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人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步检测
4 附答案
一．选择题（共10 小题）
1．
（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于E，交
DC 的延长线于F，BG AE
⊥
于G，BG=
，则△EFC 的周长为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并延长与BA 的延长
线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF 的长为（ ）
A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
3．（2013•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC 内依次作
∠CBD= A
∠，∠DCE= CBD
∠
，∠EDF= DCE
∠
．则EF 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN 都是正方
形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD，AC 交BD 于点E，
CE=4，CD=6，则AE 的长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
6．（2013•内江）如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE、BD，且AE、BD 交于点F，
S
DEF
△
：S
ABF
△
=4：25，则DE：EC=（ ）
A．2：5
B．2：3
C．3：5
D．3：2
7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC
∥
，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，
CE 平分∠ACB 交AB 于点E，在BC 上截取BF=AE，连接AF 交CE 于点G，连接DG 交AC
于点H，过点A 作AN BC
⊥
，垂足为N，AN 交CE 于点M．则下列结论；①CM=AF；
②CE AF
⊥
；③△ABF
DAH
△
∽
；④GD 平分∠AGC，其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．
（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O，E 为OD 的中点，
连接AE 并延长交DC 于点F，则DF：FC=（ ）
A．1：4
B．1：3
C．2：3
D．1：2
9．
（2013•德阳）如图，在⊙O 上有定点C 和动点P，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，
与PB 的延长线交于点Q，已知：⊙O 半径为，tan ABC=
∠
，则CQ 的最大值是（ ）
A．5
B．
C．
D．
10．（2012•岳阳）如图，AB 为半圆O 的直径，AD、BC 分别切⊙O 于A、B 两点，CD 切⊙O 于
点E，AD 与CD 相交于D，BC 与CD 相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：
①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S 梯形ABCD= CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正
确的是（ ）
A．①②⑤
B．②③④
C．③④⑤
D．①④⑤
二．填空题（共10 小题）
11．（2013•昭通）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=4cm，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°．若动
点E 以1cm/s 的速度从A 点出发在AB 上沿着A→B→A 运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜
16），连接EF，当△BEF 是直角三角形时，t（s）的值为
_________
．（填出一个正确的即
可）
12．（2013•南通）如图，在▱ABCD 中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD 的平分线交BC 于点E，交
DC 的延长线于点F，BG AE
⊥
，垂足为G，BG=4
cm，则EF+CF 的长为
_________
cm．
13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC 中，BC=6，E、F 分别是AB、AC 的中点，动点P 在射线
EF 上，BP 交CE 于D，∠CBP 的平分线交CE 于Q，当CQ= CE 时，EP+BP=
_________
．
14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4 米的位置上，则
球拍击球的高度h 为
_________
．
15．
（2012•自贡）正方形ABCD 的边长为1cm，M、N 分别是BC、CD 上两个动点，且始终保持
AM MN
⊥
，当BM=
_________
cm 时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为
_________
cm2．
16．（2012•宜宾）如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是
的中点，弦
CE AB
⊥
于点F，过点D 的切线交EC 的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC 于点P、Q，
连接AC．给出下列结论：
BAD= ABC
①∠
∠
；②GP=GD；③点P 是△ACQ 的外心；④AP•AD=CQ•CB．
其中正确的是
_________
（写出所有正确结论的序号）．
17．（2012•泉州）在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A、B），过点P 的直线截△ABC，使
截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线，简记为P
（lx）（x 为自然数）．
（1）如图①，∠A=90°，∠B= C
∠，当BP=2PA 时，P（l1）、P（l2）都是过点P 的△ABC 的相似线
（其中l1 BC
⊥
，l2 AC
∥
），此外，还有
_________
条；
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当
=
_________
时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC
面积的．
18．（2012•嘉兴）如图，在Rt
ABC
△
中，∠ABC=90°，BA=BC．点D 是AB 的中点，连接CD，
过点B 作BG 丄CD，分别交CD、CA 于点E、F，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G，
连接DF．给出以下四个结论：
①
；
②点F 是GE 的中点；
AF=
③
AB；
S
④
ABC
△
=5S
BDF
△
，其中正确的结论序号是
_________
．
19．
（2012•泸州）如图，n 个边长为1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…
Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积
为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=
_________
．（用含n 的式子表示）
20．（2013•荆州）如图，△ABC 是斜边AB 的长为3 的等腰直角三角形，在△ABC 内作第1 个
内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB 上，A1、B1分别在AC、BC 上），再在△A1B1C 内接同样的
方法作第2 个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n 次，则第n 个小正方形AnBnDnEn 的
边长是
