第十七章 勾股定理
一、选择题(每题3 分,共30 分)
1.下列各组线段的长,不能构成直角三角形的是( )
A.1,√2,3
B.5,12,13
C.6,8,10 D.8,15,17
2.如图所示的各直角三角形中,其中边长x=5 的个数是
( )
A.1 B.2
C.3
D.4
3.如图,以点D 为圆心、DB 的长为半径画弧与数轴交于点A,若点A 表示的数为a,则a 的值
为
( )
A.-1-√5 B.1-√5
C.-√5
D.-1+√5
4.下列命题的逆命题成立的是
( )
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.两直线平行,同位角相等
D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等
5.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,D 是线段BC 上的动点(不含端点B,C),若线段AD 的长
为正整数,则符合条件的点D 共有
( )
A.5 个 B.4 个
C.3 个 D.2 个
6.如图,梯子AB 靠在墙上,底端A 到墙根O 的距离为2 m,顶端B 到地面的距离为7 m,现将梯
子的底端A 向外移动到A',使梯子的底端A'到墙根O 的距离等于3 m,同时梯子的顶端B 下降
至B',那么BB'( )
A.小于1 m
B.大于1 m
C.等于1 m
D.小于或等于1 m
7.如图,直线l 上有三个正方形a,b,c,若正方形a,c 的面积分别为7 和9,则正方形b 的面积为
( )
A.15 B.16
C.20 D.32
8.图1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个完全相同的直角三角形围成的.
在直角三角形ABC 中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向
外延长一倍,得到图2 所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是( )
A.12
B.36
C.66
D.76
9.如图,长方体木箱的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,在它里面放入一根细木条(木条的粗
细、变形忽略不计),要求木条不能露出木箱,则能放入细木条的最大长度是( )
A.√41 cm
B.√34 cm
C.5√2 cm D.5√3 cm
第9 题图 第10 题图
10.如图,正方形ABCD 的边长为2,其面积标为S1,以CD 为斜边向外作等腰直角三角形,以该
等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积记为S2……按照此规律继续下去,则
S2 020的值为
( )
A.(√2
2
)2 017
B.(√2
2
)2 018
C.(1
2
)2 017
D.(1
2
)2 018
二、填空题(每题3 分,共18 分)
11.如图,已知正方形ABCD 的面积为8,则对角线BD 的长为 .
第11 题图 第12 题图
12.如图,在四边形ABCD 中,AB=2,BC=2,CD=3,AD=1,且∠ABC=90°,则∠BAD 的度数为
.
13.已知m,n,d 为一个直角三角形的三边长,且√m-5=8n-n2-16,则此三角形的面积为
.
14.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠,使
点C 落在AB 边的C'处,那么△ADC'的面积是 .
第14 题图 第15 题图 第16 题图
15.如图,已知Rt△ABC 的面积为20 cm2,在斜边AB 的同侧,分别以AB,BC,AC 为直径作三个半
圆,则阴影部分的面积为 .
16.如图,圆柱形容器的高为18 cm,底面周长为24 cm,在容器内壁离下底面4 cm 的点B 处有
一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,离容器上底面2 cm 的A 处,则蚂蚁从外壁A 处到达
内壁B 处的最短距离为 cm.
三、解答题(共52 分)
17.(6 分)如图,在5×5 的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,请在所给网格中按下列要
求画出图形.
(1)从点A 出发作一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为2
√2;
(2)以(1)中的AB 为边作一个等腰三角形ABC,使点C 落在格点上,且另两边的长都是无理数.
18.(8 分)如图,在△ABC 中,CD⊥AB 于点D,AC=4,BC=3,DB=9
5
.
(1)求CD,AD 的值;
(2)判断△ABC 的形状,并说明理由.
