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探索三角形相似的条件（提高）知识讲解
责编：常春芳
【学习目标】
1.掌握平行线分线段成比例定理以及和三角形一边平行的判定定理，并会灵活应用；
2.探索三角形相似的条件，掌握三角形相似的判定方法；
3.了解三角形的重心，并能从相似的角度去进行相关的证明.
【要点梳理】
要点一、平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
如图： l1∥l2∥l3，直线a、b 分别与l1、l2、l3交于点A、B、C 和点D、E、F、，则有
（1）
（2）
（3）
成立.
b
a
l3
l2
l1
D
E
F
C
B
A
b
a
l3
l2
l1
D
E
F
C
B
A
b
a
l3
l2
l1
(D)
E
F
C
B
A
要点诠释：当两线段的比是1 时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是
平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推
广.
2.平行于三角形一边的直线的性质
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.
要点诠释：
这条定理也可以作为判定两个三角形相似的判定定理，有时也把他叫做判定两个三
角形相似的预备定理.
要点二、相似三角形的判定定理
【高清课程名称： 相似三角形的判定（1） 高清ID 号：394497 关联的位置名称：相似三角
形的判定】
1．判定方法（一）：两角分别相等的两个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直
角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
2．判定方法（二）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个
角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
3．判定方法（三）：三边成比例的两个三角形相似.
要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
要点四、三角形的重心
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.
【典型例题】
类型一、平行线分线段成比例定理
1. 如图,在⊿ABC, DG∥EC, EG∥BC,求证:
2
AE
AB AD
A
B
C
D
G
E
【答案与解析】
证明：∵DG∥EC,
∴
AD
AG
AE
AC
,
∵EG∥BC,
∴
AE
AG
AB
AC
,
∴
AD
AE
AE
AB
,
即
2
AE
AB AD
.
【总结升华】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段中的线段
对应成比例是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF 的值为（ ）
A.
B.
C. 6 D.
【答案】B.
【解析】∵直线l1∥l2∥l3，
∴
，
∵AB=2，BC=3，DE=1，
∴
，
∴EF=
，
故选B．
2.如图，AD 是△ABC 的中线，P 是AD 上任意一点，CP、BP 的延长线分别交AB、AC 于E、D
两点,连接EF.求证：EF∥BC.
【思路点拨】构造平行线，利用平行线所截得的对应线段成比例来证明.
【答案与解析】延长PD 到M，使DM=PD，连接BM、CM,
∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD=CD,
∵DM=PD
∴四边形BPCM 是平行四边形.
∴BP∥CM，即PF∥MC，
∴
,
同理
,
∴
∴DE∥BC.
【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，反过来如果一条直线截三角形的两边（或两边
的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
类型二、相似三角形的判定
【高清课程名称： 相似三角形的判定（1） 高清ID 号： 394497
关联的位置名称（播放点名称）：练习4】
3.（2015•柳州）如图，矩形EFGH 内接于△ABC，且边FG 落在BC 上．若BC=3，AD=2，
EF= EH，那么EH 的长为多少？
【思路点拨】设EH=3x，表示出EF，由AD
EF
﹣
表示出三角形AEH 的边EH 上的高，根据三角
形AEH 与三角形ABC 相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x 的值，即
为EH 的长．
【答案与解析】
解：∵四边形EFGH 是矩形，
EH BC
∴
∥
，
AEH
ABC
∴△
△
∽
，
AM EH
⊥
∵
，AD BC
⊥
，
∴
=
，
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD
EF=2
2x
﹣
﹣
，
∴
=
，
解得：x= ，
则EH= ．
故答案为：．
4. （2015 春•成武县期末）如图，已知△ABC 中，AB=
，AC=
，BC=6，点M 为
AB 的中点，在线段AC 上取点N，使△AMN 与△ABC 相似，求MN 的长．
【思路点拨】作MN BC
∥
交AC 于点N，利用三角形的中位线定理可得MN 的长；作
∠ANM= B
∠，利用相似可得MN 的长．
【答案与解析】解：①图1，作MN BC
∥
交AC 于点N，则△AMN
ABC
∽△
，
有
，
M
∵
为AB 中点，AB=
，
AM=
∴
，
BC=6
∵
，
MN=3
∴
；
②图2，作∠ANM= B
∠，则△ANM
ABC
∽△
，
有
，
M
∵
为AB 中点，AB=
，
AM=
∴
，
BC=6
∵
，AC=
，
MN=
∴
，
MN
∴
的长为3 或．
【总结升华】本题主要考查相似三角形的作图和相似三角形的判定以及存在性，解题的关键
是注意相似作图及解答有多种情况．
举一反三：
【变式】（2015•大庆模拟）如图，△ABC 中，AB=5，BC=3，CA=4，D 为AB 的中点，过点D 的
直线与BC 交于点E，若直线DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似，则DE= ．
【答案】解：∵D 为AB 的中点，
BD=
∴
AB= ，
DBE= ABC
∵∠
∠
，
∴当∠DBE= ACB
∠
时，△BDE
BAC
∽△
时，如图1，则
=
，即
=
，解得DE=2；
当∠BDE= ACB
∠
时，如图2，DE 交AC 于F，
DAF= CAB
∵∠
∠
，
ADF
ACB
∴△
△
∽
，
BDE
BCA
∴△
△
∽
，
∴
=
，即
=
，解得DE=
，
综上所述，若直线DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似，则DE=2 或
．
