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专题六
数列
第十八讲
数列的综合应用
答案部分
2019
年
1.解析：
解析：
解析：
解析：
解析：对于B，令
2
1
0
4
x
−
+
=
，得
1
2
=
，
取
1
1
2
a =
，所以
2
1
1
,
,
10
2
2
n
a
a
=
=
，
所以当
1
4
b =
时，
10
10
a
，故B错误；
对于C，令
2
2
0
x
−
−
=
，得
2
=
或
1
= −，
取
1
2
a =
，所以
2
2,
,
2
10
n
a
a
=
=
，
所以当
2
b = −时，
10
10
a
，故C错误；
对于D，令
2
4
0
x
−
−
=
，得
1
17
2
=
，
取
1
1
17
2
a
+
=
，所以
2
1
17
2
a
+
=
，…，
1
17
10
2
na
+
=
，
所以当
4
b = −时，
10
10
a
，故错误；
D
对于A，
2
2
1
1
2
2
a
a
=
+
… ，
2
2
3
1
1
3
2
2
4
a
a
=
+
+
… ，
2
4
2
4
3
1
9
1
17
1
4
2
16
2
16
a
a
a
=
+
+
+
+
=
…
，
1
0
n
n
a
a
+ −
，{
}
na
递增，
当
4
n… 时，
1
1
1
3
2
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
=
+
+
=
，
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所以
5
4
6
5
10
9
3
2
3
2
3
2
a
a
a
a
a
a
，所以
6
10
4
3
2
a
a
，所以
10
729
10
64
a
故
正确．故选
A
A．
2.解析
解析
解析
解析
解析：（）设数列
1
{
}
na
的公差为d，由题意得
1
1
1
2
4,
3
3
3
a
d
a
d
a
d
+
=
+
=
+
，
解得
1
0,
2
a
d
=
=
．
从而
*
2
2,
n
a
n
n
=
−
N ．
由
1
2
,
,
n
n
n
n
n
n
S
b S
b S
b
+
+
+
+
+
成等比数列得
(
)
(
)(
)
2
1
2
n
n
n
n
n
n
S
b
S
b
S
b
+
+
+
=
+
+
．
解得
(
)
2
1
2
1
n
n
n
n
b
S
S S
d
+
+
=
−
．
所以
2
*
,
n
b
n
n n
=
+
N ．
（）
2
*
2
2
1 ,
2
2 (
1)
(
1)
n
n
n
a
n
n
c
n
b
n n
n n
−
−
=
=
=
+
+
N ．
我们用数学归纳法证明．
①当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
②假设
(
)
*
n
k k
=
N
时不等式成立，即
1
2
2
h
c
c
c
k
+
+
+
．
那么，当
1
n
k
=
+ 时，
1
2
1
1
2
2
(
1)(
2)
1
k
k
k
c
c
c
c
k
k
k
k
k
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2(
1
)
2
1
1
k
k
k
k
k
k
k
+
=
+
+ −
=
+
+ +
．
即当
1
n
k
=
+ 时不等式也成立．
根据（1）和（），不等式
2
1
2
2
n
c
c
c
n
+
+
+
对任意
*
nN 成立．
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3.解析
解析
解析
解析
解析（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由
2
4
5
3
2
1
4
4
0
a a
a
a
a
a
=
−
+
=
，得
2
4
4
1
1
2
1
1
1
4
4
0
a q
a q
a q
a q
a
=
−
+
=
，解得
1
1
2
a
q
=
=
．
因此数列{
}
na
为“M—数列”.
（2）①因为
1
1
2
2
n
n
n
S
b
b +
=
−
，所以
0
n b
．
由
1
1
1
1,
b
S
b
=
=
，得
2
1
2
2
1
1
b
=
−
，则
2
2
b =
.
由
1
1
2
2
n
n
n
S
b
b +
=
−
，得
1
1
2(
)
n n
n
n
n
b b
S
b
b
+
+
=
−
，
当 2
n
时，由
1
n
n
n
b
S
S −
=
−
，得
(
)
(
)
1
1
1
1
2
2
n n
n
n
n
n
n
n
n
b b
b
b
b
b
b
b
b
+
−
+
−
=
−
−
−
，
整理得
1
1
2
n
n
n
b
b
b
+
−
+
=
．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n (
)
*
nN
.
②由①知，bk=k，
*
k N .
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1，所以
1
k
k
q
k
q
−
，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有
ln
ln
ln
1
k
k
q
k
k
−
．
设f（x）= ln
(
1)
x x
x
，则
2
1 ln
( )
x
f ' x
x
−
=
．
令
( )
0
f ' x =
，得x=e.列表如下：
x
(1,e)
e
(e，+∞)
( )
f ' x
+
0
–
f（x）
极大值
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因为
ln2
ln8
ln9
ln3
2
6
6
3
=
=
，所以
max
ln3
( )
(3)
3
f k
f
=
=
．
取
3
3
q =
，当k=1，2，3，4，5时，ln
ln
k
q
k „
，即
k
k
q
，
经检验知
1
kq
k
−
也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
3.解析：
解析：
解析：
解析：
解析：（）
I
1
3
5
，，，（答案不唯一）
6.
.
（II）设长度为
为
q 末项
0
na 的一个递增
为
子列
1
1
0
,...,
,
q
r
r
n
a
a
a
−
.
由p
q
，
1
0
p
q
r
r
n
a
a
a
−
.
因为
na
的长度为
的
子列末项的最小值为
p
递增
0
ma
.
又
1
2
,
,...,
p
r
r
r
a a
a 是
na
的长度为
的
子列，所以
p
递增
0
,
p
m
r
a
a
所以
0
0
m
n
a
a
.
（
）由题设知，所有正奇数都是
III
na
中的项.
先证明：若
是
2m
na
中的项，则
必排在
（
为正整数）
2m
2 -1
m
之前
m
.
假设
排在
之后，设
2m
2 -1
m
1
2
1
,
,...,
,2
1
m
p
p
p
a
a
a
m
−
−是数列
na
的长度为
末项为
m
2 -1
m
的
递增子列，则
1
2
1
,
,...,
,2
1.2
m
p
p
p
a
a
a
m
m
−
−
是数列
na
的长度为
末项为
的递增子列，
m+1
2m
与已知矛盾.
再证明：所有正偶数都是
na
中的项.
假设存在正偶数不是
na
中的项，设不在
na
中的最小正偶数为2m.
因为
排在
2k
2 -1
k
之前 (
)
1,2,
1
k
m
=
−
,
2
2 -1
所以k 和k
不可能在
na
的同一个子列中.
又
na
中不超过 2
1
m+
的
，，
数为1
2
…..， 2
1
m−， 2
1
m+ ，
所以
na
的长度为 1
m+ 末项为 2
1
m+ 的
子列个数至多为
递增
1
2 2 2
2 1 1
2
2
m
m
−
=
，与已知矛盾.
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最后证明 2m排在
2
3
m−
之后（
2
m
为整数）.
假设存在 2m（
2
m ），使得 2m排在
2
3
m−
之前，则
na
的长度为 1
m+ 末项为 2
1
m+
的递增子列个数小于 2m ，与已知矛盾.
综上，数列
na
只可能为
2,1,4,3,
,2
3,2 ,2
1,
m
m
m
−
−.
经验证，数列
2,1,4,3,
,2
3,2 ,2
1,
m
m
m
−
−符合条件，
所以
1,
1.
n
n
n
a
n
n
+
= −
为奇数
为偶数
.
