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专题四
三角函数与解三角形
第十二讲解三角形
2019
年
1.(2019
17)
全国Ⅰ理
ABC
△
的内角
，设
A
B
C
a
b
c
，
，
的对边分别为
，
，
2
2
(sin
sin
)
sin
sin
sin
B
C
A
B
C
−
=
−
．
（）求
；
1
A
（）若
2
2
2
a
b
c
+
=
，求
．
sinC
2.（2019 全国Ⅱ理15）
ABC
△
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c .若
π
6,
2 ,
3
b
a
c B
=
=
=
，
则
ABC
△
的面积为__________.
3.（2019 全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知
sin
sin
2
A
C
a
b
A
+
=
．
（1）求B；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且c=1，求△ABC 面积的取值范围．
4.（2019 江苏12）如图，在
ABC
△
中，
是
的中点，
，
与
D
BC
E 在边
上，
AB
BE
EA
=2
AD
CE 交于点O .若
6
AB AC
AO EC
=
，则AB
AC
的值是 .
5.（2019
15
江苏
）
中，角，，的对边分别为，，
在△ABC
A
B
C
a
b
c．
（1）若a=3c
b
，= 2 ，cos =
B 2
3
，求
的值；
c
（2）若
sin
cos
2
A
B
a
b
=
，求
sin(
)
2
B
+
的值．
6.（2019 浙江14）在
ABC
△
中，
90
ABC
=
，
4
AB =
，
3
BC =
，点D 在线段AC 上，
若
45
BDC
=
，则BD = ____，
cos
ABD
= ________.
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7.（2019 北京15）在
ABC
△
中，
a = 3，
b
c
- = 2 ，
1
cos
2
B = −
．
（Ⅰ）求
的值；
b c
,
（Ⅱ）求
sin(
)
B
C
-
的值.
8.
2019
（
天津理15）在
ABC
△
中，内角
, ,
A B C所对的边分别为, ,
a b c .已知
2
b
c
a
+
=
，
3 sin
4 sin
c
B
a
C
=
.
（Ⅰ）求cos B的值；
（Ⅱ）求
sin 2
6
B
+
的值.
2010-2018
年
一、选择题
1
(2018
．
全国卷Ⅱ在
)
△ABC中，
5
cos 2
5
=
C
，
1
=
BC
，
5
=
AC
，则
=
AB
A．4 2 B．
30
C．
29
D．2 5
2
(2018
)
．
全国卷Ⅲ
ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC
的面积
为
2
2
2
4
a
b
c
+
−
，则C =
A．2
B．3
C．4
D．6
3
2017
．（
山东）在
ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC
为锐角三
角形，且满足
sin
(1 2cos
)
2sin
cos
cos
sin
B
C
A
C
A
C
+
=
+
，则下列等式成立的是
A．
2
a
b
=
B．
2
b
a
=
C．
2
A
B
=
D．
2
B
A
=
4．（2016 年天津）在ABC
中，若
= 13
AB
，BC =3，
120
C
=
，则
AC=
A
1
B
2
C
3
D
4
．
．
．
．
5
2016
．（
年全国III）在
ABC
△
中，
π
4
B =
，
边上的高等于
BC
1
3
BC ,则cos A=
A． 3 10
10
B．
10
10
C．
10
10
-
D．
3 10
10
-
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6
(2014
．
新课标Ⅱ钝角三角形
)
ABC 的面积是1
2 ，
1
AB = ，
2
BC =
，则AC =
A
5 B
．
．
5
C
2
．
D
1
．
7．(2014
)
重庆已知ABC
的内角A ，B ，C 满足
sin2
sin(
)
A
A
B
C
+
−
+
=
sin(
)
C
A
B
−
−
1
2
+
，面积S 满足
1
2
S
≤≤
，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不
等式一定成立的是
A．
8
)
(
+c
b
bc
B．
(
)
16 2
ab a b
+
C．
12
6
abc
D．
12
24
abc
8
2014
．（
江西）在ABC
中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若
2
2
(
)
6
c
a
b
=
−
+
，
3
C
=
，则
ABC
的面积是
A
3 B
．
．
2
3
9
C．
2
3
3
D．
3
3
9
2014
．（
四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75 ，30 ，
此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于
A
C
B
60m
75°
30°
A．
240( 3 1)m
−
B．
180( 2 1)m
−
C．
120( 3 1)m
−
D．
30( 3 1)m
+
10．（ 2013 新课标Ⅰ）已知锐角ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，
2
23cos A+
cos2
0
A =
，
7
a =
，
6
c =
，则 b =
A．10
B
．9
C
．8
D
．5
11．（2013 辽宁）在ABC
，内角
, ,
A B C 所对的边长分别为, ,
a b c ．若
