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第十七章 勾股定理达标检测试卷
（满分100 分，答题时间120 分钟）
一、单项选择题（本题8 个小题，每题4 分，共32 分）
1．（2020•陕西）如图，在3×3 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，若BD 是
△ABC 的高，则BD 的长为（ ）
A．10
13 √13
B．9
13 √13
C．8
13 √13
D．7
13 √13
【答案】D
【解析】据勾股定理计算AC 的长，利用面积差可得三角形ABC 的面积，由三角形的面积公式即可得到结
论．
由勾股定理得：AC=√2
2+3
2=√13
，
∵S△ABC＝3×3−1
2 ×1×2−1
2 ×1×3−1
2 ×2×3=3.5，
∴1
2 AC ⋅BD = 7
2
，
∴√13⋅BD =7，
∴BD= 7√13
13
2.一个直角三角形，两直角边长分别为3 和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为5
B．三角形的周长为25
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C．斜边长为25
D．三角形的面积为20
【答案】A．
解析：此题较简单关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股
定理求出后直接选取答案．
两直角边长分别为a=3 和b=4，
∴斜边c=
=5
3.△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为（ ）
A．42
B．32 C．42 或32
D．37 或33
【答案】C．
解析：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC 为锐角三角形时，在Rt△ABD 中，
BD=
=
=9，
在Rt△ACD 中，
CD=
=
=5
∴BC=5+9=14
∴△ABC 的周长为：15+13+14=42；
（2）当△ABC 为钝角三角形时，
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在Rt△ABD 中，BD=
=
=9，
在Rt△ACD 中，CD=
=
=5，
∴BC=9﹣5=4．
∴△ABC 的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周长为32．
4.△ABC 中，a、b、c 是三角形的三条边，若（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形应是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
∵（a+b）2﹣c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC 是直角三角形．
5.如图，AD⊥AB，BD⊥BC，AB=3，AD=4，CD=13，则BC 的大小为（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
【答案】B
【解析】AD⊥AB，BD⊥BC，在Rt△ABD 和Rt△DBC 中，利用勾股定理先求出BD 的长，然后求出BC 的长．
∵AD⊥AB，
∴△ABD 是直角三角形．
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根据勾股定理得：AD2+AB2=BD2，即32+42=BD2，
∴BD=5；
同理在△DBC 中，∵BD⊥BC，
∴CD2=BD2+BC2，
即：BC2=132﹣52=144，
∴BC=12．
6．如图，在△ABC 中，三边a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．c＜b＜a
D．b＜a＜c
【答案】D
【解析】先分析出a、b、c 三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．
根据勾股定理，得a=
=
；b=
=
；c=
=
．
∵5＜10＜13，∴b＜a＜c．
7．（2019•巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（ ）
A．
，
，
B．32，42，52
C．
D．0.3，0.4，0.5
【答案】D．
【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
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A.（
）2+（
）2≠（
）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.（32）2+（42）2≠（52）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.（
）2+（
）2≠（
）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.0.032+0.042＝0.052，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意。
8．（2019•南岸区）如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC 的垂直平分线交AC 于点D，并交
BC 于点E，若ED＝3，则AC 的长为（ ）
A．3
B．3
C．6
D．9
【答案】D．
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，DE⊥BC，求出BD＝DC＝2DE＝3，根据直角三角形的性质
计算即可．
∵DE 是线段BC 的垂直平分线，
∴DC＝DB，DE⊥BC，
∵∠C＝30°，
∴BD＝DC＝2DE＝3，
∴∠DBC＝∠C＝30°，
在△ABC 中，∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
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∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，
∴AD＝
BD＝3，
∴AC＝DC+AD＝9．
二、填空题（本题8 个小题，每空4 分，共32 分）
9.（2020•苏州）如图，在△ABC 中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E 是AD 的中点，则EC
＝ ．
【答案】1
【解析】设AE＝ED＝x，CD＝y，根据勾股定理即可求出答案．
设AE＝ED＝x，CD＝y，
∴BD＝2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD 中，
∴AB2＝4x2+4y2，
∴x2+y2＝1，
在Rt△CDE 中，
∴EC2＝x2+y2＝1，
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∴EC＝1
10.（2019 山东东营）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2
，则它的周长是________．
【答案】
【解析】如图，过A 作AD⊥BC 于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝AC＝2
，∠B＝30°，∴AD＝
AB＝
，
由勾股定理得：BD＝
＝3，
同理CD＝3，∴BC＝6，
∴△ABC 的周长为BC+AB+AC＝6+2
+2
＝6+4
．
11.在Rt△ABC 中，∠C=90°，b=6，c=10，则a= ．
【答案】8
【解析】由题意知道c 为斜边，已知两边根据勾股定理即可求得第三边的长．
∵Rt△ABC 中，∠C=90°，b=6，c=10
∴a=
=8．
