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微考点6-4 利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题
【考点目录】
考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式
考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式
考点三： 双曲线焦点到渐近线的距离为
考点四：双曲线中，焦点三角形的内心
的轨迹方程为
.
考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式
考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式
考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式
【考点分类】
考点一：椭圆焦点三角形的面积为
（
为焦距对应的张角）
证明：设
．
双曲线中焦点三角形的面积为
（
为焦距对应的张角）
【精选例题】
【例1】（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）已知
为椭圆C：
的两个焦点，P，Q
为C 上关于坐标原点对称的两点，且
，则四边形
的面积为________．
【答案】
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【解析】因为
为
上关于坐标原点对称的两点，且
，所以四边形
为矩形，
设
，则
，所以
，
，即四边形
面积等于
.故答案为：
.
【例2】设
，
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在
上且
，则△
的面积为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
【答案】B【解析】由已知，不妨设
，则
，∵
，
∴点
在以
为直径的圆上]即
是以P 为直角顶点的直角三角形，故
，
即
，又
，
∴
，
解得
，∴
，故选B．
【跟踪训练】
1.设P 为椭圆
上一点，
为左右焦点，若
，则P 点的纵坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式
求解即可.
【详解】由题知
.设P 点的纵坐标为
，则
.
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故选：B
2.设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
．
是
上一点，且
．若△
的面积为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】A 解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为
SPF 1F2=
b
2
tan θ
2
．∴
b2
tan45° =4，则b=2
，
又∵e= c
a=√5
，∴a=1．
考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式
若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且
与
斜率存在时，则
；（焦点在x
轴上时），当焦点在
轴上时，
若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，
（焦点在x 轴上时），当焦点在
轴上时，
下述证明均选择焦点在x 轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设
，
，因为AB 过原点，由对称性可知，点
，所以
kPA⋅kPB = y0−y1
x0−x1
⋅y0+ y1
x0+x1
=
y
02−y
12
x
02−x
12 ．又因为点
，
在椭圆上，所以有
{
x
02
a
2 +
y
02
b
2 =1(1)¿¿¿¿
．
两式相减得
y
02−y
12
x
02−x
12
=−b2
a2
，所以kPA⋅kPB =−b2
a2 ．
中点弦问题证明：
设
，
，
则椭圆
两式相减得
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．
双曲线中焦点在
轴上为
，焦点在
轴上为
，
【精选例题】
【例1】已知椭圆
的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交椭圆于A，B 两点．若AB
的中点坐标为（1，
），则G 的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
=2，
=－2，
， ①
， ②
①－②得
，所以
=
=
=
，
又
=
=
，所以
=
，又9=
=
，解得
=9，
=18，所以椭圆方程为
，
故选D
【例2】过双曲线
：
（
，
）的焦点且斜率不为0 的直线交
于A，
两点，
为
中点，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】先设出直线AB 的方程，并与双曲线
的方程联立，利用设而不求的方法及条件
得到
关于
的关系，进而求得双曲线
的离心率
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【详解】不妨设过双曲线
的焦点且斜率不为0 的直线为
，令
由
，整理得
则
，
则
，由
，可得
则有
，即
，则双曲线
的离心率
，故选：D
【例3】已知椭圆
：
的左、右顶点分别为
，
，上、下顶点分别为
，
．点
为
上不在坐标轴上的任意一点，且
，
，
，
四条直线的斜率之积大于
，则
的离心
率可以是
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据椭圆的概念、标准方程及简单几何性质，结合题意即可求解.
【详解】设
，依题意可得
，则
，
，又
，所以
，
，从而
.故选：AC.
【跟踪训练】
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1.已知
为双曲线
的右顶点，
为双曲线右支上一点，若点
关于双曲线中心
的对
称点为
，设直线
、
的倾斜角分别为
、
，且
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设出
坐标，根据题意得
，代入斜率公式，由
点在双曲线上，消元整理得到
的关系，进一步求得双曲线的离心率.
【详解】设
，则
，因为
，即
，由
，所以
，因为
，所以
，即
，得
，所
以
，即
，又
，所以
，即
，所以
，故双曲线的离心
率为
．故选：D.
2.已知A，B，P 是双曲线
（
，
）上不同的三点，且A，B 连线经过坐标原点，若直线
PA，PB 的斜率乘积为
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，根据对称性，知
，然后表示出
，又由于点A，P 在双
曲线上，所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得
，化简可求出离心率
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【详解】设
，
，根据对称性，知
，所以
．
因为点A，P 在双曲线上，所以
，两式相减，得
，所以
所以
，所以
，所以
．故选：D
3.已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过左焦点
作斜率为2 的直线与双曲线交于
A，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为
，则双曲线的离心率是（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，
，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出
，从而可求出，进
而可求出离心率
【详解】
，
，则
，
，两式相减得
，所以
，因为P 是AB 的中点，
所以
，
，因为直线OP 的斜率为
，所以
，因为过左焦点
作斜率为2 的直
线与双曲线交于A，B 两点，所以
，所以
，
，得
，所以
，所以离心率为
故选：A
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考点三： 双曲线焦点到渐近线的距离为
【精选例题】
【例1】若双曲线
的焦点
到其渐近线的距离为
，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题可得
，
，即得.
【详解】双曲线
的焦点
到渐近线：
，即
的距离为：
，而
，从而
，故渐近线
即
.故选：B.