2010-2018
年
1
A
．【解析】对数列进行分组如图
k
3
2
1
∙∙∙，
22
21
21，
2k
22，
21，
20，
20，
20，
20
则该数列前k 组的项数和为
(
1)
1 2
3
2
k k
k
+
+
+ ++
=
由题意可知
100
N
，即
(
1)
100
2
k k +
，解得
14
k ≥
，n
*
N
即N
出现在第
组之后．
13
又第k组的和为1
2
2
1
1
2
k
k
−
=
−
−
前k组的和为
1 (1
2)
(1
2
2 )
k
+
+
+ +
+
++
1
2
(2
1)
(2
1)
(2
1)
k
=
−
+
−
+ +
−
1
2
(2
2
2 )
k
k
=
+
++
−
1
2
2
k
k
+
=
−
−
，
设满足条件的的N 在第 1
k +
( k
*
N ,
13
k≥
) 组，且第N
项为第 1
k +
的第
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m (
)
m
*
N
个数，第 1
k + 组的前m 项和为
2
1
1 2
2
2m−
+ +
++
2
1
m
=
−，
要使该数列的前N
项和为
的整数幂，
2
即2
1
m −与
2
k
−−
互为相反数，
即
2
1
2
m
k
−=
+
，
所以
2
3
m
k =
−
，
由
14
k ≥
，所以
2
3
14
m
−≥
，则
5
m≥
，此时
5
2
3
29
k =
−
=
对应满足的最小条件为
29(29 1)
5
440
2
N
+
=
+
=
，故选
．
A
2．C【解析】由题意可得
1
0
a =
，
8
1
a = ，
2a ，
3a ，…，
7a
中有
个、
3
0
3
1
个，且满足对
任意k≤，都有
8
1a ，
2
a ，…，
ka
中
的个数不少于
的个数，利用列举法可得不同
0
1
的“ 规范
数列” 有
01
00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111,
00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,0101010
1，共14 个．
3
A
．【解析】对命题：
p
1
2
,
,
,
n
a a
a 成等比数列，则公比
)3
(
1
=
−
n
a
a
q
n
n
且
0
na
；
对命题q，
①当
0
=
na
时，
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
3
1
2
2
3
1
(
)(
)
(
)
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a a
a a
a
a
−
−
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
成立；
②当
0
na
时，根据柯西不等式，
等式
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
3
1
2
2
3
1
(
)(
)
(
)
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a a
a a
a
a
−
−
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
成立，
则
n
n
a
a
a
a
a
a
1
3
2
2
1
−
=
=
=
，所以
1
2
,
,
,
n
a a
a 成等比数列，
所以p 是q的充分条件，但不是q的必要条件.
4
A
．【解析】
2a ，
4a ，
8a 成等比数列，∴
2
4
2
8
a
a
a
=
，即
2
1
1
1
(
6)
(
2)(
14)
a
a
a
+
=
+
+
，
解得
1
2
a =
，所以
(
1)
n
S
n n
=
+
．
5
B
．【解析】∵
2
1
)
(
x
x
f
=
在[0,1] 上单调递增，可得
1
1
1
0
(
)
(
)
0
f a
f a
−
，
1
2
1
1
(
)
(
)
0
f a
f a
−
，…，
1
99
1
98
(
)
(
)
0
f a
f a
−
，
关注微信公众号：加油高三
∴
1
1
1
1
0
1
2
1
1
1
99
1
98
|
( )
(
) |
|
(
)
(
) |
|
(
)
(
) |
I
f a
f a
f a
f a
f a
f a
=
−
+
−
++
−
1
1
1
0
1
2
1
1
1
99
1
98
1
99
1
0
(
)
(
)+ (
)
(
)
(
)
(
)= (
)
(
)
f a
f a
f a
f a
f a
f a
f a
f a
−
−
++
−
−
=
2
99
-0=1
99
（
）
∵
),
(
2
)
(
2
2
x
x
x
f
−
=
在
49
0
]
99
[ ，
上单调递增，在50
[
,1]
99
单调递减
∴
2
1
2
0
(
)
(
)
0
f
a
f
a
−
，…，
2
49
2
48
(
)
(
)
0
f
a
f a
−
，
2
50
2
49
(
)
(
)
0
f
a
f
a
−
=
，
2
51
2
50
(
)
(
)
0
f
a
f
a
−
，…，
2
99
2
98
(
)
(
)
0
f a
f
a
−
∴
2
2
1
2
0
2
2
2
1
2
99
2
98
|
(
)
(
) |
|
(
)
(
) |
|
(
)
(
) |
I
f
a
f
a
f
a
f
a
f
a
f a
=
−
+
−
++
−
=
2
49
2
0
2
99
2
50
(
)
(
)
[
(
)
(
)]
f
a
f
a
f
a
f
a
−
−
−
=
2
50
2
0
2
99
2
(
)
(
)
(
)
f
a
f
a
f
a
−
−
=
50
50
9800
4
(1
)
1
99
99
9801
−
=
∵
|
2
sin
|
3
1
)
(
3
x
x
f
=
在
24
[0,
]
99
，
50 74
[
,
]
99 99
上单调递增，在
25 49
[
,
]
99 99
，75
[
,1]
99
上单调
递减，可得
3
3
25
3
49
3
74
2
49
2
(
)
2
(
)
2
(
=
(2sin
sin
)
3
99
99
I
f a
f a
f a
=
−
+
−
）
2
5
2 2 6
2 2
6
2
6
3 2
(2sin
sin
)
(
)
1
3
12
12
3
4
4
4
+
−
+
−
=
−
=
因此
3
1
2
I
I
I
．
6．27【解析】所有的正奇数和2n (
*
nN )按照从小到大的顺序排列构成{
}
n
a
，在数列{
}
n
a
中，
52
前面有
个正奇数，即
16
5
21
2
a =
，
6
38
2
a =
．当 1
n = 时，
1
2
1
12
24
S
a
=
=
，
不符合题意；当
2
n =
时，
2
3
3
12
36
S
a
=
=
，不符合题意；当 3
n =
时，
3
4
6
12
48
S
a
=
=
，不符合题意；当 4
n =
时，4
5
10
12
60
S
a
=
=
，不符合题意；……；
当 26
n =
时，
5
26
21 (1
41)
2 (1
2 )
2
1 2
S
+
−
=
+
−
= 441 +62= 503< 27
12
516
a
=
，不符合题
意；当 27
n =
时，
5
27
22 (1
43)
2 (1 2 )
2
1
2
S
+
−
=
+
−
=484 +62=546>
28
12a
=540，符合题
意．故使得
1
12
n
n
S
a +
成立的n
的最小值为
．
27
7．5【解析】设数列的首项为
1a ，则
1
2015
2 1010
2020
a +
=
=
，所以
1
5
a =
，故该数列
的首项为5．
关注微信公众号：加油高三
8．1
2
【解析】将8
2
a =
代入
1
1
1
n
n
a
a
+ = −
，可求得
7
1
2
a =
；再将
7
1
2
a =
代入
1
1
1
n
n
a
a
+ = −
，
可求得
6
1
a = −；再将
6
1
a = −代入
1
1
1
n
n
a
a
+ = −
得
5
2
a =
；由此可知数列
na
是一个
周期数列，且周期为，所以
3
1
7
1
2
a
a
=
=
．
9．64【解析】由
1
1
a =
且
1
2
5
,
,
a a
a 成等比数列，得
2
1
1
1
(
4 )
(
)
a a
d
a
d
+
=
+
，解得
2
d =
，
故
8
1
8 7
8
64
2
S
a
d
=
+
=
．
10．3 3 【解析】设
2a
t
= ，则
2
3
1
1
2
t
q
t
q
t
q
+
+
≤≤
≤
≤
≤
≤
，由于
1
t≥，
所以
3
max{ ,
1,
2}
q
t
t
t
+
+
≥
，故q 的最小值是3 3 ．
11．【解析】由题意得
4
1
1
2
2
(
4)( )
(
1)(
1 4)( )
3
3
2
2
(
4)( )
(