12.如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，若AC，BC 边上的中线BE，AD 垂直相交于O 点，则AB= ．
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【答案】
．
【解析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=
，且可判定点O 为△ABC 的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利
用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=
，等量代换得到BO2+
AO2=4，
BO2+AO2=
，把两式相加得到
BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB 的长．
∵AD、BE 为AC，BC 边上的中线，
∴BD=
BC=2，AE=
AC=
，点O 为△ABC 的重心，
∴AO=2OD，OB=2OE，
∵BE⊥AD，
∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=
，
∴BO2+
AO2=4，
BO2+AO2=
，
∴
BO2+
AO2=
，
∴BO2+AO2=5，
∴AB=
=
．
13.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n=_____。
【答案】2
【解析】首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。
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此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：
（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2
化简得：n2=4
∴n=±2，但当n=－2 时，n+1=－1<0，∴n=2
14.如图所示，某人到岛上去探宝，从A 处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走
2km，再转向北走到4.5km 处往东一拐，仅走0.5km 就找到宝藏．问登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离是
______。
【答案】6.5km
【解析】本题需要把实际问题转化为数学模型，过点B 作过点A 的直线的垂线，构造直角三角形，利用勾
股定理完成．
过点B 作BC⊥AD 于C，则AC=4﹣2+0.5=2.5km，BC=6km，
在Rt△ABC 中，由勾股定理求得AB=
=
=6.5（km）．
所以登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离是6.5km．
15.7,24,25；（2）8,15,19；（3）0.6,0.8,1.0；(4)3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)．上面各组数中，勾
股数有_____组．( )．
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】判断勾股数要看两个条件，一看能否满足a2＋b2＝c2，二看是否都是正整数．这两者缺一不可．
（1）∵72＋242＝252，且7,24,25 都是正整数，∴7,24,25 是勾股数．
（2）∵82＋152≠192，∴8,15,19 不是勾股数．
（3）∵0.6,0.8,1.0 不是正整数，∴0.6，0.8，1.0 不是勾股数．
（4）∵(3n)2＋(4n)2＝25n2＝(5n)2 (n＞1，且为自然数)，且它们都是正整数，∴3n,4n,5n(n＞1，且为自
然数)是勾股数.
16．（2020•苏州）如图，在△ABC 中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E 是AD 的中点，则
EC＝ ．
【答案】1
【解析】设AE＝ED＝x，CD＝y，根据勾股定理即可求出答案．
设AE＝ED＝x，CD＝y，∴BD＝2y，
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD 中，∴AB2＝4x2+4y2，∴x2+y2＝1，
在Rt△CDE 中，
∴EC2＝x2+y2＝1
三、解答题（本题4 个题，17 题8 分、18 题8 分、19 题8 分、20 题12 分，共36 分）
17.已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC 于点F，交BC 于点G，交AB 的延长
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线于点E，且
．
（1）求证：
；
（2）若
，求AB 的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：
于点
，
．
，
．
连接
，
AG＝AG,AB＝AF，
．
．
（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，
F
A
G
B
E
C
D
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．
．
，
．
．
18.如图所示，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，问：AD⊥AB 吗？试说明理由．
【答案】见解析。
【解析】AD⊥AB.
理由：根据勾股定理得AB＝＝5.
在△ABD 中，AB2＋AD2＝52＋122＝169，BD2＝132＝169，
所以AB2＋AD2＝BD2.
由勾股定理的逆定理知△ABD 为直角三角形，且∠BAD＝90°.
故AD⊥AB.
19.在△ABC 中，AB=13,AC=15,高AD=12,则△ABC 的周长为多少.
【答案】见解析。
【解析】可以对三角形的形状进行分类,不同的形状高线的位置不同:锐角三角形的高线在三角形的内部，
钝角三角形的高线在三角形的外部，而BC 求解随高线位置的不同而不同.所以必须分类来讨论三角形的形
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状.
(1) 如图甲，如果该三角形是锐角三角形时当BC 边上的高线在△ABC 内部时，如图所示：
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ADB 与△ADC 为直角三角形.
在Rt△ADB 中,AB=13,AD=12，根据勾股定理得
∴BD=
=5
在Rt△ADC 中，AC=13,AD=12,根据勾股定理得
∴DC=
=9
∴BC=BD+DC=5+9=14.
△ABC 的周长=AB+BC+CA=13+15+14=42
（2）如图乙，如果该三角形是钝角三角形时,
BC 边上的高线在△ABC 外部时，同理可得：
BC=BD－DC=9－5=4
△ABC 的周长=AB+BC+CA=13+15+4=32.
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20．（2020•温州）如图，在△ABC 和△DCE 中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D 依次在同一直线
上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12 时，求AE 的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DCE；
（2）由全等三角形的性质可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴CE＝BC＝5，
∵∠ACE＝90°，
∴AE=√AC❑
2+CE❑
2=√25+144 =
13．
