文档文本内容
集合
知识体系：
大纲解读：
1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题
3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集
4.在具体情况中，了解全集与空集的含义
5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集
7.能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算
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知识清单：
集合
一、集合的含义与表示
1.集合的概念
一般地，某些指定的对象集在一起就称为一个集合，也简称集，通常用大写字母
表示集合，集合中每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母
表示.
2.集合的元素特性
(1)确定性：给定一个集合，则任何一个对象是不是这个集合的元素，必须是明
确的.
(2)互异性：一个给定集合的元素之间必须是互异的，即一个集合中的任意两个
元素（对象）应该是不同的，相同对象在构成集合时只能作为一个元素出现在集
合中.
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关.
3.元素与集合的关系
(1)如果
是集合
的元素，就说
属于集合
，记作
.
(2)如果
不是集合
的元素，就说
不属于集合
，记作
.
4.集合的表示
(1)自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
(2)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
(3)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合，一般形式是
，其
中
是集合中元素的代表形式，
是元素的取值（或变化）范围，
是这个
集合中元素所具有的共同特征.
(4)图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
5.常用数集及其记法
常用数集一览表
掌握打√
常用数集
简称
记法
☐
全体非负整数组成的集合
非负整数集(或自然数集)
☐
所有正整数组成的集合
正整数集
/
☐
全体整数组成的集合
整数集
☐
全体有理数组成的集合
有理数集
☐
全体实数组成的集合
实数集
6.集合的分类
(1)含有有限个元素的集合叫做有限集.
(2)含有无限个元素的集合叫做无限集.
(3)不含有任何元素的集合叫做空集(
).
二、集合间的基本关系
1.子集、真子集、集合相等
名称
子集
真子集
集合相等
记号
(或
)
(或
)
意义
中的任一元素都
属于
，且
中至少
有一元素不属于
中的任一元素都
属于
，
中的任
一元素都属于
性质
(1)
(2)
(3)若
且
，
则
(4)若
且
，
则
(1)
(
为非空
子集)
(2)若
且
，则
(1)
(2)
示意图
或
补充说明：
若集合
有
个元素，则：
(1)
有
个子集
(2)
有
个真子集
(3)
有
个非空子集
(4)
有
非空真子集
三、集合的基本运算
1.交集、并集、补集
名称
交集
并集
补集
记号
意义
,且
，或
，且
性质
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
示意
图
补充说明：
(1)一个集合的补集的补集是其本身：
(2)空集的补集是全集：
(3)全集的补集是空集：
(4)摩根定律：
知识拓展：
四、含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
1.含绝对值的不等式的解法
不等式
解集
，或
把
看成一个整体，化成
型求解
把
看成一个整体，化成
型求解
2.一元二次不等式的解法
判别式
二次函数
的图象
一元二次方程
的根
（其中
）
无实根
的解集
或
的解集
3.分式不等式
不等式
解集
且
且
补充说明：
(1)解一般型分式不等式，先移项通分，化为标准型分式不等式
(2)解标准型分式不等式，先化商为积，化为整式不等式
4.根式不等式
不等式
解集
或
或
函数的概念和性质
知识体系：
大纲解读：
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
2.了解映射的概念.
3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析
法)表示函数.
4.了解简单的分段函数，并能简单应用.
5.理解函数的单调性及其几何意义.
6.结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义.
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知识清单：
函数的概念和性质
一、函数及其表示
1.函数的概念
给定两个非空的数集
，如果按照某个确定的对应关系
，使对于集合
中
的任意一个数
，在集合
中都有唯一确定的数
和它对应，那么就称对应
为从集合
到集合
的一个函数，记作
．其中
叫做自
变量；与
的值相对应的
值叫做函数值.
2.函数的三要素
(1)定义域：自变量
的取值范围
，叫做函数的定义域.
(2)值域：函数值的集合
叫做值域.
(3)对应法则：从
到
的对应关系叫做对应法则．
3.同一函数
定义域相同、值域相同、对应法则也相同的函数是同一函数.
4.区间的概念
设
，
是两个实数，且
我们规定：
(1)满足不等式
的实数
的集合叫做闭区间，表示为
.