1)(
1 4)( )
3
3
k
k
k
k
k k
k
k
k k
k
k
−
+
+
−
−+
+
+
+ +
，得
2
2
(
1)
10
10
k
k
−
，
因此
*
k
N
，所以 4
k =
．
12．【解析】(1)由条件知：
(
1)
n
a
n
d
=
−
,
1
2n
nb
−
=
．
因为
1
|
|
n
n
a
b
b
−
≤
对n
=1，2
3
4
，，均成立，
即
1
| (
1)
2
|
1
n
n
d
−
−
−
≤
对n
=1，，
2
3
4
，均成立，
即1≤1
1
，≤d ≤3
3
，≤2d ≤5
7
，≤3d ≤9，得7
5
3
2
d
≤
≤
．
因此，d 的取值范围为7 5
[ , ]
3 2
．
(2)由条件知：
1
(
1)
n
a
b
n
d
=
+
−
,
1
1
n
n b
bq −
=
．
若存在d ，使得
1
|
|
n
n
a
b
b
−
≤
( n =2
3
···
，，
，m +1)成立，
即
1
1
1
1
|
(
1)
|
n
b
n
d
bq
b
−
+
−
−
≤
(n =2，，
3
···，m +1)，
即当
2,3,
,
1
n
m
=
+ 时，d 满足
1
1
1
1
2
1
1
n
n
q
q
b
d
b
n
n
−
−
−
−
−
．
因为
(1,
2]
m
q
，则
1
1
2
n
m
q
q
−
，
关注微信公众号：加油高三
从而
1
1
2
0
1
n
q
b
n
−−
−
，
1
1
0
1
n
q
b
n
−
−
，对
2,3,
,
1
n
m
=
+
均成立．
因此，取d
=0 时，
1
|
|
n
n
a
b
b
−
对
2,3,
,
1
n
m
=
+ 均成立．
下面讨论数列
1
2
{
}
1
nq
n
−−
−
的最大值和数列
1
{
}1
n
q
n
−
−
的最小值（
2,3,
,
1
n
m
=
+
）．
①当
2
n
m
时，
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
q
q
nq
q
nq
n q
q
q
n
n
n n
n n
−
−
−
−
−
−
−
+
−
−
+
−
=
=
−
−
−
，
当
1
1
2 m
q
时，有
2
n
m
q
q
，从而
1
(
)
2
0
n
n
n
n q
q
q
−
−
−
+
．
因此，当
2
1
n
m
+ 时，数列
1
2
{
}
1
nq
n
−−
−
单调递增，
故数列
1
2
{
}
1
nq
n
−−
−
的最大值为
2
m
q
m
−
．
②设
( )
(
)
2 1
x
f x
x
=
−
，当 0
x
时，
ln2
1
(
0
(
n
)
l 2 2
)
x
f
x
x
=
−−
，
所以( )
f x 单调递减，从而
( )
(0)
1
f x
f
= ．
当
2
n
m
时，
1
1
1
1
1
2 1
1
1
(
)
(
)
( )
n
n
n
q
q n
n
f
q
n
n
n
n
−
−
=
−
=
−
，
因此，当
2
1
n
m
+ 时，数列
1
{
}1
n
q
n
−
−
单调递减，
故数列
1
{
}1
n
q
n
−
−
的最小值为
m
q
m ．
因此，d 的取值范围为
1
1
(
2)
[
,
]
m
m
b q
b q
m
m
−
．
13．【解析】（Ⅰ）设等差数列{
}
na
的公差为d ，等比数列{
}
nb
的公比为q .
由已知
2
3
12
b
b
+
=
，得
2
1
(
)
12
b q
q
+
=
，而1
2
b =
，所以
2
6
0
q
q
+
−
=
.
又因为
0
q
，解得
2
q =
.所以，
2n
n b =
.
由
3
4
1
2
b
a
a
=
−
，可得
1
3
8
d
a
−
=
.
①
由
11
4
=11
S
b ，可得
1
5
16
a
d
+
=
②，
联立
，解得
①②
1
1
a =
， 3
d =
，由此可得
3
2
na
n
=
−
.
所以，数列{
}
na
的通项公式为
3
2
n
a
n
=
−
，数列{
}
nb
的通项公式为
2n
n b =
.
（Ⅱ）设数列
2
2
1
{
}
n
n
a b
−
的前n 项和为
nT ，
关注微信公众号：加油高三
由
2
6
2
n
a
n
=
−
，
1
2
1
2 4n
n
b
−
−=
，有
2
2
1
(3
1) 4n
n
n
a b
n
−
=
−
，
故
2
3
2 4 5 4
8 4
(3
1) 4n
n
T
n
= +
+
+
+
−
，
2
3
4
1
4
2 4
5 4
8 4
(3
4) 4
(3
1) 4
n
n
n
T
n
n
+
=
+
+
+
+
−
+
−
，
上述两式相减，得
2
3
1
3
2 4 3 4
3 4
3 4
(3
1) 4
n
n
nT
n
+
−
= +
+
+
+
−
−
1
1
12 (1 4 )
4
(3
1) 4
1 4
(3
2) 4
8.
n
n
n
n
n
+
+
−
=
−
−
−
−
= −
−
−
得
1
3
2
8
4
3
3
n
n
n
T
+
−
=
+
.
所以，数列
2
2
1
{
}
n
n
a b
−
的前n 项和为
1
3
2
8
4
3
3
n
n
+
−
+
.
14．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：
0
n x
当 1
n = 时，
1
1
0
x =
假设n
k
=
时，
0
k x
，
那么
1
n
k
=
+ 时，若
1
0
kx + ≤
，则
1
1
0
ln(1
)
0
k
k
k
x
x
x
+
+
=
+
+
≤
，矛盾，故
1
0
kx +
．
因此
0
n x
(
)
n
*
N
所以
1
1
1
ln(1
)
n
n
n
n
x
x
x
x
+
+
+
=
+
+
因此
1
0
n
n
x
x
+
(
)
n
*
N
（Ⅱ）由
1
1
1
ln(1
)
n
n
n
n
x
x
x
x
+
+
+
=
+
+
得
2
1
1
1
1
1
1
4
2
2
(
2)ln(1
)
n
n
n
n
n
n
n
n
x x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
+
−
+
=
−
+
+
+
记函数
2
( )
2
(
2)ln(1
)(
0)
f x
x
x
x
x x
=
−
+
+
+
≥
函数
( )
f x 在
[0,
)
+上单调递增，所以
( )
(0)
f x
f
≥
=0，
因此
2
1
1
1
1
1
2
(
2)ln(1
)
(
)
0
n
n
n
n
n
x
x
x
x
f x
+
+
+
+
+
−
+
+
+
=
≥
故
1
1
2
(
N )
2
n
n
n
n
x x
x
x
n
+
+ −
≤
（Ⅲ）因为
关注微信公众号：加油高三
1
1
1
1
1
ln(1
)
2
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
≤
所以
1
1
2
n
n
x
−
≥
得
由
1
1
2
2
n
n
n
n
x x
x
x
+
+ −
≥
得
1
1
1
1
1
2(
)
0
2
2
n
n
x
x
+
−
−
≥
所以
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2(
)
2
(
)
2
2
2
2
n
n
n
n
x
x
x
−
−
−
−
−
−
=
≥
≥
≥
故
2
1
2
n
n
x
−
≤
综上，
1
2
1
1
(
N )
2
2
n
n
n
x
n
−
−
≤
≤
．
15．【解析】（Ⅰ）由已知，
1
2
1
1,
1,
n
n
n
n
S
qS
S
qS
+
+
+
=
+
=
+
两式相减得到
2
1,
1
n
n
a
qa
n
+
+
=
?
.
又由
2
1
1
S
qS
=
+
得到
2
1
a
qa
=
，故
1
n
n
a
qa
+ =
对所有
1
n³
都成立.
所以，数列{
}
na
是首项为，公比为
的等比数列
1
q
.
从而
1
=
n
n
a
q
- .
由
2
3
2
2
+2
a
a
a
，，
成等比数列，可得
3
2
2
=3
2
a
a +
，即
2
2
=3
2,
q
q +
，
则
(2
1)(
2)
0
q+
q-
=
，
由已知,
0
q>
，故 =2
q
.
所以
1
*
2
(
)
n
n
a
n
-
=
? N .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
1
n
n
a
q
-
=
.
所以双曲线
2
2
2
1
n
y
x
a
-
=
的离心率
2
2(
1)
1
1
n
n
n
e
a
q
-
=
+
=
+
.
由
2
5
1
3
q
q
=
+
=
解得
4
3
q =
.
因为
2(
1)
2(
1)
1+
k
k
q
q
-
-
>
，所以
2(
1)
1
*
1+
k
k
q
q
k
-
-
>
? N
（
）.
于是
1
1
2
1
1+
1
n
n
n
q
e
e
e
q
q
q
-
-
+
+ 鬃?
