】（2014•武汉洪山区中学期末）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，
∠ACB=30°，则∠AOB 的大小为（ ）
A．30°
B．60°
C．90° D．120°
练1. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC=90°
B．AC=BD
C．OA=OB
D．OA=AD
练2. 如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为 ．
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2. 矩形的性质；等腰三角形的判定．
【例2】（2014•山西古交市中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB＜BC，AC，BD 相交于点O，则图
中等腰三角形的个数是 ．
练3. 若平行四边形的两条对角线长为6 cm 和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的
是（ ）
A．5cm
B．8cm
C．12cm D．16cm
3. 矩形的判定与性质．
【例3】（2014 秋•信阳三中月考）如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E、F、G、H 分别是OA、
OB、OC、OD 上的点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：四边形EFGH 是矩形；
（2）若E、F、G、H 分别是OA、OB、OC、OD 的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD 的面积．
练4. 已知矩形ABCD 和点P，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：P
A2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P 分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和
PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．
答：对图（2）的探究结论为 ；
对图（3）的探究结论为 ；
4．矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【例4】（2014•合肥第一中期末）如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△EDB；
（2）只需添加一个条件，即 等，可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．
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练5. 已知：如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作BE 的平行线
与线段ED 的延长线交于点F，连接AE，CF．
（1）求证：AF=CE；
（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论．
5．矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【例5】（2014•甘肃张掖二中月考质检）如图，矩形纸片ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE
对折，使得点B 落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC 交于点E，则CE 的长为（ ）
A．6cm
B．4cm
C．2cm D．1cm
练6．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 和点C′重合，若AB=2，则C′D 的长为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
1．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则
矩形ABCD 的面积是（ ）
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A．12 B．24
C．12
D．16
2．如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在EF 边上，若矩形ABCD 和矩形AEFC 的面
积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2
B．S1=S2 C．S1＜S2 D．3S1=2S2
3．如图，长方形ABCD 中，M 为CD 中点，今以B、M 为圆心，分别以BC 长、MC 长为半径画弧，两弧
相交于P 点．若∠PBC=70°，则∠MPC 的度数为何？（ ）
A．20 B．35
C．40
D．55
4．如图，矩形ABCD 的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO 为邻边做平行四边形AOC1B，对角
线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B 的面
积为（ ）
A．cm2
B．cm2 C．
cm2
D．
cm2
5．如图，已知四边形ABCD 是矩形，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE．若DE：
AC=3：5，则
的值为（ ）
A． B．
C．
D．
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1．如图，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E，F 分别在AD，BC 上，连接BE，DF，EF，BD．若四
边形BEDF 是菱形，且EF=AE+FC，则边BC 的长为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．
2．如图，P 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，E 是AD 的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE 的周
长为（ ）
A．14
B．16
C．17
D．18
3．已知矩形ABCD 的周长为20cm，两条对角线AC，BD 相交于点O，过点O 作AC 的垂线EF，分别交
两边AD，BC 于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE 与△ABF 判断完全正确的一项为（
）
A．△CDE 与△ABF 的周长都等于10cm，但面积不一定相等
B．△CDE 与△ABF 全等，且周长都为10cm
C．△CDE 与△ABF 全等，且周长都为5cm
D．△CDE 与△ABF 全等，但它们的周长和面积都不能确定
4．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC 的长是（ ）
A．2
B．4
C．
D．
5．矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO 的周长为（ ）
A．16 B．12
C．24
D．20
6．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 中，A（10，0），C（0，4），D 为OA
的中点，P 为BC 边上一点．若△POD 为等腰三角形，则所有满足条件的点P 的坐标为
．
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7．已知：平行四边形ABCD 的对角线交点为O，点E、F 分别在边AB、CD 上，分别沿DE、BF 折叠四
边形ABCD，A、C 两点恰好都落在O 点处，且四边形DEBF 为菱形（如图）．
（1）求证：四边形ABCD 是矩形；
（2）在四边形ABCD 中，求
的值．
8．在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：DF=DC．
9．如图，在矩形ABCD 中，E、F 分别是边AB、CD 的中点，连接AF，CE．
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）求证：四边形AECF 是平行四边形．
10．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交
BC 于点M，交AD 于点N．
（1）求证：CM=CN；
（2）若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3：1，求
的值．
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课程顾问签字： 教学主管签字：