(2)满足不等式
的实数
的集合叫做开区间，表示为
.
(3)满足不等式
或
的实数
的集合叫做半开半闭区间，分别表示
为
，
.
(4)实数集
可以用区间表示为
，“
”读作“无穷大”，“
”读作
“负无穷大”，“
”读作“正无穷大”.
(5)满足不等式
的实数
的集合表示为
.
(6)满足不等式
的实数
的集合表示为
.
(7)满足不等式
的实数
的集合表示为
.
(8)满足不等式
的实数
的集合表示为
.
5.函数的表示法
(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
(3)列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系.
6.映射
(1)映射的概念：设
是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系
，
使对于集合
中的任意一个元素
，在集合
中都有唯一确定的元素
与之对应，
那么就称对应
为从集合
到集合
的一个映射．把元素
叫做
的象，
元素
叫做元素
的原象.
(2)映射与函数的关系：函数是非空数集到非空数集的映射.
7.函数定义域的求法
(1)若
为整式，则其定义域为实数集
.
(2)若
为分式，则其定义域是使分母不等于
的实数的集合.
(3)若
是偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于
的实数的集
合.
(4)若
是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各个部分都
有意义的实数的集合.
(5)
的定义域是
.
8.函数解析式的求法
(1)待定系数法：如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入条件解方程(组),
求出参数确定函数解析式.
(2)配凑法：已知
的解析式，要求
的解析式时，从
的解析
式中配凑出
，即用
来表示，再将
用
代替即可.
(3)换元法：已知
的解析式，要求
的解析式时，可令
，再
求出
的解析式，再将用
代替即可.
二、函数的基本性质
1.单调性的定义
一般地，设函数
的定义域为
：
(1)增函数：如果对于定义域
内某个区间
上的任意两个自变量的值
，当
时，都有
，那么就说函数
在区间
上是增函数，区间
称为
的单调递增区间；
(2)减函数：如果对于定义域
内某个区间
上的任意两个自变量的值
，当
时，都有
，那么就说函数
在区间
上是减函数，区
间
称为
的单调递减区间．
2.最大（小）值的定义
(1)最大值：一般地，设函数
的定义域为
，如果存在实数
满足：对
于任意的
，都有
，且存在
，使得
.那么，我们称
是函数
的最大值.
(2)最小值：一般地，设函数
的定义域为
，如果存在实数
满足：对
于任意的
，都有
，且存在
，使得
.那么，我们称
是函数
的最小值.
3.判断函数的单调性的几个常用结论
(1)函数
与函数
的单调性相反．
(2)函数
与函数
的单调性相同．
(3)当
时，函数
与函数
的单调性相同；当
时，函数
与函数
的单调性相反．
(4)若
，则函数
与函数
、
的单调性相同．
(5)若
的值恒为正或恒负，函数
和函数
的单调性相反．
(6)在公共区间上，若
、
都是单调递增(减)函数，则
也单调
递增(减)．
(7)在公共区间上，若
，
，且
、
都是单调递增(减)函
数，则
也单调地增(减)；若
，
，且
、
都
是单调递增(减)函数，则
也单调递减(增)．
4.复合函数的单调性
如果函数
的定义域为
．函数
的定义域为
，值域为
，且
时，称函数
为
与
在
上的复合函数，其中
叫中间变量，
叫做内层函数，
叫做外层函数。若内外层函数同为增函数或者
减函数，则
单调递增；若这两个函数一增一减，则
为减函数，
简称为“同增异减”．
5.奇偶性的定义
(1)偶函数：一般地，如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
成立，那么函数就叫做偶函数.
(2)奇函数：一般地，如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
成立，那么函数就叫做奇函数.
6.判断函数的奇偶性几个常用结论
设
，
的定义域分别是
，
，在他们的公共区域上，有下列结论：
函数奇偶性的运算性质
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
函数的应用
知识体系：
大纲解读：
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根
的存在性及根的个数.
2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对
数增长等不同函数类型增长的含义.
4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等再社会生活中普
遍使用的函数模型)的广泛应用.
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知识清单：
函数的应用
一、函数与方程
1.函数零点的概念
对于函数
，我们把使
的实数叫做函数
的零点.