>
+ 鬃?
=
-
，
关注微信公众号：加油高三
故
1
2
3
1
4
3
3
n
n
n
e
e
e
-
-
+
+ 鬃?
>
.
16．【解析】（）由题意有，
Ⅰ
1
1
10
45
100
2
a
d
a d
+
=
=
，即
1
1
2
9
20
2
a
d
a d
+
=
=
．
解得
1
1
2
a
d
=
=
或
1
9
2
9
a
d
=
=
，故
1
2
1
2
n
n
n
a
n
b
−
=
−
=
或
1
1
(2
79)
9
2
9 ( )
9
n
n
n
a
n
b
−
=
+
=
．
（Ⅱ）由 1
d ，知
2
1
n
a
n
=
−，
1
2 n
nb
−
=
，故
1
2
1
2
n
n
n
c
−
−
=
，于是
2
3
4
1
3
5
7
9
2
1
1
2
2
2
2
2
n
n
n
T
−
−
= +
+
+
+
+
+
，
①
2
3
4
5
1
1
3
5
7
9
2
1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
T
−
=
+
+
+
+
+
+
.
②
①②
-
可得
2
2
1
1
1
1
2
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
T
−
−
+
=
+
+
+
+
−
=
−
，故
n
T
1
2
3
6
2 n
n
−
+
=
−
．
17．【解析】（）
Ⅰ
2
( )
( ) 2 1
2,
n
n
n
F x
f x
x x
x
=
-
= + +
+
-
则
(1)
1
0,
n
F
n
=
-
>
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
( )
1
2
2
0,
1
2
2
2
2
2
1 2
n
n
n
n
F
+
−
= +
+
+
−
=
−
= −
−
所以
( )
n
F x 在1,1
2
内至少存在一个零点
nx ．
又
1
( )
1 2
0
n
n
F
x
x
nx
−
= +
+
，故在1,1
2
内单调递增，
所以
( )
n
F x 在1
( ,1)
2
内有且仅有一个零点
nx ．
因为
nx 是
( )
n
F x 的零点，所以
(
)=0
n
n
F x
，即
1
1
2
0
1
n
n
n
x
x
+
-
-
=
-
，故
1
1
1
=
+
2
2
n
n
n
x
x
+ .
（）解法一：由题设，
Ⅱ
(
)(
)
1 1
( )
.
2
n
n
n
x
g
x
+
+
=
设
(
)(
)
2
1 1
( )
( )
( )
1
,
0.
2
n
n
n
n
n
x
h x
f
x
g
x
x
x
x
x
+
+
=
-
= + +
+
-
>
关注微信公众号：加油高三
当 1
x = 时,
( )
( )
n
n
f
x
g
x
=
当 1
x 时,
(
)
1
1
1
( )
1 2
.
2
n
n
n n
x
h x
x
nx
−
−
+
= +
+
−
若0
1
x
< < ,
(
)
1
1
1
1
1
( )
2
2
n
n
n
n
n n
h x
x
x
nx
x
−
−
−
−
+
+
+
−
(
)
(
)
1
1
1
1
0.
2
2
n
n
n n
n n
x
x
-
-
+
+
=
-
=
若 1
x >
,
(
)
1
1
1
1
1
( )
2
2
n
n
n
n
n n
h x
x
x
nx
x
−
−
−
−
+
+
+
−
(
)
(
)
1
1
1
1
0.
2
2
n
n
n n
n n
x
x
-
-
+
+
=
-
=
所以( )
h x 在(0,1) 上递增，在
(1,
)
+上递减，
所以
( )
(1)
0
h x
h
<
=
，即
( )
( )
n
n
f
x
g
x
<
．
综上所述，当 1
x = 时,
( )
( )
n
n
f
x
g
x
=
；当 1
x
时
( )
( )
n
n
f
x
g
x
<
．
解法二
由题设，
(
)(
)
2
1 1
( )
1
,
( )
,
0.
2
n
n
n
n
n
x
f
x
x
x
x
g
x
x
+
+
= + +
+
=
>
当 1
x =
时,
( )
( )
n
n
f
x
g
x
=
；
当 1
x
时
用数学归纳法可以证明
,
( )
( )
n
n
f
x
g
x
<
．
当 2
n =
时,
2
2
2
1
( )
( )
(1
)
0,
2
f
x
g
x
x
-
= -
-
<
所以
2
2
( )
( )
f
x
g
x
<
成立．
假设
(
2)
n
k k
=
时，不等式成立，即
( )
( )
k
k
f
x
g
x
<
．
那么，当
+1
n
k
=
时，
(
) (
)
1
1
1
k+1
k
1 1
( )
( )
( )
2
k
k
k
k
k
k
x
f
x
f
x
x
g
x
x
x
+
+
+
+
+
=
+
<
+
=
+
(
)
1
2
1
1
2
k
k
x
k
x
k
+
+
+
+ +
=
.
又
(
)
(
)
1
1
k+1
2
1
1
1
1
( )
2
2
k
k
k
k
x
k
x
k
kx
k
x
g
x
+
+
+
+
+ +
-
+
+
-
=
关注微信公众号：加油高三
令
(
)
1
( )
1
1(x
0)
k
k
k
h x
kx
k
x
+
=
-
+
+
>
，
则
(
)
(
)
1
1
( )
(k 1)
1
1
(x 1)
k
k
k
k
h
x
k
x
k k
x
k k
x
−
−
=
+
−
+
=
+
−
．
所以当0
1
x
< < ,
( )
0
kh x
,
( )
kh
x 在(0,1) 上递减；
当 1
x >
,
( )
0
kh x
,
( )
kh
x 在
(1,
)
+上递增．
所以
( )
(1)
0
k
k
h x
h
>
=
，从而
(
)
1
k+1
2
1
1
( )
2
k
k
x
k
x
k
g
x
+
+
+
+ +
>
．
故
1
1
( )
( )
k
k
f
x
g
x
+
+
<
.即
+1
n
k
=
，不等式也成立．
所以，对于一切 2
n
的整数，都有
( )
( )
n
n
f
x
g
x
<
．
解法三由已知，记等差数列为
:
ka
，等比数列为
kb
，
1,2,...,
1
k
n
=
+ ．
则
1
1
1
a
b
=
=
，
1
1
n
n
n
a
b
x
+
+
=
=
，
所以
(
)
1
1+
1
(2
n)
n
k
x
a
k
k
n
−
=
−
,
1
(2
),
k
k
b
x
k
n
−
=
令
(
) (
)
1
1
1
(x)
1
,
0(2
).
n
k
k
k
k
k
x
m
a
b
x
x
k
n
n
−
−
−
=
−
= +
−
当 1
x =
时, =
k
k
a
b ,所以
( )
( )
n
n
f
x
g
x
=
．
当 1
x 时,
(
)
(
)
1
2
2
1
1
( )
(k 1)
1
1
n
k
k
n k
k
k
m
x
nx
x
k
x
x
n
−
−
−
−+
−
=
−
−
=
−
−
，
而
2
k
n
，所以 1 0
k -
>
，
1 1
n
k
−+ ．
若0
1
x
< < ,
1
1
n k
x -
+ < ,
( )
0
k
m
x
，
当 1
x >
,
1
1
n k
x -
+ > ,
( )
0
k
m
x
，
从而
( )
k
m
x 在(0,1) 上递减,
( )
k
m
x 在
(1,
)
+上递增.所以
( )
(1)
0
k
k
m x
m
>
=
，
所以当
0
1
(2
),
k
k
x
x
a
b
k
n
且
时,
又
1
1
a
b
=
,
1
1
n
n
a
b
+
+
=
，故
( )
( )
n
n
f
x
g
x
<
综上所述，当 1
x = 时,
( )
( )
n
n
f
x
g
x
=
；当 1
x
时
( )
( )
n
n
f
x
g
x
<
18．【解析】（）由
Ⅰ
2
1
=0
= 2
2
(
)
n
n
n
a
a
a
n
N
+
+
−
=
，
，有
．
若存在某个
0
,
n
N+
使得
0,
no a
=
则由上述递推公式易得
1
0,
no
a
−=
重复上述过程可得
关注微信公众号：加油高三
1
0
a =
，此与
1
3
a = 矛盾，所以对任意
,
0
n
n
N
a
+
．
从而
1
2
(
),
n
n
a
a n
N
+
+
=
即
na
是一个公比
2
q =
的等比数列．
故
1
1
1
3 2
n
n
n
a
a q −
−
=
=
．
（）由
Ⅱ
0
1 ,
1
k
=
= −，数列
na
的递推关系式变为
2
1
1
0
1
0
n
n
n
n
a
a
a
a
k
+
+
+
−
=
，
变形为
2
1
0
1
(
)
(
).
n
n
n
a
a
a n
N
k
+
+
+
=
由上式及
1
3
0
a =
，
归纳可得
1
2
1
3
0
n
n
a
a
a
a +
=
．
因为
2
2
2
2
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
k
k
a
a
k
k a
a
a
k
k
+
-
+
=
=
=
-
?
