初中数学公式定理
代数部分第一章 有理数及其运算
1
自然数及其运算
11
自然数
零的符号是“0”,它表示没有数量或进位制上的空位
除0之外,任何自然数都是由若干个“1”组成的,“1”是数个数的单位,称作
自然数的单位
自然数的全体：0,1,2,3,4,
…,n
…,叫做自然数的集合,简称自然数集
能被2整除的数叫做偶数;不能被2整除的数叫做奇数
12
自然数的运算
1
加法:
求和的运算叫做加法
2
减法:
减法是加法的逆运算
3
乘法:
同一个自然数的连加运算,就叫做乘法
4
除法:
除法是乘法的逆运算,零不能做除数
13
自然数的运算性质
用字母表示任一个自然数,来说明对于任何自然数的运算普遍成立的运算规
律和运算特征即它们的共同性质,并简称为运算通性或运算律
1
加法交换律:a+b=b+a
2
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
3
乘法交换律:a
·b=b
·a
4
乘法对加法的分配律:(a+b)
·c=a
·c+b
·c
5
乘法结合律:(a
·b)
·c=a
·(b
·c)
6
自然数0和1的运算特征
14
乘法运算及指数运算律
求同一个数得连乘运算,叫做乘方运算
a^n(a
n)中,a叫做底数,自然数n叫做指数,乘方的结果a^n
叫做幂(读作“a
的n次幂”或“a的n次方”)
零的n次方总等于零,1的n次方总等于1
同底数幂相乘,底数不变,只是指数相加
指数运算律(一)同底数幂相乘,指数相加,底数不变,即a^m
·a^n=a^(m+n),
指数运算律(二)乘积的幂,等于各因数的幂的乘积,即(a
·b)^n=a^n
·b^n
指数运算律(三)幂的乘方,指数相乘,底数不变,即(a^m)^n=a^(mn)
指数运算律(四)同底数幂相除,指数相减,底数不变,即a
m/a
n=a
m-n
其中m>n,a
≠0
两个同底数(不为0)
、同指数的幂相除,其商等于a
0=1
，(a
≠0)
分数的意义与特点
a/b
·b=(a
·1/b)
·b=(b
·1/b)
·a=1
·a=a
a/b=am/bm
，(m
≠0)
a/b=(a/b)/(b/n)
，(n
≠0)
分数有一个重要的基本性质：一个分数的分子、分母同时乘以或除以同一个
不为零的数,分数的值不变
22
分数的运算及运算律
加、减法 a/b(+,-)c/d=ad/bd(+,-)bc/bd=(ad(+,-)bc
乘法 a/b
·c/d=ac/bd
除法(a/b)/(c/d)=(a/b)
·(d/c)=ad/bc
乘方(a/b)^m=(a/b)
·(a/b)
…(a/b){m
个括号}=(a^m)/(b^m)
分数加法的交换律是a/b+c/d=c/d+a/b
3
有理数的意义
31
相反意义的量在研究两者的总效果时,可以互相抵消或一部分抵消
32
正数和负数、相反数
带有正号的数叫做正数(“+”号也可省略不写);
带有负号的数叫做负数
负数与正数合并时,其结果可以相消或部分抵消
数零,既不是正数,也不是负数
对任一个数a,
总能有一个数-a,
使它们可以相消,像这样只是符号不同的两
个数,叫做互为相反数
零的相反数,仍是零
33
有理数、数轴
整数包括正整数、负数和零
分数包括正分数、负分数整数和分数,统称为有理数
全体有理数组成的集合,称为有理数集合
全体整数组成的集合,称为整数集合全体自然数组成自然数集合
有理数可以用一条直线上的点来表示
规定了原点、正方向和单位程度的直线叫做数轴
对于任一个有理数,在数轴上都可以有一个确定的点表示它
正数和负数,可表示“相反意义”的量,而数零是它们的界限
互为相反数的一对数,在数轴上总是表示到原点距离相等的一对点零与它们
的相反数都用原点表示
34
绝对值
一个有理数在数轴上所对应的点至原点的距离叫做绝对值
一个正数的绝对值是它本身;
一个负数的绝对值是它的相反数;
零的绝对值是零
4
有理数的运算
41
有理数的加法与减法
加法（1）符号相同的两个有理数相加,只要将两数的绝对值相加,符号仍取原来
的符号（2）两个符号相反的有理数相加,将较大的绝对值减去较小的绝对值,符
号取绝对值较大的加数的符号
减法 减法是加法的逆运算
减法法则是减去一个数,等于加上这个有理数的相反数
在有理数范围内,减法运算也是畅通无阻的
42
代数和
含有加减运算的式子,都能转化成井含有加法运算的式子,我们称它为“代数和”
去括号法则：去掉紧接正号后面的括号时,括号里的各项都不变;去掉紧接负
号后面的括号时,括号里的各项都要变号
添括号法则：紧接正号后面添加括号时,括号到括号里的各项都不变;紧接符号后
面添加括号时,括到括号里的各项都要变号
43
有理数的乘法与除法
乘法异号(一负一正)两有理数相乘,将绝对值相乘,符号取负
两个负有理数相乘,将绝对值相乘,符号取正
乘法法则：将绝对值相乘,积的符号是：同号得正,异号得负
当负乘数有奇数个时,成积为负;当负乘数有偶数个时,成积为正;
只要有一个乘数为零,那么乘积必定是零
除法除法法则：将绝对值相除,商的符号是：同号相除得正,异号相除得负
零除以任一个非零有理数,其商仍为零
零不能作除数
任一个非零有理数x,
除1所得的商1/x,
叫做这个数x的倒数
非零有理数x与1/x
互为倒数,其特征性质是x·1/x=1
零没有倒数
除以一个非零有理数,就等于乘以这个数的倒数a/b=a
·1/b=a/b
44
有理数的乘方
非零有理数的乘方,将其绝对值乘方,而结果的符号是：正数的任何次乘方都
取正号;负数的奇数乘方取负号,负号的偶次乘方取正号
零的非零次都0;
零的零次方没有意义
45
有理数的混合运算
先乘方,再乘除,后加减;若有括号,则“先里后外”去括号,逐步计算
46
近似数和有效数字
与实际相符的数,叫做准确数
与实际接近的数,叫近似数
