文档文本内容
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一元二次方程的应用
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1、了解有关一元二次方程的实际生活问题。
2、掌握典型类型应用题的解法和解决应用题的步骤。
3、回归生活，让学生体验数学在生活中的妙趣。
解应用题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)找出相等关系，并用它列出方程；
(4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．
1、传播、循环问题与一元二次方程
【例1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64 人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【解析】（1）设每轮传染中平均每人传染了x 人，1＋x＋x（x＋1）=64，x=7 或x=－9（舍
去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了7 个人；
（2）64×7=448（人）．答：第三轮将又有448 人被传染．
【方法总结】传播问题应用公式a（1＋x）n=A，a 表示传播之前的人数，x 表示每轮每人传播的
人数，n 表示传播的天数或轮数，A 表示最终的总人数．
练1、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21 场比赛，
则参赛球队的个数是（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个 D．8 个
【解析】设有x 个队，每个队都要赛（x－1）场，但两队之间只有一场比赛，x（x－1）
÷2=21，解得x=7 或－6（舍去）．故应邀请7 个球队参加比赛．
2
【答案】C
【方法总结】当个体为x 个，总数为n 个时，单循环公式：
x( x−1)
2
=n，双循环公式：x（x－
1）=n．
练2、晨怡学校有4 名学生参加黄冈市2012 年12 月15 日语数英三科测评，另一兄弟学校有n
名学生参加测这次测评，考试结束后，两校学生和双方各一名领队老师一起照了一张合影，然后每
个学生又单独照了一张，按大家的要求，老师对摄影师说：“合影照要每人一张，学生之间还要相
互交换相片，即每个学生除了自己的一张照片外，还要有其他每个学生的一张照片．”这样，摄影
师共冲洗了112 张相片，则n= ．
【解析】由题意得（n＋4）（n＋4）=112－（n＋4＋2），解得n1=6，n2=－15（不合题意舍
去）．
【答案】6
2、数式问题与一元二次方程
【例2】我们知道，32＋42=52，这是一个由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第
三个数的平方的等式，是否还存在另一个“由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第三
个数的平方”的等式？试说出你的理由．
【解析】假定存在这样的三个数，其中中间的数为n，则有（n－1）2＋n2=（n＋1）2，
整理得n2－4n=0，∴n=0 或n=4，又∵n≥2，∴n=4．∴除了32＋42=52外，不存在另一个这样的等式．
【方法总结】有关数字的应用题，大致可以分为三类，及即一般数目关系问题、连续数问题、
数字排列问题．
①一般数目关系问题，数目关系比较简单，利用加、减、乘、除、和、差、积、商、倍数、余
数、大、小、等于以及算律、算序等，就可以根据题目所给的条件列出方程．
②连续数问题，有三种：连续整数、连续偶数、连续奇数，掌握它们的表示法是解决这类应用
题的关键．
③数字排列问题，例如：三位数=百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位数字．
练3、三个连续自然数的平方和比它们的和的8 倍还多2，则三个自然数的平方和为（ ）
A．77 B．149 C．194 D．245
【解析】设三个连续自然数且中间一个为x，所以另两个分别为x－1，x＋1．则三个连续自然
数的平方和为（x－1）2＋x2＋（x＋1）2=3x2＋2，三个连续自然数的和为x－1＋x＋x＋1=3x，则
3x2＋2=24x＋2，解得x1=0（不合题意，舍去），x2=8．∴3x2＋2=194．
【答案】C
练4、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（
）
A．25 B．36 C．25 或36 D．－25 或－36
【解析】设这个两位数的个位数字为x，那么十位数字应该是x－3，由题意得10（x－3）＋
x=x2，解得x1=5，x2=6，那么这个两位数就应该是25 或36．
【答案】C
3、增长率问题与一元二次方程
3
【例3】（2014•江苏南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成
本每年均为4 万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1 年的可变成本为2．6 万元，设可变成
本平均的每年增长的百分率为x．
（1）用含x 的代数式表示第3 年的可变成本为 万元．
（2）如果该养殖户第3 年的养殖成本为7．146 万元，求可变成本平均每年增长的百分率
x．
【解析】（1）2．6（1＋x）2；
（2）由题意，得4＋2.6（1＋x）2=7．146，
解得x1=0．1，x2=－2.1（不合题意，舍去）．
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．
【方法总结】在增长率问题中，要理解a（1＋x）n=b（其中a 是原来的量，x 是平均增长率，n
是增长的次数，b 是增长到的量）的含义．原来的量经过一次增长后达到a（1＋x）；在这个基础
上，再增长一次即经过第二次增长后达到a（1＋x）（1＋x）= a（1＋x）2；在这个基础上，再增
长一次即经过第三次增长后达到a（1＋x）（1＋x）（1＋x）= a（1＋x）3；…；依次类推．
解增长率问题公式：a（1±x）n=b．
练5、（2014•湖北宜昌）在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全
