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1
期末 A 卷
一、单选题
1. ( 3 分 ) 下列运算正确的是（ ）
A. m2•m3＝m6 B. （m2）3＝m5 C. m3÷m2＝m D. 3m
m
﹣＝2
【答案】 C
【考点】整式的加减运算，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方
【解析】【解答】解：A. m2•m3＝m5 ， 故错误；B. （m2）3＝m6 ， 故错误；C. m3÷m2＝m，故正确；
D. 3m
m
﹣＝2m，故错误；故答案为：C.
【分析】分别运用同底数幂相乘除、幂的乘方、合并同类项法则方进行计算.
2. ( 3 分 ) 下列图形中是中心对称图形的是
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A 是轴对称图形，故不符合；
B 是轴对称图形，故不符合；
C 不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合；
D 是中心对称图形，因为它能绕它的中心旋转180 度能与自身重合；
故选D.
【分析】AB 是轴对称图形，它们能分别沿某一条线折叠使与自身完全重合；D 是中心对称图形，绕中心
旋转180 度与自身重合.
3. ( 3 分 ) 以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A. 1cm、2cm、3cm B. 1dm、5cm、6cm C. 1dm、3cm、3cm D. 2cm、4cm、7cm
【答案】 B
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】根据三角形的三边关系可知：
A．2+1＝3，不能组成三角形；
B．1dm=10cm ， 5+6＞10，能组成三角形；
2
C．1dm=10cm ， 3+3＜10，不能组成三角形；
D．2+4＜7，不能组成三角形．
故答案为：B．
【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此判断即可.
4. ( 3 分 ) 一个正多边形的一个外角是30°，则这个正多边形的对称轴有（ ）
A. 9 条 B. 10 条
C. 11 条
D. 12 条
【答案】 D
【考点】多边形内角与外角，正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个正多边形的一个外角是30°，
∴这个正多边形的边数=360÷30=12，故其对称轴有：12 条.
故答案为：D.
【分析】根据多边形外角和等于360°计算多边形的边数，据边数即可得出多边形对称轴的条数.
5. ( 3 分 ) 如图，将△ABC 沿DE、HG、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处．若∠1=129°，则∠2 的度数为
（ ）
A. 49° B. 50° C. 51° D. 52°
【答案】 C
【考点】三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据翻折的性质可知，∠DOE= A
∠，∠HOG= B
∠，∠EOF= C
∠，
又∵∠A+ B+ C=180°
∠
∠
，
DOE+ HOG+ EOF=180°
∴∠
∠
∠
，
1+ 2=180°
∴∠
∠
，
3
又∵∠1=129°，
2=51°
∴∠
．
故选C．
【分析】根据翻折的性质可知，∠DOE= A
∠，∠HOG= B
∠，∠EOF= C
∠，又∠A+ B+ C=180°
∠
∠
，可知
∠1+ 2=180°
∠
，又∠1=129°，继而即可求出答案．本题考查翻折变换的知识，解答此题的关键是三角形折
叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，同时注意三角形内角和定理的灵活运用．
6. ( 3 分 ) 若式子 √k-1 +（k
1
﹣）0有意义，则一次函数y=（1
k
﹣）x+k
1
﹣的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【考点】0 指数幂的运算性质，二次根式有意义的条件，一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵式子 √k-1 +（k
1
﹣）0有意义，
∴ {k -1≥0
k -1≠0 ，解得k＞1，
1
k
∴﹣＜0，k
1
﹣＞0，
∴一次函数y=（1
k
﹣）x+k
1
﹣的图象过一、二、四象限．
故选C．
【分析】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．先求出k
