初中数学知识要点
1
第一篇 数与式
专题一 实数
一、中考要求：
1．在经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过
程；从事借助计算器探索数学规律的活动中，发展
同学们的抽象概括能力，并在活动中进一步发展独
立思考、合作交流的意识和能力．
2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法，
发展数感和估算能力．
3．了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根
号表示并会求数的平方根、立方根；能进行有关实
数的简单四则运算．
4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用
意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用
价值．
二、中考热点：
本章多考查平方根、立方根、二次根式的有关运算
以及实数的有关概念，另外还有一类新情境下的探索
性、开放性问题也是本章的热点考题．
三、考点扫描
1、实数的分类：
实数
0
正实数
有理数或
无理数
负实数
2、实数和数轴上的点是一一对应的．
3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．
若a、b 互为相反数，则a+b=0，
1
a
b
（a、b≠0）
4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这
个数的点与原点的距离
)
0
(
)
0
(
0
)
0
(
|
|
a
a
a
a
a
a
5、近似数和有效数字；
6、科学记数法；
7、整指数幂的运算：
m
m
m
mn
n
m
n
m
n
m
b
a
ab
a
a
a
a
a
,
,
（a≠0）
负整指数幂的性质：
p
p
p
a
a
a
1
1
零整指数幂的性质：
1
0
a
（a≠0）
8、实数的开方运算：
a
a
a
a
a
2
2
;
0
)
(
9、实数的混合运算顺序
*10、无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数如
1．414141···(41 无限循环）；（2）带根号的数是
无理数如
4 , 9 ；（3）两个无理数的和、差、积、
商也还是无理数，如
3+ 2
3- 2
，
都是无理数，但
它们的积却是有理数；（4）无理数是无限不循环小
数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，
每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置，如
2 ，
我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，
其他的无理数也是如此．
*11、实数的大小比较：
(1).数形结合法
(2).作差法比较
(3).作商法比较
(4).倒数法: 如
6
7
5
6
与
(5).平方法
四、考点训练
1、（2005、杭州，3 分）有下列说法：①有理数和数轴
上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③
负数没有立方根；④－17 是17 的平方根，其中正
确的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
2、如果
2
(x-2) =2-x 那么x 取值范围是（）
A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2
3、－8 的立方根与16 的平方根的和为（ ）
A．2 B．0 C．2 或一4 D．0 或－4
4、若2m－4 与3m－1 是同一个数的平方根，则m 为（ ）
A．－3 B．1 C．－3 或1 D．－1
5、若实数a 和 b 满足 b= a+5 + -a-5 ,则ab 的值等于
_______
6、在3 －2 的相反数是________，绝对值是______.
7、81 的平方根是（ ）
A．9 B．9 C．±9 D．±3
8、若实数满足|x|+x=0, 则x 是（ ）
A．零或负数 B．非负数 C．非零实数D.负数
五、例题剖析
1、设a= 3 －2 ，b=2－3 ，c= 5 －1,则a、b、c
的大小关系是（）
A．a＞b＞c B、a＞c＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
2、若化简|1－x|－
2
x -8x+16
2x-5
的结果是
，则x 的
取值范围是（）
A．X 为任意实数 B．1≤X≤4
C．x≥1 D．x＜4
3、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题
初中数学知识要点
2
目：“先化简下式，再求值：a+
2
1-2a+a
其中a=9
时”，得出了不同的答案 ，小明的解答：原式=
a+
2
1-2a+a = a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a
－1)=2a－1=2×9－1=17
⑴___________是错误的；
⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：
________
4、计算：
2001
2002
( 2- 3)
( 2+ 3)
5、我国1990 年的人口出生数为23784659 人。保留三
个有效数字的近似值是 人。
六、综合应用
1、 已知△ABC 的三边长分别为a、b、c, 且a、b、c
满足a2 －6a+9+
4
|
5 | 0
b
c
，试判断△ABC 的
形状．
2、数轴上的点并不都表示有理数，如图l－2－2 中数
轴上的点P 所表示的数是
2 ”，这种说明问题的方式体
现的数学思想方法叫做（ ）
A．代人法B．换无法C．数形
结合D．分类讨论
3、（开放题）如图l－2－3 所示的网格纸，每个小格均
为正方形，且小正方形的边长为1，请在小网格纸上
画出一个腰长为无理数的等腰三角形．
4、如图1－2－4 所示，在△ABC 中，∠B=90○ ,点P
从点B 开始沿BA 边向点A 以 1 厘米／秒的宽
度移动；同时，点Q 也从点B 开始沿 BC 边向点C
以 2 厘米/秒的速度移动，问几秒后，△PBQ 的面积
为36 平方厘米？
5、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截
取的一部分，其中a、b、c 的值分别为
A．20、29、30 B．18、30、26
C．18、20、26 D．18、30、28
专题二 整式
一、考点扫描
1、代数式的有关概念．
(1)代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成
的式子．
(2)求代数式的值的方法：①化简求值，②整体代人
2、整式的有关概念
(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．
(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式
(3)多项式的降幂排列与升幂排列
(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分
别相同的项，叫做同类顷．
3、整式的运算
(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一
个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般
步骤是：
(2)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是
“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里
各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它
前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．
(3)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为
系数．字母和字母的指数不变．
4、乘法公式
(1).平方差公式:
2
2
b
a
b
a
b
a
(2). 完全平方公式:
,
2
)
(
2
2
2
b
ab
a
b
a
5、因式分解
(1).多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整
式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分
解为止．
(2).分解因式的常用方法有：提公因式法和运
用公式法
二、考点训练
1、－ лa2b3
12 的系数是 ，是 次单项式；
2、多项式3x2－1－6x5－4x3是 次 项式，其中最
高次项是 ，常数项是 ，三次项系数是 ，
按x 的降幂排列 ；
3、如果3m7xny+7和-4m2-4yn2x是同类项，则x= ,y= ；这
两个单项式的积是＿＿。
4、下列运算结果正确的是（ ）
①2x3-x2=x ②x3•(x5)2=x13 ③(-x)6÷(-x)3=x3 ④
(0.1)-2•10-1=10
（A）①② （B）②④ （C）②③ （D）
②③④
5、若x2＋2（m－3）x＋16 是一个完全平方式，则m
1
2
3
4
…
2
4
6
8
…
3
6
9
12
…
4
8
12
16
…
…
…
…
…
…
18
c
32
12
15
a
20
24
25
b
表二
表三
表四
初中数学知识要点
3
的值是（ ）
6、代数式a2－1，0, 1
3a ,x+1
y ，－xy2
4 ，m，x+y
2 , 2 –3b
