提公因式法（基础）知识讲解_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

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提公因式法（基础）
责编:杜少波
【学习目标】
1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.
【要点梳理】
【高清课堂 398715 因式分解之提公因式法  知识要点】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项
式分解因式.
要点诠释：
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而
不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
         （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
         （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等
变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
         （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
         （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数
的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式
分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式
m ，另一个因式是
，即
，而
正好是
除以m
所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即
 .
　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第
一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为
零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，
或认为是0 而出现错误.
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1、（2016•石家庄校级模拟）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．6a2b2=3ab•2ab          
B．2x2+8x
1=2x
﹣
（x+4）﹣1
C．a2
3a
4=
﹣
﹣（a+1）
（a
4
﹣）D．
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【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果
两方面去判断．
【答案】C.
【解析】A、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意；
B、右边结果不是积的形式，不符合题意；
C、a2
3a
4=
﹣
﹣
（a+1）（a
4
﹣），符合题意；
D、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意．
故选：C．
【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆
成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解,等式的右边必须是整式因式积的形式．
举一反三：
【变式】（2014•海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）
　A.a 2 +4a﹣21=a（a+4）﹣21         B.a 2 +4a﹣21=（a﹣3）（a+7）
　 C.（a﹣3）（a+7）=a 2 +4a﹣21      D.a 2 +4a﹣21=（a+2）2 ﹣25
【答案】B.
类型二、提公因式法分解因式
2、(1)多项式
2
3
6
3
x
xy


的公因式是________；
(2)多项式
3
2
4
16
8
mn
m
m


的公因式是________；
        (3)多项式(
)
(
)
(
)
x b
c
a
y b
c
a
a
b
c








的公因式是________；
        (4)多项式2(
3)
(3
)
x
x
x



的公因式是________．   
【答案】(1)3    (2)4m    (3)b
c
a

    (4)
3
x 
【解析】
解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．
(1)的公因式就是3、6、3 的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含
字母．公因式为3.
(2)公因式的系数是4、16、8 的最大公约数，字母部分是m ．公因式为4m .
(3)公因式是（b
c
a

），为一个多项式因式．
(4)多项式可变形



2
3
3
x
x x



，其公因式是
3
x 
．
【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可
以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．
举一反三：
【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（　　）
A．
2x
y

    B．
2
2
x
x

     C．
2
x
y

     D．
2
x
xy
y


【答案】B；
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3、若





2
3
2
p
q
q
p
q
p
E





，则E 是（　　）
A．1
q
p


      B．q
p

       C．1
p
q


       D．1
q
p


【答案】C；
【解析】
解：



2
3
p
q
q
p






2 1
q
p
p
q



．故选C．
【总结升华】观察等式的右边，提取的是

2
q
p

，故可把

2
p
q

变成

2
q
p

，即左边＝



2 1
q
p
p
q



.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被
减数和减数的位置，应加上负号．
举一反三：
【变式】把多项式



1
1
1
m
m
m




提取公因式

1
m 
后，余下的部分是（　　）
A．
1
m         B．2m        C．2        D．
2
m 
【答案】D；
解：



1
1
1
m
m
m




，
＝


1
1 1
m
m


，
＝


1
2
m
m


．
4、（2015 春•新沂市期中）分解因式：3x（a
b
﹣）﹣6y（b
a
﹣）.
【思路点拨】将原式变形后，提取公因式即可得到结果． 
【答案与解析】
解：原式=3x（a
b
﹣）+6y（a
b
﹣）=3（a
b
﹣）（x+2y）．
【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关
键．
举一反三：
【变式】用提公因式法分解因式正确的是（　　）
A．


2
2
2
12
9
3
4
3
abc
a b c
abc
ab



B．


2
2
3
3
6
3
2
x y
xy
y
y x
x
y





 
C．


2
a
ab
ac
a a
b
c






 
D．


2
2
5
5
x y
xy
y
y x
x




【答案】C；
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解：A.


2
2
2
12
9
3
4
3
abc
a b c
abc
abc



，故本选项错误；
B.


2
2
3
3
6
3
2
x y
xy
y
y x
x





，故本选项错误；
C.


2
a
ab
ac
a a
b
c






，正确；
D.


2
2
5
5
1
x y
xy
y
y x
x





，故本选项错误．
类型三、提公因式法分解因式的应用
5、若
0
2
3
2


x
x
，求
x
x
x
4
6
2
2
3


的值.
【答案与解析】
解： 由
0
2
3
2


x
x
，得
2
3
2
x
x


     


3
2
2
2
6
4
2
3
4
2
2
4
0
x
x
x
x x
x
x
x
x









.
【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，


3
2
2
2
6
2
3
x
x
x x
x



，这样就能由已知
整体代入求值了.
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