19.(8 分)如图,小明所在学校的旗杆BD 高为13 m,距离旗杆20 m 处刚好有一棵高为3 m 的香
樟树AE,活动课上,小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步,发现有一个位置到旗杆
顶部与树顶的距离相等,请你求出该位置与旗杆之间的距离.
20.(8 分)清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王.近日,西安发现了他的数学专著,
其中有一文《积求勾股法》,它对“三边长分别为3,4,5 的整数倍的直角三角形,已知面积求
边长”这一问题提出了解法:“若所设者为积数(面积),以积率六除之,平方开之得数,再以勾股
弦各率乘之,即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述:“若直角三角形的三边长分别为3,4,5
的整数倍,设其面积为S,则第一步,S
6
=m;第二步,√m=k;第三步,分别用3,4,5 乘k,得三边长”.
(1)当面积S 等于150 时,请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长;
(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗?请写出证明过程.
21.(10 分)在△ABC 中,AB=2√5,AC=4,BC=2,以AB 为边向△ABC 外作△ABD,使△ABD 为等
腰直角三角形,求线段CD 的长.
22.(12 分)我们新定义一种三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平
方,则称这个三角形为勾股高三角形,两边交点为勾股顶点.
特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形;(填“是”或“不是”)
②如图1,已知△ABC 为勾股高三角形,其中C 为勾股顶点,CD 是AB 边上的高,若BD=2AD=2,
试求线段CD 的长度;
深入探究
如图2,已知△ABC 为勾股高三角形,其中C 为勾股顶点且CA>CB,CD 是AB 边上的高,试探究
线段AD 与CB 的数量关系,并给予证明;
推广应用
如图3,等腰三角形ABC 为勾股高三角形,其中AB=AC>BC,CD 为AB 边上的高,过点D 作BC
边的平行线与AC 边交于点E,若CE=a,试求线段DE 的长度
.
参考答案
1.A 【解析】 A 项,因为12+(√2)2≠32,所以不能构成直角三角形;B 项,因为52+122=132,所
以能构成直角三角形;C 项,因为62+82=102,所以能构成直角三角形;D 项,因为82+152=172,所
以能构成直角三角形.故选A.
2.B 【解析】 A 项,x=√3
2+ 4
2=5;B 项,x=√25
2-24
2=7;C 项,x=√17
2-15
2=8;D 项,x=
√13
2-12
2=5.故选B.
3.A 【解析】 由题图,可知DB=√2
2+1
2=√5, DA=DB=
∴
√5, a=-
∴
1-√5.故选A.
4.C 【解析】 A 项,逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等,不成立;B 项,逆命题是绝
对值相等的两个数相等,不成立;C 项,逆命题是同位角相等,两直线平行,成立;D 项,逆命题是
相等的两个角都是45°,不成立.故选C.
5.C 【解析】 过点A 作AE⊥BC 于点E,因为AB=AC,所以BE=CE=4.在Rt△ABE 中,由勾
股定理得AE=√A B
2- B E
2=√25−16=3,因为垂线段最短,所以AD 的取值范围是3≤AD<5,
又线段AD 的长为正整数,所以AD=3 或4.由对称性可知,使AD=4 的点D 有2 个,所以符合条
件的点D 共有3 个.故选C.
6.A 【解析】 在Rt△AOB 中, OA=
∵
2 m,OB=7 m, AB=
∴
√O A
2+O B
2=√53 m.由题意可
知A'B'=AB=
√53 m,又OA'=3 m, OB'=
∴
√A 'B'❑
2-OA '❑
2=2√11 m, BB'=
∴
(7-2√11) m<1 m.故选A.
7.B 【解析】 如图, a
∵,b,c 都是正方
形, AC=CD
∴
,∠ABG=∠ACD=90°,∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+
∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DCE.在△ABC 和△CE 中,{
∠BAC =∠DCE,
∠ABC =∠DEC ,
AC = DC ,
∴△ACB≌△CDE, AB=CE
∴
,BC=DE.在Rt△ABC 中,由勾股定理,得
AC2=AB2+BC2=AB2+DE2=7+9=16,∴正方形b 的面积为16.故选B.