中单项式是 ，多项式是 ，
分式是 。
三、例题剖析
1、设ａ－ｂ＝－2，求ａ2＋ｂ2
2
－ａｂ的值。
2、若
q
x
x
px
x
3
8
2
2
的积中不含有
2
x 和
3
x
项，求p、q 的植。
3、从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方
形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如
图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B.（a-b）2=a2-2ab+b2
C.（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2+ab=a（a+b）
四、综合应用
1、将连续的自然数1 至36 按右图的方式排成一个正方
形阵列，用一个小正方形任意圈出其中的9 个数，设
圈出的9 个数的中心的数为a，用含有a 的代数式表
示这9• 个数的和为__________．
2、用火柴棒按下图中的方式搭图形．
（1）按图示规律填空：
第n 个图形
1
2
3
……
火柴棒根
数
（2）按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需要
_________根火柴棒．
3、右边是一个有规律排列的数表，请用含n 的代数式
（n• 为正整数），表示数表中第n 行第n 列的数：
______________．
专题三 分式
一、考点扫描
1．分式：整式A 除以整式B，可以表示成A
B 的形式，
如果除式B 中含有字母，那么称A
B 为分式．
注：（1）若B≠0，则A
B 有意义；（2）若B=0，则A
B 无
意义；（2）若A=0 且B≠0，则A
B =0
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除
以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这
种变形称为分式的约分．
4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化
为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
5．分式的加减法法则：
（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加
（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分
式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．
6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的
积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后
再与被除式相乘．
7．通分注意事项：
（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为
各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次
幂的积；
（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分
母，把分式中的分母丢掉．
8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后
算加减，有括号先算括号里面的．
9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，
再代人字母的值求值．
二、考点训练
1、已知分式
2
5
,
4
5
x
x
x
当x≠______时，分式有意
义；当x=______时，分式的值为0．
2、若将分式a+b
ab (a、b 均为正数）中的字母a、b 的值
初中数学知识要点
4
分别扩大为原来的2 倍，则分式的值为（ ）
A．扩大为原来的2 倍 B．缩小为原来的1
2
C．不变 D．缩小为原来的1
4
3、分式-3
x-2 ，当x 时分式值为正；当整数
x= 时分式值为整数。
4、计算
1
1
(
)
x
x
x
x
所得正确结果为（ ）
1
1
.
.1 .
. 1
1
1
A
B
C
D
x
x
5、若
0
4
3
2
2
y
xy
x
，则
y
x
y
x
2
2 = 。
6、若1
1
2
3
2
3,
2
x
xy
y
x
y
x
xy
y
则分式
=___
三、例题剖析
1、求值：
2
2
2
2
1
4
(
)
a
a +2a-1=0
2
4
4
2
a
a
a
a
a
a
a
a
，其中满足
2、（2005、河南，8 分）有一道题“先化简，再求值：
2
2
2
4
1
2
4
4
x
x
x
x
x
（
）
，其中
3
x
。”小玲做题
时把“
3
x
”错抄成了“
3
x
”，但她的计算结
果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
3、已知：P=
2
2
x
y
x
y
x
y
，Q=(x+y)2 －2y(x-y)，小敏、
小聪每人在x－2，y—2 的条件下分别计算了P 和Q
的值，小敏说P 的值比Q 大，小聪说C 的值比P 大．请
你判断谁的结论正确，并说明理由．
3、已知：
2
2
4
2
6
1
0,
1
x
x
x
x
x
求
的值。
4、若无论x 为何实数，分式
m
x
x
2
1
2
总有意义，则
m 的取值范围是 。
四、综合应用
1、已知△ABC 的三边为a，b，c，
2
2
2
a
b
c
=
ab
bc
ac
，试判定三角形的形状．
2、(阅读理解题）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知
x
y
z
a
b
b
c
c
a
(
)
a
b
c
、、互相不相等，
求x+y+z+的值
解：设
x
y
z
a
b
b
c
c
a
=k,
(
)
x
k a
b
则
，
(
),
(
)
x+y+z=
y
k b
c z
k c
a
于是，
(
)
0
0
k a
b
b
c
c
a
k
•
，
仿照上述方法解答下列问题：
已知：
(
0),
y
z
z
x
x
y x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
求
的值。
专题四 二次根式
一、考点扫描
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式
)
0
(
a
a
叫做二次根式．注意被开方数只能是正数
或O．
(2)最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开
得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根
式．
(3)同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，
叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
);
0
(
)
(
2
a
a
a
);
0
(
),
0
(
|
|
2
a
a
a
a
a
a
)
0
;0
(
b
a
b
a
ab
)
0
;
0
(
b
a
b
a
b
a
3．二次根式的运算
(1)二次根式的加减
①先把各个二次根式化成最简二次根式；
②再把同类三次根式分别合并
(2)三次根式的乘法
(3)二次根式的除法
二、考点训练
1、（2006 年南通市）式子
x
x
2
有意义的x 取值范围是
________．
2、（2006 年海淀区）下列根式中能与3 合并的二次根
式为（ ）
初中数学知识要点
5
A、12 B、
2
3 C、18 D、
24
3、（06 烟台市）若
5
1
x
x
，则
x
x
1
=______．
4、（2005 年福州市）下列各式中属于最简二次根式的
是（ ）
A、
5
3
x
x
B、
1
2
x
C、
12 D、
5.0
5、（2006 年连云港市）能使等式
2
2
x
x
x
x
成立的
x 的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥0 C．x>2 D．x≥2
6、（2005 年长沙市）小明的作业本上有以下四题：
①
4
16a =4a；②
5
10
5 2
a
a
a；
③a
2
1
1
a
a
a
a
；④
3
2
a
a
a
（a≠0），
做错的
．．．题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7、对于实数a、b，若
2
b
a
=b-a，则（ ）
A．a>b B．a<b C．a≥b D．a≤b
8、当1<x<2 时，化简∣1－x∣＋4－4x＋x2 的结果
是（ ）
A、－1 B、2x－1 C、1 D、3－2x
三、例题剖析
1、（1）若0<x<1，则
4
1
x
x
+
4
1
x
x
=____．
（2）若
2
2
6
4
x
x
=x-4+6-x=2，则x 的取值
范围为__________．
2、设5+1
5-1 的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，
求ａ2＋1
2 ａｂ＋ｂ2 的值。
3、把（a－b）
－1
a－b 化成最简二次根式，正确的
结果是（ ）
（A）b－a （B）a－b
（C）－b－a （D）－a－b
4、甲、乙两同学对代数式
a
b
a
b
（a>0，b>0）分别作
如下的变形：
甲
a
b
a
b
=
(
)(
)
(
)(
)
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
;
乙：
a
b
a
b
=
(
)(
)
a
b
a
b
a
b
a
b
.