sin
cos
a
B
C+
1
sin
cos
2
c
B
A
b
=
，且a
b
，则
B
=
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
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12．（ 2013 天津）在
中，
△ABC
,
2,
3,
4
AB
BC
ABC
=
=
=
则
sin BAC
=
A．
10
10
B
．10
5
C
． 3 10
10
D
．
5
5
13． （
陕西）设△
的内角
所对的边分别为
若
2013
ABC
A B C
, ,
a b c
, , ,
cos
cos
sin
b
C
c
B
a
A
+
=
,
则△
的形状为
ABC
A．锐角三角形
B
．直角三角形
C
．钝角三角形
D．不确定
14．（2012 广东）在ABC
中，若
60 ,
45 ,
3 2
A
B
BC
=
=
=
，则
AC =
A．4 3
B．2 3
C．
D．
15．
（2011 辽宁）△ABC 的三个内角
，
A B，C 所对的边分别为，
a b，c，
2
sin
cos
cos
a
A
B
b
A
+
2a
=
，则
=
a
b
A．2 3
B．2 2
C．
3 D．
2
16．（2011 天津）如图，在△ABC中，D是边AC 上的点，且
,2
3
AB
AD
AB
BD
=
=
，
2
BC
BD
=
，则sinC 的值为
B
A
C
D
A．
3
3
B．
3
6
C．
6
3
D．
6
6
16．
（2010 湖南）在
ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边长分别为, ,
a b c．若
120
C
=
，
2
c
a
=
，
则
A．a
b
B．a
b
C．a
b
=
D．a 与b 的大小关系不能确定
二、填空题
18．(2018
)
江苏在
ABC
△
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，
120
ABC
=
，
ABC
的平
分线交AC
于点D，且
1
BD = ，则4a
c
+
的最小值为
．
19．(2018
)
浙江在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若
7
a =
，
2
b =
，
60
A =
，则sin B =___________，c =___________
．
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20．（2017 浙江）已知ABC
,
4
AB
AC
=
=
,
2
BC =
． 点D 为AB 延长线上一点,
2
BD =
,
连结CD,则
BDC
的面积是___________，
cos
BDC
=__________．
21．（2017 浙江）我国古代数学家刘徽创立的割圆术可以估算圆周率
“
”
，理论上能把的
值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了割圆术
“
”，将的值精确到小数点后七位，其
结果领先世界一千多年，割圆术的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积
“
”
6
S ，
6
S =
．
22．（ 2016 年全国II）
ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
4
cos
5
A =
，
5
cos
13
C =
， 1
a = ，则 b =
．
23．(2015
)
广东设ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a，b，c ．若
3
a =
，
1
sin
2
=
，
6
C
=
，则 b =
．
24．（ 2015 福建）若锐角ABC
的面积为
10 3 ，且
5
AB =
，
8
AC =
，则BC 等于
．
25．（ 2015 新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，
75
A
B
C
=
=
=
，
2
BC =
，则AB
的取值范围是_______．
26．（
北京）在
2015
ABC
△
中， 4
a =
， 5
b = ， 6
c =
，则sin2
sin
A
C
=
．
27．（2015 天津）在ABC
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c，已知
ABC
的面积为
3 15 ，
2
b
c
−=
，
1
cos
4
A = −
，则a 的值为
．
28．（2015 湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧
一山顶
在西偏北
D
30
的方向上，行驶
后到达
600m
B 处，测得此山顶在西偏北75 的
方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD =
m
．
29．
（2014 新课标Ⅰ）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从
A 点测得M 点的仰角
60
MAN
=
，C 点的仰角
45
CAB
=
以及
75
MAC
=
；
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从C 点测得
60
MCA
=
．已知山高
100
BC
m
=
，则山高
MN = ____m ．
C
N
A
B
M
30．（ 2014 广东）在ABC
中，角
C
B
A
,
,
所对应的边分别为
c
b
a
,
,
．已知cos
b
C +
cos
2
c
B
b
=
，则
=
b
a
．
31．（ 2013 安徽）设ABC
的内角
, ,
A B C 所对边的长分别为, ,
a b c ．若
2
b
c
a
+
=
，则
3sin
5sin
,
A
B
=
则角C =_____.
