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提公因式法（提高）
责编:杜少波
【学习目标】
1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.
【要点梳理】
【高清课堂398715 提公因式法 知识要点】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项
式分解因式.
要点诠释：
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而
不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等
变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数
的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式
分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式
m ，另一个因式是
，即
，而
正好是
除以m
所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即
.
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第
一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为
零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，
或认为是0 而出现错误.
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．
（1）(
)
a x
y
ax
ay
；
（2）
2
2
2
1
(
2 )
(
1)(
1)
x
xy
y
x x
y
y
y
；
（3）
2
4
(
2)(
2)
ax
a
a x
x
；
（4）
2
2
1
1
2
2
ab
a
b
；
（5）
2
2
2
1
1
2
a
a
a
a
．
【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果
两方面去判断.
【答案与解析】
解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；
(4)的左边不是多项式而是一个单项式，
(5)中的
2
1
a 、1
a 都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解，
只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．
【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆
成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．
举一反三：
【变式】下列变形是因式分解的是 ( )
A.
2
4
3
(
2)(
2)
3
a
a
a
a
a
B.
2
2
4
4
(
2)
x
x
x
C.
1
1
(1
)
x
x
x
D.
2
(
1)(
1)
1
x
x
x
【答案】B；
类型二、提公因式法分解因式
2、（2016 春•山亭区期中）把下列各式分解因式：
（1）2m（m
n
﹣）2
8m
﹣
2（n
m
﹣）
（2）﹣8a2b+12ab2
4a
﹣
3b3．
【思路点拨】（1）直接提取公因式2m（m
n
﹣），进而分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式﹣4ab，进而分解因式得出答案．
【答案与解析】
解：（1）2m（m
n
﹣）2
8m
﹣
2（n
m
﹣）
=2m（m
n
﹣）[（m
n
﹣）+4m]
=2m（m
n
﹣）（5m
n
﹣）；
（2）﹣8a2b+12ab2
4a
﹣
3b3
=
4ab
﹣
（2a
3b
﹣
+a2b2）．
【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
举一反三：
【变式】（2014 春•濉溪县期末）下列分解因式结果正确的是（ ）
A.a 2 b+7ab﹣b=b（a 2 +7a）
B.3x 2 y﹣3xy+6y=3y（x 2 ﹣x﹣2）
C.8xyz﹣6x 2 y 2 =2xyz（4﹣3xy）
D.﹣2a 2 +4ab﹣6ac=﹣2a（a﹣2b+3c）
【答案】D.
解：A、原式=b（a 2 +7a+1），错误；
B、原式=3y（x 2 ﹣x+2），错误；
C、原式=2xy（4z﹣3xy），错误；
D、原式=﹣2a（a﹣2b+3c），正确．
故选D．
类型三、提公因式法分解因式的应用
【高清课堂398715 提公因式法 例5】
3、若a 、b 、c 为ABC
的三边长，且
a
b b
a b
a
a c
a
b a
c
，则
ABC
按边分类，应是什么三角形？
【答案与解析】
解：∵
a
b b
a b
a
a c
a
b a
c
∴
a
b b
a a
b
a c
a
b c
a
a
b
b
a
c
a
a
b
当a
b
时，等式成立，
当a
b
时，原式变为a
b
a
c
，得出b
c
，
∴a
b
b
c
或
∴ABC
是等腰三角形.
【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从而判定三角形的类型.
【高清课堂398715 提公因式法 例6】
4、对任意自然数n（n ＞0），
4
2
2
n
n
是30 的倍数，请你判定一下这个说法的正确性，
并说说理由.
【答案与解析】
解：
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
1
15 2
n
n
n
n
n
n
∵n 为大于0 的自然数，
∴2n 为偶数，15×2n 为30 的倍数，
即
4
2
2
n
n
是30 的倍数.
【总结升华】判断
4
2
2
n
n
是否为30 的倍数，只需要把
4
2
2
n
n
分解因式，看分解后有没有
能够整除30 的因式.
举一反三：
【变式】说明
200
199
198
3
4 3
10 3
能被7 整除.
【答案】
解：
200
199
198
3
4 3
10 3
198
2
198
3
3
4 3 10
7 3
所以
200
199
198
3
4 3
10 3
能被7 整除.
5、（2015 春•湘潭县期末）已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x
2
y+xy
2
的值．
【思路点拨】将原式提取公因式xy，进而将已知代入求出结果即可．
【答案与解析】
解：∵xy=—3，x+y=2，
∴x 2 y+xy 2 =xy（x+y）=﹣3×2=﹣6．
【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
