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幂的运算（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；
2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.
【要点梳理】
【高清课堂396573 幂的运算 知识要点】
要点一、同底数幂的乘法性质
m
n
m n
a
a
a
(其中
,
m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、
多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即
m
n
p
m n
p
a
a
a
a
（
, ,
m n p 都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与
原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即
m n
m
n
a
a
a
（
,
m n 都是正整数）.
要点二、幂的乘方法则
(
)
m
n
mn
a
a
(其中
,
m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：((
) )
m
n
p
mnp
a
a
(
0
a
，
, ,
m n p 均为正整数)
（2）逆用公式：
n
m
mn
m
n
a
a
a
，根据题目的需要常常逆用幂的乘方
运算能将某些幂变形，从而解决问题.
要点三、积的乘方法则
(
)
n
n
n
ab
a
b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再
把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：(
)
n
n
n
n
abc
a
b
c (n 为正整数).
（2）逆用公式：
n
n
n
a b
ab
逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是
遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
10
10
10
1
1
2
2
1.
2
2
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
【高清课堂396573 幂的运算 例1】
1、计算：
(1)
3
5
(
2)
(
2)
(
2)
b
b
b
；
(2)
2
3
(
2 )
(2
)
x
y
y
x
．
【答案与解析】
解：（1）
3
5
3 5 1
9
(
2)
(
2)
(
2)
(
2)
(
2)
b
b
b
b
b
．
（2）
2
3
2
3
5
(
2 )
(2
)
(
2 )
[ (
2 ) ]
(
2 )
x
y
y
x
x
y
x
y
x
y
．
【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．
（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：
(
)
(
)
(
),
n
n
n
a
n
a
a
n
为偶数,
为奇数
(
) (
)
(
)
(
) (
)
n
n
n
b
a
n
a
b
b
a
n
为偶数
为奇数
．
类型二、幂的乘方法则
【高清课堂396573 幂的运算 例2】
2、计算：
（1）
2 3
[(
) ]
a
b
； （2）
3 2
2 3
5
(
)
(
)
2
y
y
y
y
；
（3）
2
2
4
1 2
(
)
(
)
m
m
x
x
； （4）
3 2
3 4
(
)
(
)
x
x
．
【答案与解析】
解：（1）
2 3
[(
) ]
a
b
2 3
6
(
)
(
)
a
b
a
b
．
（2）
3 2
2 3
5
(
)
(
)
2
y
y
y
y
6
6
6
6
6
2
2
2
0
y
y
y
y
y
．
（3）
2
2
4
1 2
(
)
(
)
m
m
x
x
4(2
2)
2(
1)
8
8
2
2
10
6
m
m
m
m
m
x
x
x
x
x
．
（4）
3 2
3 4
(
)
(
)
x
x
6
12
18
x
x
x
．
【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的
乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以
是单项式或多项式．
3、（2015 春•南长区期中）已知2x=8y+2，9y=3x
9
﹣，求x+2y 的值．
【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x、y 的值，然后代入求解．
【答案与解析】
解：根据2x=23（y+2），32y=3x
9
﹣，
列方程得：
，
解得：
，
则x+2y=11．
【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则．
举一反三：
【变式】已知
3
2
2,
3
m
m
a
b
，则
3
6
3
2
2
m
m
m
m
a
b
a b
b
＝ ．
【答案】－5；
提示：原式
2
3
2
2
3
2
3
2
m
m
m
m
a
b
a
b
∵
∴ 原式＝
2
3
2
2
2
3
2
3
＝－5.
类型三、积的乘方法则
4、计算：
（1）
2
4
(2
)
xy
（2）
2
4
3 3 3
[
(
) ]
a
a b
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.
【答案与解析】
解：（1）
2
4
4
4
2
4
4
8
(2
)
( 1)
2
(
)
16
xy
x
y
x y
．
（2）
2
4
3 3 3
[
(
) ]
a
a b
2 3
12
9 3
6
36
27
42
27
(
)
(
)
(
)
a
a b
a
a
b
a b
．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．
（2）注意系数及系数符号，对系数－1 不可忽略．
举一反三：
【变式1】下列等式正确的个数是( )．
①
3
2
3
6
9
2
6
x y
x y
②
3
2
6
m
m
a
a
③
3
6
9
3
3
a
a
④
5
7
35
5 10
7 10
35 10
⑤
100
100
101
0.5
2
0.5 2
2
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】A；
提示：只有⑤正确；
3
2
3
6
9
2
8
x y
x y
；
3
2
6
m
m
a
a
；
3
6
18
3
27
a
a
；
5
7
12
13
5 10
7 10
35 10
3.5 10
【变式2】（2015 春•泗阳县校级月考）计算：
（1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2
（2）（2 ）20•（）21．
【答案】
（1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2
=a4•9a6＋16a10
=9a10＋16a10
=25a10；
（2）（2 ）20•（）21．
=（× ）20•
=1×
= ．
5、（2016 秋•济源校级期中）已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3xm）2的值．
【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据
已知条件，可得计算结果．
【答案与解析】解：原式=4x6m
9x
﹣
2m
=4（x2m）3
9x
﹣
2m
=4×23
9
﹣×2
=14．
【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．
