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第十三章达
卷
标测试
一、选择题(每题3 分，共30 分)
1．下列四个交通标志图中为轴对称图形的是( )
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8R\\WWT3.tif" \* MERGEFORMATINET
2．已知点P(3，－2)与点Q 关于x 轴对称，则点Q 的坐标为( )
A．(－3，2)
B．(－3，－2)
C．(3，2)
D．(3，－2)
3．一个等腰三角形的两边长分别为5 和11，则这个等腰三角形的周长为( )
A．16
B．21
C．27
D．21 或27
4．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．50°
B．65°
C．80°
D．50°或80°
5．下列说法中，正确的是( )
A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B．两个全等三角形一定关于某条直线对称
C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线对称
D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线对称
6．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40 n mile 的
速度向正北方向航行，2 h 后到达灯塔P 的北偏东40°方向的N 处，则N 处与
灯塔P 的距离为( )
A．40 n mile
B．60 n mile
C．70 n mile
D．80 n mile
(第6 题)
(第7 题)
(第8 题)
7．如图，等腰三角形ABC 的周长为21，底边BC＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB
于点D，交AC 于点E，则△BEC 的周长为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
8．如图，若△ABC 是等边三角形，AB＝6，BD 是∠ABC 的平分线，延长BC 到E，
使CE＝CD，则BE 的长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
9．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD＝3
cm，则AB 的长度是( )
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
(第9 题)
(第10 题)
10．如图，在△ABC 中，BI，CI 分别平分∠ABC，∠ACB，过I 点作DE∥BC，分别
交AB 于D，交AC 于E，给出下列结论：①△DBI 是等腰三角形；②△ACI 是等
腰三角形；③AI 平分∠BAC；④△ADE 的周长等于AB＋AC.其中正确的是(
)
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题(每题3 分，共24 分)
11．若点M(m，－n)与点N(3，m－1)关于y 轴对称，则mn＝________，直线MN 与
x 轴的位置关系是________．
12．如图，AE∥BD，C 是BD 上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝
________.
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8R\\WWT7.tif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课件兼职\\8R\\点训
8R\\CC20.tif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课件兼职\\8R\\点训
8R\\CC21.tif" \* MERGEFORMATINET
(第12 题)
(第13 题)
(第14 题)
13．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7 个小正方形所形成的图案，再将方
格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法
有________种．
14．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB 边的垂直平分线ED 交AB 于点
E，交BC 于点D，若CD＝3，则BD 的长为________．
15．如图，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，P，Q 分别是边AC，AB 上的点，且AP
＝PQ＝QC＝BC，则∠PCQ 的度数为________．
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8R\\F40.tif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课件兼职\\8R\\点训
8R\\G32.tif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课件兼职\\8R\\点训
8R\\CC22.tif" \* MERGEFORMATINET
(第15 题)
(第17 题)
(第18 题)
16．若等腰三角形的顶角为150°，则它一腰上的高与另一腰的夹角的度数为
________．
17．如图，点D，E 分别在等边三角形ABC 的边AB，BC 上，将△BDE 沿直线DE
翻折，使点B 落在B1处．若∠ADB1＝70°，则∠CEB1＝________．
18．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF
分别交AC，AB 边于点E，F.若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，
则△CDM 周长的最小值为________．
三、解答题(19～22 题每题8 分，25 题14 分，其余每题10 分，共66 分)
19．如图，已知AB＝AC，AE 平分∠DAC，那么AE∥BC 吗？为什么？
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\WWT10.tif" \* MERGEFORMATINET
20.如图，在四边形ABCD 中，已知A(4，4)，B(1，3)，C(1，0)，D(3，1)，在平面直角坐
标系内分别作出四边形ABCD 关于x 轴和y 轴对称的图形．
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8R\\WWT9.tif" \* MERGEFORMATINET
21．如图，P 为∠MON 的平分线上的一点，PA⊥OM 于A，PB⊥ON 于B.求证：OP
垂直平分AB.
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\F45.tif" \* MERGEFORMATINET
22．如图，在△ABC 中，∠C＝2∠A，BD 平分∠ABC 交AC 于D.求证AB＝BC＋
CD.
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\F46.tif" \* MERGEFORMATINET
23．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点D，E，F 分别在边AB，BC，AC 上，且BE＝
CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF 是等腰三角形；
(2)当∠A＝40°时，求∠DEF 的度数．
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\WwT11.tif" \* MERGEFORMATINET
24．如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 内一点，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∠CAD＝∠CBD＝15°，E 为AD 的延长线上的一点，且CE＝CA.
(1)求证：DE 平分∠BDC；
(2)若点M 在DE 上，且DC＝DM，求证ME＝BD.