_________
．
三．解答题（共8 小题）
21．（2013•珠海）如图，在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，点P 为AC 边上的一点，将线段AP 绕点A
顺时针方向旋转（点P 对应点P′），当AP 旋转至AP′ AB
⊥
时，点B、P、P′恰好在同一直线上，
此时作P′E AC
⊥
于点E．
（1）求证：∠CBP= ABP
∠
；
（2）求证：AE=CP；
（3）当
，BP′=5
时，求线段AB 的长．
22．（2013•湛江）如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，且OP BC
∥
，∠P= BAC
∠
．
（1）求证：PA 为⊙O 的切线；
（2）若OB=5，OP=
，求AC 的长．
23．（2013•宜宾）如图，AB 是⊙O 的直径，∠B= CAD
∠
．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若点E 是
的中点，连接AE 交BC 于点F，当BD=5，CD=4 时，求AF 的值．
24．（2013•襄阳）如图，△ABC 内接于⊙O，且AB 为⊙O 的直径．∠ACB 的平分线交⊙O 于
点D，过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P，过点A 作AE CD
⊥
于点E，过点B 作
BF CD
⊥
于点F．
（1）求证：DP AB
∥
；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD 的长．
25．（2013•绍兴）在△ABC 中，∠CAB=90°，AD BC
⊥
于点D，点E 为AB 的中点，EC 与AD 交
于点G，点F 在BC 上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF CB
⊥
，求证：EF=CD．
（2）如图2，AC：AB=1：
，EF CE
⊥
，求EF：EG 的值．
26．（2013•汕头）如图，⊙O 是Rt
ABC
△
的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，
BE DC
⊥
交DC 的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA= BAD
∠
；
（2）求DE 的长；
（3）求证：BE 是⊙O 的切线．
27．（2013•朝阳）如图，直线AB 与⊙O 相切于点A，直径DC 的延长线交AB 于点B，AB=8，
OB=10
（1）求⊙O 的半径．
（2）点E 在⊙O 上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC 与AB 有怎样的位置关系？
并证明你的结论．
（3）求弦EC 的长．
28．（2013•成都）如图，点B 在线段AC 上，点D，E 在AC 同侧，∠A= C=90°
∠
，BD BE
⊥
，
AD=BC．
（1）求证：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP，作PQ DP
⊥
，交直线BE 于点Q；
（i）当点P 与A，B 两点不重合时，求
的值；
（ii）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长．（直接写
出结果，不必写出解答过程）
参考答案与解析
一．选择题（共10 小题）
1．
（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于E，交
DC 的延长线于F，BG AE
⊥
于G，BG=
，则△EFC 的周长为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．4387773
分析：判断出△ADF 是等腰三角形，△ABE 是等腰三角形，DF 的长度，继而得到EC 的长
度，在Rt
BGE
△
中求出GE，继而得到AE，求出△ABE 的周长，根据相似三角形的周
长之比等于相似比，可得出△EFC 的周长．
解答：解：∵在▱ABCD 中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E，
BAF= DAF
∴∠
∠
，
AB DF
∥
∵
，AD BC
∥
，
BAF= F= DAF
∴∠
∠
∠
，∠BAE= AEB
∠
，
AB=BE=6
∴
，AD=DF=9，
ADF
∴△
是等腰三角形，△ABE 是等腰三角形，
AD BC
∵
∥
，
EFC
∴△
是等腰三角形，且FC=CE，
EC=FC=9
6=3
∴
﹣
，
在△ABG 中，BG AE
⊥
，AB=6，BG=4
，
AG=
∴
=2，
AE=2AG=4
∴
，
ABE
∴△
的周长等于16，
又∵△CEF
BEA
∽△
，相似比为1：2，
CEF
∴△
的周长为8．
故选D．
点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周
长之比等于相似比，此题难度较大．
2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并延长与BA 的延长
线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF 的长为（ ）
A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773
分析：由边形ABCD 是平行四边形，可得AB CD
∥
，即可证得△AFE
DEC
∽△
，然后由相似三角
形的对应边成比例，求得答案．
解答：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
AB CD
∴
∥
，
AFE
DEC
∴△
△
∽
，
AE
∴
：DE=AF：CD，
AE=2ED
∵
，CD=3cm，
AF=2CD=6cm
∴
．
故选B．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌
握数形结合思想的应用．
3．（2013•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC 内依次作
∠CBD= A
∠，∠DCE= CBD
∠
，∠EDF= DCE
∠
．则EF 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．4387773
专题：压轴题．
分析：依次判定△ABC
BDC
CDE
DFE
∽△
∽△
∽△
，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可
得出EF 的长度．
解答：解：∵AB=AC，
ABC= ACB
∴∠
∠
，
又∵∠CBD= A
∠，
ABC
BDC
∴△
△
∽
，
同理可得：△ABC
BDC
CDE
DFE
∽△
∽△
∽△
，
∴
=
，
=
，
=
，
=
，
AB=AC
∵
，
CD=CE
∴
，
解得：CD=CE=
，DE=
，EF=
．
故选C．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根
据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．
4．
（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN 都是正方形
的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．4387773
专题：压轴题．
分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；
解答：解：设正方形的ABCD 的边长为a，
则BF= BC= ，AN=NM=MC=
a，
∴阴影部分的面积为（）2+（
a）2=
a2，
∴小鸟在花圃上的概率为
=
故选C．
点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两
个阴影正方形的边长，最后表示出面积．
5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD，AC 交BD 于点E，
CE=4，CD=6，则AE 的长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．4387773
分析：根据圆周角定理∠CAD= CDB
∠
，继而证明△ACD
DCE
∽△
，设AE=x，则AC=x+4，利用
对应边成比例，可求出x 的值．
解答：解：设AE=x，则AC=x+4，
AC
∵
平分∠BAD，