32．（ 2013 福建）如图ABC
中，已知点
在
边上，
D
BC
AD⊥AC，
2 2
sin
3
BAC
=
，
3 2
AB =
，
3
AD =
，则BD 的长为_______________．
A
B
C
D
33．（ 2012 安徽）设ABC
的内角
, ,
A B C 所对的边为, ,
a b c ；则下列命题正确的是
．
①若
2
ab
c
；则
3
C
②若
2
a
b
c
+
；则
3
C
③若
3
3
3
a
b
c
+
=
；则
2
C
④若
(
)
2
a
b c
ab
+
；则
2
C
⑤若
2
2
2
2
2
(
)
2
a
b c
a b
+
；则
3
C
34．（ 2012 北京）在ABC
中，若
1
2,
7,cos
4
a
b
c
B
=
+
=
= −
，则b=
．
35．（ 2011 新课标）ABC
中，
60 ,
3,
B
AC
=
=
，则
的最大值为
AB
BC
+2
____．
36．（ 2011 新课标）ABC
中，
120 ,
7,
5
B
AC
AB
=
=
=
，则
ABC
的面积为_ __．
37．（ 2010 江苏）在锐角三角形ABC ，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，
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6cos
b
a
C
a
b
+
=
，则
tan
tan
tan
tan
C
C
A
B
+
=___
_
___ ．
38．（ 2010 山东）在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
2,
2
a
b
=
=
，
sin
cos
2
B
B
+
=
，则角A的大小为
．
三、解答题
39．（2018 北京）在ABC
中，
7
a =
， 8
b =
，
1
cos
7
B = −
．
(1)求
A
；
(2)求AC 边上的高．
40．
（2018 全国卷Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，
90
ADC
=
，
45
A
=
，
2
AB =
，
5
BD =
．
(1)求
cos
ADB
；
(2)若
2 2
DC =
，求BC ．
41．（2018 天津）在
ABC
△
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知
sin
cos(
)
6
b
A
a
B
=
−
．
(1)求角B
的大小；
(2)设
2
a =
， 3
c =
，求b 和
sin(2
)
A
B
−
的值．
42．（ 2017 新课标Ⅰ）ABC
的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b，c ，已知ABC
的
面积为
2
3sin
a
A
(1)求
sin
sin
B
C；
(2)若
6cos
cos
1
B
C = ， 3
a =
，求ABC
的周长．
43．（ 2017 新课标Ⅲ）ABC
的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
已知
sin
3cos
0
A
A
+
=
，
2 7
a =
，
2
b =
．
(1)求c ；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求
ABD
的面积．
44．（ 2017 新课标Ⅱ）ABC
的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
已知
2
sin(
)
8sin 2
B
A
C
+
=
．
(1)求cosB
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(2)若
6
a
c
+
=
，ABC
面积为2，求b．
45．（ 2017 天津）在
ABC
△
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c．已知a
b
，
5
a =
，
6
c =
，
3
sin
5
B =
．
（Ⅰ）求b 和
sin A 的值；
（Ⅱ）求
π
sin(2
)
4
A+
的值．
46．（2017 北京）在ABC
中，
A
=60°，
3
7
c
a
=
．
（Ⅰ）求sinC 的值；
（Ⅱ）若
7
a =
，求
ABC
的面积．
47．（ 2016 年山东）在
中，角
，，
△ABC
A
B
C 的对边分别为，
a
b
c
，，已知
tan
tan
2(tan
tan
)
.
cos
cos
A
B
A
B
B
A
+
=
+
（Ⅰ）证明：
2
a
b
c
+
=
；
（Ⅱ）求cosC 的最小值．
48．（ 2016 年四川）
中，角
，，
在△ABC
A
B
C 所对的边分别是，，
a
b
c，
且
cos
cos
sin
A
B
C
a
b
c
+
=
．
（）证明：
I
sin
sin
sin
A
B
C
=
；
（）若
II
2
2
2
6
5
b
c
a
bc
+
−
=
，求tan B .