的取值范围，再判断出1
k
﹣及k
1
﹣的符号，进而可得出结论．
7. ( 3 分 ) 如图，P 为反比例函数y= k
x （k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的
垂线交一次函数y=
x
4
﹣﹣的图象于点A、B．若∠AOB=135°，则k 的值是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】 D
4
【考点】一次函数的实际应用，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性
质
【解析】【解答】解：方法1、作BF x
⊥轴，OE AB
⊥
，CQ AP
⊥
，如图1，
设P 点坐标（n， k
n ），
∵直线AB 函数式为y=
x
4
﹣﹣，PB y
⊥轴，PA x
⊥轴，
C
∴（0，﹣4），G（﹣4，0），
OC=OG
∴
，
OGC= OCG=45°
∴∠
∠
PB OG
∥
∵
，PA OC
∥
，
PBA= OGC=45°
∴∠
∠
，∠PAB= OCG=45°
∠
，
PA=PB
∴
，
P
∵点坐标（n， k
n ），
OD=CQ=n
∴
，
AD=AQ+DQ=n+4
∴
；
∵当x=0 时，y=
x
4=
4
﹣﹣
﹣，
OC=DQ=4
∴
，GE=OE= √2
2 OC= 2√2 ；
同理可证：BG= √2 BF= √2 PD= √2k
n
，
BE=BG+EG=
∴
√2k
n
+ 2√2 ；
AOB=135°
∵∠
，
OBE+ OAE=45°
∴∠
∠
，
DAO+ OAE=45°
∵∠
∠
，
5
DAO= OBE
∴∠
∠
，
∵在△BOE 和△AOD 中， {
∠DAO =∠OBE
∠BEO =∠ADO =90° ，
BOE
AOD
∴△
△
∽
；
∴OE
OD = BE
AD ，即 2√2
n
=
√2k
n
+2√2
4 +n
；
整理得：nk+2n2=8n+2n2 ， 化简得：k=8；
故答案为：D．
方法2、如图2，
过B 作BF x
⊥轴于F，过点A 作AD y
⊥轴于D，
∵直线AB 函数式为y=
x
4
﹣﹣，PB y
⊥轴，PA x
⊥轴，
C
∴（0，﹣4），G（﹣4，0），
OC=OG
∴
，
OGC= OCG=45°
∴∠
∠
PB OG
∵
∥
，PA OC
∥
，
PBA= OGC=45°
∴∠
∠
，∠PAB= OCG=45°
∠
，
PA=PB
∴
，
P
∵点坐标（n， k
n ），
A
∴（n，﹣n
4
﹣），B（﹣4
﹣k
n ， k
n ）
∵当x=0 时，y=
x
4=
4
﹣﹣
﹣，
OC=4
∴
，
当y=0 时，x=
4
﹣．
OG=4
∴
，
6
AOB=135°
∵∠
，
BOG+ AOC=45°
∴∠
∠
，
∵直线AB 的解析式为y=
x
4
﹣﹣，
AGO= OCG=45°
∴∠
∠
，
BGO= OCA
∴∠
∠
，∠BOG+ OBG=45°
∠
，
OBG= AOC
∴∠
∠
，
BOG
OAC
∴△
△
∽
，
∴OG
AC = BG
OC ，
∴
4
AC = BG
4 ，
在等腰Rt
BFG
△
中，BG= √2 BF= √2k
n
，
在等腰Rt
ACD
△
中，AC= √2 AD= √2 n，
∴ 4
√2n =
√2k
n
4
，
k=8
∴
，
故答案为：D．
【分析】方法1、作BF x
⊥轴，OE AB
⊥
，CQ AP
⊥
，如图1，首先求出C,G 两点的坐标，从而得出
OC=OG，根据等边对等角得出∠OGC= OCG=45°
∠
再根据平行线的知识得出∠PBA= OGC=45°
∠
，
∠PAB= OCG=45°
∠
，进而PA=PB，设出P 点的坐标，求出OD=CQ.AD 的长，然后判断出△BOE
AOD
∽△
；
根据相似三角形对应边成比例得出方程，求解即可； 方法2、如图2， 过B 作BF x
⊥轴于F，过点A 作
AD y
⊥轴于D，首先求出C,G 两点的坐标，从而得出OC=OG，根据等边对等角得出∠OGC= OCG=45°
∠
再
根据平行线的知识得出∠PBA= OGC=45°
∠
，∠PAB= OCG=45°
∠
，进而PA=PB， 设出P 点的坐标进而得出
A,B 两点的坐标，找到OC.OG 的长，进而判断出△BOG
OAC
∽△
，根据相似三角形对应边成比例得出方程，
在等腰Rt
BFG
△
中表示出BG，在等腰Rt
ACD
△
中表示出AC，代入方程求解即可。
8. ( 3 分 ) 如图，正△AOB 的边长为5，点B 在x 轴正半轴上，点A 在第一象限，反比例函数y＝ k
x （x
＞0）的图象分别交边AO，AB 于点C，D，若OC＝2BD，则实数k 的值为（ ）
7
A. 4 √3 B. 9
2 √3 C. 25
4 √3 D. 8 √3
【答案】 A