+
+
+
，
所以对
0
1,2,
,
n
k
=
求和得
0 1
0 1
0
1
2
1
(
)
(
)
k
k
k
a
a
a
a
a
a
+
+
=
+
−
++
−
0
1
0
0
0
0 1
0
2
0
1
1
1
1
1
=
(
1
1
1
k
a
k
k
k
k a
k a
k a
−
+
+
++
+
+
+
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
>2+
(
)
2
3
1
3
1
3
1
3
1
k
k
k
k
k
k
+
+ +
=
+
+
+
+
+
．
另一方面，由上已证的不等式知
0
0
1
2
1
2
k
k
a
a
a
a
+
，得
0
0
1
1
0
0
0
0 1
0
2
0
1
1
1
1
1
(
)
1
1
1
k
k
a
a
k
k
k
k a
k a
k a
+
=
−
+
+
++
+
+
+
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
<2+
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
+
++
=
+
+
+
+
+
．
综上，
0 1
0
0
1
1
2+
2
3
1
2
1
ka
k
k
+
+
+
+
．
19．【解析】（Ⅰ）
,
6
4
,
2
,
,2
1
4
1
2
1
1
d
a
S
d
a
S
a
S
d
+
=
+
=
=
=
关注微信公众号：加油高三
4
1
2
2
4
2
1
,
,
S
S
S
S
S
S
=
成等比
解得
1
2
,1
1
−
=
=
n
a
a
n
（Ⅱ）
)1
2
1
1
2
1
(
)1
(
4
)1
(
1
1
1
+
+
−
−
=
−
=
−
+
−
n
n
a
a
n
b
n
n
n
n
n
，
当n 为偶数时
1
1
1
1
1
(1
)
(
)
(
)
3
3
5
5
7
n
T =
+
−
+
+
+
−
1
1
1
1
(
)
(
)
2
3
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
+
+
−
+
−
−
−
+
1
2
2
1
2
1
1
+
=
+
−
=
n
n
n
Tn
1
1
1
1
1
(1
)
(
)
(
)
3
3
5
5
7
n
n
T =
+
−
+
+
+
−
−
当为奇数时，
1
1
1
1
(
)
(
)
2
3
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
+
+
+
−
−
−
+
1
2
2
2
1
2
1
1
+
+
=
+
+
=
n
n
n
Tn
+
+
+
=
为奇数
为偶数
n
n
n
n
n
n
Tn
,
1
2
2
2
,
1
2
2
．
20．【解析】（Ⅰ）由题意，
(
) (
)
=
N
n
a
a
a
n
b
n
2
2
1
，
3
2
6
b
b
−
=
，
知
(
)
3
2
3
2
8
b
b
a
−
=
=
，又由1
2
a =
，得公比
2
q =
（
2
q = −舍去），
所以数列
na
的通项公式为
2 (
)
n
n
a
n
N
=
，
所以
(
)
(
)
(
)
1
1
2
1
2
3
2
2
n n
n n
n
a a a
a
+
+
=
=
，
故数列
nb
的通项公式为，
(
)
1 (
)
n
b
n n
n
N
=
+
；
（Ⅱ）（）由（Ⅰ）知，
i
1
1
1
1
1
(
)
2
1
n
n
n
n
c
n
N
a
b
n
n
=
−
=
−
−
+
，
所以
1
1 (
)
1
2
n
n
S
n
N
n
=
−
+
；
（）因为
ii
1
2
3
4
0,
0,
0,
0
c
c
c
c
=
；
当 5
n
时，
(
)
(
)
1
1
1
1
2
n
n
n n
c
n n
+
=
−
+
，
关注微信公众号：加油高三
而
(
)
(
)(
)
(
)(
)
1
1
1
1
2
1
2
0
2
2
2
n
n
n
n n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
+
−
−
=
，
得
(
)
(
)
5
1
5 5 1
1
2
2
n
n n +
+
，
所以当 5
n
时，
0
n c
，
综上对任意n
N
恒有
4
n
S
S
，故 4
k =
．
21．【解析】（）因为
I
na
是递增数列，所以
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
p
+
+
−
=
−
=
．而
1
1
a =
，
因此又
1
2
3
,2
,3
a
a
a 成等差数列，所以
2
1
3
4
3
a
a
a
=
+
，因而
2
3
0
p
p
−
=
，
解得
1 ,
0
3
p
p
=
=
当
0
p =
时，
1
n
n
a
a
+ =
，这与
na
是递增数列矛盾。故
1
3
p =
.
（Ⅱ）由于
2
1
n
a
−
是递增数列，因而
2
1
2
1
0
n
n
a
a
+
−
−
，于是
2
1
2
2
2
1
(
)
(
)
0
n
n
n
n
a
a
a
a
+
−
−
+
−
①
但
2
2
1
1
1
2
2
n
n−
，所以
2
1
2
2
2
1
a
a
a
a
n
n
n
n
−
−
+
−
.
②
又①，②知，
2
2
1
0
n
n
a
a
−
−
，因此
2
2
2
1
2
1
2
1
1
( 1)
( )
2
2
n
n
n
n
n
a
a
−
−
−
−
−
=
=
③
因为
2n
a
是递减数列，同理可得，
2
1
2
0
n
n
a
a
+ −
故
2
2
1
2
1
2
2
1
( 1)
2
2
n
n
n
n
n
a
a
+
+
−
−
= −
=
④
由③，④即知，
1
1
( 1)
2
n
n
n
n
a
a
+
+
−
−
=
。
于是
1
2
1
3
2
1
(
)
(
) ...
(
)
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a −
=
+
−
+
−
+
+
−
2
1
1
1
( 1)
1
...
2
2
2
n
n−
−
= +
−
+
+
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1
1
1 (
)
1
2
1
1
2
1
2
n−
−−
= +
+
1
4
1 ( 1)
3
3
2
n
n−
−
=
+
.
