文档文本内容
第二十七章 相似
测试1 图形的相似
学习要求
1．理解相似图形、相似多边形和相似比的概念．
2．掌握相似多边形的两个基本性质．
3．理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质．
课堂学习检测
一、填空题
1．________________________是相似图形．
2．对于四条线段a，b，c，d，如果____________与____________(如
d
c
b
a
)，那么称这四
条线段是成比例线段，简称__________________．
3．如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形叫做相似多边
形．
4．相似多边形____________称为相似比．当相似比为1 时，相似的两个图形
____________．若甲多边形与乙多边形的相似比为k，则乙多边形与甲多边形的相似
比为____________．
5．相似多边形的两个基本性质是____________，____________．
6．比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么___________．
反之亦真．即
d
c
b
a
______(a，b，c，d 不为零)．
7．已知2a－3b＝0，b≠0，则a∶b＝______．
8．若
,
5
7
1
x
x
则x＝______．
9．若
,
5
3
2
z
y
x
则
x
z
y
x
2
______．
10．在一张比例尺为1∶20000 的地图上，量得A 与B 两地的距离是5cm，则A，B 两地实
际距离为______m．
二、选择题
11．在下面的图形中，形状相似的一组是( )
12．下列图形一定是相似图形的是( )
A．任意两个菱形
B．任意两个正三角形
C．两个等腰三角形
D．两个矩形
13．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为
50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么，符合条件的三角形框架
乙共有( )
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
三、解答题
14．已知：如图，梯形ABCD 与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，
∠A＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：
(1)梯形ABCD 与梯形A′B′C′D′的相似比k；
(2)A′B′和BC 的长；
(3)D′C′∶DC．
综合、运用、诊断
15．已知：如图，△ABC 中，AB＝20，BC＝14，AC＝12．△ADE 与△ACB 相似，
∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE 的长．
16．已知：如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，
OB，OC，OD 的中点，试判断四边形ABCD 与四边形A′B′C'D′是否相似，并说
明理由．
拓展、探究、思考
17．如下图甲所示，在矩形ABCD 中，AB＝2AD．如图乙所示，线段EF＝10，在EF 上取
一点M，分别以EM，MF 为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形
ABCD，设MN＝x，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值?最大值是多少?
测试2 相似三角形
学习要求
1．理解相似三角形的有关概念，能正确找到对应角、对应边．
2．掌握相似三角形判定的基本定理．
课堂学习检测
一、填空题
1．△DEF∽△ABC 表示△DEF 与△ABC______，其中D 点与______对应，E 点与
______对应，F 点与______对应；∠E＝______；DE∶AB＝______∶BC，AC∶DF＝
AB∶______．
2．△DEF∽△ABC，若相似比k＝1，则△DEF______△ABC；若相似比k＝2，则
AC
DF
______，
EF
BC
______．
3．若△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k1；△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为k2，则
△ABC______△A2B2C2，且相似比为______．
4．相似三角形判定的基本定理是平行于三角形____________和其他两边相交，所_____
____________与原三角形______．
5．已知：如图，△ADE 中，BC∥DE，则
①△ADE∽______；
②
;)
(
,)
(
BC
AB
AD
AE
AB
AD
③
CA
BA
BD
AE
DB
AD
)
(
,)
(
二、解答题
6．已知：如图所示，试分别依下列条件写出对应边的比例式．
(1)若△ADC∽△CDB；
(2)若△ACD∽△ABC；
(3)若△BCD∽△BAC．
综合、运用、诊断
7．已知：如图，△ABC 中，AB＝20cm，BC＝15cm，AD＝12.5cm，DE∥BC．求DE 的长．
8．已知：如图，AD∥BE∥CF．
(1)求证：
;
DF
DE
AC
AB
(2)若AB＝4，BC＝6，DE＝5，求EF．
9．如图所示，在△APM 的边AP 上任取两点B，C，过B 作AM 的平行线交PM 于N，过N
作MC 的平行线交AP 于D．求证：PA∶PB＝PC∶PD．
拓展、探究、思考
10．已知：如图，E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且
2
3
DE
AE
，CE 交BD 于点F，BF＝
15cm，求DF 的长．
11．已知：如图，AD 是△ABC 的中线．
(1)若E 为AD 的中点，射线CE 交AB 于F，求BF
AF ；
(2)若E 为AD 上的一点，且
k
ED
AE
1
，射线CE 交AB 于F，求
BF
AF
测试3 相似三角形的判定
学习要求
1．掌握相似三角形的判定定理．
2．能通过证三角形相似，证明成比例线段或进行计算．
课堂学习检测
一、填空题
1．______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似．
2．如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似．
3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相
似．
4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．