这两种变形过程的下列说法中，正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
四、综合应用
1 、（2006 年内江市）对于题目“ 化简求值：
2
1
1
2
2
a
a
a
，其中a= 5
1
”甲、• 乙两人的解答
不同．
甲的解答是：
2
1
1
2
2
a
a
a
=
2
1
1
a
a
a
=
5
49
2
1
1
a
a
a
a
a
乙的解答是：
2
1
1
2
2
a
a
a
=
2
1
1
a
a
a
=
5
1
1
1
a
a
a
a
，
谁的解答是错误的是，为什么？
2、（2006 年桂林市）观察下列分母有理化的计算:
1
1
2
1,
3
2,
2
1
3
2
1
1
4
3,
5
4
4
3
5
4
…
从计算结果中找出规律利用规律计算:
)1
2007
)(
2006
2007
1
3
4
1
2
3
1
1
2
1
(
3 、如果ａ＋ｂ＋｜
ｃ－1 －1 ｜＝4
ａ－2 ＋
2 ｂ＋1 －4，那么ａ＋2ｂ－3ｃ的值
第二篇 方程与不等式
专题五 一次方程（组）及应用
一、考点扫描
1、方程的有关概念
含有未知数的等式叫做方程．使方程左右两边的值相
等的未知数的值叫做方程的解(只含有—个未知数的
方程的解，也叫做根)．
初中数学知识要点
6
2、一次方程(组)的解法和应用
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不
为零的方程，叫做一元一次方程．
解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、
合并同类项和系数化成1．
3、方程组的有关概念
含有两个未知数并且未知项的次数是1 的方程叫做二
元一次方程．两个二元—次方程合在一起就组成了一
个—。元一次方程组．二元一次方程组可化为
r
ny
mx
c
by
ax
,
(a，b，m、n 不全为零)的形式.
使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数
的值，叫做方程组的解．
4、一次方程组的解法和应用
解二元(三元)一次方程组的一般方法是代入消元法和
加减消元法．
二、考点训练
1、若代数式3a4b2x 与0.2a4b3x-1 能合并成一项，则x 的
值是（ ）
A．
2
1 B．1 C．
3
1 D．0
2、方程组ax+by=4
bx+ay=5
的解是x=2
y=1
，则a+b=
3、已知方程
2
m -1
n -8
(m-2)x
+(n+3)y
=5 是二元一次方
程，则mn= 。
4 、已知关于x,y 的方程组
x+y=5m
x-y=9m
的解满足
2x-3y=9，则m 的值是_________.
5、把一张面值50 元的人民币换成10 元、5 元的人民
币，共有_____种换法．
6、（2006 年随州市）“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗
歌形式的数学题，•“鸡兔同笼不知数，三十六头笼
中露，看来脚有100 只，几多鸡儿几多兔？”解决此
问题，设鸡为x 只，兔为y 只，所列方程组正确的是
（ ）
36
36
.
2
100
4
2
100
x
y
x
y
D
x
y
x
y
36
36
.
.
2
4
100
2
2
100
x
y
x
y
B
C
x
y
x
y
三、例题剖析
1、解方程：x-
1
2
2
2
3
x
x
1、某酒店客房部有三人间，双人间客房，收费数据如
下表：
普通（元/间/天） 豪华（元/间/天）
三人间 150
300
双人间 140
400
为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50 人
的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通
间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，•且一
天共花去住宿费1510 元，则旅游团住了三人普通间
和双人普通间客房各多少间？
2、（2006 年青岛市）某商店的老板销售一种商品，他
要以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更
多利润，他以高出进价80%的价格标价，•若你想买
下标价为360 元的这种商品，最多降低多少元，商店
老板才能出售？
3、（2005 年岳阳市）•某体育彩票经售商计划用45000•
元从省体彩中心购进彩票20 扎，每扎1000 张，已知
体彩中心有A，B，C 三种不同价格的彩费，进价分别
是A•种彩票每张1.5 元，B 种彩票每张2 元，C 种彩
票每张2.5 元．
（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20 扎，用
去45000 元，请你设计进票方案；
（2）若销售A 型彩票一张获手续费0.2 元，B 型彩票
一张获手续费0.3 元，C 型彩票一张获手续费0.5
元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手
续费最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用45000 元同时购进A，B，C 三种
彩票20 扎，请你设计进票方案．
专题六 分式方程及应用
一、考点扫描
1．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：解分式方程的关键是大分母（方
程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式
方程．
3．分式方程的增根问题：
⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0 的条
件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知
数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程
的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现
不适合原方程的根l 增根；
⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式
方程必须验根．
初中数学知识要点
7
4．分式方程的应用：
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类
似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、
恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的
分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列
出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思
考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理
性．
5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，
并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应
用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题．
二、考点训练
1、（2004、海口）把分式方程
1
2
1
2
1
x
x
x
的两边同时乘
以(x-2), 约去分母，得（ ）
A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1
C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2
2、（2004、湟中，3 分）正在修建的西塔（西宁～塔尔
寺）高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队
单独完成，甲工程队比乙工程队少用10 天；若甲、
乙两队合作，12 天可以完成．若没甲单独完成这项
工程需要x 天．则根据题意，可列方程为
_______________。
3、满足分式方程x+1
1
x-2
2
x
x
的x 值是（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．0
4、若方程
1
3
2
2
a
x
x
x
有增根，则增根为_____，
a=________.
5、如果
2
5
4
5
2
3
10
A
B
x
x
x
x
x
，则 A=____
B＝________.
6、当 k 等于（ ）时，
1
2
5
k
k
k
k
与
是互为相反
A．6
5 B. 5
6 C. 3
2 D. 2
3
三、例题剖析
1、若关于x 的方程
1
1
1
2
2
x
x
x
m
x
x
无实数解，则m
的值为________.