故数列
na
的通项公式为
1
4
1 ( 1)
3
3
2
n
n
n
a
−
−
=
+
．
22．【解析】（Ⅰ）点
(
,
)
n
n
a b
在函数
( )
2 x
f x =
的图象上，所以
2
n
a
n b =
，又等差数列{
}
n
a
的
公差为d ，所以
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
d
n
a
n
b
b
+
+ −
+
=
=
=
．
因为点
8
7
(
,4
)
a
b
在函数( )
f x
的图象上，所以
8
7
8
4
2 a
b
b
=
=
，
所以
8
7
2
4
d
b
b
=
=
2
d
=
．
又
1
2
a = −
，所以
2
2
1
(
1)
2
3
2
n
n n
S
na
d
n
n
n
n
n
−
=
+
= −
+
−
=
−
．
（Ⅱ）由
( )
2
( )
2 ln 2
x
x
f x
f
x
=
=
，函数
( )
f x 的图象在点
2
2
(
,
)
a b
处的切线方程为
2
2
2
(2 ln 2)(
)
a
y
b
x
a
−
=
−
所以切线在x 轴上的截距为
2
1
ln 2
a −
，从而
2
1
1
2
ln 2
ln 2
a −
=
−
，故
2
2
a =
从而
na
n
=
，
2n
n b =
，
2
n
n
n
a
n
b
=
2
3
1
2
3
2
2
2
2
n
n
n
T =
+
+
+
+
2
3
4
1
1
1
2
3
2
2
2
2
2
n
n
n
T
+
=
+
+
+
+
所以
2
3
4
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
T
+
=
+
+
+
+
+
−
1
1
1
2
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
+
+
+
= −
−
= −
故
2
2
2
n
n
n
T
+
=
−
．
23．【解析】（Ⅰ）当
2
n≥
时，
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
S
S
−
−
−
=
−
=
−
=
当 1
n = 时，
1
1
2
a
S
=
=
∴ 1
n = 时，
1
1
S
a
=
，当
2
n≥时，
1
n
n
S
a +
=
，∴{ }
na
是“
数列”．
H
关注微信公众号：加油高三
（Ⅱ）
1
(
1)
(
1)
2
2
n
n n
n n
S
na
d
n
d
−
−
=
+
=
+
对n
N ，m
N 使
n
m
S
a
=
，即
(
1)
1
(
1)
2
n n
n
d
m
d
−
+
= +
−
取 2
n =
得
1
(
1)
d
m
d
+
=
−
，
1
2
m
d
=
+
∵
0
d
，∴
2
m
，又m
N ，∴
1
m= ，∴
1
d = −．
（Ⅲ）设{ }
na
的公差为d
令
1
1
1
(
1)
(2
)
n
b
a
n
a
n a
=
−
−
=
−
，对n
N ，
1
1
n
n
b
b
a
+
−
= −
1
(
1)(
)
n
c
n
a
d
=
−
+
，对n
N ，
1
1
n
n
c
c
a
d
+
−
=
+
则
1
(
1)
n
n
n
b
c
a
n
d
a
+
=
+
−
=
，且
{ } { }
n
n
b
c
，
为等差数列
{ }
nb
的前
项和
n
1
1
(
1)(
)
2
n
n n
T
na
a
−
=
+
−
，令
1
(2
)
n
T
m a
=
−
，则
(
3)
2
2
n n
m
−
=
+
当 1
n = 时
1
m= ；
当 2
n =
时
1
m= ；
当
3
n≥
时，由于
与
n
3
n−
奇偶性不同，即
(
3)
n n −
非负偶数，m
N
因此对n
，都可找到m
N ，使
n
m
T
b
=
成立，即{ }
nb
为“
数列”．
H
{ }
nc 的前ｎ项和
1
(
1) (
)
2
n
n n
R
a
d
−
=
+
，令
1
(
1)(
)
n
m
c
m
a
d
R
=
−
+
=
，则
(
1)
1
2
n n
m
−
=
+
∵对n
N ，
(
1)
n n −
是非负偶数，∴m
N
即对n
N ，都可找到m
N ，使得
n
m
R
c
=
成立，即{ }
nc
为“H 数列”
因此命题得证．
24．【解析】（Ⅰ）由
1
2
a =
，
2
4
8
a
a
+
=
1
2
1
2
( )
(
)
cos -
sin
n
n
n
n
n
f x
a
a
a
x
a
x a
x
+
+
+
+
=
−
+
+
1
2
1
2
( )
sin
cos
n
n
n
n
n
f
x
a
a
a
a
x
a
x
+
+
+
+
=
−
+
−
−
1
2
1
(
)
0
2
n
n
n
n
f
a
a
a
a
+
+
+
=
−
+
−
=
所以，
1
2
2
n
n
n
a
a
a
+
+
=
+
∴{
}
n
a
是等差数列.
而
1
2
a =
，
3
4
a =
， 1
d =
，
2
-1 1
1
n
a
n
n
=
+
=
+
（
）
，
关注微信公众号：加油高三
（Ⅱ）
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
n
n
n
a
n
n
b
a
n
n
+
=
+
=
+ +
=
+
+
（
）（
）（
）
1
1
1-
2 2
1
2
2
1
2
1- 2
n
n
n
n
S
+
+
=
+
（
）
（
）
2
1
=
3
1- 2
1
3
1- 2
n
n
n n
n
n
+
+
=
+
+
（
）
25．【解析】（Ⅰ）当 1
n = 时，
2
2
1
2
2
1
4
5,
4
5
a
a
a
a
=
−
=
+
，
2
1
0
4
5
n
a
a
a
=
+
（Ⅱ）当 2
n
时，
(
)
2
1
4
4
1
1
n
n
S
a
n
−
=
−
−
−
，
2
2
1
1
4
4
4
4
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
−
+
=
−
=
−
−
(
)
2
2
2
1
4
4
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
=
+
+
=
+
,
1
0
2
n
n
n
a
a
a
+
=
+
当 2
n
时，
na
是公差
2
d =
的等差数列.
2
5
14
,
,
a a a
构成等比数列，
2
5
2
14
a
a a
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
8
24
a
a
a
+
=
+
，解得
2
3
a =
,
由（Ⅰ）
，
可知
2
1
2
1
4
5=4,
1
a
a
a
=
−
=
2
1
3 1
2
a
a
−
=
−=
na
是首项
1
1
a =
,公差
2
d =
的等差数列.
数列
na
的通项公式为
2
1
na
n
=
−
.
（Ⅲ）
(
)(
)
1 2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1 3
3 5
5 7
2
1 2
1
n
n
a a
a a
a a
n
n
+
+
+
+
=
+
+
+
+
−
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
5
7
2
1
2
1
1
1
1
1
.
2
2
1
2
n
n
n
=
−
+
−
+
−
+
−
−
+
=
−
+
26．【解析】（Ⅰ）设数列{
}
na
的公比为q，则
1
0
a
， 0
q
. 由题意得
2
4
3
2
2
3
4
,
18,
S
S
S
S
a
a
a
−
=
−
+
+
= −
即
2
3
2
1
1
1
2
1
,
(1
)
18,
a q
a q
a q
a q
q
q
−
−
=
+
+
= −
解得
1
3,
2.
a
q
=
= −
故数列{
}
na
的通项公式为
1
3( 2)n
n
a
−
=
−
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
3 [1
( 2) ]
1
( 2)
1
( 2)
n
n
n
S
−−
=
= − −
−−
.
若存在n ，使得
2013
n S
，则
1
( 2)
2013
n
−−
，即
( 2)
2012.
n
−
−
关注微信公众号：加油高三
当n 为偶数时，
( 2)
0
n
−
，
上式不成立；
当n 为奇数时，
( 2)
2
2012
n
n
−
= −
−
，即
2
2012
n
，则 11
n
.
综上，存在符合条件的正整数n
，且所有这样的
的集合为
n
{
2
1,
,
5}
n n
k
k
k
=
+
N
．
27．【证明】（Ⅰ）若
0
=
c
，则
n
n
S
b
n
=
，
*
N
n
，又由题
(
1)
2
n
n n
d
S
na
−
=
+
，
1
2
n
n
S
n
b
a
d
n
−
=
=
+
，
1
1
2
n
n
b
b
d
+
−
=
，
{ }
nb
是等差数列，首项为a ，公差为
2
d ，
)
0
(
d
，又
4
2
1
b
b
b
，
，
成等比数列，
2
2
1 4
b
b b
=
，
2
3
(
)
(
)
2
2
d
d
a
a a
+
=
+
，
2
3
(
)
4
2
d
d
ad
a
+
=
，
0
d
，
2
d
a
=
，
2
n
S
n a
=
，
2
2
2
2
2
2
(
)
,
nk
k
S
nk
a
n k a n S
n k a
=
=
=
，
2
nk
k
S
n S
=
（
*
,
N
n
k
）．
（Ⅱ）由题
c
n
nS
b
n
n
+
=
2
，
*
N
n
，
2
2
[2
(
1) ]
2(
)
n
n
a
n
d
b
n
c
+
−
=
+
，若
}
{ nb
是等差数列，
则可设
n
b
x
yn
=
+
，,x y 是常数，
2
2
[2
(
1) ]
2(
)
n
a
n
d
x
yn
n
c
+
−
=
+
+
关于
*
N
n
恒成立．
整理得：
3
2
(
2 )
(2
2 )
2
2
0
d
y n
a
d
x n
cyn
cx
−
+
−
−
−
−
=
关于
*
N
n
恒成立．
2
0,2
2
0,2
0,2
0
d
y
a
d
x
cy
cx
−
=
−
−
=
=
=
，
2
0,2
2
,
0,
0
d
y
a
x
d cy
cx
=
−
=
=
=
0
c
=
．
28．【解析】（Ⅰ）由已知得：
1
1
1
5
10
105,
9
2(
4 ),
a
d
a
d
a
d
+
=
+
=
+
解得
1
7,
7
a
d
=
=
,
所以通项公式为
7
(
1) 7
7
n
a
n
n
=
+
−
=
.