【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，反
比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵等边三角形AOB 的边长为5，边OB 在x 轴的正半轴上，点A 在第一象限，
B
∴（5，0），
OB
∴
＝5，
作CE OB
⊥
于E，DF OB
⊥
于F，
CE DF
∴
∥
，
OEC
∴∠
＝∠BFD＝90°，
AOB
∵△
是正三角形，
AOB
∴∠
＝∠ABO＝60°，
COE
DBF
∴△
△
∽
，
∴ OE
BF = CE
DF = OC
BD ，
设C（a，b），
OE
∴
＝a，CE＝b，
OC
∵
＝2BD，
∴ a
BF = b
DF =2 ，
BF
∴
＝ 1
2 a，DF＝ 1
2 b，
8
OF
∴
＝OB
BF
﹣
＝5
﹣1
2 b，
D
∴（5
﹣1
2 b， 1
2 b），
∵反比例函数y＝ k
x （x＞0）的图象分别交边AO，AB 于点C，D，
k
∴＝ab＝（5
﹣1
2 b）• 1
2 b，解得a＝2，
OE
∴
＝2，
在Rt
COE
△
中，∠AOB＝60°，
CE
∴
＝OE•tan60°＝2 √3 ，
C
∴（2，2 √3 ），
k
∴＝2×2 √3 ＝4 √3 。
故答案为：A。
【分析】根据等边三角形的性质得出OB＝5，作CE OB
⊥
于E，DF OB
⊥
于F，很容易判断出
△COE
DBF
∽△
，根据相似三角形对应边成比例得出OE
BF = CE
DF = OC
BD ， 设C（a，b），故OE＝a，CE＝
b，根据比例式用含a,b 的式子表示出BF,CF，进而表示出OF，表示出带你D 的坐标，根据反比例函数图
象上的点的横坐标与纵坐标的乘积等于常数k，列出方程求解算出a 的值，进而在Rt
COE
△
中，根据正切
函数的定义，由CE＝OE•tan60°表示出CE，求出点C 的坐标，从而即可求出k 的值。
9. ( 3 分 ) 如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，连接对角线AC，将△ADC 沿射线CA 的方向平移得到
△A′D′C′，分别连接BC′，AD′，BD′，则BC′+BD′的最小值为（ ）
A. 2√2 B. 4 C. 4√2 D. 2√5
【答案】 D
【考点】正方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题，平移的性质
9
【解析】【解答】解：连接DD′，当等腰Rt
ADC
△
在射线CA 上运动时，点D 运动轨迹为直线DD'，
AB C′D′
∵
∥
，且AB=C′D′，
∴四边形ABC′D′为平行四边形，
BD′+BC′=D′B+D′A
∴
，
将点B 关于直线l 对称到点B′，BD′+BC′=D′B+D′A= D′B′+D′A≥AB′，当D′、B′、A 三点共线时，BC′+BD′
的最小，最小值为AB′长，
作A′′B′ AD
⊥
交AD 延长线于点A′′，
由对称可知，BD′=BD，∠ADB= AD B′
∠
，∠BAD= B′A′′D
∠
，
BAD
B′A′′D
∴△
△
≌
，
A′′D=AD=2
∴
，A′′B′=AB=2，
AB′= √A A
''2+ B
' A
''2= 2√5 ，
故答案为：D.
【分析】作点B 关于直线DD′对称到点B′，连接AB′，作A′′B′ AD
⊥
交AD 延长线于点A′′，求出AB′长即可.
10. ( 3 分 ) 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=30°，点E 为AB 的中点，DE AB
⊥
，交AB 于点E，DE=
√3 ，BC=1，CD= √13 ，则CE 的长是（ ）
A. √14 B. √17 C. √15 D. √13
【答案】 D
10
【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，作CF AB
⊥
于F，如图所示：
则∠BFC=90°，
∵点E 为AB 的中点，DE AB
⊥
，
BD=AD
∴
，AE=BE，
DAB=30°
∵∠
，
DBE= DAB=30°
∴∠
∠
，BD=AD=2DE= 2√3 ，AE=BE= √3 DE=3，
BC
∵
2+BD2=12+（2 √3 ）2=13=CD2 ，
BCD
∴△
是直角三角形，∠CBD=90°，
CBF=180°-30°-90°=60°
∴∠
，
BCF=30°
∴∠
，∠BFC=90°，
BCF=30°
∴∠
，
BF=
∴
1
2 BC= 1
2 ，CF= √3 BF= √3
2 ，
EF=BE+BF=
∴
7
2 ，
在Rt
CEF
△
中，由勾股定理得：CE= √( 7
2 )
2
+( √3
2 )
2
=√13 ；
故答案为：D.