练习：
(1)、若关于x 的方程
m
x
m
x
1
1
有实数根，求m 的
取值范围。
(2)、若关于x 的方程
m
x
m
2
1
1
无实数根，求m 的
取值范围。
2、当m 为何值时，关于x 的方程
2
1
2
1
2
m
x
x
x
x
x
x
的解是正值？
四、综合应用
1、甲、乙两地相距200 千米，一艘轮船从甲
地逆流航行至乙地，然后又从乙地返回甲地，已知水
流的速度为4 千米／时，回来时所用的时间是去时的
3
4 ，求轮船在静水中的速度．
2、（2005、南充，8 分）列方程，解应用题：
某车间要加工170 个零件，在加工完90 个以后改进
了操作方法，每天多加工10 个，一共用 5 天完成了
任务．求改进操作方法后每天加工的零件个数．
3、阅读理解题）先阅读下列一段文字，然后
解答问题：
已知：方程
1
2
1
1
1
1
x =2,x
2
2
x
x
的解是
；
方程
1
2
1
2
1
2
x =3,x
3
3
x
x
的解是
；
方程
1
2
1
3
1
3
x =4,x
4
4
x
x
的解是
；
方程
1
2
1
4
1
4
x =5,x
5
5
x
x
的解是
；
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x－10
=1010
11 的解，并写出检验．
专题七 一元二次方程及应用
一、考点扫描
1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高
次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次
方 程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）
2．一元二次方程的解法：
⑴ 配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k
≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程
两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边
为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方
程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④
化原方程为(x+m）2=n 的形式；⑤如果n≥0 就可以
用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原
方程无解．
⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的
解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方
初中数学知识要点
8
程的求根公式是
a
ac
b
b
x
2
4
2
(b2－4ac≥0)
⑶ 因式分解法：因式分解法的步骤是：①将方程右边
化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解
这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方
程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因
当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如
关于x 的方程（k2－1）x2+2kx+1=0 中，当k=±1
时就是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程
为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c 的值；
③求出b2－4ac 的值；④若b2－4ac≥0，则代人求
根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如
－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4
⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别
要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般
顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
4．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻
画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问
题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题
的关键．
5．注重．解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰
当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要
对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以
保证结论的准确性．
二、考点训练
1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）
2
2
2
2
2
1
1
.3(
1)
2(
1) .
2
0
.
0 .
2
1
A
x
x
B x
y
C ax
bx
c
D x
x
x
2、已知方程5x2+kx－10=0 一个根是－5，则它的另一
个根为 ．
3、关于x 的一元二次方程
2
2
(
1)
2
m
x
x
m
m
3
0
，则m 的值为（ ）
A．m=3 或m=－1 B. ．m=－3 或m= 1
C．m=－1 D．m=－3
4、方程(
3)
(
3)
x x
x
解是（ ）
A．x1=1 B．x1=0， x
2=－3
C．x1=1，x
2=3 D．x1=1， x
2=－3
5、（2005、杭州，3 分）若t 是一元二次方程
ax2＋bx+c=0(a≠0）的根，则判别式Δ=b2－4ac 和完
全平方式M=(2a+b)2 的关系是（ ）
A．Δ=M B．Δ＞M
C．Δ＜M D．大小关系不能确定
6、（2005、温州）已知x1、x2 是方程x2－3x＋1 ＝0 的
两个实数根，则1
x1
＋1
x2
的值是(
)
A、3
B、－3 C、1
3
D、1
7、（2005、金华）用换元法解方程(x2－x)－x2－x＝6
时，设x2－x＝y，那么原方程可化为（ ）
A. y2＋y－6＝0 B. y2＋y＋6＝0
C. y2－y－6＝0 D. y2－y＋6＝0
8、已知关于x 的方程
2
2
1
(
3)
0
4 x
m
x
m
有两个不相等的实根，那么m 的最大整数是（ ）
A．2 B．－1 C．0 D．l“
三、例题剖析
1、（2005、，内江，4 分）等腰△ABC 中，BC=8，
AB、BC 的长是关于x 的方程x2－10x+m= 0 的两根，
则m 的值是________.
2、两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个
数为根的一元二次方
程是__________
3、
（2005、南充，3分）关于x的一元二次方程ax2 +2x+1=0
的两个根同号，则a 的取值范围是_
_______________
4、（2004、海口，8 分）某水果批发商场经销一种高档
水果 如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，经
市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价
1 元，日销售量将减少20 千克，现该商场要保证每天
盈利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克
应涨价多少元？
5、某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书
用100 元，按该书定价2．8 元出售，并很快售完．由
于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价比第一次
高0．5 元，用去了150 元，所购书数量比第一次多10
本，当这批书售出4
5 时，出现滞销，便以定价的5 折售
完剩余的图书．试问该老板第二次售书是赔钱了，还是
赚钱了（不考虑其他因素片若赔钱，赔多少？若赚钱，
赚多少？
2
1
F
A
B
C
D
E
O
O
初中数学知识要点
9
四、综合应用
1、（2005、绍兴，4 分）钟老师出示了小黑板上的题目
(如图1－2－2）后，小敏回答：“方程有一根为1”，
小聪回答：“方程有一根为2”．则你认为（ ）
A．只有小敏回答正确
B．只有小聪回答正确
C．小敏小聪回答都正确
D．小敏A 聪回答都不正确
2、（2005、南昌，3 分）如图1－2－3 为长方形时钟钟
面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长
方形的宽为20 厘米，钟面数字2 在长方形的顶点处，
则长方形的长为_________厘米．
3、（阅读理解题）阅读下题的解答过程，请你
判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．已
知：m 是关于x 的方程mx2 －2x＋m＝0 的一个根，
求m 的值．
解：把x=m 代人原方程，化简得m3=m，两边同时除
以m，得m2 =1，所以m=l，把=l 代入原方程检验可
知：m=1 符合题意，答：m 的值是1．
专题八 一元一次不等式（组）及应用
一、考点扫描
1．一元一次不等式及不等式组的概念
2．不等式的基本性质：（）不等式的两边都加上（或减
去）同一个整式，不等号的方向不变．（2）不等式
的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方
向不变．（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一
个负数，不等号的方向改变．
3．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做
不等式的解．
4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，
组成这个不等式的解集．
一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各
个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不
等式组的解集．
5．求不等式（组）解集的过程叫做解不等式．
6．一元一次不等式的解法．
解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去话号，
③移项，④合并同类项，⑤系数化为1（不等号的
改变问题）
7、一元一次不等式组的解．
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这
个不等式的解。
8．求不等式（组）的正整数解，整数解等特解，可先
求出这个不等式的解集，再从中找出所需特解．
9、列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题
和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包
括：①设未知数；②找不等关系；③列不等式（组）
④解不等式（组）⑤检验，其中检验是正确求解的
必要环节．
二、考点训练
1、（2004、北碚）关于x 的不等式2x－a≤－1 的解集
如图所示，
则a 的取值是（ ）
A.0 B.－3
C.－2 D.－1
2、若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
a
.