2.函数零点与方程根的联系
函数
的零点就是方程
的实数根，即函数
的图象与
轴
交点的横坐标.
3.二次函数的零点与一元二次方程根的关系
判别式
方程
函数
两个不相等的实根
两个零点
两个相等的实根
一个二重零点
无实根
无零点
4. 零点存在性定理
一般地，如果函数
在区间
上的图象是连续不断的一条曲线，并且
有
，那么函数
在区间内有零点，即存在
，使得
，这个
也就是
方程的根.
5. 二分法
一般地，对于图象在区间
上连续不断且
的函数
，通过
不断地把函数
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零
点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
二、函数模型及其应用
1. 三类函数增长差异的比较
在区间
上，函数
，
和
都是增函
数.他们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着
的增大，
的增长速度越来越快，会超过并且远远大于
的增长速度，而
的增长速度则会越来越慢，总会存在一个
，当
时，有
.
2. 常见的几类函数类型
(1)一次函数模型：
也称线性函数模型.
(2)二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函
数模型
；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可
以选用二次函数模型
.
(3)指数函数模型：
且
(4)对数函数模型：
且
(5)幂函数模型：
(6)反比例函数模型：
3. 应用问题的解答步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，选择模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学
知识，建立相应的数学模型.
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论.
(4)还原：讲数学结论还原为实际应用问题的结论.
基本初等函数
知识体系：
大纲解读：
1.了解指数函数模型的实际背景
2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊
点
4.知道指数函数是一类重要的函数模型
5.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或
常用对数，了解对数在简化运算中的作用
6.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点
7.知道对数函数是一类重要的函数模型
8.了解指数函数
与对数函数
互为反函数
9.了解幂函数的概念
10.结合函数
的图象，了解它们的变化情况.
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知识清单：
基本初等函数
一、指数与指数幂的运算
1.整数指数幂
(1)正整数指数幂定义：
.
(2)正整数指数幂的运算法则：
①
②
③
④
⑤
(3)规定
，
.在正整数指数幂的运算法则③中，
取消限定
，则正整数指数幂就推广到了整数指数幂.
(4)在整数指数幂的条件下，运算法则可简化为三条：
①
②
③
2.根式
(1)根式的概念
根式概念一览表
掌握打√
根式
符号表示
备注
☐
一般地，如果
，那么
叫做
的
次方根，其中
，且
.
无
无
☐
当
为奇数时，正数的
次方
根是一个正数，负数的
次方
根是一个负数
零的
次方根是零
☐
当
为偶数时，正数的
次方
根是有两个，它们互为相反数
负数没有偶次方根
(2)根式的性质
①
(当
有意义时)
②当
是奇数时，
；当
是偶数时，
3.分数指数幂
(1)分数指数幂的意义
①规定正数的正分数指数幂的意义是
.
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，
规定
.
③
的正分数指数幂等于
，
的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数
，
均有下列运算性质：
①
②
③
上述有理数指数幂的运算性质可推广到无理数指数幂的情况.
二、指数函数及其性质
1.指数函数的概念
一般地，函数
叫做指数函数.
这里需要注意三点：
(1)函数的定义域为
,指数的概念已经扩充到实数范围，在
的前提下，
可以取任意实数.
(2)规定底数
大于零且不等于，是因为若
，当
时，
恒等于
，当
时，
无意义.
(3)指数函数的表达式
中，
前面的系数必须是，
自变量
必须在指数位置上，否则不是指数函数，如
，
都不是指数函数，但是
可以化简为
，它是
指数函数.
2.指数函数的图象和性质
底数
图象
性质
函数定义域为
，值域为
函数图象过定点
当
时，恒有
；
当
时，恒有
当
时，恒有
；
当
时，恒有
函数在定义域
上为增函数
函数在定义域
上为减函数
三、对数与对数运算
1.对数的概念与基本性质
(1)对数的概念
①对数:一般地，如果
，那么数
叫做以
为底
的对数，记
作
，其中
叫做对数的底数，
叫做真数.
②常用对数：通常将以
为底的对数叫做常用对数，
简记为
.
