矩 形
一、选择题(每小题4 分,共12 分)
1.(包头中考)如图,四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩
形,点B 在EF 边上,若矩形ABCD 和矩形AEFC 的面积分别
是S1,S2,则S1,S2的大小关系是( )
A.S1>S2
B.S1=S2
C.S1<S2
D.3S1=2S2
2.(南充中考)如图,把矩形ABCD 沿EF 翻折,点B 恰好落在
AD 边的B'处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD 的
面积是( )
A.12
B.24
C.12
D.16
3.如图,∠MON=90°,矩形ABCD 的顶点A,B 分别在边O
M,ON 上,当B 在边ON 上运动时,A 随之在OM 上运动,矩形
ABCD 的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D 到点O 的最
大距离为( )
A.
+1
B.
C.
D.
二、填空题(每小题4 分,共12分)
4.(北京中考)如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是AD 的中点,
若AB=5,AD=12,则四边形ABOM 的周长为 .
5.(漳州中考)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点D
是斜边AB 的中点,DE⊥AC,垂足为E,若DE=2,CD=2
,
则BE 的长为 .
6.如图,四边形ABCD 是矩形,点E 在线段CB 的延长
线上,连接DE 交AB 于点F,∠AED=2∠CED,点G 是DF
的中点,若BE=1,AG=4,则AB 的长为 .
三、解答题(共26 分)
7.(8 分)(湘西中考)如图,在矩形ABCD 中,E,F 分别是边AB,CD 的中
点,连接AF,CE .
(1)求证:△BEC≌△DFA.
(2)求证:四边形AECF 是平行四边形.
8.(8 分)已知:如图,矩形ABCD 中,AC,BD 相交于点O,AE 平分∠BAD,
若∠EAO=
15°,求∠BOE 的度数.
【拓展延伸】
9.(10 分)阅读以下短文,然后解决下列问题:[来源:学。科。网Z。X。X。K]
如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重
合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩
形为三角形的“友好矩形”.如图①所示,矩形ABEF 即为△ABC 的
“友好矩形”.显然,当△ABC 是钝角三角形时,其“友好矩形”只有
一个.
(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.
(2)如图②,若△ABC 为直角三角形,且∠C=90°,在图②中画出△ABC
的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小.
(3)若△ABC 是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图③中画出△ABC 的所有
“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.
答案解析
1.【解析】选B.矩形ABCD 的面积S1=2S△ABC,而S△ABC= S2,所以S1=S2.
2.【解析】选D.由两直线平行,内错角相等,
知∠DEF=∠EFB=60°,∴∠AEF=∠A'EF=120°,
∴∠A'EB'=60°,A'E=AE=2,求得A'B'=2
,
∴AB=2
,矩形ABCD 的面积为S=2
×8=16
.
【归纳整合】解决矩形中折叠问题的两个思路
(1)运用矩形的对边相等、对角线相等、四个角是直角等性质.
(2)运用轴对称的性质,找出折叠前后相等的角、线段.
3.【解析】选A.取AB 的中点E,连接OE,DE,OD,
则OE= AB=1,AE=1,∴DE=
,当D,E,O 三点共线时,OD=OE+DE,
否则OD<OE+DE,
∴OD 长的最大值是
+1.
4.【解析】由勾股定理得AC=13,
∵BO 为直角三角形斜边上的中线,
∴BO=6.5,
由三角形中位线定理得MO=2.5,
∴四边形ABOM 的周长为:6.5+2.5+6+5=20.[来源:学.科.网]
答案:20
5. 【解析】∵∠ACB=90°, 点
D
是斜边
AB
的中
点,DE⊥AC,∴BC=2DE=4.[来源:Z+xx+k.Com]
∴AB=2CD=4
,
∴AC=
=
=8.
∴CE= AC=4,∴BE=
=
=4
.
答案:4
6.【解析】∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD∥BC.∴∠CED=∠ADE.
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°.
∵点G 是DF 的中点,
∴AG= DF=DG.∴∠AGE=2∠ADE=2∠CED.
又∵∠AED=2∠CED,∴∠AGE=∠AED,
∴AE=AG=4.
在Rt△ABE 中AB=
=
=
.
答案:
7.【证明】(1)∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB=CD,AD=BC.
又∵E,F 分别是边AB,CD 的中点,
∴BE=DF,
∵在△BEC 和△DFA 中,
∴△BEC≌△DFA(SAS).
(2)由(1)得,CE=AF,又CF=AE,
故可得四边形AECF 是平行四边形.
8.【解析】∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE 平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE.
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.
∵∠BAD=90°,∠BAE=∠EAD,∴∠BAE=45°.
∵∠EAO=15°,∴∠BAO=45°+15°=60°.
∵OA=OB,∴△AOB 是等边三角形,∴BO=AB.
∵AB=BE,∴BO=BE,∴∠BOE=∠BEO.
∵∠ABE=90°,∠ABO=60°,∴∠OBE=30°.
在△BOE 中,∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180°,
∴∠BOE= (180°-∠OBE)=75°.
9.【解析】(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一
边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这
边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2)此时共有2 个“友好矩形”,如图,矩形BCAD,矩形ABEF.
易知,矩形BCAD,矩形ABEF 的面积都等于△ABC 面积的2 倍,
∴△ABC 的“友好矩形”的面积相等.
(3)此时共有3 个“友好矩形”,如图中矩形BCDE,矩形CAFG 及矩形
ABHK,其中矩形ABHK 的周长最小.[来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:学科网]
证明如下:易知,这三个矩形的面积相等,令其为S.设矩形BCDE,矩形
CAFG 及矩形ABHK 的周长分别为L1,L2,L3,△ABC 的边长
BC=a,CA=b,AB=c,则L1=
+2a,L2=
+2b,L3=
+2c.
∴L1-L2=
-
=2(a-b)×
,而ab>S,a>b,∴L1- L2>0,
即L1> L2.
同理可得,L2> L3,
∴L3最小,即矩形ABHK 的周长最小.