<1 B.
>1 C.-a>-b D.a-b>0
b
b
A a
3、（2004、湟中）. 设 A 、B 、 C 表表示三种不
同的物体，现用天平称了两次，情况如图1－1－2 所
示，那么“ AA”、“B ”、“ C ”这三种物体按质
量从大到小的顺序排应为（ ）
A、A B C B、C B A
C、 B A C D、B C A
4、已知关于x 的不等式(1－a)x＞3 的解集为x< 3
1-a ，
则a 的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1
5、已知关于x 的方程 3x－（2a－3）=5x +（3a+6）的
解是负数，则a 的取值范围是________
6、使不等式x－5＞4x—l 成立的值中的最大的整数是
（ ）
A．2 B．－1 C．－2 D．0
7、（2004、汉中，3 分）把不等式组x+1>0
x-1
0
的解
集表示在数轴上，确的是图l－l－6 中的（ ）
初中数学知识要点
10
O
y
3
2
3
1
2
（＋，＋）?
（－，＋）
) b
-
, a
- (
) b
, a
- (
) b
- ,
a (
8、（2004、海淀模拟，3 分）若不等式组的
2x-1 >1
3
x>a
解
集为x＞2，则a 的取得范围是（ ）
A. a＜2 B. a≤2 C. a＞2 D. a ≥2
三、例题剖析
1、如果关于x 的不等式（2a－b）x+a－5b＞0 的
解为x＜10
7 ，求关于x 的不等式ax＞b 的解集．
2、若不等式组x-a
0
3-2x>-1
有5 个整数解，则a 的取范围
是_______
3、若不等式组
2x-3a<7a
6b-3x<5a
的解集是5＜x＜22 时，
a=____, b=_______.
4、在方程组2
1
2
2
x
y
m
x
y
中，若未知数x 、y 满足 x
＋y>0，求m 的取值范围。
四、综合应用
1、（2005、绍兴，10 分）班委会决定，由小敏、小聪
两人负责选购圆珠笔、钢笔共22 支，送给结对的山
区学校的同学．他们去了商场，看到圆珠笔每支5 元，
钢笔每支6 元．
（1）若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120 元，问圆
珠笔、钢笔各买了多少支？
（2）若购圆珠笔可9 折优惠，钢笔可8 折优惠，在所
需费用不超过100 元的前提下，请你写出一种选
购方案．
2、（新情境题）商场出售的A 型冰箱每台售
价2190 元，每日耗电量为1 度，而B 型节能冰箱每
台售价虽比A 型冰箱高出10％，但每日耗电量却为
0．55 度．现将A 型冰箱打折出售时一折后的售价为
原价的1
10 ，问商场至少打几折，消费者购买才合算
（按使用期为10 年，每年365 天，每度电0．4 0 元
计算）．
第三篇 函数及其图象
专题九 平面直角坐标系
一、考点扫描
一、平面直角坐标系
1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；
2. 各象限点的坐标的符号；
3. 坐标轴上的点的坐标特征。
4. 点P（a，b）关于 对称点的坐标
5、两点之间的距离
6、线段AB 的中点C，若
)
,
(
),
,
(
),
,
(
0
0
2
2
1
1
y
x
C
y
x
B
y
x
A
则
2
,
2
2
1
0
2
1
0
y
y
y
x
x
x
二、函数的概念
1、概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y，如果
对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么
就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2.自变量的取值范围：
（1）使解析式有意义
（2）实际问题具有实际意义
3.函数的表示方法；
（1）解析法
（2）列表法
（3）图象法
二、考点训练
1、若点P（a，b）在第四象限，则点M（b－a，a－b）
在（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限
（D）第四象限
2、点P（－1，－3）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）
（A）（－1，3） （B）（1，3） （C）（3，－1）
（D）（1，－3）
3、（2005 年重庆市）点A（m-4，1-2m）在第三象限，
则m 的取值范围是（ ）
原点
轴
轴
y
x
2
1
2
1
2
2
1
1
P
P
)
0
(
)
0
(
)1(
x
x
x
P
x
P
＝
，
，
，
，
2
1
2
1
2
2
1
1
P
P
)
0
(
)
0
(
)
2
(
y
y
y
P
y
P
＝
，
，
，
，
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)3(
y
y
x
x
P
P
y
x
P
y
x
P
＝
，
，
，
，
初中数学知识要点
11
A．m> 1
2 B．m<4 C．1
2 <m<4 D．m>4
4、（2006 年怀化市）放假了，小明和小丽去蔬菜加工
厂社会实践，•两人同时工作了一段时间后，休息时
小明对小丽说：“我已加工了28 千克，你呢？”小丽
思考了一会儿说：“我来考考，图（1）、图（2）分别
表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加
工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，
你现在加工了________千克．”
5、菱形边长为6，一个内角为120°，它的对角线与两
坐标轴重合，则菱形四个顶点的坐标分别是
6、（2006 年南京市）在平面直角坐标系中，
ABCD
的顶点A、B、D 的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，
3），则顶点C 的坐标是（ ）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
(第6 题) (第7 题)
7、（2006 年长春市）如图，将△AOB 绕点O 逆时针旋转
90°，得到△A′OB′，•若点A 的坐标为（a，b），
则点A′的坐标为（ ）
A．（a，-b） B．（b，a） C．（-b，a） D．（-a，b）
8、（2006 年贵阳市）小明根据邻居家的故事写了一道
小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到
后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y•表示父
亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x 表示父亲离家
的时间，•那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合
的是（ ）
三、例题剖析
1、（06 年益阳）在平面直角坐标系中，点A、B、C 的
坐标分别为A（-•2，1），B（-3，-1），C（1，-1）．若
四边形ABCD 为平行四边形，那么点D 的坐标是
________．
2、（2006 年绍兴市）如图，将边长为1 的正方形OAPB
沿x 轴正方向连续翻转2006 次，点P 依次落在点P1，
P2，P3，P4，…P2 0 0 6的位置，则P2 0 0 6的横坐标
X2 0 0 6=_______．
3、（2006 年茂名市）如图，在平面直角坐标系XOY 中，
直角梯形OABC，BC∥AO，A（-2，0），B（-1，1），
将直角梯形OABC 绕点O 顺时针旋转90°后，点A、
B、C 分别落在A′、B′、C′处．请你解答下列问
题：
（1）在如图直角坐标系XOY 中画出旋转后的
梯形O′A′B′C′．
（2）求点A 旋转到A′所经过的弧形路线长．
4、（2006 年烟台市）先将一矩形ABCD 置于直角坐标
系中，使点A• 与坐标系中原点重合，边AB、AD 分
别落在x 轴、y 轴上（如图1），•再将此矩形在坐标
平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若
AB=4，BC=3，则图1 和图2 中点B 的坐标为______，
点C•的坐标为_______．
四、综合应用
1、2006 年常州市）在平面直角坐标系中描出下列各点
A（2，1），B（0，1），C（-4，3），D（6，3），并将
初中数学知识要点
12
各点用线段依次连接构成一个四边形ABCD．
（1）四边形ABCD 是什么特殊的四边形？
（2）在四边形ABCD 内找一点P，使得△APB、
△BPC、△CPD、△APD• 都是等腰三角形，请写出P
点的坐标．
专题十 一次函数及反比例函数其应用
一、考点扫描
1、一次函数
(1)、一次函数及其图象
如果y=kx+b（k，b 是常数，k≠0），那么，y 叫做x
的一次函数。
特别地，如果y=kx（k 是常数，k≠0），那么，y 叫做
x 的正比例函数
一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先
描出两点，再连成直线
(2)、一次函数的性质
当k>0 时y 随x 的增大而增大，当k<0 时，y 随x 的
增大而减小。
1、反比例函数
(1) 反比例函数及其图象
如果
)
0
,
(
k
k
x
k
y
是常数
,那么，y 是x 的反比例
函数。
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描
点法画出反比例函数的图象
（2）反比例函数的性质
当K>0 时，图象的两个分支分别在一、二、三象限内，
在每个象限内， y 随x 的增大而减小；