【分析】连接BD，作CF AB
⊥
于F，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD，AE=BE，得出
∠DBE= DAB=30°
∠
，由直角三角形的性质得出BD=AD=2DE= 2√3 ，AE=BE= √3 DE=3，证出△BCD
是直角三角形，∠CBD=90°，得出∠BCF=30°，得出BF= 1
2 BC= 1
2 ，CF= √3 BF= √3
2 ，求出
EF=BE+BF= 7
2 ，在Rt
CEF
△
中，由勾股定理即可得出结果.
二、填空题
11. ( 4 分 ) 已知AB=20，AC=30，∠A=150°，则△ABC 的面积是________．
【答案】 150
11
【考点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点B 作BE AC
⊥
于E，
BAC=150°
∵∠
，
BAE=180°
BAC=180°
150°=30°
∴∠
∠
﹣
﹣
．
BE=
∴
1
2 AB=10，
AC=30
∵
，
S
∴
ABC
△
= 1
2 AC•BE= 1
2 ×30×10=150．
故答案为150．
【分析】过点B 作BE AC
⊥
于E，根据勾股定理可求得BE，再根据三角形的面积公式求出答案．
12. ( 4 分 ) 因式分解： a
2−5a= ________.
【答案】 a(a−5)
【考点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】a2－5a＝a（a－5），故答案为a（a－5）.
【分析】根据因式分解的概念可得到答案.
13. ( 4 分 ) 某商店第一次用600 元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600 元购进该款铅笔，但这次每支的
进价是第一次进价的 5
4 倍，购进数量比第一次少了30 支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是
________元．
【答案】 4
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设该商店第一次购进铅笔的单价为x 元/支，则第二次购进铅笔的单价为 5
4 x 元/支，
12
根据题意得： 600
x ﹣
600
5
4 x =30，
解得：x=4，
经检验，x=4 是原方程的解，且符合题意．
答：该商店第一次购进铅笔的单价为4 元/支．
故答案为：4．
【分析】设该商店第一次购进铅笔的单价为x 元/支，则第二次购进铅笔的单价为 5
4 x 元/支，则第一次用
600 元购进2B 铅笔的数量为：600
x 支，第二次用600 元购进2B 铅笔的数量为：
600
5
4 x 支，根据第二次购进
的数量比第一次少了30 支，列出方程，求解并检验即可。
14. ( 4 分 ) 如图，△ABC 中，IB ， IC 分别平分∠ABC ， ∠ACB ， 过I 点作DE∥BC ， 分别交
AB 于D ， 交AC 于E ， 给出下列结论：①△DBI 是等腰三角形；②△ACI 是等腰三角形；③AI 平分
∠BAC；④△ADE 周长等于AB+AC ， 其中正确的是: ________（只需填写序号）。
【答案】 ①③④
【考点】平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵IB 平分∠ABC，
DBI= CBI
∴∠
∠
，
DE BC
∵
∥
，
DIB= CBI
∴∠
∠
，
DBI= DIB
∴∠
∠
，
BD=DI
∴
，
DBI
∴△
是等腰三角形，故①符合题意；
BAC
∵∠
不一定等于∠ACB，
IAC
∴∠
不一定等于∠ICA，
ACI
∴△
不一定是等腰三角形，故②不符合题意；
13
∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，
AI
∴
平分∠BAC，故③符合题意；
BD=DI
∵
，同理可得EI=EC，
ADE
∴△
的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC，故④符合题意；
其中正确的是①③④，
故填：①③④.
