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期中检测卷
时间：120 分钟 满分：120 分
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、选择题(每小题3 分，共30 分)
1．二次函数y＝x2－2x＋2 的图象的顶点坐标是（ ）
A．(1，1) B．(2，2) C．(1，2) D．(1，3)
2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
3．正方形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕点A 按顺时针方
向旋转180°后，C 点的坐标是（ ）
A．(2，0) B．(3，0) C．(2，－1) D．(2，1)
第3 题图 第6 题图
4．若x＝－2 是关于x 的一元二次方程x2＋ax－a2＝0 的一个根，则a 的值为（ ）
A．－1 或4 B．－1 或－4
C．1 或－4 D．1 或4
5．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－5＝0 的两根，则x＋x 的值为（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
6．如图，△ABC 中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，
使得DC∥AB，则∠BAE 等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y＝ax2＋bx
的对称轴为（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝－2
C．直线x＝－1 D．直线x＝－4
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3，0)，B(1，0)，C(－5，y1)，D(5，y2)四点，则y1与
y2的大小关系是（ ）
A．y1>y2 B．y1＝y2
C．y1<y2 D．不能确定
9．关于x 的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0 有两个不相等的正实数根，则
m 的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＞且m≠2
C．－＜m＜2 D.＜m＜2
10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x 轴的一个交点坐标为
(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根是x1＝
－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0 时，x 的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0 时，y 随x 增大
而增大，其中结论正确的个数是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
二、填空题(每小题3 分，共24 分)
11．一元二次方程2x2－2＝0 的解是_________________.
12．如果关于x 的二次函数y＝x2－2x＋k 的图象与x 轴只有一个交点，则k＝______.
13．如图，△ABC 为等边三角形，△AO′B 绕点A 逆时针旋转后能与△AOC 重合，则
∠OAO′＝_________度．
第13 题图
第16 题图
第17 题图
14．设m，n 是一元二次方程x2＋2x－7＝0 的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.
15．已知关于x 的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0 的两根为x1和x2，且(x1－2)(x1－
x2)＝0，则k 的值是_________.
16．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函
数表达式为y＝－x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8 米的点E，F 处
要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是_________米．
17．如图，两个全等的三角尺重叠放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点C 按逆
时针方向旋转至△DCE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，AB 与CE 相交于点F.已知∠ACB
＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF＝_________cm.
18．直线y＝kx＋b 与抛物线y＝x2交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当OA⊥OB 时，直线AB 恒
过一个定点，该定点坐标为(0，4)[提示：直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2互相垂直，则
k1·k2＝_____[提示：两条直线互相垂直，则其斜率之积为-1]．
三、解答题(共66 分)
19．(8 分)解方程：
(1)x2－2x－8＝0; (2)(x－2)(x－5)＝－2.
20．(8 分)如图，在边长为1 的小正方形组成的方格纸上，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转
90°.
(1)画出旋转之后的△AB′C′；
(2)求线段AC 旋转过程中扫过的扇形的面积．
21.(8 分)已知抛物线y＝ax2－2ax＋c 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴正半轴交于点C，且
A(－1，0)．
(1)一元二次方程ax2－2ax＋c＝0 的解是－1，3；
(2)一元二次不等式ax2－2ax＋c＞0 的解集是－1＜x＜3；
(3)若抛物线的顶点在直线y＝2x 上，求此抛物线的解析式．
22．(10 分)已知关于x 的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4k－3＝0.
(1)求证：无论k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当Rt△ABC 的斜边a＝，且两直角边b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的
周长．
23．(10 分)2016 年3 月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经
市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10 元，当售价为每个12 元时，销售量为180 个，若售价每
提高1 元，销售量就会减少10 个，请解答以下问题：
(1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30)；
(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840 元利润，售价应定为多少？
(3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
24．(10 分)如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＋∠EAD＝180°，
△ABC 不动，△ADE 绕点A 旋转，连接BE，CD，F 为BE 的中点，连接AF.
(1)如图①，当∠BAE＝90°时，求证：CD＝2AF；
(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由．
25．(12 分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m，△AMB 的面积为S，求S
关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；
(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y＝－x 上的动点，判断有几个位置能使以点
P，Q，B，O 为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥OB)，直接写出相应的点Q 的坐标．
期中检测卷答案
1.A 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C 7.C 8.A 9.D
10.B 解析：∵抛物线与x 轴有2 个交点，∴b2－4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；∵抛物线
的对称轴为直线x＝1，而点（－1，0）关于直线x＝1 的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2＋bx
＋c＝0 的两个根是x1＝－1，x2＝3，故②正确；∵对称轴为直线x＝－＝1，∴b＝－2a.当x＝
－1 时，y＝0，即a－b＋c＝0，∴a＋2a＋c＝0，∴3a＋c＝0，故③错误；∵抛物线开口向下，与
x 轴的两个交点的坐标为（－1，0），
（3，0），∴当－1＜x＜3 时，y＞0，故④错误；∵抛物线的开
口向下，对称轴为直线x＝1，∴当x＜0 时，y 随x 增大而增大，故⑤正确.故选B.