（Ⅱ）由
2
7
7 m
n
a
n
=
，得
2
1
7 m
n
−
，即
2
1
7 m
m
b
−
=
.
∵
2
1
1
2
1
7
49
7
m
k
m
k
b
b
+
+
−
=
=
，
∴{
}
mb
是公比为
的等比数列，
49
∴
7(1
49 )
7
(49
1)
1
49
48
m
m
m
S
−
=
=
−
−
．
关注微信公众号：加油高三
29．【解析】（Ⅰ）由题意得
1
2000(1 50%)
3000
a
d
d
=
+
−
=
−
，
2
1
1
3
(1 50%)
2
a
a
d
a
d
=
+
−
=
−
，
1
3
(1 50%)
2
n
n
n
a
a
d
a
d
+
=
+
−
=
−
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
1
3
2
n
n
a
a
d
−
=
−
2
2
3
3
( )
2
2
n
a
d
d
−
=
−
−
2
3 3
(
)
2 2
n
a
d
d
−
=
−
−
=
1
2
2
1
3
3
3
3
( )
1
( )
( )
2
2
2
2
n
n
a
d
−
−
=
−
+
+
+
+
．
整理得
1
1
3
3
( )
(3000
)
2
( )
1
2
2
n
n
n
a
d
d
−
−
=
−
−
−
1
3
( )
(3000
3 )
2
2
n
d
d
−
=
−
+
．
由题意，
1
3
4000,
( )
(3000
3 )
2
4000,
2
n
n
a
d
d
−
=
−
+
=
解得
1
3
( )
2
1000
1000(3
2
)
2
3
3
2
( )
1
2
n
n
n
n
n
n
d
+
−
−
=
=
−
−
．
故该企业每年上缴资金d 的值为缴
1
1000(3
2
)
3
2
n
n
n
n
+
−
−
时，经过
(
3)
m m
年企业的剩余资
金为4000
元．
30．【解析】（Ⅰ）由
n
S =
2
2n
n
+
，得
当n
=1 时，
1
1
3
a
S
=
=
；
当n
2 时，
1
n
n
n
a
S
S −
=
−
=
2
2
2
2(
1)
(
1)
4
1
n
n
n
n
n
+
−
−
+
−
=
−
，
*
n
N
.
由
2
4log
3
n
n
a
b
=
+
，得
2
1
nb
n
=
−，
*
n
N
.
（Ⅱ）由（1）知
1
(4
1) 2n
n n
a b
n
−
=
−
，
*
n
N
所以
(
)
2
1
3 7 2 11 2
...
4
1 2n
nT
n
−
= + +
+
+
−
，
关注微信公众号：加油高三
(
)
2
3
2
3 2 7 2
11 2
...
4
1 2n
n
T
n
= +
+
+
+
−
，
(
)
2
1
2
4
1 2
[3 4(2 2
... 2
)]
n
n
n
n
T
T
n
−
−
=
−
−
+
+
+
+
(4
5)2
5
n
n
=
−
+
(4
5)2
5
n
n
T
n
=
−
+
，
*
n
N
．
31．【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5
=73 可得
,
28
,
84
3
4
4
=
=
a
a
而a9=73
，则
9
,
45
5
4
9
=
=
−
=
d
a
a
d
，
1
27
28
3
4
1
=
−
=
−
=
d
a
a
，
于是
8
9
9
)1
(
1
−
=
−
+
=
n
n
an
，即
8
9 −
= n
an
.
（Ⅱ）对任意
∈
m
N﹡，
m
m
n
2
9
8
9
9
−
，则
8
9
9
8
9
2
+
+
m
m
n
，
即
9
8
9
9
8
9
1
2
1
+
+
−
−
m
m
n
，而
*
N
n
，由题意可知
1
1
2
9
9
−
−−
=
m
m
m
b
，
于是
)
9
9
9
(
9
9
9
1
1
0
1
2
3
1
2
1
−
−
+
+
+
−
+
+
+
=
+
+
+
=
m
m
m
m
b
b
b
S
8
9
80
1
9
80
1
9
10
9
8
1
9
80
9
9
9
1
9
1
9
1
9
9
1
2
1
2
1
2
2
1
2
m
m
m
m
m
m
m
m
−
+
=
+
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
，
即
8
9
80
1
9 1
2
m
m
m S
−
+
=
+
.
32．【解析】（Ⅰ）由题意知
1
1
2
2
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
a
b
b
b
a
a
+
+
+
+
=
=
=
+
+
+
，
所以
2
1
1
1
n
n
n
n
b
b
a
a
+
+
=
+
，从而
2
2
*
1
1
1(
)
n
n
n
n
b
b
n
N
a
a
+
+
−
=
所以数列
2
n
n
b
a
是以
为公差的等差数列．
1
（Ⅱ）
0,
n a
0
n b
．所以 (
)
2
2
2
2
(
)
2
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
a
b
+
+
+
„
，
从而
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
a
b
a
a
b
+
+
=
+
„
(*)
设等比数列{
}
na
的公比为q ，由
0,
n a
知
0,
q
下证 1
q = ．
关注微信公众号：加油高三
若 1
q ，则
2
1
2
2
a
a
a
q
=
„
．故当
1
2
logq
n
a
，
1
1
2
n
n
a
a q
+ =
，与（*）矛盾；
若0
1
q
，则
2
1
2
1
a
a
a
q
=
．故当
1
1
logq
n
a
，
1
1
1
n
n
a
a q
+ =
，与（*）矛盾；
综上： 1
q = 故
1
n
a
a
=
，所以
1
1
2
a
„
．
又
1
1
2
2
n
n
n
n
b
b
b
a
a
+
=
=
，所以{ }
nb
是以公比为
1
2
a
的等比数列，若
1
2
a
，
则
1
2
1
a
，于是
1
2
3
b
b
b
，又由
1
1
2
2
1
n
n
a
b
a
n
a
b
+
=
+
N
，
，得
2
2
1
1
1
2
1
2
1
n
a
a
a
b
a
−
=
−
，
所以
1
2
3
,
,
b b b 中至少有两项相同，矛盾．所以
1
2
a =
，从而
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
n
a
a
a
b
a
−
=
=
−
，
所以
1
1
2
a
b
=
=
．
33．【解析】（Ⅰ）由
1
*
3
( 1)
,
2
n
n
b
n
N
−
+ −
=
，可得
2,
,
1,
n
n
b
n
=
为奇数
为偶数,
又
(
)
1
1
2
1
n
n
n
n
n
b
a
b a
+
+
+
= −
+
，
当
1
2
1
2
3
1 ,
2
1,
2,
;
2
n
a
a
a
a
=
+
= −
=
= −
时
由
可得
当
2
3
3
2
,2
5,
8.
n
a
a
a
=
+
=
=
时
可得
（Ⅱ）证明：对任意
*
n
N
2
1
2
1
2
2
2
1
n
n
n
a
a
−
−
+
= −
+
①
2
2
2
1
2
2
1
n
n
n
a
a
+
+
=
+
②
②①，得
-
2
1
2
1
1
2
1
2
1
3 2
,
3 2
,
4
n
n
n
n
n
n
n
c
a
a
c
c
−
−
+
+
−
−
=
=
=
即
于是
所以{ }
nc
是等比数列。
（Ⅲ）证明：
1
2
a =
，由（Ⅱ）知，当
*
2
k
N
k
且
时，
2
1
1
3
1
5
3
7
5
2
1
2
3
(
)
(
)
(
)
(
)
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
=
+
−
+
−
+
−
+
+
−
1
3
5
2
3
2
1
2(1
4
)
2
3(2
2
2
2
)
2
3
2
1
4
k
k
k
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
=
+
=
−
关注微信公众号：加油高三
故对任意
*
2
1
2
1
,
2
.
k
k
k
N a
−
−
=
由①得
2
1
2
1
2
1
*
2
2
1
2
2
2
1,
2
,
2
k
k
k
k
k
a
a
k
N
−
−
−
+
= −
+
=
−
所以
因此，
2
1
2
3
4
2
1
2
(
)
(
)
(
)
.
