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微考点6-3 圆锥曲线中的定点定值问题（三大题型）
求解直线过定点问题常用方法如下：
①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，
再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
③求证直线过定点
，常利用直线的点斜式方程
.
④设直线为y=kx +m，根据题目给出的条件，转化为坐标之间的关系，利用韦达定理找出k 与m 之间的
关系，即可求出定点。
题型一：圆锥曲线中直线过定点问题
【精选例题】
【例1】已知
为椭圆C：
上一点，点P 与椭圆C 的两个焦点构成的三角形面积
为
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)不经过点P 的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，若直线PA 与PB 斜率的乘积为－1，证明：直线必过
定点，并求出这个定点坐标．
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意求出
即可得解；
（2）设
，分情况讨论，联立方程，利用韦达定理求出
，再根据直线
与
的斜率之积为
即可得出结论.
【详解】（1）由点
与椭圆
的两个焦点构成的三角形面积为
可知
，
解得：
，
，
椭圆
的标准方程：
；
（2）设
，
当直线不平行于
轴时，设方程为：
，由不经过点
知
由
得
，
，
，
，
，
，
，
，过定点
当直线平行于
轴时，
，设
由
和
的方程联立解得
，
方程为：
，过定点
综上，直线必过定点
．
【例2】已知椭圆
的离心率
，且椭圆
经过点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
且斜率不为零的直线与椭圆
交于
两点，
关于
轴的对称点为
，求证：直线
与
轴交于定点
.
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【分析】（1）利用离心率以及椭圆经过点的坐标联立解方程组，即可求得椭圆
的标准方程；
（2）设直线
的方程为
并于椭圆联立，利用韦达定理写出直线
的方程，求出点
横坐标表
达式即可得
.
【详解】（1）由离心率可得
，
将点
代入椭圆方程可得
，又
；
解得
，
所以椭圆C 的方程为
（2）设点
，
，则
，直线
的方程为
，
直线
与椭圆
联立，消去
，得
，
则可得
，
，
易知
，得
由题意，直线
的方程为
，
令
，所以点
的横坐标
，
所以直线
与
轴交于定点
【跟踪训练】
1．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含
丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：
步骤1：设圆心是
，在圆内异于圆心处取一定点，记为
；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点
（即折叠后图中的点
与点
重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与
的交点为
；
步骤4：不停重复步骤2 和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4 的圆形纸片，设点
到圆心
的距离为
，按上述方法折纸.以线段
的中点为原点，线
段
所在直线为
轴建立平面直角坐标系
，记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)设轨迹
与
轴从左到右的交点为点
，
，点
为轨迹
上异于
，
，的动点，设
交直线
于
点
，连结
交轨迹
于点
.直线
、
的斜率分别为
、
.
（i）求证：
为定值；
（ii）证明直线
经过
轴上的定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析，该定点的坐标为
【分析】（1）由折纸的对称性，可知
，从而确定点
的轨迹；
（2）（i）设点
，
，
，根据斜率公式分别求出
、
，结合椭圆方程证明；
（ii）设直线
的方程为
，直曲联立，结合韦达定理和（i）的结论求出
，根据直线方程即可求
出定点.
【详解】（1）由题意可知，
，
故点
的轨迹是以
，
为焦点，且长轴长
的椭圆，
焦距
，所以
，
因此轨迹
方程为
.
（2）证明：（i）设
，
，
，
由题可知
，
如下图所示：
则
，
，
而
，于是
，
所以
，
又
，则
，
因此
为定值.
（ii）设直线
的方程为
，
，
，
由
，得
，
所以
.
由（i）可知，
，
即
，
化简得
，解得
或
（舍去），
所以直线
的方程为
，
因此直线
经过定点
.
【点睛】本题第二问（ii）解题关键是设出直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理结合（i）的结论列方程
可得.
