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24.4 弧长和扇形面积
知识点
1.在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长是____________，n°的圆心角所对的弧长是
______________.
2.在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的扇形面积是____________，n°的圆心角所对的扇形
面积S 扇形=______________.
3.半径为R，弧长为l 的扇形面积S 扇形=________.
一、选择题
1.（2013•潜江）如果一个扇形的弧长是
π，半径是6，那么此扇形的圆心角为( )
A．
B．
C．
D．
2.（2013•南通） 如图，已知□ABCD 的对角线BD=4cm，将
□ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路
径长为( )
A．4π cm
B．3π cm
C．2π cm
D．π cm
3.（2013•宁夏）如图，以等腰直角△ABC 两锐角顶点A、B
为圆心作等圆，⊙A 与⊙B 恰好外切，若AC=2，那么图中两
个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2013•资阳）钟面上的分针的长为1，从9 点到9 点30 分，分针在钟面上扫过的面积是 (
)
A．1
2
B．1
4
C.
1
8
D．
5.（2013•荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点
A 顺时针旋转45°度后得到△AB＇C＇，点B 经过的路径为弧
BB＇，若角∠BAC=60°，AC=１，则图中阴影部分的面积是
( )
A. 2
B. 3
C. 4
D.
6.（2013•恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置
一个边长为1 的正方形ABCD，将正方形ABCD 沿
x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开
原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与
A
加
（第6 题
第2 题
A
B
C
D
O
第3 题
C′
B′
C
B
A
第
5
题
第
6
题
x 轴围成的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.（2013•德州）如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB=90°，以AB 为
直径画半圆．则图中阴影部分的面积为( )
A．1
4 B．
1
2
C．1
2
D．1
1
4
2
8．（2013•襄阳）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt
ABC
△
斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E，B、E 是半圆弧的
三等分点，弧BE 的长为π，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
9.（2013•茂名）如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形
AOB 的圆心角
120
O
，半径OA=3，则弧AB 的长
度为 （结果保留）．
10.（2013•遂宁）如图，△ABC 的三个顶点都在5×5
的网格（每个小正方形的边长均为1 个单位长度）的
格点上，将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A′BC′的位
置，且点A′、C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积
约是___________．（π≈3.14，结果精确到0.1）
11.（2013•玉林）如图，实线部分是半径为15m 的两条等弧
组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，
则游泳池的周长是
_______
m．
O
A
B
第7 题
第8 题
第10 题
第11 题
12.（2013•眉山）如图，以BC 为直径的⊙O 与△ABC 的另
两边分别相交于点D、E。若∠A=60°，BC=4，则图中阴影
部分的面积为____________。（结果保留π）
13．（3 分）（2013•苏州）如图，AB 切⊙O 于点B，OA=2，
OAB=30°
∠
，弦BC OA
∥
，劣弧
的弧长为
_____
．（结
果保留π）
14.（2013•青岛）如图，AB 是圆0 直径，弦AC=2，∠ABC=30°，
则图中阴影部分的面积是_____________
15.（2013 宜宾）如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF
叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF 的圆
心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF 的长是
______________．
16．（2013•乐山）如图，小方格都是边长为1 的正方形，
则以格点为圆心，半径为1 和2 的两种弧围成的“叶状”
阴影图案的面积为
_________
．
17.（2013•遵义）如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，
AC=BC=1，E 为BC 边上的一点，以A 为圆心，AE 为
半径的圆弧交AB 于点D，交AC 的延长于点F，若图
中两个阴影部分的面积相等，则AF 的长为____________
（结果保留根号）．
第14 题
第13 题
第12 题
第16 题
第15 题
第17 题
18.（2013•宿迁）如图，
是半圆
的直径，且
，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿
所
在的直线折叠，若圆弧
恰好过圆心
，则图中
阴影部分的面积是
_______
．（结果保留
）
三、解答题
19.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C，D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC=∠D=60°.
（1）求∠ABC 的度数；
（2）求证：AE 是⊙O 的切线；
（3）当BC=4 时，求劣弧AC 的长.
20.
21.如图，在⊙O 中，弦BC 垂直于半径OA，垂足为E，D 是优弧BC 上一点，连接BD，AD，
OC，∠ADB=30°.
C
A
B
O
第18 题
第19 题
第20 题
（1）求∠AOC 的度数；
（2）若弦BC=6cm，求图中阴影部分的面积.
22.如图，在正方形ABCD 中，AB=4，O 为对角线BD 的中点，分别以OB，OD 为直径作⊙O1，⊙O2.
（1）求⊙O1的半径；
（2）求图中阴影部分的面积.