【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排
除法求解．
15. ( 4 分 ) 在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M 为x 轴上的
一个动点，若要使MB
MA
﹣
的值最大，则点M 的坐标为________．
【答案】 （﹣ 3
2 ，0）
【考点】待定系数法求一次函数解析式，轴对称的应用-最短距离问题，一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：取点B 关于x 轴的对称点B′，则直线AB′交x 轴于点M．点M 即为所求．
设直线AB′解析式为：y=kx+b
把点A（-1，-1）B′（2，-7）代入
{¿−1＝−k +b
−7＝2k +b
解得 {¿k ＝−2
b＝−3
∴直线AB′为：y=-2x-3，
当y=0 时，x=- 3
2
M
∴
坐标为（- 3
2 ，0）
故答案为：（- 3
2 ，0）
【分析】取点B 关于x 轴的对称点B′，则直线AB′交x 轴于点M．点M 即为所求．利用待定系数法求出直
线AB′解析式，根据直线与x 轴交点的坐标特点得出M 点的坐标。
16. ( 4 分 ) 如图，△ABC 中，点D、E 分别是BC、AD 的中点，△ABC 的面积为6，则阴影部分的面积是
________．
14
【答案】 3
2
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D、E 分别是BC，AD 的中点，
S
∴
AEC
△
= 1
2 S
ACD
△
， S
ACD
△
= 1
2 S
ABC
△
，
S
∴
AEC
△
= 1
4 S
ABC
△
= 1
4 ×6= 3
2 ．
故答案为： 3
2 .
【分析】根据点D、E 分别是BC、AD 的中点，可知AD、CE 分别是△ABC、△ADC 的中线，而三角形的
中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形，据此即可解答。
17. ( 4 分 ) 如图，在扇形 ABD 中， ∠BAD =60° ， AC 平分 ∠BAD 交弧 BD 于点 C ，点 P
为半径 AB 上一动点，若 AB = 4 ，则阴影部分周长的最小值为________．
【答案】 4√2+ 2π
3
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点C 关于AB 的对称点 C
' ，
连接 C
' D 交OB 于点 P
' ，连接 P
'C 、 OC
' ，
15
此时 P
'C + P
' D 最小，即 P
'C + P
' D =C
' D ，
由题意得， ∠DAC =∠CAB =∠BA C
' =30° ，
∴ ∠DA C
' =90° ，
∴ C
' D =√OC
2+O D
'2=√4
2+ 4
2= 4√2 ，
´
CD 的长 l = 30 π ×4
180
= 2π
3 ，
∴阴影部分周长的最小值为 4√2+ 2π
3 ，
故答案为： 4√2+ 2π
3 ．
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E 移动到点E'时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD 的
长与CD'的长度和，分别进行计算即可。
三、计算题
18. ( 5 分 ) 计算
（1）（2a＋1)2－(2a＋1)(－1＋2a)
（2）(x-y)3·(x-y)2·(y-x)
（3）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
【答案】 解：(1)原式= 4a2+4a+1-(4a2 -1)
=4a2+4a+1-4a2+1
=4a+2
(2) 原式=-（x-y）3·(x-y)2·(x-y)=-(x-y)6；
(3)原式=9m2n2 -1-8m2n2 =m2n2 -1．
【考点】同底数幂的乘法，完全平方公式的几何背景，平方差公式及应用，整式的混合运算
16
【解析】【分析】
（1）先根据完全平方公式、平方差公式把括号展开，再合并同类项即可求解；
（2）先把底数统一，再按照同底数幂的乘法即可求出结果；
（3）先根据平方差公式把括号展开，合并同类项即可．
19. ( 10 分 ) 解方程：
（1）x2
4x+1=0
﹣
（2）x +5
x
2−x ﹣ 3
x = −6
1−x ．
【答案】 （1）解：x2
4x+1=0
﹣
，
x2
4x=
1
﹣
﹣，
x2
4x+4=
1+4
﹣
﹣
，
（x
2
﹣）2=3，
x
2=±
﹣
√3 ，
解得x1=2
﹣√3 ，x2=2+ √3 ；
（2）解： x +5
x
2−x ﹣ 3
x = −6
1−x ，
x+5
3
﹣（x
1
﹣）=6x，
x+5
3x+3=6x
﹣
，
8x=
8
﹣
﹣，
x=1，
经检验x=1 是增根，
故原方程无解．