校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012 年全校有1000 名学生，2013 年全
校学生人数比2012 年增加10%，2014 年全校学生人数比2013 年增加100 人．
（1）求2014 年全校学生人数；
（2）2013 年全校学生人均阅读量比2012 年多1 本，阅读总量比2012 年增加1700 本（注：
阅读总量=人均阅读量×人数）．
①求2012 年全校学生人均阅读量；
②2012 年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2．5 倍，如果2012 年、2014 年这两
年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014 年全校学生人均阅读量比2012 年
增加的百分数也是a，那么2014 年读书社全部80 名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的
25%，求a 的值．
【解析】（1）由题意，得2013 年全校学生人数为1000×（1＋10%）=1100 人，
∴2014 年全校学生人数为1100＋100=1200 人；
（2）①设2012 人均阅读量为x 本，则2013 年的人均阅读量为（x＋1）本，由题意，
得1100（x＋1）=1000x＋1700，解得x=6．
答：2012 年全校学生人均阅读量为6 本；
②由题意，得2012 年读书社的人均读书量为2．5×6=15 本，2014 年读书社人
均读书量为15（1＋a）2本，2014 年全校学生的读书量为6（1＋a）本，
80×15（1＋a）2=1200×6（1＋a）×25%，
2（1＋a）2=3（1＋a），
∴a1=－1（舍去），a2=0．5．
答：a 的值为0．5．
4、利润问题与一元二次方程
【例4】某批发商以每件50 元的价格购进800 件T 恤，第一个月以单价80 元销售，售出了200
件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200 件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市
4
场调查，单价每降低1 元，可多售出10 件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批
发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40 元，设第二个月单价降低x 元．
（1）填表：（不需化简）
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80
40
销售量
（件）
200
（2）如果批发商希望通过销售这批T 恤获利9000 元，那么第二个月的单价应是多少元？
【解析】（1）80－x，200＋10x，800－200－（200＋10x）；
（2）根据题意，得80×200＋（80－x）（200＋10x）＋40[800－200－（200＋10x）]－
50×800=9000，
整理，得x2－20x＋100=0，解这个方程，得x1=x2=10．
当x=10 时，80－x=70>50．
答：第二个月的单价应是10 元．
【方法总结】有关利润问题常用的关系式有：利润=售价－成本，利润=成本×利润率，利润率
=（售价一成本）÷成本，售价=成本×（1＋利润率）．
练6、（2014•江苏徐州）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：
一间宿舍一个月用电量不超过a 千瓦时，则一个月的电费为20 元；若超过a 千瓦时，则除了交20
元外，超过部分每千瓦时要交
元．某宿舍3 月份用电80 千瓦时，交电费35 元；4 月份用电45
千瓦时，交电费20 元．
（1）求a 的值；
（2）若该宿舍5 月份交电费45 元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？
【解析】根据3 月份用电80 千瓦时，交电费35 元，得20＋
（80－a）=35，
即a2－80a ＋1500=0，解得a1=30，a2=50．由4 月份用电45 千瓦时，交电费20 元，所以a≥45，
∴a=50．
（1）设月用电量为x 千瓦时，交电费y 元，则
y=
∵5 月份交电费45 元，
∴5 月份的用电量超过50 千瓦时，
∴20＋0.35（x－50）=45，解得x=100．
答：a 的值为50；
（2）若该宿舍5 月份交电费45 元，那么该宿舍当月用电量为100 千瓦时．
5
5、面积问题与一元二次方程
【例5】为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长
30m，宽20m 的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的
小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应
为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
【解析】设小道进出口的宽度为x 米，依题意得（30－2x）（20－x）=532．
整理，得x2－35x＋34=0，解得，x1=1，x2=34．
∵34＞30（不合题意，舍去），∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1 米．
【方法总结】几何图形一般从面积（或体积）相等方面找等量关系，有关的面积（或体积）公
式：①面积公式：S 长方形=ab， S 正方形=a2，S 圆=
，S 三角形=
ah；②体积公式：V 长方体=abh，V 正方体
=a3，V 圆柱=
，V 圆锥=
．
求解不规则图形的面积问题，通常做法是：把不规则图形转化成规则图形，找出变化前后面
积之间的关系，然后列出方程求解．
练7、（2014•南京联合体一模）如图，某市近郊有一块长为60 米，宽为50 米的矩形荒地，地
方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩
形（其中三个矩形的一边长均为a 米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽度为x 米，则a= （用含x 的代数式表示）；