当K<0 时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在
每个象限内，y 随x 的增大而增大。
3.待定系数法
先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知系数，
从而写出这个式子的方法叫做待定系数法可用待定
系数法求一次函数、二次函数和反比例函数的解析式
二、考点训练
1、若函数y=（m2-1）x
2
3
5
m
m
为反比例函数，则
m=________．
2、若一次函数y=2x
2 2
2
m
m
+m-2 的图象经过第一、第
二、三象限，则m= ．
3、（2006 年常德市）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），
P3（x3，y3）是反比例函数y=•的图象上的三点，且
x1<x2<0<x3，则y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
A．y3<y2<y1 B．y1<y2<y3
C．y2<y1<y3 D．y2<y3<y1
4、已知矩形的面积为10，则它的长y 与宽x 之间的关
系用图象大致可表示为（ ）
5、（2006 年威海市）如图，过原点的一条直线与反比
例函数y= k
x （k<0）的图像分别交于A、B 两点，若A
点的坐标为（a，b），则B 点的坐标为（ ）
A．（a，b） B．（b，a） C．（-b，-a） D．（-a，-b）
（第5 题） （第6 题）
6、
（06 年长春市）如图，双曲线y= 8
x 的一个分支为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7、如图，一次函数y=kx+b 的图象经过A、B 两点，则
kx+b>0 的解集是（ ）
A．x>0 B．x>2 C．x>-3 D．-3<x<2
8、（2006 年贵阳市）函数y1=x+1 与y2=ax+b 的图象如
图所示，•这两个函数的交点在y 轴上，那么y1、y2 的
值都大于零的x 的取值范围是_______．
9、（2005 年杭州市）已知一次函数y=kx-k，若y 随x
的增大而减小，则该函数的图像经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
10、（2006 年绍兴市）如图，一次函数y=x+5 的图象经
过点P（a，b）和点Q（c，d），•则a（c-d）-b（c-d）
初中数学知识要点
13
的值为________．
11、（2006 年重庆市）如图，已知函数y=ax+b 和y=kx
的图象交于点P， 则根据图象可得，关于y
ax
b
y
kx
的二元一次方程组的解是________．
12、（2006 年安徽省）一次函数的图象过点（-1，0），
且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这
个条件的一次函数的解析式：___________．
三、例题剖析
1、（2006 年南京市）某块试验田里的农作物每天的需
水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折
线图所示．•这些农作物在第10• 天、•第30•天的需
水量分别为2000 千克、3000 千克，在第40 天后每
天的需水量比前一天增加100 千克．
（1）分别求出x≤40 和x≥40 时y 与x 之间的关系式；
（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000 千
克时，需要进行人工灌溉，•那么应从第几天开始进
行人工灌溉？
2、（2006 年吉林省）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，
• 利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm；
（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球
个数x（个）•之间的一次函数关系式（不要求写出
自变量的取值范围）；
（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？
3、（06 年烟台市）如图，一次函数y=kx+b 的图象与反
比例函数y= m
x
图象交于A（-2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的
值的x 的取值范围．
4、（2006 年重庆市）如图，矩形AOCB 的两边OC、OA
分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为B（- 20
3
，5），
D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A
点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比
例函数的图像上，那么该函数的解析式是_________．
5、（2006 年伊春市）某工厂用一种自动控制加工机制
作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过
程；加工过程中，当油箱中油量为10 升时，•机器自
动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，
如此往复．已知机器需运行185 分钟才能将这批工件
加工完．下图是油箱中油量y（升）与机器运行时间
x（分）之间的函数图象．根据图象回答下列问题：
（1）求在第一个加工过程中，油箱中油量y（升）与
机器运行时间x（分）之间的函数关系式（不必写出
自变量x 的取值范围）；
（2）机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？
（3）加工完这批工件，机器耗油多少升？
初中数学知识要点
14
应用与探究
1、某厂从2002 年起开始投入技术改进资金，经技术改
进后，• 某产品的生产成本不断降低，具体数据如下
表：
年度
2002 2003 2004 2005
投入技改资金x（万元） 2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函
数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其
变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理
由，并求出它的解析式；
（2）按照这种变化规律，若2006 年已投入技改资金5
万元．
①预计生产成本每件比2005 年降低多少万元？
②如果打算在2006 年把每件产品成本降低到3.2 万
元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到
0.01 万元）
专题十一 二次函数图象及其性质
一、考点扫描
1、理解二次函数的概念：y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a
≠0)
2、会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶
点坐标
)
4
4
,
2
(
2
a
b
ac
a
b
、对称轴
a
b
x
2
和开口方
向，会用描点法画二次函数的图象；
3、会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数
y＝a(x＋k)2＋h 的图象，了解特殊与一般相互联系和
转化的思想；
4、会用待定系数法求二次函数的解析式；
5、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会
求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大
值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式
之间的联系。
二、考点训练
1、二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图，则点M（b，c
a
）
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2、（2005 年武汉市）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
的图象如图2 所示，• 则下列结论：①a、b 同号；②
当x=1 和x=3 时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2
时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3、二次函数y=x2 的图象向右平移3 个单位，得到新的
图象的函数表达式是（ ）
A.y=x2+3 B. y=x2-3 C. y=（x+3）2 D. y=（x-3）2
4、二次函数y=-（x-1）2+3 图像的顶点坐标是（ ）
A．（-1，3）B．（1，3） C．（-1，-3） D．（1，-3）
5、（2006 年南充市）二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac，且
x=0 时y=-4 则y 的最值是（ ）
A．最大值-4 B．最小值-4
C．最大值-3 D．最小值-3
6、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则
下列结论：①a>0；②c>0；•③b2-4ac>0，其中正确