2．已知椭圆
的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点
，
，
，
为椭圆
上关于
轴对称的两点（不与点B 重合），
，直线
与椭圆
交于另一点
，直线
垂直于直线
，
为垂足．
(1)求
的方程；
(2)证明：（i）直线
过定点，（ii）存在定点
，使
为定值．
【答案】(1)
；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）设方程为
，代入
点的坐标，得出方程组，求解即得.
（2）（i）设
的方程为
，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出
的
方程为
，令
，整理可得
，即可得出定点；（ii）由已知可得
，即
可得出
的轨迹，得出答案.
【详解】（1）设
的方程为
，则
，解得
，
所以
的方程为
.
（2）（i）依题意，直线
的斜率存在且不为0，设
的方程为
，
设点
，
，则
，
由
消去
并整理得
，则
，
，
，显然
，
直线
的斜率
，直线
的方程为
，
令
，则
，
所以直线
恒过定点
.
（ii）令直线
过的定点
为点
，由
，
在
上，得
，
则点
在以
为直径的圆上，从而
的中点
为定点，使
为定值
.
【点睛】思路点睛：设
的方程为
，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.
进而整理化简，即可得出定点坐标.
题型二：圆锥曲线中圆过定点问题
【精选例题】
【例1】已知椭圆
：
（
）的离心率为
，其左､右焦点分别为
，
，
为椭圆
上任意一点，
面积的最大值为1.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知
，过点
的直线与椭圆
交于不同的两点
，
，直线
，
与
轴的交点分别
为
，
，证明：以
为直径的圆过定点.
【答案】(1)
，(2)证明见解析
(1)解：因为椭圆
的离心率为
，所以
.又当
位于上顶点或者下顶点时，
面积最大，即
.
又
，所以
，
.所以椭圆
的标准方程为
.
(2)解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为
，设
，
，将直线
代入椭圆
的方程得：
，由韦达定理得：
，
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，所以
，
，
所以以
为直径的圆为
，整理得：
.①因为
，
令①中的
，可得
，所以，以
为直径的圆过定点
.
【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
：
过点
，离心率为
，其左右
焦点分别为
，
．
(1)若点P 与
，
的距离之比为
，求直线
被点P 所在的曲线
截得的弦长；
(2)设
，
分别为椭圆
的左、右顶点，Q 为
上异于
，
的任意一点，直线
，
分别与椭圆
的右准线交于点M，N，求证：以
为直径的圆经过x 轴上的定点．
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【分析】根据题意，利用
上的点
和离心率得
及
；
（1）由点
与
，
的距离之比化简整理得到点
的轨迹方程是一个圆，利用利用勾股定理可得弦长；
（2）根据题意，写出直线
，
的直线方程并求其右准线交于点M，N 的坐标，假设
轴上存在点
在以
为直径的圆上，利用
求出的值，从而得证以
为直径的圆经过x 轴上的定点.
【详解】（1）因为椭圆
：
过点
，所以
．
又因为离心率
，即
，故
，
所以
，即
，所以
，则
，
．
设
，则
，即
，
所以点
的轨迹为圆心
，半径
的圆．
其圆心
到直线
的距离为
，
所以弦长
．
故直线
被点P 所在的曲线
截得的弦长为
.
（2）证明：由（1）知
，所以
，
，右准线
．
设
，
，
由
：
，则
，
同理
．
假设
轴上存在点
在以
为直径的圆上，则
因为
，
因为Q 点在椭圆上，所以
，即
，
所以
，即
，解得
或
，
点
和
都满足题意.
所以以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点
和
.
【跟踪训练】
1.设椭圆
的离心率为
，点
为椭圆上一点，
的周长为.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设动直线
与椭圆
有且只有一个公共点
，且与直线
相交于点
.问：
轴上是否存在
定点
，使得以
为直径的圆恒过定点
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
；(2)存在，
.