③自然对数：在科学技术中常使用以无理数
为底的对数，以
为底
的对数称为自然对数，为了简便，
简记为
.
(2)对数的基本性质
对数
有如下性质：
①负数和零没有对数，即
.
②的对数是
，即
.
③底数的对数是,即
.
④对数恒等式：由
可得
，将
中的
写成
，那么
.
2.对数的运算性质
如果
，那么：
(1)
，即积的对数等于对数的和.
(2)
,即商的对数等于对数的差.
(3)
,即指数幂的对数等于底数的对数的指数倍.
3.换底公式及其变形公式
对数换底公式为：
，它的推论有：
(1)
(2)
(3)
四、对数函数及其性质
1.对数函数的概念
一般地，函数
叫做对数函数，其中
是自变量，对数函数
的定义域是
.
特别地，以
为底的对数函数
叫做常用对数函数，以
为底的对数函数
叫做自然对数函数.
这里需要注意三点：
(1)形如
,对数函数对数符号前系数为.
如
不是对数函数.
(2)真数为
，而不是
的函数.
如
不是对数函数.
(3)定义域为
.由指数式与对数式的关系可知，对数函数的自变量
恰是指
数函数的函数值
，所以对数函数的定义域为
.
2.对数函数的图象与性质
定义
底数
图象
性质
定义域
值域为
图象过
当
时，
；
当
时，
当
时，
；
当
时，
是
上的增函数
是
上的减函数
五、幂函数
1.幂函数的概念
一般地，函数
叫做幂函数，其中
是自变量，
是常数.
这里需要注意三点：
(1)幂函数的系数必须为.
(2)幂函数的底数是自变量
.
(3)幂函数的指数为常数.
2.幂函数的图象与性质
(1)幂函数的图象：在统一坐标系中作出幂函数
的图象.
2 幂函数图象的画法与其他函数图象的画法相同，步骤是：列表，描点，连线.
②幂函数图象与其他函数图象相比，图象的位置和形状变化复杂，指数发生微小
的变化，图象的位置和形状可能发生很大的变化.
③一般研究幂函数时，会对幂函数的指数分类讨论，一般会分为
a.
,此时
即为
.
b.
，此时还需要细分为
，
，
三种情况.
c.
，此时还需要细分为
，
，
三种情况.
注意：一般先研究第一象限内的图象，再根据函数的特征研究整个定义域内的图
象.
(2)幂函数的性质
函数
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
函数
奇函数
单调性
在
上
为增函
数
在
上
为增函数；
在
上
为减函数
在
上为
增函数
在
上为增函
数
在
和
上为减
函数
定点
图象形状
直线
抛物线
拐线
抛物线
双曲线
3.幂函数的定义域
对于一般的
定义域，我们将它改写成为根式，再根据
根式来求他的定义域.
可以归纳出如下结论：
(1)当
时，定义域情况如下：
取值
定义域
(2)当
时，(1)中定义域均要去掉
零.
平面向量
知识体系：
大纲解读：
1.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义
2.掌握向量加法、减法运算，并理解其几何意义
3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性
运算的性质及其几何意义
4.了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，
会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
5.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影
的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
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知识清单：
平面向量
一、向量的基本概念
1.向量的概念
既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.
2.零向量
长度为
的向量叫零向量，记作：
规定：零向量的方向是任意的.
3.单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与
共线的单位向量是
）
4.相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性
5.平行向量（也叫共线向量）
方向相同或相反的非零向量
、
叫做平行向量，记作：
规定：零向量和任意向量平行.
注：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向
量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有
)；
④三点
共线
、
共线.
6.相反向量
长度相等方向相反的向量叫做相反向量.
的相反向量记作
.
二、平面向量的基本定理
定理
设
同一平面内的一组基底向量，是该平面内任一向量，则存在唯一
实数对
，使
.
(1)定理核心：
；
(2)从左向右看，是对向量
的分解，且表达式唯一；反之，是对向量
的合成；
(3)向量的正交分解：当
时，就说
为对向量
的正交分解．
(4)向量的坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与
轴、轴方向相同的两个
单位向量
为基底，则平面内的任一向量
可表示为
，称
为向量
的坐标，
叫做向量
的坐标表示.