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430 平方米．请问通道的宽度为多少米？
【解析】（1）
60−3 x
2
；
（2）根据题意得，（50－2x）（60－3x）－x•
60−3 x
2
=2430，解得x1=2，x2=38（不合题意，
舍去）．
答：中间通道的宽度为2 米．
6、几何问题与一元二次方程
【例6】如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD 边靠墙，CD⊥AD，AB：CD=5：4，另外三
边的和为20 米．设AB 的长为5x 米．
（1）请求出AD 的长（用含字母x 的式子表示）；
（2）若该花圃的面积为50 米2，且周长不大于30 米，求AB 的长．
【解析】（1）作BE⊥AD 于E，
6
∴∠AEB=∠DEB=90°．
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=90°．
∵BC∥AD
∴∠EBC=90°，
∴四边形BCDE 是矩形，
∴BE=CD，BC=DE．
∵AB：CD=5：4，AB 的长为5x，
∴CD=4x，
∴BE=4x，
在Rt△ABE 中，由勾股定理，得AE=3x．
∵BC=20－5x－4x=20－9x，
∴DE=20－9x，
∴AD=20－9x＋3x=20－6x．
（2）由题意，得
(20−6 x+20−9 x)4 x
2
=50
，解得x1=
5
3 ，x2=1，
由20−9x＋20−6x＋4x＋5x≤30，得x≥
5
3 ，∴x=
5
3 ，AB=5×
5
3 =
25
3 ．
【方法总结】本题依托梯形的面积公式、梯形的周长公式的运用，通过面积、勾股定理构造一
元二次方程求解，同时运用一元一次不等式，确立一元二次方程的解是否合符实际意义．
练8、（2015•江苏苏州模拟）如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=2cm，点P 以2cm/s 的速度从顶
点A 出发沿折线A→B→C 向点C 运动，同时点Q 以1cm/s 的速度从顶点C 出发向点D 运动，当其中
一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的
4
9 ；
（2）问两动点经过多长时间使得点P 与点Q 之间的距离为√5 ？若存在，求出运动所需的时
间；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设两动点运动t 秒，使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的
4
9 ．
根据题意，得BP=6－2t，CQ=t，矩形的面积是12．
则有
1
2 （t＋6－2t）×2=12×
4
9 ，解得t=
2
3 ；
（2）设两动点经过t 秒使得点P 与点Q 之间的距离为√5 ．
7
①当0＜t≤3 时，则有（6－2t－t）2＋4=5，解得t=
7
3 或
5
3 ；
②当3＜t≤4 时，则有（8－2t）2＋t2=5，得方程5t2－32t＋59=0，此时△＜0，此方程无解．
综上所述，当t=
7
3 或
5
3 时，点P 与点Q 之间的距离为√5 ．
1．（2014•天津市）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等
条件，赛程计划安排7 天，每天安排4 场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关
系式为（ ）
A．
x（x＋1）=28 B．
x（x－1）=28
C．x（x＋1）=28 D．x（x－1）=28
2．已知平面中有n 个点，A，B，C 三个点在一条直线上，A，D，E， F 四个点也在一条直线上，除
些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作直线，那么一共可以画出38 条不同的直线，
这时n 等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．一名跳水运动员从10m 高台上跳水，他每一时刻所在高度h（单位：m）与所用时间t（单位：
s）的关系是h=－5（t－2）（t＋1），则该运动员从起跳到入水所用的时间是（ ）
A．5 s B．2 s C．3 s D．1 s
4．（2014•湖北武汉元月调考）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，
他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n 个好友转发倡议书，每个好
友转发倡议书之后，又邀请n 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，
共有111 人参与了传播活动，则n= ．
5．一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到
一个新的两位数，所得的新两位数与原数的乘积为1855，则原两位数是 ．
6．（2014•浙江湖州模拟）甲型H1N1 流感传染能力很强．若有一人患这种流感，经过两轮传染后
共有64 人患流感，则每轮传染中平均一人传染了 人，若不加以控制，以这样的速度传播
下去，经过三轮传播，将共有 人患流感．
7．（2014•湖北鄂州）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，
国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011 年月退休金为1500 元，2013 年达
到2160 元．设李师傅的月退休金从2011 年到2013 年年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．2016（1－x）2=1500
B．1500（1＋x）2=2160
C．1500（1－x）2=2160
D．1500＋1500（1＋x）＋1500（1＋x）2=2160
8
8．某商场有一种工艺品，一件工艺品进价为100 元，标价为135 元售出，每天可售出100 件，根
据销售统计，一件工艺品每降低1 元出售，则每天可多售出4 件，要使顾客尽量得到优惠，且每