(1)由
可得
，①
的周长为
，所以
，即
② 联立
①②得：
，
，
，∴椭圆的方程为
；
(2)设点
．由
，得
，
，化简得
，∴
，
∴
．由
，得
，假设存在点
，则
，
， ∵以
为直径的圆恒过
点，∴
，
即
，∴
对任意
都成立．
则
，解得
，故存在定点
符合题意．
2.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：
的长轴长为4，且经过点
，其中e
为椭圆C 的离心率.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点
的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为
，直线
交x 轴于点Q，过点
Q 作l 的垂线
，垂足为H，求证：点H 在定圆上.
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的长轴长，以及椭圆过的点，求出b 的值，即可求得答案；
（2）设l 的方程为
，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合
的方程可求得Q 点坐标，
从而可得
的方程，并求出其过定点，结合垂直关系，即可证明结论.
【详解】（1）因为椭圆C：
的长轴长为
，所以
，
因为椭圆
经过点
，所以
，
又
，所以
，
整理得
，解得
或
(舍)．
所以椭圆C 的方程为
（2）证明：由题意可知，l 的斜率存在，
设l 的方程为
，
，则
．
由
，得
，
，
所以
，
因为
的方程为
，
令
，得
，
即
，
因为
，
①当
时，
的斜率为
，则
的方程为
，即
，
所以
恒过点
．
②当
时，l 的方程为
，
，则
的方程为
，
此时
也过点
．
综上，
恒过定点
，
由题意可知
，故点H 在以PM 为直径的定圆上．
【点睛】：关键点睛：本题第二问证明点H 在定圆上，关键在于推出直线
过定点
，从而结合
，即可证明结论.
题型三：圆锥曲线中圆过定值问题
【精选例题】
【例1】在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的离心率为
，且右焦点
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆
上的任一点
，从原点
向圆
引两条切线，设两条切线的斜
率分别为
，
（i）求证：
为定值；
（ii）当两条切线分别交椭圆于
时，求证：
为定值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）直接列出关于
的方程组求解；
（2）（i）写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径可以得出
与
的关系，从而得出
是某
个一元二次方程的解，利用韦达定理可得；
（ii）设
，利用
及椭圆方程求得
，再求得
后可得
．
【详解】（1）题意，
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）（i）证明：依题意，两条切线方程分别为
，
由
，化简得
，
同理
.
所以
是方程
的两个不相等的实数根，
则
.
又因为
，所以
，
所以
.
（ii）证明：由（
得，
，设
，则
，即
，
因为
，所以
，
得
，即
，
解得
，
所以
，
所以
为定值.
【例2】已知椭圆
：
离心率
，且经点
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A，B 两点，交直线
于点D，且
，设直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，若
，证明
为定值．
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得
，解方程求出
，即可得出答案；
（2）设
，
，设直线
方程为：
，将直线
方程与随圆方程联立，得到关
于
的一元二次方程，根据韦达定理，可得
的表达式，由此表示出
，再
代入
化简即可得出答案.
【详解】（1）由题意知
，解得
，
，
故椭圆
的标准方程为
．
（2）由题意直线
的斜率一定存在，由（1）知，则椭圆的右焦点的坐标为
，
设直线
方程为：
，
坐标为
．所以
，
设
，
，将直线
方程与随圆方程联立，
∴
，又
恒成立，
由韦达定理知，
，
，
∴
∴
【点睛】关键点睛：解题的关键是根据直线
方程得到
坐标为
，则
，直线
方程与
随圆方程联立，化简整理，结合韦达定理表示出
，代入化简即可得出答案.
【例3】已知椭圆
过点
，离心率
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设过点
的斜率为
直线交椭圆
于另一点
，若
的面积为2，其中
为坐标原点，求直线的
斜率
的值；
(3)设过点
的直线
交椭圆
于点
，
，直线
，
分别交直线
于点
，
．求证：线
段
的中点
为定点．
【答案】(1)
(2)0
(3)证明见解析
【分析】（1）根据给定条件，列出关于
的方程组并求解即得.
（2）由点斜式写出直线的方程，与椭圆方程联立结合三角形面积求出k 值即得.