BAC= CAD
∴∠
∠
，
CDB= BAC
∵∠
∠
（圆周角定理），
CAD= CDB
∴∠
∠
，
ACD
DCE
∴△
△
∽
，
∴
=
，即=
，
解得：x=5．
故选B．
点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出
∠CAD= CDB
∠
，证明△ACD
DCE
∽△
．
6．（2013•内江）如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE、BD，且AE、BD 交于点F，
S
DEF
△
：S
ABF
△
=4：25，则DE：EC=（ ）
A．2：5
B．2：3
C．3：5
D．3：2
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773
分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF
BAF
∽△
，再根据
S
DEF
△
：S
ABF
△
=4：25 即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB 的值，
由AB=CD 即可得出结论．
解答：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
AB CD
∴
∥
，
EAB= DEF
∴∠
∠
，∠AFB= DFE
∠
，
DEF
BAF
∴△
△
∽
，
S
∵
DEF
△
：S
ABF
△
=4：25，
DE
∴
：AB=2：5，
AB=CD
∵
，
DE
∴
：EC=2：3．
故选B．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的
比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC
∥
，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，
CE 平分∠ACB 交AB 于点E，在BC 上截取BF=AE，连接AF 交CE 于点G，连接DG 交AC
于点H，过点A 作AN BC
⊥
，垂足为N，AN 交CE 于点M．则下列结论；①CM=AF；
②CE AF
⊥
；③△ABF
DAH
∽△
；④GD 平分∠AGC，其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．4387773
专题：压轴题．
分析：如解答图所示：
结论①正确：证明△ACM
ABF
△
≌
即可；
结论②正确：由△ACM
ABF
≌△
得∠2= 4
∠，进而得∠4+ 6=90°
∠
，即CE AF
⊥
；
结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；
结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．
解答：解：（1）结论①正确．理由如下：
1= 2
∵∠
∠，∠1+ CMN=90°
∠
，∠2+ 6=90°
∠
，
6= CMN
∴∠
∠
，又∵∠5= CMN
∠
，
5= 6
∴∠
∠，
AM=AE=BF
∴
．
易知ADCN 为正方形，△ABC 为等腰直角三角形，∴AB=AC．
在△ACM 与△ABF 中，
，
ACM
ABF
∴△
△
≌
（SAS），
CM=AF
∴
；
（2）结论②正确．理由如下：
ACM
ABF
∵△
≌△
，∴∠2= 4
∠，
2+ 6=90°
∵∠
∠
，∴∠4+ 6=90°
∠
，
CE AF
∴
⊥
；
（3）结论③正确．理由如下：
证法一：∵CE AF
⊥
，∴∠ADC+ AGC=180°
∠
，∴A、D、C、G 四点共圆，
7= 2
∴∠
∠，∵∠2= 4
∠，
7= 4
∴∠
∠，又∵∠DAH= B=45°
∠
，
ABF
DAH
∴△
△
∽
；
证法二：∵CE AF
⊥
，∠1= 2
∠，
ACF
∴△
为等腰三角形，AC=CF，点G 为AF 中点．
在Rt
ANF
△
中，点G 为斜边AF 中点，
NG=AG
∴
，∴∠MNG= 3
∠，∴∠DAG= CNG
∠
．
在△ADG 与△NCG 中，
，
ADG
NCG
∴△
△
≌
（SAS），
7= 1
∴∠
∠，又∵∠1= 2= 4
∠
∠，
7= 4
∴∠
∠，又∵∠DAH= B=45°
∠
，
ABF
DAH
∴△
△
∽
；
（4）结论④正确．理由如下：
证法一：∵A、D、C、G 四点共圆，
DGC= DAC=45°
∴∠
∠
，∠DGA= DCA=45°
∠
，
DGC= DGA
∴∠
∠
，即GD 平分∠AGC．
证法二：∵AM=AE，CE AF
⊥
，∴∠3= 4
∠，又∠2= 4
∠，∴∠3= 2
∠
则∠CGN=180°
1
90°
MNG=180°
1
90°
3=90°
1
2=45°
﹣∠﹣
﹣∠
﹣∠﹣
﹣∠
﹣∠﹣∠
．
ADG
NCG
∵△
≌△
，
DGA= CGN=45°=
∴∠
∠
AGC
∠
，
GD
∴
平分∠AGC．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共4 个．
故选D．
点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等
腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证
法，仅供同学们参考．
8．
（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O，E 为OD 的中点，
连接AE 并延长交DC 于点F，则DF：FC=（ ）
来源：www.bcjy123.com/tiku/
A．1：4
B．1：3
C．2：3
D．1：2
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773
分析：首先证明△DFE
BAE
∽△
，然后利用对应变成比例，E 为OD 的中点，求出DF：AB 的
值，又知AB=DC，即可得出DF：FC 的值．
解答：解：在平行四边形ABCD 中，AB DC
∥
，
则△DFE
BAE
∽△
，
∴
=
，
O
∵
为对角线的交点，
DO=BO
∴
，
又∵E 为OD 的中点，
DE=
∴
DB，
则DE：EB=1：3，
DF
∴
：AB=1：3，
DC=AB
∵
，
DF
∴
：DC=1：3，
DF
∴
：FC=1：2．
故选D．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的
关键是根据平行证明△DFE
BAE
∽△
，然后根据对应边成比例求值．
9．
（2013•德阳）如图，在⊙O 上有定点C 和动点P，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，
与PB 的延长线交于点Q，已知：⊙O 半径为，tan ABC=
∠
，则CQ 的最大值是（ ）
A．5
B．
C．
D．
考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：计算题；压轴题．
分析：根据圆周角定理的推论由AB 为⊙O 的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到
tan ABC=
∠
= ，然后根据圆周角定理得到∠A= P
∠，则可证得△ACB
PCQ
∽△
，利用
相似比得CQ=
•PC= PC，PC 为直径时，PC 最长，此时CQ 最长，然后把PC=5 代入
计算即可．
解答：解：∵AB 为⊙O 的直径，
AB=5
∴
，∠ACB=90°，
tan ABC=
∵
∠
，
∴
= ，
CP
CQ
∵
⊥
，
PCQ=90°
∴∠
，
而∠A= P
∠，
ACB
PCQ
∴△
△
∽
，
∴
=
，
CQ=
∴
•PC= PC，
当PC 最大时，CQ 最大，即PC 为⊙O 的直径时，CQ 最大，此时CQ= ×5=
．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．
10．（2012•岳阳）如图，AB 为半圆O 的直径，AD、BC 分别切⊙O 于A、B 两点，CD 切⊙O 于
点E，AD 与CD 相交于D，BC 与CD 相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：
①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S 梯形ABCD= CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正
确的是（ ）
A．①②⑤
B．②③④
C．③④⑤
D．①④⑤