天获得利润为3596 元，每件工艺品需降价（ ）
A．4 元 B．6 元 C．4 元或6 元 D．5 元
9．（2014•鄂州二模）某方便面厂10 月份生产方便面100 吨，这样1 至10 月份生产量恰好完成全
年的生产任务，为了满足市场需要，计划到年底再生产231 吨方便面，这样就超额全年生产任务
的21%，则11、12 月的月平均增长率为（ ）
A．10% B．31% C．13% D．11%
10．（2014•湖北武汉调考）武汉市某中学标准化建设规划在校园内的一块长36 米，宽20 米的矩
形场地ABCD 上修建三条
同样宽的人行道，使其中两条与AB 平行，另一
条与AD 平行，其余部分
种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为
96 平方米，设人行道的
宽为x 米，下列方程：①（36－2x）（20－x）
=96×6，②2×20x＋
（36－2x）x=36×20－96×6，③（18－x）（10
－
）=
×96×6，其中正确的个数为（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
11．（2015•贵州遵义模拟）如图，矩形ABCD 的周长是20cm，以AB，AD 为边向外作正方形ABEF 和
正方形ADGH，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和68cm2，那么矩形ABCD 的面积是（ ）
A．21cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．9cm2
12．（2014•江苏宿迁）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，
则原菜地的长是 m．
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1.（2014•江苏镇江模拟）通过对苏科版九（上）教材一道习题的探索研究，“在一次聚会中，有
45 个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？”
对这个问题，我们可以作这样的假设：第1 个学生分别与其他44 个学生握手，可握44 次手；第
2 个学生也分别与其他44 个学生握手，可握44 次手；…依此类推，第45 个学生与其他44 个学生
握手，可握44 次手，如此共有45×44 次握手，显然此时每两人之间都按握了两次手进行计算的．
因此，按照题意，45 个人每两人之间握一次手共握了
45×44
2
=990 次手．像这样解决问题的方法
9
我们不妨称它为“握手解法”．
（1）若本次聚会共有n 个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了 次手．
请灵活运用这一知识解决下列问题．
（2）一个QQ 群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有756
条信息，这个QQ 群中共有多少个好友？
（3）已知一条直线上共有5 个点，那么这条直线上共有几条线段？
（4）利用（3）的结论解决问题：已知由边长为1 的正方形拼成如图所示的矩形ABCD，图中共有
①多少个矩形？②多少个正方形？
2．（☆☆2012•山东潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3 个位置
相邻的9 个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9 个数中，最大数与最小数的
积为192，则这9 个数的和为（ ）
A．32 B．126 C．135 D．144
3．某旅店一楼的客房比二楼少一间，各个客房的床位同这层的房间数相同，现有36 人入住，底楼
都住满了，二楼也只剩下一间空房，则二楼的房间有（ ）
A．5 间 B．6 间 C．7 间 D．4 间
4．（☆☆☆）某书的页码是连续的自然数1，2，3，4，…9，10…，当将这些页码相加时，某人
把其中一个页码加了两次，结果和为2006，加了两次的是第（ ）页．
A．10 B．20 C．43 D．53
5．（☆☆☆）在一次象棋比赛中，实行单循环赛制（即每个选手都与其他选手比赛一局），每局
胜者记2 分，负者记0 分，如果平局，两个选手各记1 分．某位同学统计了比赛中全部选手的得
分总和为110 分，则这次比赛中共有 名选手参赛．
6．（2014•江苏淮北模拟）如图，每个大正方形是由边长为1 的小正方形组成．观察如图图形，完
成下列填空：
（1）猜想：当n 为奇数时，图n 中黑色小正方形的个数为 ，当n 为偶数时，图n 中黑色小
正方形的 个数为 ；
（2）在边长为偶数的正方形中，白色小正方形的个数是黑色小正方形个数的4 倍，求这个正方
形的边长．
10
7．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，
如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B 以顺时针、逆时针的方向同时做圆周运动，甲
运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：l=
1
2
t2＋
3
2
t（t≥0），乙以4cm/s 的速度匀速运
动，半圆的长度为21cm．
（1）甲运动4s 后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？
8.某商店将甲、乙两种糖果混合运算，并按以下公式确定混合糖果的单价：单价=
a1m1+a2m2
m1+m2
（元/千克），其中m1，m2分别为甲、乙两种糖果的重量（千克），a1，a2分别为甲、乙两种糖果
的单价（元/千克）．已知a1=20 元/千克，a2=16 元/千克，现将10 千克乙种糖果和一箱甲种糖果
混合（搅拌均匀）销售，售出5 千克后，又在混合糖果中加入5 千克乙种糖果，再出售时混合糖
果的单价为17.5 元/千克，这箱甲种糖果有 千克．
9．（2014•新疆乌鲁木齐）某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90 万元，每月另需支付设备
维护费5 万元，从今年1 月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入