一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。从左边第一个非
零数字起到精确到那一位数字止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字
5
有理数的基本性质
51
有理数运算的“通性”
1
加、减、乘(乘方)、除运算的封闭性
任意两个有理数的和、差、积、商(0不作除数)都还是有理数这就是有理数四则
运算的封闭性相比之下,在自然数范围内,除法(除数不为0)
、减法都不封闭;在
整数范围内,除法(除数不为0)
也不封闭
2
加法、乘法运算满足交换律、结合律和分配律
与自然数计算法则完全相同
3
加、减法运算,乘、除运算的统一
(1)
加、减运算的统一
任意一个有理数a,
总有它唯一的一个相反数-a,
使得(-a)+a=a+(-a)=0
因而,
有理数减法,就可以转化为加法,即a-b=a+(-b)
(2)
乘、除运算的统一
任意一非零有理数b,
总有它唯一的一个倒数1/b,
使得b·1/b=1/b
·b=1
因而,
有理数除法,就可以转化为乘法,即a/b=a
·1/b(b
≠0)
4
数0与1的特性
对于任意有理数a来说,
a+0=0+a=a; a
·0=0
·a=0; a
·1=1
·a=a
5
乘方运算满足指数运算律
52
有理数的大小顺序
负数<零<正数
（1）a-b>0, a>b;
（2）a-b=0, a=b;
（3）a-b<0, a<b
负数小于0,0
小于正数,负数小于正数;
两个整数比较时,绝对值大的数较大;
两个负数比较时,绝对值大的数反而较小
负数按绝对值由大到小排列,正数按绝对值由小到大排列
在数轴上,右边的点所表示的有理数总是大于左边的点所表示的有理数
53
等式与不等式的基本性质
1
等式
用等号“=”联结两个算式的式子,叫做等式
无需任何条件,本来就是真实的等式,叫做恒等式
在某些条件下,才能成为真实的等式,叫做条件等式
根本不能成立的等式,叫矛盾等式
等式有以下基本性质：
1)
等式的两边可以对调
2)
等式的关系可以传递
3)
等式的两边,可以加上(或减去)同一个数
4)
等式的两边,可以乘以(或除以非零的)同一个数
2
不等式
用不等号“>”或“<”表示的关系式,叫做不等式
1)
如果A>B,
那么B<A
2)
如果A>B,B>C,
那么A<C
3)
如果A>B,
那么A(+,-)m>B(+,-)m
4)
如果A>B,
且m>0,
那么Am>Bm
5)
如果A>B,
且m<0,
那么Am<Bm
第二章 一次方程(组)与一次不等式(组)
1
算术解法与代数解法
11
两种解法的分析、对比
12
未知数和方程
用字母x、y、…等,表示所要求的数量,这些字母称为“未知数”
用运算符号把数或表示书的字母联结而成的式子,叫做代数式
含有未知数的等式,叫做方程
在一个方程中,所含未知数,又成为元;
被“+”、“-”号隔开的每一部分称为一项在一项中,数字或表示已知数的字
母因数叫做未知数的系数
某一项所含有的未知数的指数和,成为这一项的次数
不含未知数的项,成为常数项当常数不为零时,它的次数是0,
因此常数项也
称为零次项
13
方程的解与解方程的根据
未知数应取的值是指：把所列方程中的未知数换成这个值以后,就使方程变成
一个恒等式
能是方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解,也叫做根
求方程解的过程,叫做解方程
解方程的根据是“运算通性”及“等式性质”
可以“由表及里”地去掉括号,并将“含有相同未知数且含未知数的次数也相
同”的各项结合起来,合并在一起——这叫做合并同类项
把方程一边的任一项改变符号后,移到方程的另一边,叫做移项简单说就是
“移项变号”
把方程两边各同除以未知数的系数(或同乘以系数的倒数),
就得到未知数应
取的值
综上所述,得到解方程的方法、步骤：去括号、移项变号、合并同类项,使方
程化为最简形式ax=b(a
≠0)
、除以未知数的系数,得出x=b/a(a
≠0)
2
一元一次方程
只含有一个未知数并且次数是1的方程,叫做一元一次方程一般形
式:ax+b=0(a
≠0,a
、b是常数)
22
一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤是：
1
去分母(或化为整系数);
2
去括号;
3移项变号;
4
合并同类项,化为ax=-b(a
≠0)
的形式;
5
方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解x=-b/a
3
一次方程组
31
二元一次方程
含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程
能够使二元一次方程两边的值相等的未知数x、y的一组值,叫做这个二元一
次方程的一个解
任何一个二元一次方程都有无限多个解,正因为如此,二元一次方程也被称为
不定方程
32
方程组与方程组的解
把几个方程联合在一起,组成一个整体,叫做联立方程,也叫方程组
由几个一次方程组并含有两个未知数的方程组,成为二元一次方程组
能够同时满足方程组中每一个方程的未知数的数组组,叫做方程组的解
33
二元一次方程组的解法
求方程组的解的过程,叫做解方程组
设把二元方程转化为一元方程求解,称为消元法
叫做加减消元法,简称加减法
原方程组是矛盾方程组,无解
34
三元一次方程组及其解法
含有三个未知数的三元一次方程组
4
解应用问题
5
一元一次不等式(组)
51
一元一次方程式
在含有未知数的不等式中,如果只含有一个未知数、分母不含未知数,并且未
知数的次数是一次,那么这样的不等式,叫做一元一次不等式
能够使不等式成立的未知数的值,称为这个不等式的解,所有这样的解的集合,
简称为这个不等式的解集
求不等式的解集的过程,叫做解不等式