结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
三、向量的数乘运算
实数
与向量
的积是一个向量，记作
，它的长度和方向规定如下：
(1)模：
；
(2)方向：当
时，
的方向与
的方向相同，当
时，
的方向与
的
方向相反，当
时，
，
注意：
.
四、平面向量的数量积
1.两个向量的夹角：对于非零向量
，
，作
，
，则把
称为向量
，
的夹角.
当
时，
，
同向；当
时，
，
反向；当
时，
，
垂直.
2.平面向量的数量积：如果两个非零向量
，
，它们的夹角为
，我们把数量
叫做
与
的数量积（或内积或点积），记作：
，即
.
规定：零向量与任一向量的数量积是0.
注：数量积是一个实数，不再是一个向量.
3.向量
在向量
上的投影：
，它是一个实数，但不一定大于0.
4.
的几何意义：数量积
等于
的模
与
在
上的投影的积.
5.向量数量积的性质：设两个非零向量
，
，其夹角为
，则：
(1)
；
(2)当
、
同向时，
，特别地，
；
是
、
同向的充要分条件；
当
、
反向时，
，
是
反向的充要分条件;
当
为锐角时，
，且
不同向，
是
为锐角的必要不充分条件;
当
为钝角时，
，且
不反向；
是
为钝角的必要不充分条件.
(3)非零向量
，
夹角
的计算公式：
；
(4)
.
五、向量的运算
1.几何运算
加减法
运算法则
作图
运算形式
加法
平行四边形
法则
若
，
三角形
法则
若
，
减法
三角形
法则
若
，
2.坐标运算：
设
，
(1)向量的加减法运算：
，
.
(2)实数与向量的积：
.
(3)若
，
，则
，即一个向量的坐标等于表示
这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
(4)平面向量数量积：
.
(5)向量的模：
.
(6)两点间的距离：若
，
，则
.
3.向量的运算律
(1)交换律：
，
，
；
(2)结合律：
，
；
(3)分配律：
，
，
.
六、向量平行(共线)与垂直的充要条件
1.向量平行的充要条件
.
2.向量垂直的充要条件
.
特别地
.
七、线段的定比分点
1.定义：设点
是直线
上异于
、
的任意一点，若存在一个实数
，使
，则实数
叫做点
分有向线段
所成的比
，
点叫做有向线段
的以定比为
的定比分点.
2.
的符号与分点
的位置之间的关系
(1)
内分线段
，即点
在线段
上
；
(2)
外分线段
时，①点
在线段
的延长线上
，②点
在线段
的反向延长线上
.
注：若点
分有向线段
所成的比为
,则点
分有向线段
所成的比为
.
3.线段的定比分点坐标公式：
设
，
，点
分有向线段
所成的比为
，则定比分点坐
标公式为
. a
特别地，当
时，就得到线段
的中点坐标公式
说明：
(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确
，
、
的意义，即分
别为分点，起点，终点的坐标.
(2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些
点确定对应的定比
.
八、平移公式
如果点
按向量
平移至
，则
；
曲线
按向量
平移得曲线
.
九、向量中一些常用的结论
1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用
2.模的性质：
.
(1)右边等号成立条件：
同向或
中有
；
(2)左边等号成立条件：
反向或
中有
；
(3)当
不共线
.
3.三角形重心公式
在
中，若
，
，
，则其重心的坐标为
.
4.三角形“三心”的向量表示
(1)
为△
的重心，
特别地
为△
的重心.
(2)
为△
的垂心.
(3)
为△
的内心；
向量
所在直线过△
的内心.
5.点
分有向线段
所成的比
向量形式
设点
分有向线段
所成的比为
，若
为平面内的任一点，则
，特别地
为有向线段
的中点
.