（3）设出直线
的方程，与椭圆方程联立，求出点
的坐标，结合韦达定理计算得解.
【详解】（1）令椭圆半焦距为c，依题意，
，
解得
，
，
，所以椭圆
的方程为
．
（2）设直线的方程为
，
，
则原点到直线
的距离为
，
由
消去
并化简得
，
显然
，设
，有
，则
，
于是
，
则
，解得
，
所以直线的方程为
．
（3）依题意，直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，
由
，消去
并化简得
，
则
，
，
由
，得
，所以
，
显然直线
，
的斜率存在，直线
的方程为
，
令
，得
，
同理得
，
所以
，
所以线段
的中点
为定点
.
【点睛】结论点睛：过定点
的直线l：y=kx+b 交圆锥曲线于点
，
，则
面积
；
过定点
直线l：x=ty+a 交圆锥曲线于点
，
，则
面积
.
【跟踪训练】
1．如图，D 为圆O：
上一动点，过点D 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A，B，连接
并
延长至点W，使得
，点W 的轨迹记为曲线
．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若过点
的两条直线，
分别交曲线C 于M，N 两点，且
，求证：直线MN 过定点；
(3)若曲线C 交y 轴正半轴于点S，直线
与曲线C 交于不同的两点G，H，直线SH，SG 分别交x 轴于
P，Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R，使得
？若存在，求出点R 坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)存在，
【分析】（1）设
，求得D 点并代入
，化简求得曲线C 的方程；
（2）设的方程为
，直线
的方程为
，将直线
的方程与曲线C 的方程联立，求
得M，N 的坐标，对
进行分类讨论，由此证得直线
过定点并求得定点坐标；
（3）假设存在点
使得
，先求得
，设出G，H 的坐标，由直线SH
和直线SG 的方程求得P，Q 两点的坐标，结合G 在曲线C 上求得R 点的坐标．
【详解】（1）设
，
，则
，
由题意知
，所以
，得(
，所以
，
因为
，得
，故曲线C 的方程为
．
（2）由题意可知，直线
不平行坐标轴，
则可设的方程为：
，此时直线
的方程为
．
由
，消去
得：
，
解得：
或
(舍去)，所以
，
所以
，同理可得：
．
当
时，直线
的斜率存在，
，
则直线
的方程为
，
所以直线
过定点
．
当
时，直线
斜率不存在，此时直线
方程为：
，也过定点
，
综上所述：直线
过定点
．
（3）假设存在点R 使得
，设
，
因为
，所以
，即
，
所以
，所以
，
直线
与曲线C 交于不同的两点G、H，易知G、H 关于
轴对称，
设
，
易知点
，直线
方程是
，
令
得点P 横坐标
，
直线
方程是
，令
得点Q 横坐标
，
由
，得
，又
在椭圆上，
所以
，所以
，解得
，
所以存在点
，使得
成立．
3．已知椭圆
的长轴长为4，离心率为
，定点
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线
与椭圆
分别交于点
（
不在直线
上），若直线
，
与椭圆
分别交于点
，
，且直线
过定点
，问直线
的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
；(2)直线
的斜率为定值1
【分析】（1）由长轴长和离心率可求出
，结合关系式可求出
，进而求出椭圆
的方程；
（2）可设
，
，
，
，由
，
得
，将
，
代入椭圆整理得
，联立
求得
，同理求得
，结合
，化简
求出
，
由
即可求解.
【详解】（1）由椭圆
的长轴长为4 可知
，
又椭圆
的离心率为
，即
，所以
，则
，
因此椭圆
的方程为
；
（2）
直线
的斜率为定值，定值为1，
证明：设
，
，
，
，，
，
，
由
，有
，
因为
，
在椭圆上，
所以
，
，因此
，
整理得
，
即
，因此
，
联立
，
解得
，同理
，
又因为直线
过定点
，所以
，
将
，
，
，
代入，
有
，整理得
，
又
，所以
．
综上，直线
的斜率为定值1．
【点睛】关键点睛：本题涉及的量比较多，关键是设而不求，整体代换的思想的应用.