考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：计算题；压轴题．
分析：连接OE，由AD，DC，BC 都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用
切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选
项②正确；由AD=ED，OD 为公共边，利用HL 可得出直角三角形ADO 与直角三角形
EDO 全等，可得出∠AOD= EOD
∠
，同理得到∠EOC= BOC
∠
，而这四个角之和为平角，
可得出∠DOC 为直角，选项⑤正确；由∠DOC 与∠DEO 都为直角，再由一对公共角相
等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO 与三角形DOC 相似，由
相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD 为直角梯形，利用梯形的面积
计算后得到梯形ABCD 的面积为AB（AD+BC），将AD+BC 化为CD，可得出梯形面
积为AB•CD，选项④错误，而OD 不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选
项．
解答：解：连接OE，如图所示：
AD
∵
与圆O 相切，DC 与圆O 相切，BC 与圆O 相切，
DAO= DEO= OBC=90°
∴∠
∠
∠
，
DA=DE
∴
，CE=CB，AD BC
∥
，
CD=DE+EC=AD+BC
∴
，选项②正确；
在Rt
ADO
△
和Rt
EDO
△
中，
，
Rt
ADO Rt
EDO
∴
△
△
≌
（HL），
AOD= EOD
∴∠
∠
，
同理Rt
CEO Rt
CBO
△
△
≌
，
EOC= BOC
∴∠
∠
，
又∠AOD+ DOE+ EOC+ COB=180°
∠
∠
∠
，
2
∴（∠DOE+ EOC
∠
）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；
DOC= DEO=90°
∴∠
∠
，又∠EDO= ODC
∠
，
EDO
ODC
∴△
△
∽
，
∴
=
，即OD2=DC•DE，选项①正确；
而S 梯形ABCD= AB•（AD+BC）= AB•CD，选项④错误；
由OD 不一定等于OC，选项③错误，
则正确的选项有①②⑤．
故选A
点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与
性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的
关键．
二．填空题（共10 小题）
11．（2013•昭通）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=4cm，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°．若动
点E 以1cm/s 的速度从A 点出发在AB 上沿着A→B→A 运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜
16），连接EF，当△BEF 是直角三角形时，t（s）的值为
4s
．（填出一个正确的即可）
考点：圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：压轴题；开放型．
分析：根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30 度的直角三角形
三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F 是弦BC 的中点，所以当EF AC
∥
时，△BEF 是直
角三角形，此时E 为AB 的中点，易得t=4s；当从A 点出发运动到B 点名，再运动到O
点时，此时t=12s；也可以过F 点作AB 的垂线，点E 点运动到垂足时，△BEF 是直角三
角形．
解答：解：∵AB 是⊙O 的直径，
C=90°
∴∠
，
而∠ABC=60°，BC=4cm，
AB=2BC=8cm
∴
，
F
∵是弦BC 的中点，
∴当EF AC
∥
时，△BEF 是直角三角形，
此时E 为AB 的中点，即AE=AO=4cm，
t=
∴
=4（s）．
故答案为4s．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30 度的直角三角形三
边的关系．
12．（2013•南通）如图，在▱ABCD 中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD 的平分线交BC 于点E，交
DC 的延长线于点F，BG AE
⊥
，垂足为G，BG=4
cm，则EF+CF 的长为
5
cm．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
4387773
专题：压轴题．
分析：首先，由于AE 平分∠BAD，那么∠BAE= DAE
∠
，由AD BC
∥
，可得内错角
∠DAE= BEA
∠
，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE 是等腰三角形，根据等腰三角形
“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt
ABG
△
中，由勾股定理可求得AG 的值，
即可求得AE 的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC 的长，即
可得出答案．
解答：解：∵AE 平分∠BAD，
DAE= BAE
∴∠
∠
；
又∵AD BC
∥
，
BEA= DAE= BAE
∴∠
∠
∠
，
AB=BE=6cm
∴
，
EC=9
6=3
∴
﹣
（cm），
BG
AE
∵
⊥
，垂足为G，
AE=2AG
∴
．[来源:Zxxk.Com]
在Rt
ABG
△
中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4
cm，
AG=
∴
=2（cm），
AE=2AG=4cm
∴
；
EC AD
∵
∥
，
∴
=
=
= = ，
∴
= ，
= ，
解得：EF=2（cm），FC=3（cm），
EF+CF
∴
的长为5cm．
故答案为：5．
点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程
度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．
13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC 中，BC=6，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P 在射线
EF 上，BP 交CE 于D，∠CBP 的平分线交CE 于Q，当CQ= CE 时，EP+BP=
12
．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．4387773
专题：压轴题．
分析：延长BQ 交射线EF 于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF BC
∥
，根据两直
线平行，内错角相等可得∠M= CBM
∠
，再根据角平分线的定义可得∠PBM= CBM
∠
，
从而得到∠M= PBM
∠
，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=
CE 求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ 和△BCQ 相似，利用相似三角形对应边成比例列
式求解即可．
解答：解：如图，延长BQ 交射线EF 于M，
E
∵、F 分别是AB、AC 的中点，
EF BC
∴
∥
，
M= CBM
∴∠
∠
，
BQ
∵
是∠CBP 的平分线，
PBM= CBM
∴∠
∠
，
M= PBM
∴∠
∠
，
BP=PM
∴
，
EP+BP=EP+PM=EM
∴
，
CQ=
∵
CE，
EQ=2CQ
∴
，
由EF BC
∥
得，△MEQ
BCQ
∽△
，
∴
=
=2，
EM=2BC=2×6=12
∴
，
即EP+BP=12．
故答案为：12．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ 构造
出相似三角形，求出EP+BP=EM 并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4 米的位置上，则
球拍击球的高度h 为
1.5
米
．
考点：相似三角形的应用．4387773