49．（ 2016 年全国）
I
ABC
△
的内角A，，
的对边分别为，，
B
C
a
b
c，已知
2cos ( cos
cos )
.
C a
B+b
A
c
=
（）求
；
I
C
（）若
II
7,
c
ABC
△
=
的面积为3 3
2
，求
ABC
△
的周长．
50．（ 2015 新课标）
2
∆ABC
D
中，
是BC 上的点，
∠
，
AD 平分
BAC
∆ABD 面积是∆ADC 面
积的
倍．
2
(
)
Ⅰ求sin
sin
B
C
；
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(Ⅱ) 若AD=1，DC= 2
2
，求
和
．
BD
AC 的长
51．（2015 湖南）设ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，
tan
a
b
A
=
，且B 为钝角．
（）证明：
1
2
B
A
−
=
；
（）求
2
sin
sin
A
C
+
的取值范围．
52．（ 2014 山东）ABC
中，a ，b，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知
6
3,cos
,
3
2
a
A
B
A
=
=
=
+
．
（Ｉ）求b 的值；
（）求
II
ABC
的面积．
53．（
安徽）设
2014
ABC
的内角
, ,
A B C 所对边的长分别是
, ,
a b c，且 3
b =
， 1
c =
，
2
A
B
=
．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求
sin(
)
4
A
+
的值．
54．（2013新课标Ⅰ）如图，在△
中，∠
＝
ABC
ABC
90°，
，
，为△
AB= 3
BC=1
P
ABC内一
点，∠
＝
BPC
90°
（Ⅰ）若PB=1
2
，求
；
PA
（Ⅱ）若∠APB＝150°，求
∠
．
tan
PBA
55．
（2013 新课标Ⅱ）ABC
在内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
cos
sin
a
b
C
c
B
=
+
．
（）求
Ⅰ
B ；
（Ⅱ）若
2
b =
，求△ABC面积的最大值．
56．（ 2012 安徽）设△ABC 的内角
C
B
A
,
,
所对边的长分别为, ,
a b c，且有
2sin
cos
B
A =
sin
cos
cos
sin
A
C
A
C
+
．
（Ⅰ）求角
的大小；
A
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（Ⅱ
若
)
2
b =
， 1
c =
，D 为BC 的中点，求AD的长．
57．（ 2012 新课标）已知a 、b 、c 分别为ABC
三个内角A、B 、C 的对边，cos
a
C+
3 sin
0
a
C
b
c
−
−
=
．
（）求
Ⅰ
A；
（Ⅱ）若
2
=
a
，
ABC
的面积为3 ，求b 、c ．
58．（ 2011 山东）在△ABC 中，a ，b ，c分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知
cos
2cos
2
cos
A
C
c
a
B
b
−
−
=
．
（）求
I
sin
sin
C
A
的值；
（II）若
1
cos
4
B =
，
2
b =
，
ABC
的面积S ．
59．（2011 安徽）在ABC
中，a ，b ，c 分别为内角A，B ，C 所对的边长，a=
3 ，
b= 2 ，
1 2cos(
)
0
B
C
+
+
=
，求边
上的高．
BC
60．（2010 陕西）如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 (
)
5 3
3
+
海里的两个观测点，现
位于
点北偏东
°，
A
45
B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南
偏西
°且与
点相距
60
B
20 3
海里的
点的救援船立即即前往营救，其航行速度为
C
30
海里小时，该救援船到达
点需要多长时间？
/
D
61．（ 2010 江苏）某兴趣小组测量电视塔
的高度
AE
H(单位：），如示意图，垂直放置的
m
标杆
的高度
BC
h =4m，仰角∠ABE=，∠ADE= ．
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H
h
d
β
α
E
A
D
B
C
（）该小组已经测得一组
1
、的值，tan=1.24，tan
=1.20，请据此算出
的值；
H
（）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离
2
d（单位：m），
使与
之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为
，试问
125m
d
为多少时，−最大？