4．已知椭圆C：
的左、右顶点分别为A，B，其离心率为
，点P 是C 上的一点
（不同于A，B 两点），且
面积的最大值为
．
(1)求C 的方程；
(2)若点O 为坐标原点，直线AP 交直线
于点G，过点O 且与直线BG 垂直的直线记为l，直线BP 交y
轴于点E，直线BP 交直线l 于点F，试判断
是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
；(2)是定值，
.
【分析】（1）根据离心率及焦点三角形性质、椭圆参数关系求参数，即可得方程；
（2）设
，且
，求得
，再根据已知可得直线
，而
直线
，进而求出
坐标，过
作
轴，利用等比例关系求
即可得结论.
【详解】（1）由题意
，故
.
（2）由（1）及题设知：
，直线
的斜率存在且不为0，
设
，则
，即
，
所以
，又过点O 且与直线BG 垂直的直线记为l，则
，
故直线
，而直线
，则
，
联立
，而
，可得
，
所以
，故
，过
作
轴，如图，
所以
为定值.
1．设椭圆
：
的左、右顶点分别为C，D，且焦距为2.F 为椭圆的右焦点，点M 在椭
圆上且异于C，D 两点.若直线
与
的斜率之积为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
作一条斜率不为0 的直线与椭圆E 相交于A，B 两点（A 在B，P 之间），直线
与椭圆E
的另一个交点为H，求证：点A，H 关于x 轴对称.
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【分析】（1）根据直线
与
的斜率之积得到
，故
，结合焦距得到
，
，得到椭圆方程；
（2）设出直线
方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出
，得到结论.
【详解】（1）由题意有
，
，
设
，
，化简得
，结合
，
可得
，
由椭圆焦距为2，有
，得
，
，
椭圆E 的标准方程为
；
（2）显然直线
方程斜率不存在时，与椭圆方程无交点，
根据椭圆的对称性，欲证
，H 关于
轴对称，
只需证
，即证
，
设
，
，直线
方程为
，
由
消去
得
，
，解得
，
所以
，
.
则
，
因为
，
所以
，即A，H 关于
轴对称.
2．已知椭圆E：
的左、右焦点分别为
，
，左顶点为A，
，P 是椭圆E 上
一点（异于顶点），O 是坐标原点，Q 在线段
上，且
∥
，
．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若直线l 与x 轴交于点C、与椭圆E 交于点M，N，B 与N 关于x 轴对称，直线MB 与x 轴交于点D，证
明：
为定值．
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【分析】（1）利用三角形中位线定理结合椭圆的定义及已知条件可求出
，再由
可求出，然后
由
可求得
，从而可求出椭圆方程；
（2）由题意知直线MN，MB 的斜率均存在且均不为零，设
，
，
，
，然
后表示出直线MN，MB 的方程，分别与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，得到两个
相等，化简
可得结论.
【详解】（1）由题知，O 是线段
的中点，Q 在线段
上，
∥
，
则Q 是线段
的中点，可得
，
，
所以
，即
，
又因为
，则
， 可得
，
所以椭圆E 的标准方程为
．
（2）由题意知直线MN，MB 的斜率均存在且均不为零，
设
，
，
，
，则
，
可得直线MN 的方程为
，直线MB 的方程为
，
联立方程
，
消去y 并整理得
，
则
，
，
联立方程
，
消去y 并整理得
，
则
，
．
因为
，
即
，
整理得
，
当
时，
，即
；
当
时，C，D，M 三点重合或N，B，C，D 四点重合，此时
；
综上所述：
，为定值．
【点睛】关键点睛：求解定值问题的三个步骤
(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；
(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；
也可令系数等于零，得出定值；
(3)得出结论．
3．已知
为圆
：
上任一点，
，
，
，且满足
.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)过点
的直线与轨迹
相交于
,
两点，是否存在与点
不同的定点
，使
恒成立？若
存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，R 的坐标为
【分析】（1）由
可得
，根据向量的加法以及数量积运算可
，从而得
到
，结合椭圆的定义即可求出其轨迹方程.