5．在△ABC 和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那
么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．
6．在△ABC 和△A'B′C′中，如果∠A＝48°，∠C＝102°，∠A′＝48°，∠B′＝30°，那
么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．
7．在△ABC 和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A′＝34°，A'C′＝
2cm，A′B′＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是
____________________．
8．在△ABC 和△DEF 中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么
这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．
9．如图所示，△ABC 的高AD，BE 交于点F，则图中的相似三角形共有______对．
9 题图
10．如图所示，□ABCD 中，G 是BC 延长线上的一点，AG 与BD 交于点E，与DC 交于点
F，此图中的相似三角形共有______对．
10 题图
二、选择题
11．如图所示，不能判定△ABC∽△DAC 的条件是( )
A．∠B＝∠DAC
B．∠BAC＝∠ADC
C．AC2＝DC·BC
D．AD2＝BD·BC
12．如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝10，AD＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F，
使△CBF∽△CDE，则BF 的长是( )
A．5
B．8.2
C．6.4
D．1.8
13．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的
是( )
三、解答题
14．已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D，想一想，
(1)图中有哪两个三角形相似?
(2)求证：AC2＝AD·AB；BC2＝BD·BA；
(3)若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD；
(4)若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC；
(5)求证：AC·BC＝AB·CD．
15．如图所示，如果D，E，F 分别在OA，OB，OC 上，且DF∥AC，EF∥BC．
求证：(1)OD∶OA＝OE∶OB；
(2)△ODE∽△OAB；
(3)△ABC∽△DEF．
综合、运用、诊断
16．如图所示，已知AB∥CD，AD，BC 交于点E，F 为BC 上一点，且∠EAF＝∠C．
求证：(1)∠EAF＝∠B；
(2)AF2＝FE·FB．
17．已知：如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，∠B＝90°，以AD 为直径的半圆与BC 相切于
E 点．
求证：AB·CD＝BE·EC．
18．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为点B，点D 是⊙O 上的一点，
且AD∥OC．
求证：AD·BC＝OB·BD．
19．如图所示，在⊙O 中，CD 过圆心O，且CD⊥AB 于D，弦CF 交AB 于E．
求证：CB2＝CF·CE．
拓展、探究、思考
20．已知D 是BC 边延长线上的一点，BC＝3CD，DF 交AC 边于E 点，且AE＝2EC．试求
AF 与FB 的比．
21．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AH⊥BC 于H，以AB 和AC 为边在
Rt△ABC 外作等边△ABD 和△ACE，试判断△BDH 与△AEH 是否相似，并说明理
由．
22．已知：如图，在△ABC 中，∠C＝90°，P 是AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P
作PE⊥AB 交AC 于E，点E 不与点C 重合，若AB＝10，AC＝8，设AP＝x，四边形
PECB 的周长为y，求y 与x 的函数关系式．
测试4 相似三角形应用举例
学习要求
能运用相似三角形的知识，解决简单的实际问题．
课堂学习检测
一、选择题
1．已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m 的标杆的影长为3m，则这棵树的高
度是( )
A．15m
B．60m
C．20m
D．
m
3
10
2．一斜坡长70m，它的高为5m，将某物从斜坡起点推到坡上20m 处停止下，停下地点的
高度为( )
A．
m
7
11
B．
m
7
10
C．
m
7
9
D．
m
2
3
3．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB 在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下
檐距地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB 为( )
第3 题图
A．1.5m
B．1.6m
C．1.86m
D．2.16m
4．如图所示，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距离墙角1.6m，梯上点D 距离墙1.4m，
BD 长0.55m，则梯子长为( )
第4 题图
A．3.85m
B．4.00m
C．4.40m
D．4.50m
二、填空题
5．如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD＝2m 的标杆，现测
量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝
4m，EF＝1.8m，则树AB 的高度为______m．
第5 题图
6．如图所示，有点光源S 在平面镜上面，若在P 点看到点光源的反射光线，并测得AB＝
10m，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S 到平面镜的距离即SA 的长度
为______cm．
第6 题图
三、解答题
7．已知：如图所示，要在高AD＝80mm，底边BC＝120mm 的三角形余料中截出一个正
方形板材PQMN．求它的边长．
8．如果课本上正文字的大小为4mm×3.5mm(高×宽)，一学生座位到黑板的距离是5m，
教师在黑板上写多大的字，才能使该学生望去时，同他看书桌上相距30cm 垂直放置
的课本上的字感觉相同?