2
k
k
k
k
S
a
a
a
a
a
a
−
=
+
+
+
+
+
+
=
于是，
2
1
2
2
2
1
1
2
.
2
k
k
k
k
k
S
S
a
−
−
−=
−
=
+
故
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
.
1
2
2
2
1
4
4 (4
1)
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
S
S
k
k
k
a
a
−
−
−
−
−
−+
−+
+
=
+
=
−
= −
−
−
−
−
34．【解析】（Ⅰ）由
*
3
( 1) ,
,
2
n
n
b
n
N
+ −
=
可得
1,
n
n
b
=
为奇数
2,n为偶数
又
1
1
2
0,
n
n
n
n
n
b a
a
b
a
+
+
+
+
+
=
当 1
n = 时，
1
2
3
2
0
a
a
a
+
+
=
，由1
2
a =
，
2
4
a =
，可得3
3
a = −
；
当 2
n =
时，
2
3
4
2
0
a
a
a
+
+
=
，可得
4
5
a = −；
当 3
n =
时，
3
4
5
2
0
a
a
a
+
+
=
，可得
5
4
a =
；
（Ⅱ）证明：对任意
*,
n
N
2
1
2
2
1
2
0,
n
n
n
a
a
a
−
+
+
+
=
①
2
2
1
2
2
2
0,
n
n
n
a
a
a
+
+
+
+
=
②
2
1
2
2
2
3
2
0,
n
n
n
a
a
a
+
+
+
+
+
=
③
②—③，得
2
2
3.
n
n
a
a
+
=
④
将④代入①，可得
2
1
2
3
2
1
2
1
(
)
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
−
+
+
= −
+
即
*
1
(
)
n
n
c
c n
N
+
= −
又
1
1
3
1,
0,
n
c
a
a
=
+
= −
故c
因此
1
1,
{ }
n
n
n
c
c
c
+
= −所以
是等比数列.
（Ⅲ）证明：由（）可得
II
2
1
2
1
( 1)k
k
k
a
a
−
+
+
= −
，
关注微信公众号：加油高三
于是，对任意
*
2
k
N
k
且
，有
1
3
3
5
5
7
2
3
2
1
1,
(
)
1,
1,
( 1) (
)
1.
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
+
= −
−
+
= −
+
= −
−
+
= −
将以上各式相加，得
1
2
1
( 1)
(
1),
k
k
a
a
k
−
+ −
= −
−
即
1
2
1
( 1)
(
1)
k
k
a
k
+
−
= −
+
，
此式当k=1
.
时也成立由④式得
1
2
( 1)
(
3).
k
k
a
k
+
= −
+
从而
2
2
4
6
8
4
2
4
(
)
(
)
(
)
,
k
k
k
S
a
a
a
a
a
a
k
−
=
+
+
+
+
+
+
= −
2
1
2
4
3.
k
k
k
S
S
a
k
−
=
−
=
+
所以，对任意
*
,
2
n
N
n
，
4
4
3
4
2
4
1
4
1
1
4
3
4
2
4
1
4
(
)
n
n
k
m
m
m
m
k
m
k
m
m
m
m
S
S
S
S
S
a
a
a
a
a
−
−
−
=
=
−
−
−
=
+
+
+
1
2
2
2
1
2
3
2
(
)
2
2
2
2
1
2
3
n
m
m
m
m
m
m
m
m
m
=
+
−
+
=
−
−
+
+
+
+
1
2
3
(
)
2 (2
1)
(2
2)(2
2)
n
m
m
m
m
m
=
=
+
+
+
+
2
2
5
3
2 3
2 (2
1)
(2
2)(2
3)
n
m
m
m
n
n
=
=
+
+
+
+
+
2
1
5
3
3
(2
1)(2
1)
(2
2)(2
3)
n
m
m
m
n
n
=
+
+
−
+
+
+
1
5
1
1
1
1
1
1
3
[(
)
(
)
(
)]
3
2
3
5
5
7
2
1
2
1
(2
2)(2
3)
n
n
n
n
=
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
+
+
1
5
5
1
3
7 .
3
6
2 2
1
(2
2)(2
3)
6
n
n
n
=
+
−
+
+
+
+
对于n =1，不等式显然成立.
所以，对任意
*,
n
N
关注微信公众号：加油高三
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
S
S
S
S
a
a
a
a
−
−
+
+
+
+
3
2
1
2
1
2
4
1
2
3
4
2
1
2
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
a
a
a
a
a
a
−
−
=
+
+
+
+
+
+
2
2
2
1
1
1
2
1
(1
)
(1
)
(1
)
4
12
4
4
(4
1)
4
(4
1)
n
n
n
=
−
−
+
−
−
+
+
−
−
−
−
−
2
2
2
1
1
1
2
1
(
)
(
)
(
)
4
12
4
4 (4
1)
4
4 (4
1)
n
n
n
n
n
=
−
+
−
+
−
−
+
−
−
1
1
1
(
)
.
4
12
3
n
n
−
+
=
−
35．【解析】（Ⅰ）由已知，当≥时，
n
1
1
1
1
2
1
1
[(
)
(
)
(
)]
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
−
=
−
+
−
+
+
−
+
2
1
2
3
3(2
2
2)
2
n
n
−
−
=
+
+
+
+
2(
1) 1
2
n+ −
=
．而 1
2,
a =
所以数列{
na }的通项公式为
2
1
2 n
na
−
=
．
（Ⅱ）由
2
1
2 n
n
n
b
na
n
−
=
=
知
3
5
2
1
1 2 2 2
3 2
2 n
n
S
n
−
= +
+
+
+
①
从而
2
3
5
7
2
1
2
1 2
2 2
3 2
2 n
nS
n
+
=
+
+
+
+
②
①②得
-
2
3
5
2
1
2
1
(1 2 )
2 2
2
2
2
n
n
n
S
n
−
+
−
= +
+
+
+
−
．
即
2
1
1
[(3
1)2
2]
9
n
n
S
n
+
=
−
+
．
36．【解析】（Ⅰ）表
为
4
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4 行中的数的平均数分别为4,8,16,32. 它们构成首项为，公比为
的
4
2
等比数列．将结这一论推广到表n （n ≥），即表
3
n 各行中的数的平均数按从上到下的
顺序构成首项为n
，公比为
的等比数列
2
.
（Ⅱ）表n
第
，…，
1 行是1,3,5
2n -1，其平均数是
n
n
n
=
−
+
+
+
+
)
(
1
2
5
3
1
由（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n
，公比为
的等
2
比数列（从而它的第k 行中的数的平均数是
1
2
−
k
n
），于是表n 中最后一行的唯一一个
数为
1
2
−
n
n
.因此
关注微信公众号：加油高三
1
2
1
2
1
(
2) 2
2
2
(
1) 2
(
1) 2
k
k
k
k
k
k
k
b
k
k
b b
k
k
k k
+
+
−
−
+
+
+
=
=
+
+
2
3
2
2(
1)
1
1
(
1) 2
2
(
1) 2
k
k
k
k
k
k k
k
k
−
−
−
+
−
=
=
−
+
+
．(k =1,2,3, …, n )
，故
3
2
4
2
1
1
0
1 2
2 3
1
1
1
1
1
(
)
(
)
1 2
2 2
2 2
3 2
n
n n
b
b
b
bb
b b
b b
+
−
−
−
+
+
+
+
=
−
+
−
3
2
1
1
(
)
2
(
1) 2
n
n
n
n
−
−
+
+
−
+
2
2
1
1
4
−
+
−
=
n
n
)
(
．