（2）当过点
的直线平行于
轴时和垂直于
轴时，求得
，当不平行于
轴时且不垂直于
轴
时，联立方程，利用韦达定理和点
关于
轴的对称点
，结合
，求得
三点共线，从而满
足
，即可判断存在点
不同的定点
.
【详解】（1）圆
：
，圆心
，半径为
，因为
，则
，
因为
，
，则
在线段
上，即
，
又因为
，所以
，即
，
所以动点
的轨迹
是以
为焦点，长轴长为
的椭圆，
设椭圆方程为
，则
，
，则
，
，
所以
，则动点
的轨迹
的方程为
.
（2）设过点
的直线为，
当平行于
轴时，直线与椭圆相交于
两点，如果存在点
满足条件，
则有
，即
，所以
点在
轴上，可设
的坐标为
；
当垂直于
轴时，直线与椭圆相交于
两点，
如果存在点
满足条件，则有
，即
，解得
或
，
所以若存在不同于点
的定点
满足条件，则点
的坐标为
，
当不平行于
轴时且不垂直于
轴时，设直线方程为
，
，
联立
，得
，
因为直线恒过椭圆内定点
，故
恒成立，
，
又因为点
关于
轴的对称点
的坐标为
，
又
，
，
则
，
所以
，则
三点共线，所以
，
综上，存在与点
不同的定点
，使
恒成立，且
.
4．椭圆
的两个焦点分别为
，
，离心率为
，
为椭圆
上任意一点，
不
在
轴上，
的面积的最大值为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的直线与椭圆
相交于M，N 两点，设点
，求证：直线
，
的斜率之和
为定值，并求出定值.
【答案】(1)
；(2)定值，
【分析】（1）根据题意列出方程即可；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，列出表达式利用韦达定理计算即可.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为
，所以
，
设
到
的距离为
，因为
，
所以
，易得当
时
面积取得最大值，
所以
，因为
，
所以
，
，所以椭圆
的方程为
；
（2）证明：如图，易知点
在椭圆外，
设直线的方程为
，
，
，
由
得
，
所以
，
，
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
.
【点睛】关键点点睛：本题的第（2）问的化简，这里化简主要是利用了韦达定理和直线的方程，在化简
过程中同时涉及到通分，计算比较复杂，要认真计算.
5．已知
，
，动圆
与圆
外切且与圆
内切． 圆心
的轨迹
为曲线
．
(1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在过点
的直线交曲线C 于A，B 两点，使得点Q 为中点时，直线的斜率与直线OQ 的
斜率乘积为定值？如果存在，求出这个定值，如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）先根据题意得到圆
与圆
的圆心和半径，再根据题意求得
，
，从
而根据椭圆的定义可知，动点
的轨迹是以
，
为焦点，4 为半长轴长的椭圆，进而即可求得曲线C 的
方程；
（2）先根据题意可得过点
的直线的斜率存在，从而设直线为
，再联立曲线C 的
方程，消
整理得到关于
的一元二次方程，再结合点Q 为中点，从而求得
的值，进而即可得到结论．
【详解】（1）依题意可得圆
的圆心为
，半径为1，圆
的圆心为
，半径为7，
设动圆
的半径为，
由动圆
与圆
外切且与圆
内切，
则
，且
，
则由椭圆的定义可知，动点
的轨迹是以
，
为焦点，4 为半长轴长的椭圆，
所以
，
，
，
故曲线C 的方程的方程为
．
（2）依题意可得过点
的直线的斜率存在，
则设直线为
，
联立
，消
整理得
，
当点Q 为中点时，有
，解得
，
又
，所以
(定值)，
故直线的斜率与直线OQ 的斜率乘积为定值
．
6．已知椭圆
的长轴为双曲线
的实轴，且椭圆
过点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设点
是椭圆
上异于点
的两个不同的点，直线
与
的斜率均存在，分别记为
，若
，试问直线
是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
【答案】(1)
；(2)过定点
，理由见解析
【分析】（1）由题意可得
，
，求出
，从而可得椭圆方程，
（2）分直线
的斜率存在和不存在两种情况讨论，设出直线
的方程，与椭圆方程联立，利用根与系
数的关系，求出直线
与
的斜率，再由
列方程可得参数的关系，代入直线方程可求出直线恒
过的定点.