达100 万元，1 至3 月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364 万元，3 月份后，每月生
产收入稳定在3 月份的水平．
（1）求使用新设备后，2 月、3 月生产收入的月增长率；
（2）购进新设备需一次性支付640 万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用
旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费）
11
10．（2014•湖北随州）楚天汽车销售公司5 月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30
万元/辆，若当月销售量超过5 辆时，每多售出1 辆，所有售出的汽车进价均降低0．1 万元/辆．
根据市场调查，月销售量不会突破30 台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x 辆（x≤30，且x 为正整数），实际进价为y 万元/辆，求y
与x 的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32 万元/辆，公司计划当月销售利润25 万元，那么月需售出多
少辆汽车？（注：销售利润=销售价－进价）
11．（2014•安徽安庆模拟）某市2012 年国内生产总值（GDP）比2011 年增长了12%，由于受到国
际金融危机的影响，预计今年比2012 年增长7%，若这两年GDP 年平均增长率为x%，则x%满足的关
系是（ ）
A．12%＋7%=x%
B．（1＋12%）（1＋7%）=2（1＋x%）
C．12%＋7%=2•x%
D．（1＋12%）（1＋7%）=（1＋x%）2
12．（2015•湖北黄冈二模）某厂把500 万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润，在
不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率比第一年的利润率增加了8%，这样第二年净得利润
112 万元，为求第一年的利润率，可设它为x，则解得第一年的利润率是（ ）
A．10% B．11% C．12% D．13%
13．（2014•山东泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3 株时，平均每
株盈利4 元；若每盆增加1 株，平均每株盈利减少0．5 元，要使每盆的盈利达到15 元，每盆应
多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3＋x）（4－0.5x）=15
B．（x＋3）（4＋0.5x）=15
C．（x＋4）（3－0.5x）=15
D．（x＋1）（4－0.5x）=15
14．随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分
别为10 万元和15 万元，三月份销售额甲店比乙店多10 万元．已知甲店二、三月份销售额的月
平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2 倍，那么乙店这两个月的月平均增长率是 ．
15．燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗，可注重低碳、环保、健康的市民让今年的烟花爆竹遇冷．
在江北区北滨路一烟花爆竹销售点了解到，某种品牌的烟花2013 年除夕每箱进价100 元，售价
250 元，销售量40 箱．而2014 年除夕当天和去年当天相比，该店的销售量下降了4a%（a 为正整
12
数），每箱售价提高了a%，成本增加了50%，其销售利润仅为去年当天利润的50%．则a 的值为
．
16．某汽车销售公司6 月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关
系：若当月仅售出1 部汽车，则该部汽车的进价为27 万元，每多售出1 部，所有售出的汽车的
进价均降低0．1 万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10 部以内
（含10 部），每部返利0．5 万元；销售量在10 部以上，每部返利1 万元．
（1）若该公司当月售出3 部汽车，则每部汽车的进价为
万元；
（2）如果汽车的售价为28 万元/部，该公司计划当月盈利12 万元，那么需要售出多少部汽车？
（盈利=销售利润＋返利）
17．（2014•重庆A 卷）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资
建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000 元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，
另一部分用于购买书刊．
（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3 倍，问最多用多少资
金购买书桌、书架等设施？
（2）经初步统计，有200 户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150 元．镇政府了解情况后，
赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000 元．经筹委会进一步宣传，
自愿参与的户数在200 户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150 元
的基础上减少了
a%，求a 的值．
18．（2014•江苏宿迁）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，
则原菜地的长是 m．
19．（2015•江苏苏州模拟）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD 利用已有的围墙，另外
三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB 的长度是 m（可利用的围墙长
度超过6m）．
13