6. 向量
中三终点
共线
存在实数
，使得
且
．
三角函数
知识体系：
大纲
解读：
1.了解任意角弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化
2.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义
3.能利用单位圆中的三角函数线推导出正弦、余弦、正切的诱导公式，会用三
角函数线解决相关问题
4.熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值和
简单恒等式的证明．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述
不同的具体问题
5.理解正弦、余弦函数在区间
的性质（如单调性、最大值和最小值以及与
轴的交点等），理解正切函数在区间
的单调性
6.了解函数
的物理意义，能画出
的图象，了解
参数
对函数图象的影响
7.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单实
际问题
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知识清单：
三角函数
一、任意角和弧度制
1.任意角
2.角
的始边与
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，就叫做第几象限角，
终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等）.
3.弧度制：半径为
的圆心角
所对弧长为，则
（弧度或
）．
4.与角（弧度）终边相同的角的集合为
，其意义在于
的
终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变．
注：弧度或
可省略
5.两制互化：周角=
（弧度），即
．
（弧度）
故在进行两制互化时，只需记忆
，
两个换算单位即可.
6.弧长公式：
扇形面积公式：
注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的
弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有
如图所示:
二、任意角的三角函数
1．定义
已知角
终边上的任一点
（非原点
），则
到原点
的距离
．
．
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广．类比，对
，邻
，斜
，
如下图所示．
（斜）
（对）
（邻）
2．单位圆中的三角函数线
以
为第二象限角为例．角
的终边交单位圆于
，
垂直
轴于
，
的
终边或其反向延长线交单位圆切线
于
，如图所示，由于取
为第二象限角，
,
,
．
3．三角函数象限符号与单调性
在单位圆中
，则：
(1)
，即
终边与单位圆交点的纵坐标
即为
的正弦值
．
如下图所示，
的特征为：
(2)
，即
终边与单位圆交点的横坐标
即为的余弦值
．
如下图所示，
的特征为：
(3)
．如下图所示，
的特征为：
三、同角三角函数的基本关系、诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
2．诱导公式
(1)
(2)奇偶性：
．
(3)
奇变偶不变，符号看象限
①先将诱导三角函数式中的角统一写作
②无论有多大，一律视为锐角，判断
所处的象限，并判断题设三角函数
在该象限的正负
③当
为奇数时，“奇变”，正变余，余变正；当
为偶数时，“偶不变”函数
名保持不变即可．
四、“五点法”作图原理
1.在确定正弦函数
的图象时，起关键作用的
个点是
2.在确定余弦函数
的图象时，起关键作用的
个点是
五、三角函数的图象与性质
在
上的图象
定义域
值域(有界性)
最小正周期(周期性)
奇偶性(对称性)
奇函数
偶函数
单调增区间
单调减区间
对称轴方程
对称中心坐标
最大值及对应自变量值
时
时
最小值及对应自变量值
时
时
函数
正切函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数，图象关于原点对称
单调性
在
上是单调增函数
对称轴
无
对称中心
六、
与
的图象与性质
(1)最小正周期：
(2)定义域与值域：
，
的定义域为
，值域
为
(3)最值
假设
．
①对于
，
②对于
，
(4)对称轴与对称中心．
假设
．
①对于
，
②对于
，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心
是相应函数与
轴交点的位置．
(5)单调性
假设
．
①对于
，
②对于
，
(6)平移与伸缩
由函数
的图象变换为函数
的图象的步骤
方法一：
．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨
采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图象，使之变形．
方法二：
．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
注：在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移（先周期后相位）
在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是
对变量
而言的，即图象变换要看“变量
”发生多大变化，而不是“角
”
变化多少．
三角恒等变换
知识体系：
大纲解读：
1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.能正确运用三角公式，进行简单的化简、求值和恒等式证明
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知识清单：
三角恒等变换
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角和与差的余弦公式
2.两角和与差的正弦公式
3.两角和与差的正切公式
二、二倍角的正弦、余弦和正切公式
1.二倍角的正弦公式
2.二倍角的余弦公式
3.二倍角的正切公式
三、降幂公式
；
；
四、辅助角公式
，
五、三角函数的化简
1.常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角
化同角；③三角公式的逆用等.
2.化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量
少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.
六、三角函数的求值
1.给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，
利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
2.给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题
的关键在于“变角”，如
等，把所求角用含
已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
3.给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所
求角的范围及函数的单调性求得角.
七、三角函数的证明
1.三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁
为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
2.三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采
用代入法、消参法或分析法进行证明.