【详解】（1）因为椭圆
的长轴为双曲线
的实轴，
所以
，
因为椭圆
过点
，所以
，
，得
，
所以椭圆方程为
；
（2）①当直线
的斜率存在时，设其方程为
，
由
，得
，
，
所以
，
，
所以
，
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
化简得
，即
，
所以
或
，
当
时，直线
的方程为
，
则直线过定点
（舍去），
当
时，直线
的方程为
，
所以直线过定点
，
②当直线
的斜率不存在时，设直线为
（
），
由
，得
，所以
，
所以
，
解得
（舍去），或
，
所以直线也过定点
，
综上，直线
恒过定点
.
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为
），
（2）利用条件找到
与过定点的曲线
的联系，得到有关
与
的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点
，使得无论
的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于
与
的等式进行变形，直至找到
，
①若等式的形式为整式，则考虑将含
的式子归为一组，变形为“
”的形式，让括号中式子等于0，
求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去
变为
常数.
8．已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
(1)求椭圆
的标准方程.
(2)已知过右焦点
的直线与
交于
两点，在
轴上是否存在一个定点
，使
？若存在，
求出定点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
；(2)存在，
【分析】（1）由离心率
与定点
代入椭圆方程，建立方程组
待定系数即可；
（2）由
条件转化为
，设直线的方程为
，将斜率坐
标化，利用韦达定理代入，得到
的等式，不论
如何变化，等式恒成立求值即可.
【详解】（1）因为
，所以
.
所以椭圆
的方程为
.
因为点
在椭圆
上，所以
，解得
，
所以
.
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）存在定点
，使
.理由如下：
由（1）知，
，则点
.
设在
轴上存在定点
，使
成立.
当直线斜率为时，直线右焦点
的直线即
轴与
交于长轴两端点，
若
，则
，或
.
当直线斜率不为时，设直线的方程为
，.
由
消去
并整理，得
，
则
.
因为
，所以
，
所以
，即
.
所以
，
即
，
恒成立，
即对
，
恒成立，则
，即
.
又点
满足条件
.
综上所述，故存在定点
，使
.
9．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上、下顶点分别为
，
，且四边形
是面积为8 的正方形．
(1)求C 的标准方程；
(2)M，N 为C 上且在x 轴上方的两点，
，
与
的交点为P，试问
是否为定值？若
是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
；(2)定值为
．
【分析】（1）根据面积求出
，即可得出椭圆方程；
（2）设
，根据相似三角形表示出
，利用直线与椭圆方程化简可得
的和积，
代入化简即可得解.
【详解】（1）椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上、下顶点分别为
，
，因为四边形
是面积为8 的正方形，
所以有
且
，解得
，故
，
所以椭圆的标准方程为
；
（2）由已知
，则
，
设
，因为
，
所以
．
又因为
，所以
，
所以
．
即
．
设
，
的方程分别为：
，
，
设
，
，
则
，
所以
，
因此
，
同理可得：
，因此
，
，
所以
．
所以
为定值，定值为
．
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于运算，大量的运算保证了消参的进行，为求证定值的必要条件，运
算能力的培养是解决问题的关键.
10．已知椭圆
的左､右焦点分别为
，点
在椭圆
上，且满足
轴，
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设椭圆
的右顶点为
，左顶点为
，是否存在异于点
的定点
，使过定点
的任
一条直线均与椭圆
交于
（异于
两点）两点，且使得直线
的斜率为直线
的斜率的2 倍？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
；(2)存在定点
满足题意，
.