综合、运用、诊断
9．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.8m，但当他
马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，
如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一
下这棵树的高是多少?
10．(针孔成像问题)根据图中尺寸(如图，AB∥A′B′)，可以知道物像A′B′的长与物
AB 的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?
11．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为
1.65m 的黄丽同学BC 的影长BA 为1.1m，与此同时，测得教学楼DE 的影长DF 为
12.1m，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE 的高度．(精确到0.1m)
12．(1)已知：如图所示，矩形ABCD 中，AC，BD 相交于O 点，OE⊥BC 于E 点，连结ED
交OC 于F 点，作FG⊥BC 于G 点，求证点G 是线段BC 的一个三等分点．
(2)请你仿照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．(要求：写出作法，保留
画图痕迹，不要求证明)
测试5 相似三角形的性质
学习要求
掌握相似三角形的性质，解决有关的计算或证明问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．相似三角形的对应角______，对应边的比等于______．
2．相似三角形对应边上的中线之比等于______，对应边上的高之比等于______，对应角
的角平分线之比等于______．
3．相似三角形的周长比等于______．
4．相似三角形的面积比等于______．
5．相似多边形的周长比等于______，相似多边形的面积比等于______．
6．若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的周长比等于______．
7．若两个相似多边形的对应边之比为5∶2，则它们的周长比是______，面积比是______．
8．同一个圆的内接正三角形与其外切正三角形的周长比是______，面积比是______．
9．同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是______，面积比是______．
10．同一个圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长比是______，面积比是______．
11．正六边形的内切圆与它的外接圆的周长比是______，面积比是______．
12．在比例尺1∶1000 的地图上，1cm2所表示的实际面积是______．
二、选择题
13．已知相似三角形面积的比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为( )
A．9∶4
B．4∶9
C．3∶2
D．81∶16
14．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于点Q，若△DQE
的面积为9，则△AQB 的面积为( )
A．18
B．27
C．36
D．45
15．如图所示，把△ABC 沿AB 平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分的面积是
△ABC 面积的一半，若
2
AB
，则此三角形移动的距离AA'是( )
A．
1
2
B．2
2
C．1
D．2
1
三、解答题
16．已知：如图，E、M 是AB 边的三等分点，EF∥MN∥BC．求：△AEF 的面积∶四边形
EMNF 的面积∶四边形MBCN 的面积．
综合、运用、诊断
17．已知：如图，△ABC 中，∠A＝36°，AB＝AC，BD 是角平分线．
(1)求证：AD2＝CD·AC；
(2)若AC＝a，求AD．
18．已知：如图，□ABCD 中，E 是BC 边上一点，且
AE
BD
EC
BE
,
,
2
1
相交于F 点．
(1)求△BEF 的周长与△AFD 的周长之比；
(2)若△BEF 的面积S△BEF＝6cm2，求△AFD 的面积S△AFD．
19．已知：如图，Rt△ABC 中，AC＝4，BC＝3，DE∥AB．
(1)当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时，求CD 的长；
(2)当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时，求CD 的长．
拓展、探究、思考
20．已知：如图所示，以线段AB 上的两点C，D 为顶点，作等边△PCD．
(1)当AC，CD，DB 满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB．
(2)当△ACP∽△PDB 时，求∠APB．
21．如图所示，梯形ABCD 中，AB∥CD，对角线AC，BD 交于O 点，若S△AOD∶S△DOC＝
2∶3，求S△AOB∶S△COD．