11.x1＝1，x2＝－1 12.1 13.60 14.5
15.－2 或－ 16.8 17.2
18.（0，4） 解析：∵直线y＝kx＋b 与抛物线y＝x2交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴kx＋
b＝x2，化简，得x2－4kx－4b＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.又∵OA⊥OB，∴·＝＝＝＝＝－1，
解得b＝4，即直线y＝kx＋4，故直线恒过定点（0，4），故答案为（0，4）.
19.解：（1）x1＝－2，x2＝4；（4 分）
（2）x1＝3，x2＝4.（8 分）
20.解：（1）△AB′C′如图所示；（4 分）
（2）由图可知，AC＝2，所以线段AC 旋转过程中扫过的扇形的面积即为半径为2 的圆面
积的，S＝π·22＝π.（8 分）
21.解：（1）－1，3（2 分） （2）－1＜x＜3（4 分）
（3）∵抛物线经过点A（－1，0），∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a.∵－＝－＝1，＝c－a＝－
3a－a＝－4a，∴抛物线的顶点坐标是（1，－4a）.（6 分）又∵顶点在直线y＝2x 上，∴－4a＝
2×1＝2，解得a＝－，∴c＝－3a＝－3×＝，∴二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋.（8 分）
22.（1）证明：关于x 的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋4k－3＝0，Δ＝（2k＋1）2－4（4k－3）
＝4k2－12k＋13＝（2k－3）2＋4>0 恒成立，∴无论k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（5 分）
（2）解：根据勾股定理得b2＋c2＝a2＝31①，∵b＋c＝2k＋1②，bc＝4k－3③，（7 分）∴由
①②③得（2k＋1）2－2（4k－3）＝31，∴k＝3（k＝－2，舍去），∴b＋c＝7.又∵a＝，∴△ABC
的周长为a＋b＋c＝＋7.（10 分）
23.解：（1）设蝙蝠形风筝售价为x 元时，销售量为y 个，根据题意可知y＝180－10（x－
12）＝－10x＋300（12≤x≤30）；（3 分）
（2）设王大伯获得的利润为W，则W＝（x－10）y＝－10x2＋400x－3000，令W＝840，则
－10x2＋400x－3000＝840，解得x1＝16，x2＝24（舍去）.（5 分）
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840 元利润，售价应定为16 元；（6 分）
（3）∵W＝－10x2＋400x－3000＝－10（x－20）2＋1000，a＝－10＜0，∴当x＝20 时，W
取最大值，最大值为1000.（9 分）
答：当售价定为20 元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000 元.（10 分）
24.（1）证明：∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∴∠BAE＋∠DAC＝180°.又∵∠BAE＝90°，
∴∠DAC＝90°.∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD.
（3 分）在Rt△ABE 中，F 为BE 的中点，∴BE＝2AF，∴CD＝2AF；（5 分）
（2）解：当∠BAE≠90°时，（1）的结论仍成立.理由如下：如图，过B 作BG∥AF 交EA 的
延长线于G.∵F 是BE 的中点，BG∥AF，∴BG＝2AF，AE＝AG.（6 分）∵∠BAC＋∠EAD＝
180°，∠GAD＋∠EAD＝180°，∴∠BAC＝∠GAD，∴∠1＝∠2.∵AE＝AD，∴AD＝AG.（8
分）在△ABG 和△ACD 中，∴△ABG≌△ACD（SAS），∴BG＝CD，∴CD＝2AF.（10 分）
25.解：（1）y＝x2＋x－4；（3 分）
（2）过点M 作MN∥y 轴交AB 于点N，易求直线AB 解析式为y＝－x－4.∵点M 的横坐
标为m，则M 点的坐标为，N 点的坐标为（m，－m－4），（5 分）则S＝×（xB－xA）·NM＝×4×
＝－m2－4m＝－（m＋2）2＋4（－4<m<0），∴当m＝－2 时，S 有最大值，S 最大＝4；（7 分）
（3）设Q（a，－a），由题意知PQ∥OB，且PQ＝OB，则P（a，－a＋4）或（a，－a－4）.∵P
点在抛物线y＝x2＋x－4 上，∴a2＋a－4＝－a＋4 或a2＋a－4＝－a－4，解得a1＝－2＋2，a2
＝－2－2，a3＝－4，a4＝0（不符题意，舍去），（10 分）∴满足题意的Q 点的坐标有三个，分别
是（－2＋2，2－2），（－2－2，2＋2），（－4，4）.（12 分）