的个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
7 、（2006 年常德市）根据下列表格中二次函数
y=ax2+bx+c 的自变量x 与函数值y•的对应值，判断
方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的一个解
x 的范围是（ ）
x
6.17
6.18
6.19 6.20
y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04
A．6<x<6.17 B．6.17<x<6.18
C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.20
8、（06 年长春）函数y=x2+bx-c 的图象经过点（1，2），
则b-c 的值为______．
9、（06 年宿迁市）将一抛物线向左平移4 个单位后，
再向下平移2 个单位得抛物线y=x2，•则平移前抛物
线的解析式是________．
10、（06 年锦州市）已知二次函数的图象开口向上，且
顶点在y 轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二
次函数的表达式________．
三、例题剖析
1、如图，在坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图
象过正方形ABOC•的三个顶点A，B，C，则ac 的
值是________．
初中数学知识要点
15
2、观察下面的表格：
x
0 1 2
ax2
2
ax2+bx+c 4
6
（1）求a，b，c 的值，并在表格内的空格中填上正确
的数；
（2）求二次函数y=ax2+bx+c 图象的顶点坐标与对称
轴．
3、13．（2006 年南通市）已知抛物线y=ax2+bx+c 经过
A，B，C 三点，当x≥0 时，•其图象如图所示．
（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
（2）画出抛物线y=ax2+bx+c 当x<0 时的图象；
（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x 为何值时，y>0．
4、（06 年长春市）如图，P 为抛物线y= 3
4 x2- 3
2 x+ 1
4 上
对称轴右侧的一点，且点P 在x 轴上方，过点P 作
PA 垂直x 轴于点A，PB 垂直y 轴于点B，得到矩形
PAOB．若AP=1，求矩形PAOB 的面积．
四、综合应用
1、（2006 年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC
以2 米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB
与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的
面积为ym2．
（1）写出y 与x 的关系式；
（2）当x=2，3.5 时，y 分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角
形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.
2、（06 年常州市）在平面直角坐标系中，已知二次函
数y=a（x-1）2+k•的图像与x 轴相交于点A、B，顶
点为C，点D 在这个二次函数图像的对称轴上，若四
边形ABCD•是一个边长为2 且有一个内角为60°的
菱形，求此二次函数的表达式．
专题十二 二次函数的应用
一、考点扫描
二次函数应用
刹车距离
何时获得最大利润
最大面积是多少
二、例题剖析
1、（2006 年旅顺口区）已知边长为4 的正方形截去一
个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，
BF=1．试在AB 上求一点P，使矩形PNDM 有最大
面积．
初中数学知识要点
16
2、某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售价
x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下
表：
x（元） 15 20 30 …
y（件） 25 20 10 …
若日销售量y 是销售价x 的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关
系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应
定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？
3、在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V
0（m/s）
竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升
高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V
0t- 1
2 gt2
（其中g 是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，
则该物体在运动过程中最高点距离地面________m．
4、影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路
面的摩擦系数．•有研究表明，晴天在某段公路上行
驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）
可由公式S= 1
100
V2 确定；雨天行驶时，这一公式为
S= 1
50
V2．如果车行驶的速度是60km/h，•那么在雨
天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_________
米．
5、（06 年南京市）如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD，
线段EF=10．在EF 上取一点M，•分别以EM、MF
为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN～
矩形ABCD．令MN=x，当x 为何值时，矩形EMNH
的面积S 有最大值？最大值是多少？
6、（2006 年青岛市）在2006 年青岛崂山北宅樱桃节前
夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年
的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：
销售价x（元/千
克）
… 25
24
23
22
…
销售量y（千克） … 2000 2500 3000 3500 …
（1）在直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所
对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x
之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式；
（2）若樱桃进价为13 元/千克，试求销售利润P（元）
与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当
x 取何值时，P 的值最大？
7、施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其
高度为6 米，宽度OM 为12 米，现在O 点为原点，
OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”
ABCD，使A、D 点在抛物线上，B、C 点在地面OM
上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、
AD、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队
计算一下．
三、综合应用
1、如图10，点A 在抛物线
2
1
4
y
x
上，过点A 作与x 轴
平行的直线交抛物线于点B，延长AO,BO 分别与抛
物线
2
1
8
y
x
相交于点C,D，连接AD,BC，设点A
的横坐标为m，且m>0．
（1）当m=1 时，求点A,B,D 的坐标；
（2）当m 为何值时，四边形ABCD 的两条对角线互相
垂直；
（3）猜想线段AB 与CD 之间的数量关系，并证明你
的结论．
A
x
y
B
初中数学知识要点
17
2、如图，已知抛物线
2
3
4
y
x
bx
c
与坐标轴交于A、
B、C 三点，点A 的横坐标为-1，过点C(0,3)的直线
3
3
4
y
x
t
与x 轴交于点Q，点P 是线段BC 上的一
个动点，PH⊥OB 于点H．若PB=5t，且0<t<1．
（1）确定b
c
，的值：
_____
_____
b
c
，
；
（2）写出点B
Q
P
，，的坐标（其中Q
P
，用含t 的式子
表示）：
(___ ___)
(___ ___)
(___ ___)
B
Q
P
，
，
，
，
，
；
（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使
PQB
△
为等
腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说
明理由．
专题十三 函数的综合应用
一、考点扫描
函数应用
1.
:
2.
:
3.
:
4.