22．已知：如图，梯形ABCD 中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请问：在
BC 上若存在点P，使得△ABP 与△PCD 相似，求BP 的长及它们的面积比．
测试6 位 似
学习要求
1．理解位似图形的有关概念，能利用位似变换将一个图形放大或缩小．
2．能用坐标表示位似变形下图形的位置．
课堂学习检测
1．已知：四边形ABCD 及点O，试以O 点为位似中心，将四边形放大为原来的两倍．
(1) (2)
(3) (4)
2．如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE，记△AOB 与△CDE 对应边
的比为k，则位似中心的坐标和k 的值分别为( )
A．(0，0)，2
B．(2，2)，2
1
C．(2，2)，2
D．(2，2)，3
综合、运用、诊断
3．已知：如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A(－4，2)，B(－2，－4)，C(6，－2)，D(2，4)．试
以O 点为位似中心作四边形A'B'C'D′，使四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的相似
比为1∶2，并写出各对应顶点的坐标．
4．已知：如下图，是由一个等边△ABE 和一个矩形BCDE 拼成的一个图形，其B，C，D 点的坐
标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．
(1)求E 点和A 点的坐标；
(2)试以点P(0，2)为位似中心，作出相似比为3 的位似图形A1B1C1D1E1，并写出各对应点
的坐标；
(3)将图形A1B1C1D1E1向右平移4 个单位长度后，再作关于x 轴的对称图形，得到图形
A2B2C2D2E2，这时它的各顶点坐标分别是多少?
拓展、探究、思考
5．在已知三角形内求作内接正方形．
6．在已知半圆内求作内接正方形．
答案与提示
第二十七章 相 似
测试1
1．形状相同的图形．
2．其中两条线段的比，另两条线段的比相等，比例线段．
3．对应角相等，对应边的比相等．
4．对应边的比，全等，
k
1
5．对应角相等，对应边的比相等．
6．两个内项之积等于两个外项之积，ad＝bc．
7．3∶2． 8．
2
5 9．1． 10．1 000．
11．C． 12．B． 13．C．
14．(1)k＝2∶3；(2)A＇B＇＝9，BC＝8；(3)3∶2．
15．
7
50
,
7
30 AE
AD
16．相似．
17．
2
5
x
时，S 的最大值为
2
25
测试2
1．相似，A 点，B 点，C 点，∠B，EF，DE．
2．≌，2，
2
1
3．∽；k1k2．
4．一边的直线，构成的三角形，相似．
5．①△ABC；②AC，DE；③EC，CE．
6．(1)
;
BC
CA
BD
CD
CD
AD
(2)
;
BC
CD
AC
AD
AB
AC
(3)
AC
CD
BC
BD
BA
BC
7．9.375cm．
8．(1)提示：过A 点作直线AF＇∥DF，交直线BE 于E＇，交直线CF 于F＇．
(2)7.5．
9．提示：PA∶PB＝PM∶PN，PC∶PO＝PM∶PN．
10．OF＝6cm．提示：△DEF∽△BCF．
11．(1)
;
2
1
BF
AF
(2)1∶2k．
测试3
1．平行于，直线，相交．
2．三组，比相等．
3．两组，相应的夹角．
4．两个，两个角对应相等．
5．△ABC∽△A＇C＇B＇，因为这两个三角形中有两对角对应相等．
6．△ABC∽△A＇B＇C＇．因为这两个三角形中有两对角对应相等．
7．△ABC∽△A＇B＇C＇，因为这两个三角形中，有两组对应边的比相等，且相应的夹角相
等．
8．△ABC∽△DFE．因为这两个三角形中，三组对应边的比相等．
9．6 对． 10．6 对．
11．D． 12．D． 13．A．
14．(1)△ADC∽△CDB，△ADC∽△ACB，△ACB∽△CDB；
(2)略；
(3)
;4
,5
4
,5
2
CD
BC
AC
(4)
;3
6
,3
3
,3
BC
CD
AD
(5)提示：AC·BC＝2S△ABC＝AB·CD．
15．提示：(1)OD∶OA＝OF∶OC，OE∶OB＝OF∶OC；
(2)OD∶OA＝OE∶OB，∠DOE＝∠AOB，得△ODE∽△OAB；
(3)证DF∶AC＝EF∶BC＝DE∶AB．
16．略．
17．提示：连结AE、ED，证△ABE∽△ECD．
18．提示：关键是证明△OBC∽△ADB．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠D＝90°．
∵BC 是⊙O 的切线，∴OB⊥BC．
∴∠OBC＝90°．∴∠D＝∠OBC．
∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC．∴△ADB∽△OBC．
CB
BD
OB
AD
∴AD·BC＝OB·BD．
19．提示：连接BF、AC，证∠CFB＝∠CBE
20．
2
1
FB
AF
提示：过C 作CM∥BA，交ED 于M．
21．相似．提示：由△BHA∽△AHC 得
,
AC
BA
AH
BH
再有BA＝BD，AC＝AE．
则：
,
AE
BD
AH
BH
再有∠HBD＝∠HAE，得△BDH∽△AEH．
22．
.
