期末复习(二) 实数
考点一 平方根、立方根、算术平方根的意义
【例1】(1)4 的算术平方根是( )
A.2 B.-2 C.±2 D.
(2)
的平方根是( )
A.4 B.±4 C.2 D.±2
(3)
的相反数是( )
A.2 B.-2 C.
D.-
【分析】(1)因为22=4,所以4 的算术平方根是2;
(2)
=4，4 的平方根是±2，所以
的平方根是±2；
(3)因为23=8,所以
=2,2 的相反数是-2,所以
的相反数是-2.
【解答】(1)A (2)D (3)B
【方法归纳】求一个数的平方根、算术平方根以及立方根时，首先应对该数进行化简,然后结
合它们的意义求解.只有非负数才有平方根和算术平方根,而所有实数都有立方根,且实数与
其立方根的符号一致.
1.求下列各数的平方根：
(1)
; (2)2
; (3)(-2)2.
2.求下列各式的值：
(1)
； (2)-
.
考点二 实数的分类
【例2】把下列各数分别填入相应的数集里.
-
,-
,
,
,0.324 371,0.5,
,-
,
,0.808 008 000 8…
无理数集合｛ …｝;
有理数集合｛ …｝;
分数集合｛ …｝;
负无理数集合｛ …｝.
【分析】根据实数的概念及实数的分类,把数填到相应的数集内即可.
【解答】无理数集合｛-
,
,
,-
,0.808 008 000 8…,…｝;
有理数集合｛-
,
,0.324 371,0.5,
,…｝;
分数集合｛-
,0.324 371,0.5,…｝;
负无理数集合｛-
,-
,…｝.
【方法归纳】我们学过的无理数有以下类型：π，
等含π 的式子;
，
等开方开不尽的数;
0.101 001 000 1…等特殊结构的数.注意区分各类数之间的不同点,不能只根据外形进行判
断,如误认为
是无理数.
3.下列实数是无理数的是( )
A.-1 B.0 C.π D.
4.实数-7.5,
,4,
,-π,
,
中,有理数的个数为a,无理数的个数为b,则a-b 的值为(
)
A.2 B.3 C.4 D.5
5.把下列各数分别填入相应的集合中：
+17.3，12，0，π，-3
，
，9.32%，-
,-25
考点三 实数与数轴
【例3】在如图所示的数轴上,AB=AC,A，B 两点对应的实数分别是
和-1,则点C 所对应的
实数是( )
A.1+
B.2+
C.2
-1 D.2
+1
【分析】由题意得AB=
-(-1)=
+1,所以AC=
+1.所以C 点对应的实数为
+(
+1)=2
+1.
【解答】D
【方法归纳】实数与数轴上的点一一对应.求数轴上两点间的距离就是用右边的数减去左边的
数；求较小的数就用较大的数减去两点间的距离;求较大的数就用较小的数加上两点间的距
离.
6.如图，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a，-a，1 的大小关系表示正确的是( )
A.a＜1＜-a B.a＜-a＜1 C.1＜-a＜a D.-a＜a＜1
7.实数在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是( )
A.a<b B.|a|>|b| C.-a<-b D.b-a>0
8.实数m，n 在数轴上的位置如图所示，则|n-m|＝__________.
考点四 实数的运算
【例4】计算：
-
+
.
【分析】将被开方数化简,然后根据算式的运算顺序求解.
【解答】原式=
-
+
=
-
+
=-1.
【方法归纳】当被开方数是小数时通常将其化成分数,然后求其方根;当被开方数是带分数时
通常将其化成假分数，然后求方根;当被开方数是a2时通常先计算出a2的值，然后求方根.
9.计算：
-
+
.
10.计算：(-2)3×
+
×(
)2-20×|
-1|.
复习测试
一、选择题(每小题3 分,共30 分)
1.下列说法正确的是( )
A.-2 是-4 的平方根 B.2 是(-2)2的算术平方根
C.(-2)2的平方根是2 D.8 的平方根是4
2.下列语句正确的是( )
A.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是0
B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0 的立方根是0
3.下列各式错误的是( )
A.