52
一元一次不等式的解法
53
一元一次不等式组
由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等
式不等式组中每个不等式的解的公共部分,叫做这个不等式组的解集
54
一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的一般步骤是：
1)
先求出不等式组里各个不等式的解集;
2)
在求出这些不等式的解集的公共部分,就得到这个不等式组的解集
第三章 一元二次方程
1
平方与平方根
11
面积与平方
(1)
任意两个正数的和的平方,等于这两个数的平方和
(2)
任意两个正数的差的平方,等于这两个数的平方和,再减去这两个数乘积
的2倍
任意两个有理数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,再加上(或减去)
这两个数乘积的2倍
12
平方根
1
正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;
2
零只有一个平方根,它就是零本身;
3
负数没有平方根
14
实数
无限不循环小数叫做无理数
有理数和无理数统称为实数
2
平方根的运算
21
算术平方根的性质
性质1
一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身
性质2
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
22
算术平方根的乘、除运算
1
算术平方根的乘法
√(a)
·√(b)=
√(ab) (a>=0,b>=0)
2
算术平方根的除法
√(a)/
√(b)=
√(a/b) (a>=0,b>0)
通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去,叫
做分母有理化
(1)
被开方数的每个因数的指数都小于2;(2)
被开方数不含有字母我们把
符合这两个条件的平方根叫做最简平方根
23
算术平方根的加、减运算
如果几个平方根化成最简平方根以后,被开方数相同,那么这几个平方根就叫
做同类平方根
3
一元二次方程及其解法
31一般的一元二次方程的解法——配方法
用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
1
化二次项系数为1将方程化为x
2+px+q=0
的形式
2
移项把常数项移至方程右边,将方程化为x
2+px=-q
的形式
3配方方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,是方程左边成为含有未
知数的完全平方形式,右边是一个常数
4
有平方根的定义,可知
(1)
当p
2/4-q>0
时,原方程有两个实数根;
(2)
当p
2/4-q=0,
原方程有两个相等的实数根(二重根);
(3)
当p
2/4-q<0,
原方程无实根
32
一元二次方程的求根公式
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a
≠0)
的求根公式:
当b
2-4ac>=0
时,x1,2=(-b(+,-)
√(b^2-4ac))/2a
33
一元二次方程根的判别式
方程ax^2+bx+c=0(a
≠0)
当△=b
2-4ac>0
时,有两个不相等的实数根;
当△=b
2-4ac=0
时,有两个相等的实数根;
当△=b
2-4ac<0
时,没有实数根
34
一元二次方程的根与系数的关系
以两个数x
1,x
2为根的一元二次方程(二次项系数为1)
是x
2-(x
1+x
2)x+x
1·x
2=0
第四章 多项式的四则运算
1
单项式与多项式
仅含有一些数和字母的乘法(包括乘方)运算的式子叫做单项式单独的一个数
或字母也是单项式
单项式中的数字因数叫做这个单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数
当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
如果在几个单项式中,不管它们的系数是不是相同,只要他们所含的字母相同,
并且相同字母的指数也分别相同,那么,这几个单项式就叫做同类单项式,简称同
类项所有的常数都是同类项
12
多项式
有有限个单项式的代数和组成的式子,叫做多项式
多项式里每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项,叫做常数项
单项式可以看作是多项式的特例
把同类单项式的系数相加或相减,而单项式中的字母的乘方指数不变
在多项式中,所含的不同未知数的个数,称做这个多项式的元数经过合并同类
项后,多项式所含单项式的个数,称为这个多项式的项数所含个单项式中最高次
项的次数,就称为这个多项式的次数
13
多项式的值
任何一个多项式,就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起
来的式子
14
多项式的恒等
对于两个一元多项式f(x)
、g(x)
来说,当未知数x同取任一个数值a时,如果
它们所得的值都是相等的,即f(a)=g(a),
那么,这两个多项式就称为是恒等的记
为f(x)==g(x),
或简记为f(x)=g(x)
性质1
如果f(x)==g(x),
那么,对于任一个数值a,
都有f(a)=g(a)
性质2
如果f(x)==g(x),
那么,这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等
15
一元多项式的根
一般地,能够使多项式f(x)
的值等于0的未知数x的值,叫做多项式f(x)
的根
2