24
2
3
x
y
提示：可证△APE∽△ACB，则
AC
AP
BC
PE
则
).
10
(
6
)
4
5
8
(
4
3
,
4
5
,
4
3
x
x
x
y
x
AE
x
PE
测试4
1．A． 2．B． 3．A． 4．C．
5．3． 6．12．
7．48mm．
8．教师在黑板上写的字的大小约为7cm×6cm(高×宽)．
9．树高7.45m．
10．
.
3
1 AB
B
A
11．∵EF∥AC，∴∠CAB＝∠EFD．
又∠CBA＝∠EDF＝90°，∴△ABC∽△FDE．
)
m
(
2.
18
1.1
1.
12
65
.1
BA
DF
BC
DE
DF
BA
DE
BC
故教学楼的高度约为18.2m．
12．(1)提示：先证EF∶ED＝1∶3．(2)略．
测试5
1．相等，相似比． 2．相似比、相似比、相似比．
3．相似比． 4．相似比的平方．
5．相似比．相似比的平方． 6．4∶5．
7．5∶2，25∶4． 8．1∶2，1∶4．
9．
.2
:
1,
2
:
1
10．
.4
:
3,2
:
3
11．
.4
:
3,2
:
3
12．100m2．
13．C. 14．C． 15．A． 16．1∶3∶5．
17．(1)提示：证△ABC∽△BCD；(2)
.
2
1
5
a
18．(1)
;
3
1 (2)54cm2． 19．(1)
;
2
2
(2)
7
24
20．(1)CD2＝AC·DB；(2)∠APB＝120°． 21．4∶9
22．BP＝2，或
,
3
11
或9．
当BP＝2 时，S△ABP∶S△PCD＝1∶9；
当
3
11
BP
时，S△ABP∶S△DCP＝1∶4；
当BP＝9 时，S△ABP：S△PCD＝9∶4．
测试6
1．略． 2．C．
3．图略．A＇(－2，1)，B＇(－1，－2)，C＇(3，－1)，D＇(1，2)．
4．(1)
);
3
2,2
(
),
2,3
(
A
E
(2)
).
3
3
2,6
(
1
A
B1(3，2)，C1(3，－1)，D1(9，－1)，E1(9，2)；
(3)
),
3
3
2
,
10
(
2
A
B2(7，－2)，C2(7，1)，D2(13，1)，E2(13，－2)．
5．方法1：利用位似形的性质作图法(图16)
图16
作法：(1)在AB 上任取一点G＇，作G＇D＇⊥BC；
(2)以G＇D＇为边，在△ABC 内作一正方形D＇E＇F＇G＇；
(3)连结BF＇，延长交AC 于F；
(4)作FG∥CB，交AB 于G，从F，G 各作BC 的垂线FE，GD，那么DEFG 就是所求作的内
接正方形．
方法2：利用代数解析法作图(图17)
图17
(1)作AH(h)⊥BC(a)；
(2)求h＋a，a，h 的比例第四项x；
(3)在AH 上取KH＝x；
(4)过K 作GF∥BC，交两边于G，F，从G，F 各作BC 的垂线GD，FE，那么DEFG 就是所
求的内接正方形．
6．提示：
正方形EFGH 即为所求．