=0.2 B.
=-
C.
=±
D.
=-102
4.在3.125 78，-
，
，
，5.27，
，
-1 中，无理数的个数是( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
5.如图，数轴上A，B 两点表示的数分别为
和5.1，则A，B 两点之间表示整数的点共有(
)
A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个
6.估计
+1 的值( )
A.在2 和3 之间 B.在3 和4 之间 C.在4 和5 之间 D.在5 和
6 之间
7.如图，数轴上点P 表示的数可能是( )
A.
B.-
C.-3.2 D.-
8.若
+
=0，则a 与b 的关系是( )
A.a=b=0 B.a 与b 相等 C.a 与b 互为相反数 D.a=
9.已知n 是一个正整数，
是整数，则n 的最小值是( )
A.3 B.5 C.15 D.25
10.求1+2+22+23+…+22 014的值，可令S=1+2+22+23+…+22 014，则2S=2+22+23+…+22 015，因此
2S-S=22 015-1，仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52 014的值为( )
A.52 014-1 B.52 015-1 C.
D.
二、填空题(每小题4 分,共20 分)
11.已知a、b 是两个连续的整数，且a<
<b,则2a+b=__________.
12.若
=2，则2x+5 的平方根是__________.
13.-27 的立方根与
的平方根的和是__________.
14.对于任意不相等的两个数a，b,定义一种运算※如下：a※b=
,如3※2=
=
.那么12※4=__________.
15.由下列等式
=2
，
=3
，
=4
…所提示的规律，可得出一
般性的结论是____________________(用含n 的式子表示).
三、解答题(共50 分)
16.(15 分)计算：
(1)2
-5
+3
； (2)
+1+3+|1-
|； (3)
-
+
+
.
17.(10 分)求下列各式中的x：
(1)25(x-1)2=49; (2)64(x-2)3-1=0.
18.(8 分)已知|a-b-1|与3(a-2b+3)2互为相反数，求a 和b 的值.
19.(8 分)座钟的摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π
，其中T
表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g=9.8 米/秒2.假如一台座钟的摆长为0.5 米，它每
摆动一个来回发一次滴答声，那么在一分钟内，该座钟大约发出多少次滴答声？(可利用计算
器计算，其中π 取3.14)
20.(9 分)已知:M=
是a+b+3 的算术平方根,N=
是a+6b 的算术平方根,
求M·N 的值.
参考答案
变式练习
1.(1)±
； (2)±
； (3)±2.
2.(1)-4； (2)-0.6.
3.C 4.B
5.+17.3，12，0，-3
，
，9.32%，-25，…
π，-
，…
+17.3，-3
，
，9.32%，…
12，0，-25，…
6.A 7.C 8.m-n
9.原式=8-9-1=-2.
10.原式=-8×4+(-4)×
+20×(1-
)=-32-1+20-20
=-13-20
.
复习测试
1.B 2.D 3.C 4.D 5.C 6.C 7.B 8.C 9.C 10.C
11.10 12.±3 13.-1 或-5 14.
15.
=n
(n 为大于或等于2 的
自然数)
16.(1)原式=(2-5+3)
=0；
(2)原式=
+4+
-1=2
+3；
(3)原式=5+1+12-4=14.
17.(1)化简得(x-1)2=
.
所以x-1=±
.
所以x=
或x=-
；
(2)化简得(x-2)3=
.
所以x-2=
.
所以x=
.
18.因为|a-b-1|≥0，3(a-2b+3)2≥0,
又因为|a-b-1|与3(a-2b+3)2互为相反数，
所以a-b-1=0，a-2b+3=0，
解它们组成的方程组得a=5，b=4.
19.∵T＝2π
，T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g=9.8 米/秒2.
∴T=2π
≈1.42(秒).
∴在一分钟内，该座钟大约发出滴答声的次数为60÷1.42≈42.
20.由题意,得
解得
∴M=
=
=
=3,N=
=
=
=4.
于是M·N=3×4=12.