多项式的加、减法,乘法
21
多项式的加、减法
22
多项式的乘法
单项式相乘,用它们系数作为积的系数,对于相同的字母因式,则连同它的指
数作为积的一个因式
3
多项式的乘法
多项式与多项式相乘,先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项,再
把所得的积相加
23
常用乘法公式
公式I
平方差公式
(a+b)(a-b)=a
2-b
2
公式II
完全平方公式
(a+b)
2=a
2+2ab+b
2
(a-b)
2=a
2-2ab+b
2
3
单项式的除法
两个单项式相除,就是它们的系数、同底数的幂分别相除,而对于那些只在被除式
里出现的字母,连同它们的指数一起作为商的因式,对于只在除式里出现的字母,
连同它们的指数的相反数一起作为商的因式
一个多项式处以一个单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所
得的商相加
第五章因式分解
1
因式分解
11
因式
如果一个次数不低于一次的多项式因式,除这个多项式本身和非零常数外,再
也没有其他的因式,那么这个因式(即该多项式)就叫做质因式
12
因式分解
把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解
1
提取公因式法
2
运用公式法
3
分组分解法
4
十字相乘法
5
配方法
6
求根公式法
13
用待定系数法分解因式
2
余式定理及其应用
21
余式定理
f(x)
除以(x-a)
的余式是常数f(a)
如果f(a)=0,
那么f(x)
必定含有因式x-a;
反过来,如果f(x)
含有因式x-a,
那
么f(a)=0
这个结论叫做因式定理
22
余式定理的应用
23
因式分解法解一元方程
24
根与系数的关系
如果x
1,x
2时二次三项式ax+bx+c(a
不等于)0的两个根,那么
x
1+x
2=-b/a,x
1x
2=c/a
第六章分式与二次根式
1
分式与分式方程
11
指数的扩充
12
分式和分式的基本性质
设f,g
是一元或多元多项式,g的次数高于零次,则称f,g
之比f/g
为分式
分式的基本性质 分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数,分数
的值不变
13
分式的约分和通分
分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简
如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式,且各系数没有大于1
的公约数,则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式
对于分母不相同的几个分式,将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式,
使各分式的分母相同,而各分式的值保持不变,这种运算叫做通分
14
分式的运算
15
分式方程
方程的两遍都是有理式,这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式,则
称为分式方程
2
二次根式
21
根式
在实数范围内,如果n个x相乘等于a,n
是大于1的整数,则称x为a的n次方根
含有数字与变元的加,减,乘,除,乘方,开方运算,并一定含有变元开方运算
的算式成为无理式
22
最简二次根式与同类根式
具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)
被开方式的每一个因式的指
数都小于开方次数 (2)
根号内不含有分母
如果几个二次根式化成最简根式以后,被开方式相同,那么这几个二次根式叫做
同类根式
23
二次根式的运算
24
无理方程
根号里含有未知数的方程叫做无理方程
第七章函数与图像
1数轴
11
有向直线
在科学技术和日常生活中,为了区别一条直线的两个不同方向,可以规定其中一
方向为正向,另一方向为负相
规定了正方向的直线,叫做有向直线,读作有向直线l
12
数轴
我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标
对于每一个坐标(实数),
在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的
坐标化
数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有
向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值
2
平面直角坐标系
21
平面的直角坐标化
在平面内任取一点o为作为原点(基准点),
过o引两条互相垂直的,以o为公共原
点的数轴,一般地,两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐
标系x轴叫横轴,y轴叫纵轴,它们都叫直角坐标系的坐标轴;公共原点o称为直
角坐标系的原点;我们把建立了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面
两坐标轴把坐标平面分成四个部分,它们叫做四个象限
22
两点间的距离
23
中点公式
3
函数
31
常量,变量和函数
在某一过程中可以去不同数值的量,叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或
数,叫做常量或常数
一般地,设在变活过程中有两个互相关联的变量x,y,
如果对于x在某一范围内的
每一个确定的值,y
都有唯一确定的值与之对应,那么就称y是x的函数,x
叫做自
变量
1.
函数的定义域
2.