23.如图，在平面直角坐标系中，以A（5,1）为圆心，以2 个单位长度为半径的⊙A 交x 轴于点
B，C.解答下列问题：
(1)将⊙A 向左平移_______个单位长度与y 轴首次相切，得到⊙A′.此时点A′的坐标为
__________，阴影部分的面积S=__________；
（2）求BC 的长.
第21 题
第22 题
第23 题
24.4 第1 课时 弧长和扇形面积
知识点
1.
2.
3.
一、选择题
1.A 2.C
3.B
解：∵AC=2，△ABC 是等腰直角三角形，
AB=2
∴
，
A
⊙
∵
与⊙B 恰好外切，且⊙A 与⊙B 是等圆，
∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和=
+
=
= πR2=
．
4.A 5.A
6.C
解
点A 运动的路径线与x 轴围成的面积=S1+S2+S3+2a=
+
+
+2×（×1×1）=π+1．
7.C
8.D
解：连接BD，BE，BO，EO，
B
∵，E 是半圆弧的三等分点，
EOA= EOB= BOD=60°
∴∠
∠
∠
，
BAC=30°
∴∠
，
∵弧BE 的长为π，
第6 题
第8 题
∴
= π，
解得：R=2，
AB=ADcos30°=2
∴
，
BC=
∴
AB=
，
S
∴
ABC
△
= ×BC×AC= ×
×3=
，
BOE
∵△
和△ABE 同底等高，
BOE
∴△
和△ABE 面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S
ABC
△
S
﹣
扇形BOE=
﹣
=
﹣
．
二、填空题
9.
10.7.2
解：由题意可得，AB=BB'=
=
，∠ABB'=90°，
S 扇形BAB'=
=
，S
BB'C
△
'=BC'×B'C'=3，
则S 阴影=S 扇形BAB'
S
﹣
BB'C
△
'=
3≈7.2
﹣
.
11. 40π
解：如图，连接O1O2，CD，CO2，
O
∵
1O2=C02=CO1=15cm，
C0
∴∠
2O1=60°，
C0
∴∠
2D=120°，
则圆O1，O2的圆心角为360°
120°=240°
﹣
，
则游泳池的周长为=2×
=2×
=40π（m）．
故答案为：40π．
12.
13.
解：连接OB，OC，
AB
∵
为圆O 的切线，
ABO=90°
∴∠
，
在Rt
ABO
△
中，OA=2，∠OAB=30°，
第13 题
第11 题
OB=1
∴
，∠AOB=60°，
BC OA
∵
∥
，
OBC= AOB=60°
∴∠
∠
，
又OB=OC，
BOC
∴△
为等边三角形，
BOC=60°
∴∠
，
则劣弧
长为
= π．
14.
4
3
3
15.
解：弧CD 的长是
=
，
弧DE 的长是：
=
，
弧EF 的长是：
=2π，
则曲线CDEF 的长是：
+
+2π=4π．
故答案是：4π.
16.
解：
由题意得，阴影部分面积=2（S 扇形AOB
S
﹣
A0B
△
）=2（
﹣×2×2）=2π
4
﹣．
故答案为：2π
4
﹣．
17.
解：∵图中两个阴影部分的面积相等，
S
∴
扇形ADF=S
ABC
△
，即：
= ×AC×BC，
又∵AC=BC=1，
AF
∴
2=
，
AF=
∴
．
第16 题
故答案为
．
18.
解：过点O 作OD BC
⊥
于点D，交
于点E，连接OC，
则点E 是
的中点，由折叠的性质可得点O 为
的中点，
S
∴
弓形BO=S 弓形CO，
在Rt
BOD
△
中，OD=DE= R=2，OB=R=4，
OBD=30°
∴∠
，
AOC=60°
∴∠
，
S
∴
阴影=S 扇形AOC=
=
．
故答案为：
．
三、解答题
19.
解：（1）∵∠ABC 与∠D 都是弧AC 所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°
（2）∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE, ∵OA 为半径，
∴AE 是⊙O 的切线.
（3）连接OC,
∵OB=OC, ∠ABC=60°,
∴△OBC 是等边三角形，
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
20.解：连接PE，
∵四边形ABCD 是矩形，
∵点E 是BC 的中点，
∵AD 切⊙E 于点P，∴PE⊥AD.
∵AB⊥AD, ∴AB∥PE,
∵AP∥BE, ∠A=90°，∴四边形ABEP 为矩形，
∴PE=AB=1，∴ME=1.
第18 题
同理可得，∠CEN=30°，
∴∠MEN=180°-∠BEM -∠CEN=180°-30°-30°=120°.
21.
解：（1）连接OB,
∠AOB=2∠ADB=2×30°=60°，
∴∠AOC=∠AOB=60°.
(2)
在Rt△BOE 中，∠OBE+∠AOB=90°，
∴∠OBE=90°-∠AOB=90°-60°=30°.
22.
解：
第21 题
23.
解：