【考点】配方法解一元二次方程，解分式方程
【解析】【分析】（1）在本题中，把常数项1 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4 的一半的
平方；（2）先把分式方程整理成整式方程，再按照解整式方程的步骤进行计算，最后再进行检验，即可
得出答案．
四、解答题
20. ( 7 分 ) 已知：如图，OM 是∠AOB 的平分线，C 是OM 上一点，且CD OA
⊥
于D，CE OB
⊥
于E，
AD=EB．求证：AC=CB．
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【答案】 证明：∵OM 是∠AOB 的平分线，C 是OM 上一点，
且CD OA
⊥
于D，CE OB
⊥
于E，
CD=CE
∴
，∠ADC= BEC=90°
∠
，
在△ACD 和△BCE 中，
{
AD＝EB
∠ADC ＝∠BEC
DC ＝CE
ADC
BEC
∴△
△
≌
（SAS），
AC=CB
∴
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 CD=CE，然后利用SAS 判断出
△ADC
BEC
≌△
，根据全等三角形的对应边相等得出 AC=CB。
21. ( 7 分 ) 已知 x =√5+2 ，求代数式x2
4x
﹣
的值．
【答案】 解： x =√5+2 ，
x
∴
2
4x=x
﹣
（x
4
﹣）=（ √5 +2）（ √5 ﹣2），
=5
4
﹣，
=1．
答：代数式x2
4x
﹣
的值为1
【考点】因式分解的应用
【解析】【分析】首先对式子x2
4x
﹣
进行因式分解，然后代入x 的值可得到答案．
22. ( 9 分 ) 请将下面的说理过程和理由补充完整．
如图，点B，E，C，F 在一条直线上，BE=CF，AB DE
∥
，AB=DE，说明AC=DF．
解：∵BE=CF，（已知）
BE+EC=CF+
∴
▲
． （等式的性质）
18
即 BC= ▲
．
AB DE
∵
∥
，（已知）
B=
∴∠
▲
． （
▲
）
又∵AB=DE，（已知）
ABC
DEF
∴△
△
≌
．（
▲
）
AC=DF
∴
．（
▲
）
【答案】 解：∵BE=CF，（已知）
BE+EC=CF+EC
∴
（等式的性质）
即 BC=EF．
AB DE
∵
∥
，（已知）
B= DEF
∴∠
∠
．（两直线平行，同位角相等）
又∵AB=DE，（已知）
ABC
DEF
∴△
△
≌
（SAS）
AC=DF
∴
．（全等三角形对应边相等）
【考点】三角形全等及其性质，推理与论证，三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】首先根据等量代换得到BC=EF ， 再根据平行线的性质得到∠B=∠DEF ， 再利用
SAS 得出△ABC≌△DEF ， 得出AC=DF.
23. ( 9 分 ) 如图，在直角△ABD 中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，点F 为直线AD 上任意一点，过点A 作
直线AC BF
⊥
，垂足为点E，直线AC 交直线BD 于点C．过点F 作FG BD
∥
，交直线AB 于点G．
（1）如图1，点F 在边AD 上，则线段FG，DC，BD 之间满足的数量关系是
；
（2）如图2，点F 在边AD 的延长线上，则线段FG，DC，BD 之间满足的数量关系是
， 证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，若DF=6，GF=10，将一个45°角的顶点与点B 重合，并绕点B 旋转，这
个角的两边分别交线段FG 于M，N 两点，当FM=2 时，求线段NG 的长．
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【答案】 解：（1）FG+DC=BD；理由：
ADB=90°
∵∠
，∠ABD=45°，
ADC=90°
∴∠
，∠BAD=45°，
AD=BD
∴
，∠C+ DBF=90°
∠
，∠C+ DAC=90°
∠
，
DBF= DAC
∴∠
∠
，
在△BDF 和△ADC 中，
，
BDF
ADC
∴△
△
≌
（ASA），
DF=DC
∴
，
FG BD
∵
∥
，
AFG= ADB=90°
∴∠
∠
，∠AGF= ABD=45°
∠
，
FG=AF
∴
，
FG+DC=AF+DF=AD=BD
∴
；
（2）FG=DC+BD；理由如下：
过点B 作BH GF
⊥
于点H，如图2 所示：
则四边形DFHB 是矩形，
∵在Rt
ABD
△
中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，FG BD
∥
，
ABD
∴△
和△AGF 都是等腰直角三角形，
AD=BD
∴
，AF=FG，
AC
BF
∵
⊥
，
CEB=90°
∴∠
，
C+ CBE=90°
∴∠
∠
，
C+ DAC=90°
∵∠
∠
，∠CBE= DBF
∠
，
20