20．（2014•山西省）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000 米2，施工队在绿化了22000
米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5 倍，结果提前4 天完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20 米，宽为8 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形
绿地，它们的面积之和为56 米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所
示），问人行通道的宽度是多少米？
21．（2014•江苏秦淮区一模）如图，正方形ABCD 的边长为10cm，点P 从A 开始沿折线A→D→C 以
2cm/s 的速度移动，点Q 从D 开始沿CD 边以1cm/s 的速度移动，如果点P、Q 分别从A、D 同时出
发，当其中一点到达C 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）t 为何值时，△PQB 为直角三角形；
（2）t 为何值时，△PQB 面积为正方形ABCD 面积的
1
4
？
22．（2014•湖北咸宁）用一条长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a 的值不可能为
（ ）
A．20 B．40 C．100 D．120
23．（2014•江岸区模拟）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横
竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占面积是图案面积的
，则竖彩条宽度为（ ）
14
A．1cm B．2cm C．19cm D．1cm 或19cm
24．如图，正方形ABCD 的边长为1，E、F 分别是BC、CD 上的点，且△AEF 是等边三角形，则BE 的
长为（）
A．2−
B．2＋
C．2＋
D．
−2
25．（2014•黑龙江牡丹江）现有一块长80cm、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长
为xcm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可
得 ．
26．（2014•天桥区三模）如图，矩形ABCD 是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是
24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为 ．
27．（2014•江苏淮安）用长为32 米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积
为y 平方米．
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60 平方米？
（3）能否围成面积为70 平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
28．（2015•江苏徐州二模）如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=2．点P、Q 同时从点A 出发，点P 以
每秒2 个单位的速度沿A→B→C→D 的方向运动；点Q 以每秒1 个单位的速度沿A→D→C 的方向运
动，当P、Q 两点相遇时，它们同时停止运动．设P、Q 两点运动的时间为x（秒），△APQ 的面
积为S（平方单位）．
（1）点P、Q 从出发到相遇所用的时间是 秒．
（2）当S=
7
2
时，求x 的值．
（3）当△AQP 为锐角三角形时，直接写出x 的取值范围．
15
16
参考答案
当堂检测
1．【答案】B
【解析】每支球队都需要与其他球队赛（x－1）场，但2 队之间只有1 场比赛，所以可列方程为
x（x－1）=4×7．
2．【答案】B
【解析】由n 个点中每次选取两个点连直线，可以画出
条直线，若A，B，C 三点不在一
条直线上，可以画出3 条直线，若A，D，E，F 四点不在一条直线上，可以画出6 条直线，∴
－3－6＋2=38，整理得n2－n－90=0，（n－10）（n＋90）=0，∴n=10 或n=－90（舍
去）．
3．【答案】D
【解析】设运动员起跳到入水所用的时间是xs，根据题意可知－5（x－2）（x＋1）=10，解得
x1=0（不合题意舍去），x2=1．那么运动员起跳到入水所用的时间是1s．
4．【答案】10
【解析】由题意，得n＋n2＋1=111，解得n1=－11（舍去），n2=10．
5．【答案】35 或53
【解析】设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（8－x），依题意得（10x＋8－
x）〔10（8－x）＋x〕=1855，解这个方程得x1=3，x2=5．当x=3 时，8－x=5；当x=5 时，8－
x=3，∴原来的两位数是35 或53．
6．【答案】7，512
【解析】设每轮传染中平均一人传染了x 人，则1＋x＋（1＋x）x=64，解得x=7，x=－9（不合题
意舍去）．
经过三轮传播，第三轮患流感人数=64×7=448（人），三轮总人数为448＋64=512（人）．
7．【答案】B
【解析】如果设李师傅的月退休金从2011 年到2013 年年平均增长率为x，那么根据题意得今年
退休金为1500（1＋x）2，列出方程为1500（1＋x）2=2160．
8．【答案】B
【解析】设工艺品需降价x 元，（135－x）（100＋4x）－100（100＋4x）=3596，x2－10x＋
24=0，x=4 或x=6．因为要使顾客尽量得到优惠，所以x=6．
9．【答案】A
【解析】设11、12 月的月平均增长率为x，由题意，得100（1＋x）＋100（1＋x）2=231，解得
x1=－3.1（舍去），x2=0．1=10%．
17
10．【答案】D
【解析】依题意得可列出方程①、（36－2x）（20－x）=96×6；②、20x×2＋36×x＋
96×6=36×20；即2×20x＋（36－2x）x=36×20－96×6；③、将方程①两边同除4 可得（18x－
x）（10－
）=
×96×6，∴正确的为①、②、③．
11．【答案】B