对应法则
(1)
解析法
就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数,这个等式叫做函数的解析表达
式(函数关系式)
(2)
列表法
(3)
图像法
3
函数的值域
一般的,当函数f(x)
的自变量x去定义域D中的一个确定的值a,
函数有唯一确定
的对应值这个对应值,称为x=a
时的函数值,简称函数值,记作:f(a)
32
函数的图像
若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在
直角坐标平面上描出一个点(x,f(x))
的集合构成一个图形F,
而集F成为函数
y=f(x)
的图像
知道函数的解析式,要画函数的图像,一般分为列表,描点,连线三个步骤
4
正比例函数
41
正比例函数
一般地,函数y=kx(k
是不等于零的常数)叫做正比例函数,其中常数k叫做变量y
与x之间的比例函数确定了比例函数k,
就可以确定一个正比例函数
正比例函数y=kx
有下列性质:
(3)
当k>0
时,它的图像经过第一,三象限,y
随着x的值增大而增大;当k<0
时,他的
图像经过第二,四象限,y随着x的增大而减小
(2)
随着比例函数的绝对值的增加,函数图像渐渐离开x轴而接近于y轴,故,比例
系数k和直线y=kx
与x轴正方向所成的角有关，据此,k叫做直线y=kx
的斜率
42
反比例函数
一般地,函数y=k/x(k
是不等于0的常数)叫做反比例函数
反比例函数y=k/x
有下列性质:
(7)
当k>0
时,他的图像的两个分支分别位于第一,三象限内,在每一个象限内,y随
x的值增大而减小;当k<0
时,它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内,在
每一个象限内,y随x的增大而增大
(8)
它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴
5
一次函数及其图像
51
一次函数及其图像
如果k=0
时,函数变形为y=b,
无论x在其定义域内取何值,y都有唯一确定的值b
与之对应,这样的函数我们称它为常函数
直线y=kx+b
与y轴交点(0,b),b
叫做直线y=kx+b
在y轴上的纵截距,简称截距
52
一次函数的性质
函数y=f(
小),
在a〈x〈b上,如果函数值随着自变量x的值增加而增加,那么我
们说函数f(x)
在a〈x<b
上市递增函数;如果函数值随着自变量x的值增大而减
小,那么我们说函数y=
发(x)
在a〈x〈b上是递减函数
如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像,交点的坐标就是这个方
程组的解,这种求二元一次方程组的解法叫图像法
3.
3
一次函数的应用
第八章二次函数
1
二次函数及其图像
11
二次函数
我们把函数y=ax
² +bx+c(a,b,c
为常数,且a不等于0)
叫做二次函数
12
函数y=ax
² (a不等于0)
的图像和性质
用表里各组对应值作为点的坐标,进行描点,然后用光滑的曲线把它们顺次联结
起来,就得到函数y=x
² 的图象这个图象叫做抛物线函数y=x
² 的图像,以后简称
为抛物线y=x
² 这条抛物线是关于y轴成对称的我们把y轴叫做抛物线y=x
² 的
对称轴对称轴和抛物线的焦点,叫做抛物线的顶点
13
函数y=ax+bx+c(a
不等于0)
的图像和性质
抛物线y=ax+bx+c
的顶点坐标是(-b/2a,
（4ac-b
2)/4a),
对称轴方程是x=-b/2a,
当a〉0时,抛物线的开口向上,并且向上无限延伸;当a
〈0时,抛物线的开口向下,
并且向下无限延伸
当a〉0时,二次函数y=ax+bx+c
在x〈-b/2a
时是递减的,在x〉-b/2a
时是递增
的;在x=-b/2a
处取得y最小=4ac-b
2/4a
当a〈0时,二次函数y=ax+bx+c
在x
〈-b/2a
时是递减的;在x=-b/2a
处取得y最大=4ac-b/4a
2
根据已知条件求二次函数
21
根据已知条件确定二次函数
22
二次函数的最大值或最小值
23
一元二次方程的图像解法
几何部分第一章 实验几何
1
点和直线
1.1
位置和通路
在几何学中,“点”就是表示位置的,它是没有大小的,通常,我们用不同的字
母表示不同的电
在空间,另一个原始的基本概念是“通路”,所谓通路,就是从一个位置移到另
一个位置的路线
连结A、B两点的最短通路唯一存在,它就是连结A、B两点的直线段
直线段简称线段,两点之间可以连唯一一条线段；在所有连接两点的通路中线
段最短
已知线段AB,
按点A到点B的方向延长,那么延长出来的部分就叫线段AB的延长
线,同样,也可以作线段BA的延长线
1.2
直线的基本性质
由线段AB向两方无限延伸所形成的图形叫做直线,一条直线上有无限多个点,直
线可以用标记它上面任意两个点的大写字母来表示,也可以用一个小写字母表示,
如直线AB,
直线l
过相异两点有一条直线,并且只有一条直线（简称相异两点确定一条直线）
两条相交直线确定一个交点
1.3
线段的长度
两点间的距离就是连结这两点的线段的长度
平分线段的点叫做线段的中点
一条线段只有一个中点
2
弧和角
2.1
圆和弧
在平面上,固定线段OA的一个端点O,
线段OA绕点O旋转一周,另一个端点所经
过的封闭的曲线叫做圆,其中,定点O叫做圆心,线段OA叫做半径
圆上的任意两点叫做弧
2.2
方向和角
方向与射线：直线上某一点和它一旁的部分叫做射线,这个点叫做射线的端点
射线与角：从同一端点出发的两条射线所组成的图形叫做角,这个共同的端点叫
做角的顶点,这两条射线分别叫做角的边
若射线AB绕点A旋转一周,仍然回到原来的位置,所形成的角称为周角
从角的顶点在这个角的内部引一条射线,如果这条射线将这个角分为两个相等的