一次函数图像及性质
二次函数图像及性质
反比例函数图像及性质
综合应用
二、考点训练
1．在函数y= 2
x ，y=x+5，y=x2 的图象中是中心对称图
形，且对称中心是原点的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
2．下列四个函数中，y 随x 的增大而减少的是（ ）
A．y=2x B．y=-2x+5
C．y=- 3
x D．y=-x2-2x-1
3．函数y=ax2-a 与y= a
x （a≠0）在同一直角坐标系中
的图象可能是（ ）
4．函数y=kx-2 与y= k
x （k≠0）在同一坐标系内的图
象可能是（ ）
5．如图是二次函数y1=ax2+bx+c 和一次函数y2=mx+n
的图象，观察图象写出y2 ≥y1 时，x 的取值范围
__________．
(第5 题) (第6 题)
6．（2006 年旅顺口）如图是一次函数y1=kx+b 和反比
例函数y2= m
x 的图象，•观察图象写出y1>y2 时，x
的取值范围是_________．
7．（2005 年十堰市）在同一平面直角坐标系中，函数
y=kx+k，y= k
x （k>0）•的图像大致是（ ）
8．（2005 年太原市）在反比例函数y= k
x 中，当x>0 时，
C
y
A O Q
H
B
P
x
初中数学知识要点
18
y 随x 的增大而增大，则二次函数y=kx2+2kx 的图
像大致是（ ）
三、例题剖析
1、（2005 年海门市）某校八年级（1）班共有学生50
人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是
a 元．经测算和市场调查，•若该班学生集体改饮某
品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部
分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780
元，其中，纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量
y（桶）之间满足如图所示关系．
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若该班每年需要纯净水380 桶，且a 为120
时，请你根据提供的信息分析一下：•该班学生集体
改饮桶装纯净水与个人买材料，哪一种花钱更少？
（3）当a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装
纯净水一定合算？从计算结果看，•你有何感想（不
超过30 字）？
2、一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场
行情，预计从5 月1•日起的50 天内，它的市场售价
y
1与上市时间x 的关系可用图（a）的一条线段表示；
它的种植成本y2 与上市时间x 的关系可用图（b）中
的抛物线的一部分来表示．
（1）求出图（a）中表示的市场售价y1 与上市时间x
的函数关系式．
（2）求出图（b）中表示的种植成本y2 与上市时间x
的函数关系式．
（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上
市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？
（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：
天）
3、如图，一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数y= m
x
的
图象交于A、B 两点，与x 轴交于点C，与y 轴交于
点D．已知OA= 5 ，tan∠AOC= 1
2
，点B 的坐标为（1
2
，
-4）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB 的面积．
三、综合应用
1、（2006 年潍坊市）为保证交通完全，汽车驾驶员必
须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止
车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速
度）的关系，以便及时刹车．下表是某款车在平坦道
路上路况良好刹车后的停止距离与汽车行驶速度的
对应值表：
行驶速度（千米/时） 40 60 80 …
停止距离（米）
16 30 48 …
（1）设汽车刹车后的停止距离y（米）是关于汽
车行驶速度x（千米/时）的函数．•给出以下三个函
数①y=ax+b；②y= k
x （k≠0）；③y=ax2+bx，请选择
恰当的函数来描述停止距离y（米）与汽车行驶速度
x（千米/时）的关系，说明选择理由,并求出符合要
求的函数的解析式；
（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后
的停止距离为70 米，求汽车行驶速度．
专题十四 用函数的观点看方程（组）或不等式
一、考点扫描
初中数学知识要点
19
二、考点训练
1．（2006 年广西省）已知y=-2x+m，当x=3 时，y=1，
则直线y=-2x+m 与x 轴的交点坐标为_______．
2．若直线y= 1
2
x-2 与直线y=- 1
4
x+a 相交于x 轴，则直
线y=- 1
4
x+a 不经过的象限是_____．
3．若不等式kx+b>0 的解集为x>-2，则直线y=kx+b 与
x 轴的交点为_____．
4．（2006 年衡阳市）如图，直线y1=k1x+b1 与直线
y2=k2x+b2 交于点（-2，2），则当x____时，y1<y2．
(第4 题) (第7 题)
5．若方程2x2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则抛物
线y=2x2+bx+c 与x 轴有____个交点．
6．直线y=ax+b 与y=ax2+bx+c（a≠0）的交点为（-1，
2）和（3，-4），则方程组
2
y
ax
b
y
ax
bx
c
的解为
_________．
7．函数y=kx+b（k、b 为常数）的图象如图，则关于x
的不等式kx+b>0 的解集为（ ）
A．x>0 B．x<0 C．x<2 D．x>2
8．（2006 年安徽省）已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）
与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为
y1=k1x+a1 和y2=k2x+a2，图象如图所示，设所挂物体
质量为2kg 时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则
y1 与y2 的大小关系为（ ）
A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1<y2 D．不能确定
(第8 题) (第9 题)
9．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y
（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说
法：①售2 件时甲、乙两家售价一样；②买1 件时
买乙家的合算；③买3 件时买甲家的合算；④买乙
家的1 件售价约为3 元，其中正确的说法是（ ）
A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③
10．（2006 年江苏省）如图，L
1反映了某公司的销售收
入与销售量的关系，L
2反映了该公司产品的销售成本
与销售量的关系．当该公司赢利（收入大于成本）时，
销售量应（ ）
A．小于3 吨 B．大于3 吨
C．小于4 吨 D．大于4 吨
三、例题剖析
1、（2006 年陕西省）直线y=kx+b（k≠0）的图象如图，
则方程kx+b=0•的解为 x=_______，不等式
kx+b<0 的解集为x_______．
2、（2006 年吉林省）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）
和直线y2=kx+b（k≠0）的图象如图，则当x=______
时，y1=0；当x______时，y1<0；当x______时，y1>y2．
3、如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b 的图象．
（1）根据图象，求k，b 的值；
（2）在图中画出函数y=-2x+2 的图象；
（3）求x 的取值范围，使函数y=kx+b 的函数值大于函
数y=-2x+2 的函数值．
4、育才中学需要添置某种教学仪器．方案1：到商
购买，每件需要8 元；方案2：•学校自己制作，每
件4 元，另外需要制作工具的租用费120 元．设需要
仪器x 件，方案1 与方案2 的费用分别为y1，y2（元）．
（1）分别写出y1，y2 的函数表达式；
（2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？
（3）若学校需要仪器50 件，问采用哪种方案便宜？请
说明理由．
5、如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出
初中数学知识要点
20
发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是
正比例函数图象和一次函数图象），•根据图象解答下
列问题：
（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析
式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的
速度分别是多少？
（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？
四、综合应用
1、如图所示，设田地自动喷灌水管AB 高出地面1.5 米，
在B•处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水
流是抛物线状，喷头B•和水流最高点C•的连线与水
平地面成45°角，点C 比B 高出2 米，在所建的坐
标系中，求水流的落地点D 到点A 的距离是多少？