8.D 【解析】 根据题意,得将边长为6 的直角边分别向外延长一倍所得的四个直角三角
形的斜边长都是√12
2+5
2=13,所以这个风车的外围周长为13×4+6×4=76.故选D.
9.C 【解析】 如图,连接BC,BD,在Rt△ABC 中,BC=√A C
2+ A B
2=√4
2+5
2=√41(cm),在
Rt△DCB 中,DB=
√DC
2+C B
2=√3
2+(√41)
2=5√2(cm),所以能放入细木条的最大长度为5√2 cm.故选C.
10.C 【解析】 利用等腰直角三角形的斜边与一直角边之间的数量关系可得到规律:从第
二个正方形起每一个正方形的面积都是上一个正方形面积的1
2
,即S2=1
2
S1,S3=1
2
S2=(1
2
)2S1,…,Sn=(1
2
)n-1S1, S
∴
2 020=22×(1
2
)2 020-1=
(1
2
)2 017.故选C.
11.4 【解析】 因为正方形ABCD 的面积为8,所以AB=AD=2√2,所以BD=√A B
2+ A D
2
=
√(2√2)
2+(2√2)
2=4.
12.135° 【解析】 连接AC,∵∠ABC=90°,AB=BC=2,∴∠BAC=45°,AC2=AB2+BC2=22+22=8,
又CD=3,AD=1, AC
∴
2+AD2=CD2,∴∠CAD=90°,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°.
13.6 或10 【解析】 ∵√m-5=8n-n2-16,∴√m-5-8n+n2+16=0,∴√m-5+
(n-4)2=0, m=
∴
5,n=4.(1)当m 为直角三角形的斜边长时,d=√5
2- 4
2=3,∴三角形的面积为1
2
×3×4=6;(2)当d 为直角三角形的斜边长时,三角形的面积为1
2
×5×4=10.故此三角形的面积为
6 或10.
14.6 cm2 【解析】 在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,由勾股定理得AB=
√A C
2+ BC
2=10 cm.由折叠的性知,DC=DC',DC'⊥AB, S
∵
△BCD=1
2
BC·CD,S△ABD=1
2
AB·DC', S
∴
△BCD S∶
△ABD=BC AB=
∶
6∶10=
3∶5, S
∵
△BCD+S△ABD=S△ABC=1
2
×8×6=24(cm2), S
∴
△BDC'=S△BCD=9 cm2,S△ABD=15 cm2, S
∴
△ADC'=S△ABD-
S△BDC'=15-9=6(cm2).
15.20 cm2 【解析】 由题图可知,阴影部分的面积S=1
2
π( AC
2
)2+1
2
π(BC
2
)2+S△ABC-1
2
π( AB
2
)2=π
8
(AC2+BC2-AB2)+S△ABC=S△ABC=20 cm2.
16.20 【解析】 将圆柱形容器展开(过点A 竖直剖开)后侧面是一个长24 cm、宽18 cm 的
长方形,如图,作点A 关于MN 的对称点A',连接A'B 交MN 于点P,连接AP,过点B 作BH⊥MA
于点H.由轴对称的性质和三角形三边关系知A'B 的长度为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离.由题意
知BH=12 cm,A'H=16 cm.在Rt△A'BH 中,由勾股定理得A'B=√A ' H
2+ B H
2=20 cm.即蚂蚁
从外壁A 处到达内壁B 处的最短距离为20 cm.
17.【解析】 (1)线段AB 如图所示.
AB=√2
2+2
2=√8=2 √2.
(2)△ABC 如图所示.
AC=BC=√1
2+3
2=√10
.
18.【解析】 (1) CD
∵
⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.