分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE BC
∥
可知，△ADE
ACB
∽△
，根据其相似
比即可求解．
解答：解：∵DE BC
∥
，
ADE
ACB
∴△
△
∽
，即
=
，
则
=
，
h=1.5m
∴
．
故答案为：1.5 米．
点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后
根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
15．
（2012•自贡）正方形ABCD 的边长为1cm，M、N 分别是BC、CD 上两个动点，且始终保持
AM MN
⊥
，当BM= cm 时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为 cm2．
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．4387773
专题：压轴题．
分析：设BM=xcm，则MC=1
xcm
﹣
，当AM MN
⊥
时，利用互余关系可证△ABM
MCN
∽△
，利
用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN 的面积，用二次函数的性质
求面积的最大值．
解答：解：设BM=xcm，则MC=1
xcm
﹣
，
AMN=90°
∵∠
，
AMB+ NMC=90°
∴∠
∠
，∠NMC+ MNC=90°
∠
，
AMB= MNC
∴∠
∠
，
又∵∠B= C
∠
ABM
MCN
∴△
△
∽
，则
，即
，
解得CN=
=x（1
x
﹣），
S
∴
四边形ABCN= ×1×[1+x（1
x
﹣）]=﹣x2+ x+ ，
∵﹣＜0，
∴当x=﹣
= cm 时，S 四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+ × + =
cm2．
故答案是：，．
点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似
比求函数关系式．
16．（2012•宜宾）如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是
的中点，弦
CE AB
⊥
于点F，过点D 的切线交EC 的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC 于点P、Q，
连接AC．给出下列结论：
BAD= ABC
①∠
∠
；②GP=GD；③点P 是△ACQ 的外心；④AP•AD=CQ•CB．
其中正确的是 ②③④ （写出所有正确结论的序号）．
考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：计算题；压轴题．
分析：连接BD，由GD 为圆O 的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到
∠GDP= ABD
∠
，再由AB 为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直
角，由CE 垂直于AB，得到∠AFP 为直角，再由一对公共角，得到三角形APF 与三角
形ABD 相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF 等于∠ABD，根据等量代
换及对顶角相等可得出∠GPD= GDP
∠
，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；
由直径AB 垂直于弦CE，利用垂径定理得到A 为
的中点，得到两条弧相等，再由C
为
的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相
等可得出∠CAP= ACP
∠
，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB 为直径得到∠ACQ 为
直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ= PQC
∠
，得出CP=PQ，即P 为直角三角形
ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形ACQ 的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周
角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ 与三角形ABC 相似，
根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP 与三角形ACD
相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出
AP•AD=CQ•CB，选项④正确．
解答：解：∠BAD 与∠ABC 不一定相等，选项①错误；
连接BD，如图所示：
GD
∵
为圆O 的切线，
GDP= ABD
∴∠
∠
，
又AB 为圆O 的直径，∴∠ADB=90°，
CE
AB
∵
⊥
，∴∠AFP=90°，
ADB= AFP
∴∠
∠
，又∠PAF= BAD
∠
，
APF
ABD
∴△
△
∽
，
ABD= APF
∴∠
∠
，又∠APF= GPD
∠
，
GDP= GPD
∴∠
∠
，
GP=GD
∴
，选项②正确；
∵直径AB CE
⊥
，
A
∴
为
的中点，即
=
，
又C 为
的中点，∴
=
，
∴
=
，
CAP= ACP
∴∠
∠
，
AP=CP
∴
，
又AB 为圆O 的直径，∴∠ACQ=90°，
PCQ= PQC
∴∠
∠
，[来源:学*科*网]
PC=PQ
∴
，
AP=PQ
∴
，即P 为Rt
ACQ
△
斜边AQ 的中点，
P
∴为Rt
ACQ
△
的外心，选项③正确；
连接CD，如图所示：
∵
=
，
B= CAD
∴∠
∠
，又∠ACQ= BCA
∠
，
ACQ
BCA
∴△
△
∽
，
∴
=
，即AC2=CQ•CB，
∵
=
，
ACP= ADC
∴∠
∠
，又∠CAP= DAC
∠
，
ACP
ADC
∴△
△
∽
，
∴
=
，即AC2=AP•AD，
AP•AD=CQ•CB
∴
，选项④正确，
则正确的选项序号有②③④．
故答案为：②③④
点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆
与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
17．（2012•泉州）在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A、B），过点P 的直线截△ABC，使
截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线，简记为P
（lx）（x 为自然数）．
（1）如图①，∠A=90°，∠B= C
∠，当BP=2PA 时，P（l1）、P（l2）都是过点P 的△ABC 的相似线
（其中l1 BC
⊥
，l2 AC
∥
），此外，还有
1
条；
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当
= 或或
时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC
面积的．
考点：相似三角形的判定与性质．4387773
专题：压轴题．
分析：（1）过点P 作l3 BC
∥
交AC 于Q，则△APQ
ABC
∽△
，l3是第3 条相似线；
（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4 条，注意不要遗漏．
解答：解：（1）存在另外 1 条相似线．
如图1 所示，过点P 作l3 BC
∥
交AC 于Q，则△APQ
ABC
∽△
；
故答案为：1；
（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S= S
ABC
△
，则相似比为1：2．
如图2 所示，共有4 条相似线：
①第1 条l1，此时P 为斜边AB 中点，l1 AC
∥
，∴
= ；
②第2 条l2，此时P 为斜边AB 中点，l2 BC
∥
，∴
= ；
③第3 条l3，此时BP 与BC 为对应边，且
= ，∴
=
=
；
④第4 条l4，此时AP 与AC 为对应边，且
= ，∴
=
= ，∴
= ．
故答案为：或或
．
点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运
算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．
