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图形的相似
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1、理解相似图形、相似多边形和相似比的概念．
2、掌握相似多边形的两个基本性质．
3、理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质．
1．相似图形
________________________是相似图形.
2. 比例线段
对于四条线段a，b，c，d，如果____________与____________(如
a
b = c
d )，那么称这四条线段
是成比例线段，简称__________________．
3.相似多边形
相似多边形____________相等，____________相等.
反过来，如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形相似．
我们把相似多边形对应边的比成为___________．
参考答案：
1. 形状相同的图形．
2．其中两条线段的比，另两条线段的比相等，比例线段．
3．对应角，对应边的比 对应角相等 对应边的比相等 相似比．
2
1、相似多边形
【例1】如图，图形a～f 中，哪些是与图形（1）或（2）相似的？
【解析】根据相似多边形的定义即可求解.
解： 与（1）相似的图形为：d；
与（2）相似的图形为：e.
总结：
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等那么这两个多边形相似.
练1. 观察下列图形，指出哪些是相似图形：
【解析】根据相似多边形的定义即可求解.
解： （1）与（8）；
（2）与（6）
（3）与（7）.
2．相似图形的性质
【例2】下图中的△A1B1C1是由正△ABC 放大后得到的，观察这两个图形，它们的对应角有什么关
系？对应边又有什么关系呢？
3
【解析】根据等边三角形性质即可判断两个三角形中边与角的关系.
解：对比△A1B1C1和△ABC，由正三角形的每个角都等于60°，可得
另外，由△A1B1C1和△ABC 是正三角形可得，
AB=BC=AC，A1B1=B1C1=A1C1，从而
这说明，正三角形都是相似的，它们的对应角相等，对应边的比相等.
总结：
相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.
练2.下列说法正确的是（ ）
A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
【解析】根据相似图形的性质即可判定.
解： A 中平行四边形各角不一定对应相等，故所有的平行四边形不一定都相似，故A 错；
B 中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定
都相似，故B 错；
C 中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一
定都相似，故C 也错；
D 中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，
故D 说法正确。
故选D．
3．比例线段
【例3】如图27.1-6，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α
β
和的大小和EH 的长度x ．
4
【解析】根据相似图形性质即可求解．
解：四边形ABCD 和EFGH 相似，它们的对应角相等. 由此可得，
在四边形ABCD 中，
四边形ABCD 和EFGH 相似，它们的对应边的比相等. 由此可得
解得
练3. （2015 春•苏州市校级月考）在一张比例尺为1∶20000 的地图上，量得A 与B 两地的
距离是5cm，则A，B 两地实际距离为______m．
【解析】根据比例线段性质即可求解.
解： ∵比例尺为1∶20000.
∴
∴
练4. 已知四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形
ABCD 的周长为40，求四边形ABCD 的各边的长．
【解析】因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题.
解： ∵四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1相似
∴AB:BC:CD:DA= A1B1:B1C1:C1D1:D1A1
5
∵四边形ABCD 的周长为40
∴AB=
BC=
CD=11，DA=14.
练5. （2014 秋•重庆市校级期中）如图所示的两个五边形相似，求未知边a 、b 、c 、
d 的长度．
【解析】相似图形的性质求解.
解：根据两个五边形相似，可得
∴
【例4】△ABC 与△DEF 相似，且相似比是
2
3 ，则△DEF 与△ABC 与的相似比是（ ）．
A．
2
3 B．
3
2 C．
2
5 D．
4
9 .
【解析】三角形面积比是相似比的平方即可求解．
解：∵△ABC 与△DEF 相似，且相似比是
2
3
∵三角形面积=底×高÷2
∴面积比为相似比的平方，即为
4
9
故选D.
总结：
6
面积比等于相似比的平方.
练6．已知2a－3b＝0，b≠0，则a∶b＝______．
【解析】根据等式变换即可求解．
解：∵
∴
∵
∴a∶b＝3∶2
练7．（2014 秋•郑州市期末）若
x
2= y
3 = z
5 ,
则
2 x+ y−z
x
=
______．.
【解析】设原式=k，用代入法即可求解．
解：∵ 设
∴
∴
.
【例5】要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，
60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有( )
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
【解析】相似图形的性质即可求解．
解
：∵三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，
∴三角形框架乙的三边可以为
（1）
，故三边为20cm，24cm，32cm
（2）
，故三边为
cm，20cm，
cm
7
（3）
，故三边为
cm，15 cm，20cm
故选C.