角,那么这条射线叫做角的平分线
2.3
角的度量
当一个角等于平角的一半时,这个角叫做直角
大于直角而小于平角的角叫做钝角
大于零角而小于直角的角叫锐角
两个角的和等于一个直角,则称这两个角互为余角
两个角的和等于一个平角,则称这两个角互为补角
3
相交与平行
3.1
对顶角、邻角、邻补角
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线时,这两个角叫做对顶角
对顶角相等
3.2
垂线和斜线
当两条直线相交成直角时,这两条直线就叫做互相垂直,其中一条叫做另一条
的垂线,交点叫做垂足
直线l
2和l
1相交,它们的交角不成直角,这两条直线就叫做互相斜交,其中一条叫
做另一条的斜线,交点叫做斜足
过直线外一点画这条直线的垂线,这点到垂足间线段的长度叫做这点到这条
直线的距离
过线段中点作这条线段的垂线,这条垂线叫做这条线段的垂直平分线
3.3
同位角、内错角、同旁内角
分别在两条直线的相同的一侧,并且都在第三条直线的同旁的一对角叫做同位角
在两条直线的内侧,并且在第三条直线的异侧的一对角叫做内错角
在两条直线的内侧,并且都在第三条直线的同旁的一对角叫做同旁内角
3.4
平行线
平行公理：经过直线外一点,又一条而且只有一条直线与该直线平行
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,两直线平行
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,两直线平行
两条直线被第三条直线所截,如果内同旁内角互补,两直线平行
垂直于同一直线的两直线平行
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等
两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
3.5
空间的直线与平面的位置关系
一条棱垂直于一个面内两条相交的棱,这条棱与这个面就互相垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么和两个平面互相垂直
不在平面内的一条直线只要与平面内的某一条直线平行,这条直线与这个平
面就是平行的
4
叠合与全等
4.1
叠合与全等形
两个形状相同,大小相等的几何图形叫做全等形
两个全等三角形的对应边相等,对应角相等
4.2
三角形全等的条件
三角形具有稳定性
判定方法1
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应相等,那
么这两个三角形全等
判定方法2
如果一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条
边及其夹角对应相等,那么这两个三角形全等
判定方法3
如果一个三角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及
其夹边对应相等,那么这两个三角形全等
5
面积及勾股定理
5 1
面积
平行四边形面积公式 S=ah
三角形面积公式 S=a*h/2
梯形面积公式 S= (a+b)*h/2
5 2
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
第二章 集合知识初步
1
集合及其表示法
1.1
集合的描述法
组成某个集合的每一个事物叫做这个集合的元素
列举法：如果集合所含的元素个数较少,那么便可把这个集合所含的元素逐个列
举出来,这种描述法叫做列举法
特征性质描述法：如果集合所含的元素个数较多,甚至含有无限多个元素,这样的
集合不便于用列举法表示出来,此时可采用指出元素特征性质的方法来表示集合,
这种表示方法叫做特征性质描述法
维因图：为了形象化地帮助我们理解集合,可以用一个简单的图形来表示它,通常
用来表示给定集合的图形是圆形,圆形上的点表示这个集合所含有的元素,这种
用来表示集合的图形叫维因图
1.2
集合之间的关系
包含关系：如果集合A的元素都是集合B的元素,那么就称集合A包含于集合B,
也可称集合B包含集合A
1.3
交集、并集
交集：对于给定的两个集合A、B,
由它们的公共元素所组成的集合叫做A、B的
交集
并集：对于给定的两个集合A、B,
把它们所含元素合并起来所组成的集合,叫做A、
B的并集
2
集合知识简单应用
2.1
集合及其性特征性质
2.2
子集与推出关系
2.3
充分条件与必要条件
第三章 三角形
1
三角形的有关概念和性质
1.1
三角形的内角和
在同一平面内,由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形
叫做多边形.组成多变形的那些线段叫做多边形的边.相邻两边的公共端点叫做
多边形的顶点.多变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角,简称多边形的角.多
变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角.
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180
°
在原来图形上添画的线叫做辅助线
依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角
三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫
做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.
在直角三角形中,夹直角的两边叫做直角边,直角的对边叫做斜边.