【解析】设AB=xcm，AD=（10－x）cm，则正方形ABEF 的面积为x2cm2，正方形ADGH 的面积为（10
－x）2cm2，根据题意得x2＋（10－x）2=68，整理得x2－10x＋16=0，解得x1=2，x2=8，所以
AB=2cm，AD=8cm 或AB=8cm，AD=2cm，综上可求矩形ABCD 的面积是16cm2．
12．【答案】12
【解析】设原菜地的长为x 米，则宽为（x－2）米，根据题意，得x（x－2）=120，解得x=12 或
x=－10（舍去）．
家庭作业
1．【解析】（1）
n(n−1)
2
；
（2）设这个QQ 群中共有n 个好友，依题意，得
n(n−1)
2
=756，解得 n=28．
答：这个QQ 群中共有28 个好友；
（3）
5×4
2
=10．答：一条直线上共有5 个点，那么这条直线上共有10 条线段；
（4）①图中AD 上有6 个点，可得AD 上有
6×5
2
=15 条线段；AB 上有5 个点，可得AB 上有
5×4
2
=10 条线段．而AD 上任意一条线段与AB 上任一条线段“握手”，都会构成一个矩形，所以图中
共有mn=15×10=150 个矩形；
②AD 上的线段与AB 上的线段“握手”时，要构成正方形，就要去“握手”的两条线段必须相等．
如下表：
线段长
度
AD 上的条数
AB 上的条数
“握手”次数
1
5
4
5×4=20
2
4
3
4×3=12
3
3
2
3×2=6
4
2
1
2×1=2
由表中可得，共“握手”20＋12＋2=40 次，即图中共有40 个正方形．
2．【答案】D
18
【解析】由日历表可知，圈出的9 个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数
的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x－16．
∴x（x－16）=192，解得x=24 或x=－8（负数舍去）． ∴最大数为24，最小数为8．
∴圈出的9 个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24，和为144．
3．【答案】A
【解析】设二楼的房间有x 间，根据题意得（x－1）2＋（x2－x）=36，方程化简为2x2－3x－
35=0，即（x－5）（2x＋7）=0，解得x=5，x=－
（舍去），故选A．
4．【答案】D
【解析】设书的页数到n 页，重复加了第x 页，则
＋x=2006，n（n＋1）=4012－2x，
62×63＜4012＜63×64，∴n=62，∴x=53．
5．【答案】11
【解析】设这次比赛中共有x 名选手参加，则2×
x（x－1）=110，解得x=11．
6．【解析】（1）（1）当n 为奇数时，图n 中黑色小正方形的个数为2n－1，当n 为偶数时，图n
中黑色小正方形的个数为2n；（2）设这个正方形的边长为n，根据题意，得n2－2n=4×2n，整
理得n2－10n=0，解得n=10 或n=0（不合题意，舍去）．
答：这个正方形的边长为10．
7．【解析】（1）当t=4s 时，l=
1
2 t2＋
3
2 t=8＋6=14（cm），答：甲运动4s 后的路程是14cm；
（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21cm，
甲走过的路程为
1
2 t2＋
3
2 t，乙走过的路程为4t，则
1
2 t2＋
3
2 t＋4t=21，解得t=3 或t=－14（不
合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s；
（3）由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆：3×21=63cm，
则
1
2 t2＋
3
2 t＋4t=63，解得t=7 或t=－18（不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s．
8．【答案】10
【解析】设这箱甲种糖果重x 千克，则20x＋（10＋5）×16=
20 x+16×10
x+10
×5＋（x＋10）
×17．5．去分母整理得x2－4x－60=0，解得x1=10，x2=－6．经检验x1，x2都是原方程的根，但
x2=－6 不合题意，舍去，∴x=10．
19
9．【解析】（1）设每月的增长率为x，由题意得：
100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2=364，解得x=0．2，或x=－3．2（不合题意舍去）
答：每月的增长率是20%．
（2）设使用新设备y 个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依题意有
364＋100（1＋20%）2（y－3）－640≥（90－5）y，解得y≥12．
故使用新设备12 个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．
10．【解析】（1）由题意，得
当0＜x≤5 时，y=30．
当5＜x≤30 时，y=30－0．1（x－5）=－0.1x＋30.5．
∴y=
；
（2）当0＜x≤5 时，（32－30）×5=10＜25，不符合题意．
当5＜x≤30 时，[32－（－0.1x＋30.5）]x=25，解得x1=－25（舍去），x2=10．
答：该月需售出10 辆汽车．
11．【答案】D
【解析】若设2011 年的国内生产总值为a，则根据实际增长率和平均增长率,得到2012 年国内生
产总值a（1＋x%）或a（1＋12%），所以1＋x%=1＋12%；今年的国内生产总值a（1＋x%）2或a
（1＋12%）（1＋7%）．所以（1＋x%）2=（1＋12%）（1＋7%）．
12．【答案】C
【解析】第一年的利润是500x 万元，则第二年的投入资金为（500＋500x）万元，第二年的利润
率为x＋8%，利润为112 万元，所以可得方程（500＋500x）（x＋8%）=112，解方程可得x=12%，
故选C．
13．【答案】A
【解析】根据已知假设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有（x＋3）株，得出平均单株盈利为（4
－0．5x）元，由题意得（x＋3）（4－0．5x）=15．
14．【答案】60%
【解析】设乙店销售额月平均增长率为x，由题意得：10（1＋2x）2－15（1＋x）2=10，解得