18．（2012•嘉兴）如图，在Rt
ABC
△
中，∠ABC=90°，BA=BC．点D 是AB 的中点，连接CD，
过点B 作BG 丄CD，分别交CD、CA 于点E、F，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G，
连接DF．给出以下四个结论：
①
；
②点F 是GE 的中点；
AF=
③
AB；
S
④
ABC
△
=5S
BDF
△
，其中正确的结论序号是 ①③ ．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．4387773
专题：压轴题．
分析：首先根据题意易证得△AFG
CFB
∽△
，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继
而证得
正确；由点D 是AB 的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得
∠DBE= BCD
∠
，即可得AG= AB，继而可得FG= BF；即可得AF= AC，又由等腰直
角三角形的性质，可得AC=
AB，即可求得AF=
AB；则可得S
ABC
△
=6S
BDF
△
．
解答：解：∵在Rt
ABC
△
中，∠ABC=90°，
AB BC
∴
⊥
，AG AB
⊥
，
AG BC
∴
∥
，
AFG
CFB
∴△
△
∽
，
∴
，
BA=BC
∵
，
∴
，
故①正确；
ABC=90°
∵∠
，BG CD
⊥
，
DBE+ BDE= BDE+ BCD=90°
∴∠
∠
∠
∠
，
DBE= BCD
∴∠
∠
，
AB=CB
∵
，点D 是AB 的中点，
BD=
∴
AB= CB，
tan BCD=
∵
∠
= ，
∴在Rt
ABG
△
中，tan DBE=
∠
= ，
∵
= ，
FG=
∴
FB，
GE≠BF
∵
，
∴点F 不是GE 的中点．
故②错误；
AFG
CFB
∵△
∽△
，
AF
∴
：CF=AG：BC=1：2，
AF=
∴
AC，
AC=
∵
AB，
AF=
∴
AB，
故③正确；
BD=
∵
AB，AF= AC，
S
∴
ABC
△
=6S
BDF
△
，
故④错误．
故答案为：①③．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题
难度适中，解题的关键是证得△AFG
CFB
∽△
，注意掌握数形结合思想与转化思想的应
用．
19．
（2012•泸州）如图，n 个边长为1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…
Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积
为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=
．（用含n 的式子表示）
考点：相似三角形的判定与性质．4387773
专题：压轴题；规律型．
分析：由n 个边长为1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边
B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn B
∥
1C1，即
可得△BnCnMn
B
∽△
1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答
案．
解答：解：∵n 个边长为1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为
边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，
S
∴
1= ×B1C1×B1M1= ×1× = ，
S
B1C1M2
△
= ×B1C1×B1M2= ×1× = ，
S
B1C1M3
△
= ×B1C1×B1M3= ×1× = ，
S
B1C1M4
△
= ×B1C1×B1M4= ×1× = ，
S
B1C1Mn
△
= ×B1C1×B1Mn= ×1×
=
，
B
∵
nCn B
∥
1C1，
B
∴△
nCnMn
B
∽△
1C1Mn，
S
∴
BnCnMn
△
：S
B1C1Mn
△
=（
）2=（
）2，
即Sn：
=
，
S
∴
n=
．
故答案为：
．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此
题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的
关键．
20．
（2013•荆州）如图，△ABC 是斜边AB 的长为3 的等腰直角三角形，在△ABC 内作第1 个
内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB 上，A1、B1分别在AC、BC 上），再在△A1B1C 内接同样的
方法作第2 个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n 次，则第n 个小正方形AnBnDnEn 的
边长是
．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．4387773
专题：规律型．
分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n 个小正方形
AnBnDnEn 的边长．
解答：解：∵∠A= B=45°
∠
，
AE
∴
1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，
∴第一个内接正方形的边长= AB=1；
同理可得：
第二个内接正方形的边长= A1B1= AB= ；
第三个内接正方形的边长= A2B2=
AB= ；
故可推出第n 个小正方形AnBnDnEn 的边长=
AB=
．
故答案为：
．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求
出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．
三．解答题（共8 小题）
21．（2013•珠海）如图，在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，点P 为AC 边上的一点，将线段AP 绕点A
顺时针方向旋转（点P 对应点P′），当AP 旋转至AP′ AB
⊥
时，点B、P、P′恰好在同一直线上，
此时作P′E AC
⊥
于点E．
（1）求证：∠CBP= ABP
∠
；
（2）求证：AE=CP；
（3）当
，BP′=5
时，求线段AB 的长．
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
4387773
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′= AP′P
∠
，再根
据等角的余角相等证明即可；
（2）过点P 作PD AB
⊥
于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，
然后求出∠PAD= AP′E
∠
，利用“角角边”证明△APD 和△P′AE 全等，根据全等三角
形对应边相等可得AE=DP，从而得证；
（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出
P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=
AB，然后在Rt
ABP′
△
中，利用勾股定理列式求解即可．
解答：（1）证明：∵AP′是AP 旋转得到，
AP=AP′
∴
，
APP′= AP′P
∴∠
∠
，
C=90°
∵∠
，AP′ AB
⊥
，
CBP+ BPC=90°
∴∠
∠
，∠ABP+ AP′P=90°
∠
，
又∵∠BPC= APP′
∠
（对顶角相等），
CBP= ABP
∴∠
∠
；
（2）证明：如图，过点P 作PD AB
⊥
于D，
CBP= ABP
∵∠
∠
，∠C=90°，
CP=DP
∴
，
P′E
AC
∵
⊥
，
EAP′+ AP′E=90°
∴∠
∠
，
又∵∠PAD+ EAP′=90°
∠
，
PAD= AP′E
∴∠
∠
，
在△APD 和△P′AE 中，
，
APD
P′AE
∴△
△
≌
（AAS），
AE=DP
∴
，
AE=CP
∴
；
（3）解：∵
= ，
∴设CP=3k，PE=2k，
则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt
AEP′
△
中，P′E=
=4k，
C=90°
∵∠
，P′E AC
⊥
，[来源:学科网ZXXK]
CBP+ BPC=90°