在Rt△BDC 中,CD=√C B
2- B D
2=√3
2-( 9
5 )
2=12
5 ,
在Rt△ADC 中,AD=√A C
2-C D
2=√4
2-( 12
5 )
2=16
5 .
(2)△ABC 为直角三角形.理由如下:
AD=
∵
16
5
,DB=9
5
, AB=AD+DB=
∴
16
5
+9
5
=5.
AC
∵
2+BC2=42+32=25,AB2=25, AC
∴
2+BC2=AB2,
∴△ABC 为直角三角形.
19.【解析】 如图,CE=CD,AE=3 m,AB=20 m,BD=13 m.
设AC=x m,则BC=(20-x)m,
在Rt△ACE 中,CE=√A E
2+ A C
2=√3
2+ x
2,
在Rt△BCD 中,CD=√B D
2+ BC
2=√13
2+(20- x )
2,
CE=CD
∵
,∴32+x2=(20-x)2+132,
解得x=14, CB=
∴
20-x=6(m).
故该位置与旗杆之间的距离为6 m.
20.【解析】 (1)当S=150 时,m=S
6
=150
6
=25,
k=√m=√25=5,
3×5=15,4×5=20,5×5=25.
所以这个直角三角形的三边长分别为15,20,25.
(2)能.证明如下:
设直角三角形的三边长分别为3k,4k,5k(k>0),
则S=1
2
·3k·4k=6k2,
所以k2=S
6 ,所以k=√
S
6
.
21.【解析】 ∵AC=4,BC=2,AB=2√5,
AC
∴
2+BC2=AB2,∴△ACB 为直角三角形,∠ACB=90°.
分三种情况讨论:
如图1,AB=BD,∠ABD=90°,
过点D 作DE⊥CB,交CB 的延长线于点E,
则∠ABC+∠DBE=90°,
又∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DBE,
∴△ACB≌△BED, BE=AC=
∴
4,DE=BC=2,
CE=
∴
6.
在Rt△CDE 中,由勾股定理得CD=√C E
2+ D E
2=2√10.
如图2,AB=AD,∠BAD=90°,
过点D 作DF⊥CA,交CA 的延长线于点F,
同理可证△ACB≌△DFA,同理可得CD=2√13.
如图3,AD=BD,∠ADB=90°,
过点D 作DG⊥CB,交CB 的延长线于点G,过点A 作AH⊥GD,交GD 的延长线于点H,
同理可证△AHD≌△DGB, AH=DG
∴
,DH=BG.
设BG=x,则CG=2+x,AH=DG=4-x,
易知CG=AH,∴2+x=4-x,解得x=1,
CG=
∴
3,DG=3,
在Rt△CGD 中,由勾股定理,得CD=√C G
2+ DG
2=3√2.
因此,线段CD 的长为2√10或2 √13或3√2.
22.【解析】 特例感知
①是
②根据勾股定理,得CB2=CD2+4,CA2=CD2+1,
∵△ABC 为勾股高三角形,C 为勾股顶点,
CD
∴
2=CB2-CA2=(CD2+4)-(CD2+1)=3,
CD=
∴
√3.
深入探究
AD=CB.证明如下:
∵△ABC 为勾股高三角形,C 为勾股顶点,CA>CB,
CA
∴
2-CB2=CD2, CA
∴
2-CD2=CB2.
CA
∵
2-CD2=AD2, AD
∴
2=CB2, AD=CB.
∴
推广应用
如图,过点A 作AG⊥DE 于点G,
∵等腰三角形ABC 为勾股高三角形,且AB=AC>BC,
AC
∴
2-BC2=CD2,由深入探究中的结论,可知AD=BC.
ED
∵
∥BC,∴∠ADE=∠B.
又∠AGD=∠CDB=90°,∴△AGD≌△CDB, DG=BD.
∴
易知△ADE 为等腰三角形, ED=
∴
2DG=2BD.
又AB=AC,AD=AE, BD=EC=a
∴
, ED=
∴
2a.