推论1
直角三角形的两个锐角互余
推论2
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
1.2
三角形的有关线段
三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫做三角形
的角平分线
连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线
从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线,顶点和垂足间的线段
叫做三角形的高
2
全等三角形
2.1
全等三角形的证明
边边边 有三边对应相等的两个三角形全等
边角边 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
角边角 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
定理 有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
2.2
直角三角形全等的判定
定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
3
等腰三角形
3.1
等腰三角形及其性质
三角形的三边,有的三边互不相等,有的有两边相等,有的三边都相等.三边都不
相等的三角形叫做不等边三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都
相等的三角形叫做等边三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫
做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角
定理 等腰三角形的底角相等
推论 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形
定理 一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等
等边三角形定理1
等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60
等边三角形定理2
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形定理3
有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形
3.2
线段的垂直平分线与角平分线
定理 线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
定理 和一条线段两个端点距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线可以看成是所有和线段两段距离相等的点的集合
定理 点在角平分线上的充要条件是这一点到这个角两边的距离相等
角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合
3
轴对称
定义 如果点A,B
在直线l的两侧,且l是线段AB的垂直平分线,则称点A,B
关于
直线l互相对称,点A,B
互称为关于直线l的对称点,直线l叫做对称轴
定义 在平面上,如果图形F的所有点关于平面上的直线l成轴对称,直线l
叫做对称轴
定义 在平面上,如果存在一条直线l,
图形F的所有点关于直线l的对称点组成
的图形,仍是图形F自身,则称图形F为轴对称图形,直线l是它的一条对称轴
定理 （1）对称轴上的任意一点与一对对称点的距离相等 （2）对称点所连
线段被对称轴垂直平分
推论 两个图形如果关于某直线称轴对称,那么这两个图形是全等形
3.4
三角形中的不等关系
定理 三角形的外角大于和它不相邻的任一内角
定理 三角形任何两边的和大于第三边
推论 三角形任何两边的差小于第三边
定理 在一个三角形中,如果两边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的
角较大
定理 在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对
的边较大
在一个三角形中,一条边大于另一条边的充要条件是,这条边所对的角大于另
一条边所对的角
4
直角三角形
4.1
勾股定理逆定理
勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a,b,c
满足条件a
2+b
2=c
2,那么c所对的
角是直角
4.2
含30角的直角三角形的性质
定理 在直角三角形中,如果一个锐角等于30
°,那么它所对的直角边等于斜
边的一半
4.3
直角三角形斜边上中线的性质
定理 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
5
基本作图
5.1
基本作图
5.1
作三角形
5.3
轨迹与反证法
我们把物体按某种规律运动的路线叫做物体运动的轨迹
我们就把一个点在空间按某种规律运动的路线,叫做这个点运动的轨迹,这个
点就叫做动点
定义 具有性质a的所有点构成的集合,叫做具有性质a的点的轨迹
轨迹具有纯粹性和完备性
基本轨迹1
与两个已知点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直
平分线
基本轨迹2
与已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
第四章 四边形
1
多边形
1.1
多边形
延长多边形的任意一条边,如果这个多边形的其他各边都在这些延长所得的
直线的同旁,我们把这样的多边形叫做凸多边形
在多变形中,连结不相邻两个定点的线段叫做多边形的对角线
1.2
多边形的内角和
多边形的内角和定理 n边形的内角和等于(n-2)*180
°
多边形的外角和定理任意多边形的外角和等于360
°
2
平行四边形
2.1
平行四边形的定义和性质
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
平行四边形性质定理1
平行四边形的对边相等
平行四边形性质定理2
平行四边形的对角相等
定理 夹在两条平行线间的平行线段相等
同时垂直于两条平行线的直线叫做这两条平行线的公垂线,公垂线夹在平行线间
的线段叫做公垂线段,两条平行线间公垂线短的长叫做这两条平行线间的距离
推论 平行线间的距离处处相等
平行四边形性质定理3
平行四边形对角线互相平分
2.2
平行四边形的判定
平行四边形判定定理1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理2
两组对角分别向等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理3
对角线互相评分的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理4
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2 3
特殊的平行四边形
一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形性质定理1
矩形的四个角都是直角
矩形性质定理2
矩形的对角线相等
矩形的判定定理1
有三个角是直角的四边形是矩形
举行的判定定理2
对角线相等的平行四边形是矩形
菱形的性质定理1
菱形的四条边都相等
菱形的性质定理2
菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角
菱形的判定定理1
四边都相等的四边形是菱形
菱形的判定定理2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形性质定理1
正方形的四个角都是直角,四条边都相等
正方形性质定理2
正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角
线平分一组对角
2.4
中心对称
定理1
成中心对称的两个图形,对称点连线都过对称中心,并且被对称中心平
分
定理2
中心对称的两个图形是全等形
定理 平行四边形是中心对称形,它的对称中心是两条对角线的交点
3
梯形
3.1
梯形
我们把一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
梯形中,平行的两边叫做梯形的底,较短的底称为上底,较长的底称为下底,不
平行的两边叫做梯形的腰
3.2
等腰梯形与直角梯形
我们把两腰相等的梯形叫做等腰梯形,把有一个角是直角的梯形叫做直角梯形
等腰梯形性质定理1
等腰梯形在同一底上的两个角相等
等腰梯形性质定理2
等腰梯形的两条对角线相等
等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
3.3
四边形的分类
3.4
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在
其他直线上截得的线段也相等
推论1
经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
推论2
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
3.5
三角形的中位线
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心
3.6
梯形的中位线
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半
第五章 相似形
1
比例线段
1 1
比与比例
比例的基本性质
反比性质、更比性质、合比性质、分比性质、等比性质
1 2
成比例线段
在同一单位下,两条线段长度的比,叫做这两条线段的比,它们的比是一个正实数
如果四条线段a,b,c,d
满足等式a/b=c/d,
那么,这四条线段叫做成比例线段
1 3
黄金分割
把一条线段分成两条线段,使其中较长的线段是原先段与较短线段的比例中项,
叫做把这条线段黄金分割,把这条线段黄金分割的点,叫做黄金分割点
0.618...