∴∠
∠
，∠EP′P+ EPP′=90°
∠
，
BPC= EPP′
∵∠
∠
（对顶角相等），
CBP= EP′P
∴∠
∠
，
又∵∠BAP′= P′EP=90°
∠
，
ABP′
EPP′
∴△
△
∽
，
∴
=
，
即
=
，
解得P′A= AB，
在Rt
ABP′
△
中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+ AB2=（5
）2，
解得AB=10．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距
离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段
DP 并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出P′A=
AB 是解题的关键．
22．（2013•湛江）如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，且OP BC
∥
，∠P= BAC
∠
．
（1）求证：PA 为⊙O 的切线；
（2）若OB=5，OP=
，求AC 的长．
考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．4387773[来源:Z§xx§k.Com]
分析：（1）欲证明PA 为⊙O 的切线，只需证明OA AP
⊥
；
（2）通过相似三角形△ABC
PAO
∽△
的对应边成比例来求线段AC 的长度．
解答：（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
ACB=90°
∴∠
，
BAC+ B=90°
∴∠
∠
．
又∵OP BC
∥
，
AOP= B
∴∠
∠，
BAC+ AOP=90°
∴∠
∠
．
P= BAC
∵∠
∠
．
P+ AOP=90°
∴∠
∠
，
∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA AP
⊥
．
又∵OA 是的⊙O 的半径，
PA
∴
为⊙O 的切线；
（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，
OA=OB=5
∴
．
又∵OP=
，
∴在直角△APO 中，根据勾股定理知PA=
=
，
由（1）知，∠ACB= PAO=90°
∠
．
BAC= P
∵∠
∠，
ABC
POA
∴△
△
∽
，
∴
=
．
∴
=
，
解得AC=8．即AC 的长度为8．
点评：本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形
中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键．
23．（2013•宜宾）如图，AB 是⊙O 的直径，∠B= C
∠AD．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若点E 是
的中点，连接AE 交BC 于点F，当BD=5，CD=4 时，求AF 的值．
考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：压轴题．
分析：（1）证明△ADC
BAC
∽△
，可得∠BAC= ADC=90°
∠
，继而可判断AC 是⊙O 的切线．
（2）根据（1）所得△ADC
BAC
∽△
，可得出CA 的长度，继而判断∠CFA= CAF
∠
，利用等
腰三角形的性质得出AF 的长度，继而得出DF 的长，在Rt
AFD
△
中利用勾股定理可得
出AF 的长．
解答：解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，
ADB= ADC=
∴∠
∠
90°，
B= CAD
∵∠
∠
，∠C= C
∠，
ADC
BAC
∴△
△
∽
，
BAC= ADC=90°
∴∠
∠
，
BA AC
∴
⊥
，
AC
∴
是⊙O 的切线．
（2）∵△ADC
BAC
∽△
（已证），
∴
=
，即AC2=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt
ACD
△
中，AD=
=2
，
CAF= CAD+ DAE= ABF+ BAE= AFD
∵∠
∠
∠
∠
∠
∠
，
CA=CF=6
∴
，
DF=CA
CD=2
∴
﹣
，
在Rt
AFD
△
中，AF=
=2
．
点评：本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线
的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式．
24．（2013•襄阳）如图，△ABC 内接于⊙O，且AB 为⊙O 的直径．∠ACB 的平分线交⊙O 于
点D，过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P，过点A 作AE CD
⊥
于点E，过点B 作
BF CD
⊥
于点F．
（1）求证：DP AB
∥
；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD 的长．
考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：证明题；压轴题．
分析：（1）连结OD，由AB 为⊙O 的直径，根据圆周角定理得AB 为⊙O 的直径得
∠ACB=90°，再由ACD= BCD=45°
∠
，则∠DAB= ABD=45°
∠
，所以△DAB 为等腰直角
三角形，所以DO AB
⊥
，根据切线的性质得OD PD
⊥
，于是可得到DP AB
∥
；
（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB 为等腰直角三角形，可得到AD=
=5
；由△ACE 为等腰直角三角形，得到AE=CE=
=3
，在Rt
AED
△
中利用勾股
定理计算出DE=4
，则CD=7
，易证得∴△PDA
PCD
∽△
，得到
=
=
=
，
所以PA= PD，PC= PD，然后利用PC=PA+AC 可计算出PD．
解答：（1）证明：连结OD，如图，
AB
∵
为⊙O 的直径，
ACB=90°
∴∠
，
ACB
∵∠
的平分线交⊙O 于点D，
ACD= BCD=45°
∴∠
∠
，
DAB= ABD=45°
∴∠
∠
，
DAB
∴△
为等腰直角三角形，
DO AB
∴
⊥
，
PD
∵
为⊙O 的切线，
OD PD
∴
⊥
，
DP
∴
AB
∥
；
（2）解：在Rt
ACB
△
中，AB=
=10，
DAB
∵△
为等腰直角三角形，
AD=
∴
=
=5
，
AE
CD
∵
⊥
，
ACE
∴△
为等腰直角三角形，
AE=CE=
∴
=
=3
，
在Rt
AED
△
中，DE=
=
=4
，
CD=CE+DE=3
∴
+4
=7
，
AB PD
∵
∥
，
PDA= DAB=45°
∴∠
∠
，
APD= PCD
∴∠
∠
，
而∠DPA= CPD
∠
，
PDA
PCD
∴△
△
∽
，
∴
=
=
=
，
PA=
∴
PD，PC= PD，
而PC=PA+AC，
∴PD+6= PD，
PD=
∴
．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理定理、等
腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质．
25．（2013•绍兴）在△ABC 中，∠CAB=90°，AD BC
⊥
于点D，点E 为AB 的中点，EC 与AD 交
于点G，点F 在BC 上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF CB
⊥
，求证：EF=CD．
（2）如图2，AC：AB=1：
，EF CE
⊥
，求EF：EG 的值．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．4387773
专题：压轴题．
分析：（1）根据同角的余角相等得出∠CAD= B
∠，根据AC：AB=1：2 及点E 为AB 的中点，得
出AC=BE，再利用AAS 证明△ACD
BEF
≌△
，即可得出EF=CD；
（2）作EH AD
⊥
于H，EQ BC
⊥
于Q，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH=90°，则
∠FEQ= GEH
∠
，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ
EGH
∽△
，得出EF：
EG=EQ：EH，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ= BE，在△AEH 中，根