【分析】（1）由
轴，得到
，从而得到
，
，再利用椭圆定
义求得a 即可；
（2）假设存在满足题意的定点
，设直线的方程为
，联立
，由
，结合韦达定理求解.
【详解】（1）解：因为
轴，所以
，
解得
所以
.
根据椭圆的定义，得
，
解得
.
又
，所以
，
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）假设存在满足题意的定点
.依题意，设直线的方程为
，
联立
，消去
并整理，得
，
由
，得
.
由根与系数的关系，得
.
由
，得
，
所以
，
即
，
所以
，
所以
，
所以
，
②-①，得
，
当
时，
解得
，
所以
.
又
，所以
.
因为上式在变化时恒成立，所以
.又
，所以
.
此时点
与点
重合，不合题意，舍去；
所以
，即
，
此时点
在椭圆
的内部，满足直线均与椭圆
交于
两点，
所以存在定点
满足题意，
.
11．已知椭圆C：
（
）的离心率为
，其左、右焦点分别为
，
，点P 是坐标
平面内一点，且
（O 为坐标原点）．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点
且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A，B 两点，在y 轴上是否存在定点M，使以AB 为直径的
圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标和
面积的最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
；(2)存在定点
，
面积的最大值为
【分析】（1）根据向量的数量积运算求得
，结合离心率求
，即可得方程；
（2）
，
，联立方程，根据
结合韦达定理分析可知
，再利用弦长公式结合基本不等式求面积最大值.
【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为
，
因为
，
即
，解得
，
又因为
，则
，可得
，
所以椭圆C 的方程为
.
（2）存在，理由如下：
因为
在椭圆内，则动直线l 与椭圆C 必相交，
由题意可设：
，
，
联立方程
，消去y 得
，
则
，
因为
，
若以AB 为直径的圆恒过点M，
则
整理得
，
可得
，
令
，即
，
整理得
，则
，解得
，
即
，可得
，所以
，
又因为
，
点
到直线
的距离
，
则
面积
，
令
，则
，
可得
，
因为
在
上单调递增，且
，则
，
可得
，则
，
所以当且仅当
时，
面积取到最大值
.
【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在；
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
12．已知椭圆
经过点
，且右焦点为
(1)求C 的标准方程；
(2)过点
且斜率不为0 的直线l 与C 交于M，N 两点，直线
分别交直线AM，AN 于点E，F，以EF
为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以EF 为直径的圆过定点
,
【分析】（1）根据条件求出a，b，即可得椭圆方程；
（2）设直线l 的方程为
，联立椭圆方程，利用韦达定理，求出E，F 坐标，通过
，求
出
，即可求得定点坐标
【详解】（1）由题意，
，
，
所以
，
故C 的标准方程为
（2）以EF 为直径的圆过定点，理由如下：
设直线l 的方程为
，联立椭圆方程
，
消去x，整理可得
，
则
，且
，
由直线AM 方程为
，令
，求得点
由直线AN 方程为
，令
，求得点
由对称性可知，若以EF 为直径的圆过定点，则该定点一定在x 轴上，
设该定点为
，则
，
，
可得
由
，解得
，
故以EF 为直径的圆过定点
,
13．已知椭圆
过点
，离心率为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知
的下顶点为
，不过
的直线与
交于点
，线段
的中点为
，若
，试
问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，
【分析】（1）根据题意，列出关于
的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设的方程为
，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由
，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）依题意，得
又
，解得
所以椭圆方程为
.
（2）
因为
，所以
，
又
为线段
的中点，所以
，因此
.
根据题意可知直线的斜率一定存在，设的方程为
，
联立
消去
，
得
，
根据韦达定理可得
，
因为
，
所以
，
所以
，
整理得
，解得
或
.
又直线不经过点
，所以
舍去，
于是直线的方程为
，恒过定点
，该点在椭圆
内，满足
，
所以直线恒过定点，定点坐标为
.