练8．下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）
（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三
角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
【解析】根据相似多边形的判定方法即可求解．
解：（1）是；（2）是；（3）不是，角度可不同；
（4）是；（5）不是，角度可不同；（6）是.
故选B.
练9．下列图形一定是相似图形的是( )
A．任意两个菱形
B．任意两个正三角形
C．两个等腰三角形
D．两个矩形
【解析】根据相似多边形的判定方法即可求解．
解：A 不是，角度可不同；
B 是；C 不是，角度可不等；
D 不是，边长比可不等.
故选 B.
【例6】已知：如图，梯形ABCD 与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′．AD＝4，
A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：
(1)梯形ABCD 与梯形A′B′C′D′的相似比k；
(2)A′B′和BC 的长；
(3)D′C′∶DC．
8
【解析】根据相似多边形的性质即可求解．
解：(1)∵梯形ABCD 与梯形A′B′C′D′相似
∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′
∴
∴
∴相似比为
（2） ∴A′B′＝9，BC=8，
（3）∴D′C′∶DC=3∶2.
练10．（2014 春•德州市期中）已知四边形ABCD 和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD 的最
长边和最短边的长分别是10cm 和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形
A1B1C1D1中最长的边长是多少？
【解析】根据相似多边形的性质即可求解．
解：设四边形A1B1C1D1中最长的边长为
根据四边形相似，可得
，得
cm
. 练11．（2015 春•唐山市校级期中）如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF 与梯
形EFAB 相似，求EF 的长．
【解析】根据相似图形的性质即可求解．
解：∵梯形CDEF 与梯形EFAB 相似
由图形可得，
9
∴
∴
练12．（2014 秋•南京市校级期中）已知：如图，△ABC 中，AB＝20，BC＝14，AC＝12．
△ADE 与△ACB 相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE 的长．
【解析】根据相似图形的性质即可求解．
解：△ADE 与△ACB 相似
且∠AED＝∠B，∠A 为公共角，
∴∠ADE＝∠C
∴
∴
∴
AD =30
7 ,AE =50
7 ⋅¿ ¿
1．在下面的图形中，形状相似的一组是( )
2．如图所示，AB CD
∥
，AE FD
∥
，AE，FD 分别交BC 于点G，H，则图中共有相似三角形（ ）．
A．4 对 B．5 对 C．6 对 D．7 对
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3．如图所示，在梯形ABCD 中，AB∥CD，中位线EF 交对角线AC，BD 于M，N 两点，若
EF=18cm，MN=8cm，则AB 的长是___________.
4．灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影长为CD，AB CD
∥
，AB=2m
，CD=5m，点P 到CD
的距离是3m，则点P 到AB 的距离是（ ）．
A．
5. 如图，把△PQR 沿着PQ 的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR 面积的一
半，若PQ=
，则此三角形移动的距离PP′是（ ）．
A．
B．
C．1 D．
-1
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1. 若
则x＝______．
2. 如图，小明想用皮尺测量池塘A，B 之间的距离，但现在利用皮尺无法直接测量到这一距离．
学习了数学的有关知识后，他想出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B 两点的点
O，连接OA，OB，分别在OA，OB 上取中点C，D，连接CD，并测得CD=a，由此他就知道
了AB 间的距离是（ ）．
A．
a B．2a C．a D．3a
3. 如图,已知△ABC∽△DBE，AB=6，DB=8，则S△ABC：S△DBE=________．
4.如图，路灯距地面8 米，身高1.6 米的小明从距离灯的底部（点O）20 米的点A 处，沿OA
所在的直线行走14 米到点B 时，人影长度（ ）
A．变长3.5 米 B．变长1.5 米 C．变短3.5 米 D．变短1.5 米
5．已知：如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，
OD 的中点，试判断四边形ABCD 与四边形A′B′C'D′是否相似，并说明理由．
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6. 如下图甲所示，在矩形ABCD 中，AB＝2AD．如图乙所示，线段EF＝10，在EF 上取一点
M，分别以EM，MF 为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD，设
MN＝x，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值?最大值是多少?
参考答案：
当堂检测
1．答案:C.
2．答案: C.
3．答案：26cm.
4．答案：C.
5. 答案：D．
家庭作业
1. 答案：
.
2. 答案：B.
3. 答案：
.
4. 答案：D.
5. 答案：相似.根据对应角相等，对应边的比相等.
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6. 答案：
x=5
2 时，S 的最大值为
25
2
⋅¿ ¿
课程顾问签字： 教学主管签字：