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课件兼职\\8R\\点训8R\
\F48.tif" \* MERGEFORMATINET
25．(1)如图①，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m 经过点A，BD⊥
直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.求证DE＝BD＋CE.
(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB＝AC，D，A，E 三点都在直线m
上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α 为任意锐角或钝角．请问结论
DE＝BD＋CE 是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展与应用：如图③，D，E 是过点A 的直线m 上的两动点(D，A，E 三点互不重
合)，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD，CE.若∠BDA＝∠AEC＝
∠BAC，试判断△DEF 的形状，并说明理由．
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课件兼职\\8R\\点训8R\
\CC23.tif" \* MERGEFORMATINET
答案
一、1.D 2.C 3.C 4.D 5.A 6.D 7．A 8.C 9.D 10.C
二、11.－12；平行 12.40° 13.3 14．6 15.° 16.60° 17.50°
18．10 点拨：如图，连接AD，交EF 于点M′，连接CM′，当点M 与点M′重合时
CM＋MD 最短，因此△CDM 周长最小．
∵直线EF 垂直平分AC，
∴AM′＝CM′.
∵AB＝AC，D 为BC 的中点，
∴AD⊥BC，CD＝BD.
∴AD 是△ABC 的边BC 上的高．
又∵△ABC 的底边BC 长为4，面积是16，∴AD＝16×2÷4＝8.
∴△CDM 周长的最小值为8＋4÷2＝10.
三、19.解：AE∥BC.理由如下：
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
由三角形的外角性质得∠DAC＝∠B＋∠C＝2∠B.∵AE 平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAE，∴∠B＝∠DAE.
∴AE∥BC.
20．解：如图，四边形A1B1C1D1为四边形ABCD 关于x 轴对称的图形，四边形
A2B2C2D2为四边形ABCD 关于y 轴对称的图形．
(第20 题)
21．证明：∵OP 平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB.
又OP＝OP，
∴Rt△POA≌Rt△POB(HL)．
∴OA＝OB.
∵OP 平分∠MON，
∴OP 垂直平分AB.
22．证明：延长BC 至点E，使BE＝BA，连接DE.
∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.
又AB＝EB，BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)．
∴∠A＝∠E.
∵∠ACB＝2∠A，∴∠ACB＝2∠E.
∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，
∴∠CDE＝∠E.∴CD＝CE.
又∵AB＝BE，BE＝BC＋CE，
∴AB＝BC＋CD.
23．(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
在△DBE 和△ECF 中，
∴△DBE≌△ECF(SAS)．
∴DE＝EF.∴△DEF 是等腰三角形．
(2)解：由(1)可知△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，∠B＝∠C，
∴∠B＝(180°－40°)＝70°.
∴∠1＋∠2＝110°.
∴∠3＋∠2＝110°.
∴∠DEF＝70°.
24．证明：(1)∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°.
∵∠CAD＝∠CBD＝15°，
∴∠BAD＝∠ABD＝30°.
∴AD＝BD.
又∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD，
∴△ADC≌△BDC(SAS)．
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠ADC＝∠BDC＝120°.
∵∠ADC＋∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝120°－60°＝60°.
∴∠BDE＝∠CDE，
即DE 平分∠BDC.
(2)连接CM.
∵DC＝DM，∠CDE＝60°，
∴△CDM 为等边三角形．
∴∠CMD＝60°，CD＝CM，
∴∠CME＝120°，
∴∠CME＝∠BDC.
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E.
∵∠CAE＝∠CBD，
∴∠E＝∠CBD.
在△CME 和△CDB 中，
∴△CME≌△CDB(AAS)．
∴ME＝BD.
25．(1)证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°.
又∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°.
∴∠BAD＋∠DBA＝90°.
∴∠CAE＝∠DBA.
又∵AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS)．
∴BD＝AE，AD＝EC.
∴DE＝AD＋AE＝EC＋BD，
即DE＝BD＋CE.
(2)解：成立．证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC，
∴∠DAB＋∠DBA＝∠DAB＋∠CAE，
∴∠DBA＝∠CAE.
又∵∠BDA＝∠AEC，AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS)．
∴BD＝AE，AD＝EC.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(3)解：△DEF 是等边三角形．理由如下：
由(2)知△BDA≌△AEC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝EC.
又∵△ABF 和△ACF 是等边三角形，
∴FC＝FA，
∠AFC＝∠FCA＝∠FAB＝60°.
∴∠BAD＋∠FAB＝∠ACE＋∠FCA，
即∠DAF＝∠ECF.
∴△FAD≌△FCE(SAS)．
∴FD＝FE，∠DFA＝∠EFC.
又∵∠EFC＋∠AFE＝60°，
∴∠DFA＋∠AFE＝60°.
∴∠DFE＝60°.
∴△DEF 是等边三角形．