据余弦函数的定义得出EH=
AE，又BE=AE，进而求出EF：EG 的值．
解答：（1）证明：如图1，
在△ABC 中，∵∠CAB=90°，AD BC
⊥
于点D，
CAD= B=90°
ACB
∴∠
∠
∠
﹣
．
AC
∵
：AB=1：2，∴AB=2AC，
∵点E 为AB 的中点，∴AB=2BE，
AC=BE
∴
．
在△ACD 与△BEF 中，
，
ACD
BEF
∴△
△
≌
，
CD=EF
∴
，即EF=CD；
（2）解：如图2，作EH AD
⊥
于H，EQ BC
⊥
于Q，
EH
AD
∵
⊥
，EQ BC
⊥
，AD BC
⊥
，
∴四边形EQDH 是矩形，
QEH=90°
∴∠
，
FEQ= GEH=90°
QEG
∴∠
∠
∠
﹣
，
又∵∠EQF= EHG=90°
∠
，
EFQ
EGH
∴△
△
∽
，
EF
∴
：EG=EQ：EH．
AC
∵
：AB=1：
，∠CAB=90°，
B=30°
∴∠
．
在△BEQ 中，∵∠BQE=90°，
sin B=
∴
∠
= ，
EQ=
∴
BE．
在△AEH 中，∵∠AHE=90°，∠AEH= B=30°
∠
，
cos AEH=
∴
∠
=
，
EH=
∴
AE．
∵点E 为AB 的中点，∴BE=AE，
EF
∴
：EG=EQ：EH= BE：
AE=1：
．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，
解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，
并且证明四边形EQDH 是矩形．
26．（2013•汕头）如图，⊙O 是Rt
ABC
△
的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，
BE DC
⊥
交DC 的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA= BAD
∠
；
（2）求DE 的长；
（3）求证：BE 是⊙O 的切线．
考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：压轴题．
分析：（1）根据BD=BA 得出∠BDA= BAD
∠
，再由∠BCA= BDA
∠
即可得出结论；
（2）判断△BED
CBA
∽△
，利用对应边成比例的性质可求出DE 的长度．
（3）连接OB，OD，证明△ABO
DBO
≌△
，推出OB DE
∥
，继而判断OB DE
⊥
，可得出结论．
解答：（1）证明：∵BD=BA，
BDA= BAD
∴∠
∠
，
BCA= BDA
∵∠
∠
（圆周角定理），来源：www.bcjy123.com/tiku/
BCA= BAD
∴∠
∠
．
（2）解：∵∠BDE= CAB
∠
（圆周角定理），∠BED= CBA=90°
∠
，
BED
CBA
∴△
△
∽
，
∴
=
，即
=
，
解得：DE=
．
（3）证明：连结OB，OD，
在△ABO 和△DBO 中，∵
，
ABO
DBO
∴△
△
≌
，
DBO= ABO
∴∠
∠
，
ABO= OAB= BDC
∵∠
∠
∠
，
DBO= BDC
∴∠
∠
，
OB ED
∴
∥
，
BE
ED
∵
⊥
，
EB BO
∴
⊥
，
OB BE
∴
⊥
，
BE
∴
是⊙O 的切线．
点评：本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求
同学们熟练掌握一些定理的内容．
27．（2013•朝阳）如图，直线AB 与⊙O 相切于点A，直径DC 的延长线交AB 于点B，AB=8，
OB=10
（1）求⊙O 的半径．
（2）点E 在⊙O 上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC 与AB 有怎样的位置关系？
并证明你的结论．
（3）求弦EC 的长．
考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．4387773
分析：（1）连接OA，交EC 于F，根据切线性质得出∠OAB=90°，根据勾股定理求出即可；
（2）根据AE=AC 推出弧AE=弧AC，根据垂径定理求出OA EC
⊥
，根据平行线判定推
出即可；
（3）证△OFC
OAB
∽△
，求出FC，根据垂径定理得出EC=2FC，代入求出即可．
解答：（1）解：连接AO，交EC 于F，
AB
∵
切⊙O 于A，
OA AB
∴
⊥
，
OAB=90°
∴∠
，
在Rt
OAB
△
中，由勾股定理得：OA=
=
=6，
答：⊙O 的半径是6．
（2）直线EC 与AB 的位置关系是EC AB
∥
．
证明：∵AE=AC，
∴弧AE=弧AC，
OA
∵
过O，
OA EC
∴
⊥
，
OA
AB
∵
⊥
，
EC AB
∴
∥
．
（3）解：∵EC AB
∥
，
OFC
OAB
∴△
△
∽
，
∴
=
，
∴
=
，
FC=
∴
，
OA
EC
∵
⊥
，OA 过O，
EC=2FC=
∴
．
点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线性质，垂径定理，圆周角定理的
应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
28．（2013•成都）如图，点B 在线段AC 上，点D，E 在AC 同侧，∠A= C=90°
∠
，BD BE
⊥
，
AD=BC．
（1）求证：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP，作PQ DP
⊥
，交直线BE 于点Q；
（i）当点P 与A，B 两点不重合时，求
的值；
（ii）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长．（直接写
出结果，不必写出解答过程）
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）根据同角的余角相等求出∠1= E
∠，再利用“角角边”证明△ABD 和△CEB 全等，
根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC 整理即可得证；
（2）（i）过点Q 作QF BC
⊥
于F，根据△BFQ 和△BCE 相似可得
=
，然后求出QF=
BF，再根据△ADP 和△FPQ 相似可得
=
，然后整理得到（AP
BF
﹣
）（5
AP
﹣
）
=0，从而求出AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得
=
，从而得解；
（ii）判断出DQ 的中点的路径为△BDQ 的中位线MN．求出QF、BF 的长度，利用勾股
定理求出BQ 的长度，再根据中位线性质求出MN 的长度，即所求之路径长．
解答：（1）证明：∵BD BE
⊥
，
1+ 2=180°
90°=90°
∴∠
∠
﹣
，
C=90°
∵∠
，
2+ E=180°
90°=90°
∴∠
∠
﹣
，
1= E
∴∠
∠，
∵在△ABD 和△CEB 中，
，
ABD
CEB
∴△
△
≌
（AAS），
AB=CE
∴
，
AC=AB+BC=AD+CE
∴
；
（2）（i）如图，过点Q 作QF BC
⊥
于F，
则△BFQ
BCE
∽△
，
∴
=
，
即
=
，
QF=
∴
BF，
DP
PQ
∵
⊥
，
ADP+ FPQ=180°
90°=90°
∴∠
∠
﹣
，
FPQ+ PQF=180°
90°=90°
∵∠
∠
﹣
，
ADP= FPQ
∴∠
∠
，
又∵∠A= PFQ=90°
∠
，
ADP
FPQ
∴△
△
∽
，
∴
=
，
即
=
，
5AP
AP
∴
﹣
2+AP•BF=3• BF，
整理得，（AP
BF
﹣
）（AP
5
﹣）=0，
∵点P 与A，B 两点不重合，
AP≠5
∴
，
AP=BF
∴
，
由△ADP
FPQ
∽△
得，
=
，
∴
= ；
（ii）线段DQ 的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ 的中位线MN．
由（2）（i）可知，QF= AP．
当点P 运动至AC 中点时，AP=4，∴QF=
．
BF=QF×
∴
=4．
在Rt
BFQ
△
中，根据勾股定理得：BQ=
=
=
．
MN=
∴
BQ=
．
∴线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长为
．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全
等的条件∠1= E
∠
是解题的关键，（2）（i）根据两次三角形相似求出AP=BF 是解题的
关键，（ii）判断出路径为三角形的中位线是解题的关键．
来源：www.bcjy123.com/tiku/