DAC= DBF
∴∠
∠
，∠ADB=90°，
在△ADC 和△BDF 中，
，
ADC
BDF
∴△
△
≌
（ASA），
DC=DF
∴
，
AF=DF+AD=DC+BD
∴
，
FG=DC+BD
∴
；
（3）作NP AG
⊥
于P，如图3 所示：
则四边形DFHB 是矩形，△PGN 是等腰直角三角形，
BH=DF=6
∴
，PG=PN，
设PG=PN=x，则NG=√2x，
G=45°
∵∠
，
GH=BH=6
∴
，BG=6√2 ， ∠GBH=45°，
MBN=45°
∵∠
，
PBN= MBH
∴∠
∠
，
tan PBN=tan MBH=
∴
∠
∠
2
6 =1
3 ，
BP=3PN=3x
∴
，
PG+BP=x+3x=4x=6
∴
√2 ，
解得：x=3√2
2
，
NG=
∴
√2×3√2
2
=3．
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【考点】全等三角形的应用
【解析】【分析】（1）先证明△BDF
ADC
≌△
，得出DF=DC，再证明FG=AF，即可得出结论；
（2）过点B 作BH GF
⊥
于点H，由△ABD 和△AGF 都是等腰直角三角形．得出AD=BD，AF=FG，再证
明△ADC
BDF
≌△
，得出DC=DF，即可得出结论；
（3）作NP AG
⊥
于P，由四边形DFHB 是矩形，△PGN 是等腰直角三角形，得出BH=DF=6，PG=PN，设
PG=PN=x，则NG=√2x，再证出∠PBN= MBH
∠
，得出tan PBN=tan MBH=
∠
∠
1
3 ， 得BP=3PN=3x，列出
方程x+3x=6√2 ， 解方程即可得出结果．
五、作图题
24. ( 5 分 ) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C
（﹣4，1）
①画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1 ， 并写出点B 的对应点B1的坐标；
②画出△ABC 向下平移3 个单位的△A2B2C2 ， 并写出点C 的对应点C2的坐标．
【答案】 解：如图：△A1B1C1、△A2B2C2即为①②所求，B1坐标为（3，3）、C2坐标为（﹣4，﹣2）．
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【考点】作图﹣轴对称，作图﹣平移
【解析】【分析】（1）直接利用关于Y 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2） 直接利用
关于平移的性质得出对应点位置进而得出答案。
六、综合题
25. ( 10 分 ) 如图，在□ABCD 中，点E，F 分别是边AB，CD 的中点，
（1）求证：△CFB
AED
≌△
；
（2）若∠ADB＝90°，判断四边形BFDE 的形状，并说明理由；
【答案】 （1）证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ ∠A =∠C ， AD =CB ， AB =CD
又∵点E,F 分别是AB，CD 的中点
∴ AE =CF = 1
2 AB = 1
2 CD
∴ △CFB≅△AED（SAS ）
（2）解：四边形 BFDE 是菱形．证明如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AB //
¿ CD
又∵点E,F 分别是AB，CD 的中点
∴BE∥
¿ DF , BE = 1
2 AB
23
∴四边形 BEDF 是平行四边形
又∵ ∠ADB =90°
∴在 Rt △ADB 中， DE = 1
2 AB = BE
∴四边形 BFDE 是菱形．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定
【解析】【解答】（1） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ ∠A =∠C ， AD =CB ， AB =CD
又∵点E,F 分别是AB，CD 的中点
∴ AE =CF = 1
2 AB = 1
2 CD
∴ △CFB≅△AED（SAS ）
（2） 解：四边形 BFDE 是菱形．证明如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AB //
¿ CD
又∵点E,F 分别是AB，CD 的中点
∴ BE∥
¿ DF , BE = 1
2 AB
∴四边形 BEDF 是平行四边形
又∵ ∠ADB =90°
∴在 Rt △ADB 中， DE = 1
2 AB = BE
∴四边形 BFDE 是菱形．
【分析】根据平行线的性质得到对角、对边相等，再利用“SAS”判定三角形全等；首先证明四边形
BFDE 是平行四边形，再证明EF BD
⊥
，即可解决问题.
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