x1=60%，x2=－1（舍去）．
15．【答案】10
【解析】根据题意得40（1－4a%）×[250（1＋a%）－（1＋50%）×100]=40×（250－100）
×50%，整理得（1－4a%）（100＋2．5a）=75，即（a＋25）（a－10）=0，解得a=－25（舍去）
或a=10，则a 的值为10．
16．【解析】（1）26．8；
（2）设需要售出x 部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为28－[27－0.1（x－1）]=（0．
1x＋0.9）（万元），
当0≤x≤10，根据题意，得x·（0.1x＋0.9）＋0．5x=12，整理，得x2＋14x－120=0，
解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=6．
当x＞10 时，根据题意，得x·（0.1x＋0.9）＋x=12，整理，得x2＋19x－120=0，
解这个方程，得x1=－24（不合题意，舍去），x2=5．
∵5＜10，∴x2=5 舍去．
20
答：要卖出6 部汽车．
17．【解析】（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x 元，则购买书籍的有（30000－x）元，根
据题意，得
30000－x≥3x，解得x≤7500．
答：最多用7500 元购买书桌、书架等设施；
（2）根据题意，得200（1＋a%）×150（1－
a%）=20000，
整理，得a2＋10a－3000=0，解得a=50 或a=－60（舍去），所以a 的值是50．
18．【答案】12
【解析】设原菜地的长为x 米，则宽为（x－2）米，根据题意，得x（x－2）=120，解得x=12 或
x=－10（舍去）．
19．【答案】1
【解析】设AB 长为x 米，则BC 长为（6－2x）米，
依题意，得x（6－2x）=4．整理，得x2－3x＋2=0．解方程，得x1=1，x2=2．所以当x=1 时，6－
2x=4；当x=2 时，6－2x=2（不符合题意，舍去）．AB 的长为1 米．
20．【解析】（1）设该项绿化工程原计划每天完成x 平方米，根据题意，得
－
=4，解得x=2000，
经检验，x=2000 是原方程的解．
答：该绿化项目原计划每天完成2000 平方米；
（2）设人行道的宽度为x 米，根据题意，得
（20－3x）（8－2x）=56，解得x=2 或x=
（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2 米．
21．【解析】（1）要使△PQB 为直角三角形，则需PB2＋PQ2=BQ2或BQ2＋PQ2=PB2，
∵PB2=102＋（2t）2，PQ2=t2＋（10－2t）2，BQ2=102＋（10－t）2，
即8t2－20t=0 或t2－30t＋100=0，∴t=0 或t=
5
2 或t=（15－5√5 ）．
（2）①当0≤t≤5 时，25=t2－10t＋50，解得t=5；
当5＜t＜10 时，25=50－5t，解得t=5（舍去）．
∴t=5 时，△PQB 面积为正方形面积的
1
4 ．
22．【答案】D
【解析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2－x）cm，依题意，得x（40÷2
－x）=a，整理，得x2－20x＋a=0，∵△=400－4a≥0，解得a≤100，故选D．
23．【答案】A
【解析】设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则（30－2x）（ 20－4x）=30×20×（1
21
－
），整理得x2－20x＋19=0，解得x1=1，x2=19（不合题意，舍去）．则竖彩条的宽度为
1cm．
24．【答案】A
【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=∠D=90°，AB=AD， ∵△AEF 是等边三角形，
∴AE=EF=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF．
设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1－x，在Rt△ABE 中，AE2=AB2＋BE2，在Rt△CEF 中，FE2=CF2＋CE2，
∴AB2＋BE2=CF2＋CE2，∴x2＋1=2（1－x）2，∴x2－4x＋1=0，∴x=2±
，而x＜1，∴x=2－
，即BE 的长为2－
．
25．【答案】x2－70x＋825=0
【解析】由题意得（80－2x）（60－2x）=1500，整理得x2－70x＋825=0．
26．【答案】6
【解析】设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8－x，根据题意得x[x－（8－x）]=24，解得x=6
或x=－2（舍去）．
27．【解析】（1）设围成的矩形一边长为x 米，则矩形的邻边长为
－x．依题意，得
y=x（
－x）=－x2＋16x．∴y 关于x 的函数关系式是y=－x2＋16x；
（2）由（1）知，y=－x2＋16x．
当y=60 时，－x2＋16x=60，即（x－6）（x－10）=0，解得 x1=6，x2=10，
即当x 是6 或10 时，围成的养鸡场面积为60 平方米；
（3）不能围成面积为70 平方米的养鸡场．理由如下：
由（1）知，当y=70 时，－x2＋16x=70，即x2－16x＋70=0，
因为△=（－16）2－4×1×70=－24＜0，所以 该方程无解．
即不能围成面积为70 平方米的养鸡场．
28．【解析】（1）（4×2＋2×2）÷（2＋1）=4．
（2）当0≤x≤2 时，S=
1
2
•x•2x=x2=
7
2
，x=±
√14
2
，∴x=
√14
2
；
当2＜x≤3 时，S=4×2－
1
2 ×2×（x－2）－
1
2 ×4×（2x－4）－
1
2 ×（6－x）×（6－2x）=－
x2＋4x=
7
2 ， x=2±
√2
2 ，∴x=2＋
√2
2 ．
22
当3＜x≤4 时，S=
1
2
×2×（12－3x）=12－3x=
7
2
，∴x=
17
6
（舍去），∴此时不存在．
综上所述，x=
√14
2
或2＋
√2
2
时，S=
7
2
．
（3）当△AQP 为锐角三角形时，2＜x＜6－2√3
．
课程顾问签字： 教学主管签字：