称为黄金比
2
相似三角形
2 1
相似三角形
对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形
2 2
三角形相似的判定
判定定理1
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那
么两三角形相似
判定定理2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且
夹角相等,那么两三角形相似
判定定理3
如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例,那么
两三角形相似
推论1
两直角三角形中有一锐角对应相等,那两三角相似
推论2
平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角
形相似
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一
条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
2 3
相似三角形的性质
定理 相思三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
定理 相思三角形周长的比等于相似比
定理 相思三角形面积的比等于相似比的平方
广义勾股定理平行四边形两条对角线的平方和等于它的四边的平方和,或等于相
邻两边平方和的两倍
2 4
平行线分线段成比例定理
定理 两条或两条以上的平行线,截任意一角的两边,所截出的对应线段成比例
推论 三条或三条以上的平行线截任意两条直线,所截得的对应线段成比例
2 5
相似多边形
定义 如果两个边数相同的多变形的角对应相等且它们的边对应成比例,那么这
两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做它们的相似比
定理 两个相似多边形对应对角线的比等于相似比
定理 两个相似多边形的对应三角形相似,其相似比等于相似多边形的相似比
定理 相似多边形的周长比等于相似比
定理 相似多边形的面积比等于相似比的平方
第六章 解直角三角形
1
锐角三角函数
1 1
测量与锐角三角函数
SinA=
对边比斜边 CosA=
邻边比斜边 TanA=
对边比邻边 CotA=
邻边比对边
1 2
特殊角的三角函数
1 3
三角函数表和计算器的使用
2
解直角三角形
2 1
解直角三角形
射影定理
2 2
解直角三角形的应用
俯角,仰角,坡度
第七章 圆
1
圆的基本性质
1 1
圆的定义
在平面内,和某一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆周,简称为圆；其中定点
叫做圆的圆心,廉结圆心与圆上任意一点的线段叫做半径
同圆的半径都相等
连结圆上任意两点的线段叫做这个圆的弦,通过圆心的弦叫做直径
圆上任意两点间的部分叫做弧
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的
弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形
两个圆全等的充要条件是两个圆的半径相等
半径相等的圆叫做等圆,同圆或等圆的半径相等
1 2
不共线的三点确定一个圆
经过一点可以作无数个圆
经过两点也可以作无数个圆,且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上
定理 过不共线的三个点,可以作且只可以作一个圆
推论 三角形的三边垂直平分线相交于一点,这个点就是三角形的外心
三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心
1．3
垂径定理
圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心
圆是周对称图形,任一条通过圆心的直线都是它的对称轴
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧
推论1
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
推论2
弦的垂直平分弦经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
推论3
平分弦所对的一条弧的直径,垂直评分弦,并且平分弦所对的另一条弧
1.4
弧、弦和弦心距
定理 在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
2
圆与直线的位置关系
2.1
圆与直线的位置关系
如果一条直线和一个圆没有公共点,我们就说这条直线和这个圆相离
如果一条直线和一个圆只有一个公共点,我们就说这条直线和这个圆相切,这
条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做它们的切点
定理 经过圆的半径外端点,并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
定理 圆的切线垂直经过切点的半径
推论1
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
推论2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
如果一条直线和一个圆有两个公共点,我们就说,这条直线和这个圆相交,这条直
线叫这个圆的割线,这两个公共点叫做它们的交点
直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种
2.2
三角形的内切圆
如果一个多边形的各边所在的直线,都和一个圆相切,这个多边形叫做圆的外切
多边形,这个圆叫做多边形的内切圆
定理 三角形的三个内角平分线交于一点,这点是三角形的内心
三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点,这一点叫做三角形的
旁心.以旁心为圆心可以作一个圆和一边及其他两边的延长线相切,所作的圆叫
做三角形的旁切圆
2.3
切线长定理
定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线
平分两条切线的夹角
2.4
圆的外切四边形
定理 圆的外切四边形的两组对边的和相等
定理 如果四边形两组对边的和相等,那么它必有内切圆
3
圆与圆的位置关系
3.1
两圆的位置关系
在平面内,不重合的两圆.它们的位置关系:外离、外切、相交、内切、外切
经过两个圆的圆心的直线,叫做两圆的连心线,两个圆心之间的距离叫做圆心距
定理 两圆的连心线是两圆的对称轴,并且两圆相切时,它们切点在连心线上
（1）两圆外离 d>R+r
（2）两圆外切 d=R+r
（3）两圆相交 R-r<d<R+r (R>r)
（4）两圆内切 d=R-r (R>r)
（5）两圆内含 d<R-r (R>r)
特殊情况,两圆是同心圆 d=0
3.2
两圆的公切线
定理 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等