【例2】已知
是双曲线
：
的一个焦点，则点
到
的一条渐近线的距离为
A．
B．3 C．
D．
【答案】A【解析】双曲线方程为
，焦点
到一条渐近线的距离为
，故选A．
【跟踪训练】
1.已知双曲线
的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B
两点．设A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为
和
，且
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【解析】设双曲线的右焦点坐标为
，则
，由
可得：
，不
妨设：
，双曲线的一条渐近线方程为：
，据此可得：
，
，则
，则
，双曲
线的离心率：
，据此可得：
，则双曲线的方程为
，故选
C．
2．已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的两条渐近线均和圆
：
相切，且双曲线的
右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为
A．
2
2
1
5
4
x
y
B．
2
2
1
4
5
x
y
C．
2
2
1
3
6
x
y
D．
2
2
1
6
3
x
y
【答案】A【解析】圆
2
2
:(
3)
4
C
x
y
，
3,
c
而
3
2
b
c
，则
2
2,
5
b
a
，故选A．
考点四：双曲线中，焦点三角形的内心
的轨迹方程为
.
【精选例题】
【例1】已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，离心率为2，焦点到渐近线的距
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离为
.过
作直线交双曲线
的右支于
两点，若
分别为
与
的内心，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，在
中，根据焦点到渐近线的距可得
，离心率为2，
∴
，解得：
，∴
∴双
曲线的方程为
.记
的内切圆在边
，
，
上的切
点分别为
，则
，
横坐标相等
，
，
，
由
，即
，得
，即
，记
的
横坐标为
，则
，于是
，得
，
同理内心
的横坐标也为
，故
轴.设直线
的倾斜角为
，则
，
（Q 为坐标原点），在
中，
，
由于直线与
的右支交于两点，且
的一条渐近线的斜率为
，倾斜角为
，∴
，即
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，∴
的范围是
.故选：D.
【例2】（多选题）双曲线
的左、右焦点分别
，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限
的交点为
，双曲线和椭圆的离心率分别为
的内切圆的圆心为
，过
作直线
的垂线，垂
足为
，则（ ）
A．
到
轴的距离为
B．点
的轨迹是双曲线
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【详解】设圆
与
三边
的切点为
，
，又
，故
，故
，
所以
到
轴的距离为
，故A 正确；过
作直线
的垂线，垂足
为
，延长
交
于点
，因为
，则
为
的中
点且
，于是
，
故点
的轨迹是在以
为圆心，半径为
的圆上，故B 不正确；
设椭圆的长半轴长为
，它们的半焦距为，并设
，
根据椭圆和双曲线的定义可得：
，所以
，
在
中，由余弦定理得：
，即
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，
在
中，由余弦定理得：
，即
，由
，两式相加，则
，又
，所以
，
所以
，所以
，即
，故C 正确；
，即
，所以
，即
，故D 正确.故选：ACD.
【例3】（多选题）已知
分别为双曲线
的左、右焦点，过
的直线与双曲线的右支交于
两点，记
的内切圆
的面积为
，
的内切圆
的面积为
，则（ ）
A．圆
和圆
外切
B．圆心
在直线
上
C．
D．
的取值范围是
【答案】AC
【详解】双曲线
的
，渐近线方程为
，两渐近线倾斜角分别
为
和
，设圆
与
轴切点为
过
的直线与双曲线的右支交于
两点，可知直线
的倾斜角取
值范围为
，
的的横坐标为
，则由双曲线定义
，所以由圆的切线长定理知
，所以
.
的横坐标均为
，即
与
轴垂直.故圆
和圆
均与
轴相
切于
，圆
和圆
两圆外切.选项A 正确；由双曲线定义知，
中，
，则
只能是
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的中线，不能成为
的角平分线，则圆心
一定不在直线
上.选项B 错误；在
中，
，
，则由直角三角形的射影定理可知
，即
则
，故
.选项C 正确；
由直线
的倾斜角取值范围为
，可知
的取值范围为
，则
的取值范围为
，故
，又
，则
令
，则
在
单调递减，在
单调递增.
值域为
故
的值域为
.
选项D 错误.故选：AC.
【跟踪训练】
1.已知双曲线方程是
，过
的直线与双曲线右支交于
，
两点（其中
点在第一象限），设
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点
、
分别为
、
的内心，则
的范围是______.
【答案】
【详解】 因
，故
，
，
，
如图，过
点分别作
，
，
，垂足分别为
，
因
为
的内心，所以
，
故
点也在双曲线上，即
为双曲线的右顶点，同理
，所以
三点共线，设直线
的倾
斜角为
，因双曲线的渐近线方程为
，倾斜角为
，根双曲线的对称性，不妨设
，因
，所以
，
,所以
，
因
，所以
，所以
，故答案为：
2．（多选题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，离心率为
，焦点到渐
近线的距离为
.过
作直线交双曲线
的右支于
、
两点，若
、
分别为
与
的内心，
则（ ）
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A．
的渐近线方程为
B．点
与点
均在同一条定直线上
C．直线
不可能与平行 D．
的取值范围为
【答案】ABD
【详解】设双曲线
半焦距为，双曲线
的渐近线方程为
，即
，双曲线
的右焦点
到渐近线的距离为
，
由题意知
，所以
，所以
，
故双曲线
的方程为
，故渐近线方程为
，故A 正确；对于
B 选项，记
的内切圆在边
、
、
上的切点分别为
、
、
， 由切线长定理可得
，
，
，由
，即
，
得
，即
，记
的横坐标为
，则
，于是
，得
，
同理内心
的横坐标也为
，故
轴，即
、
均在直线
上，故B 正确；对于C 选项，当与
轴垂直时，
，故C 错误；对于D 选项，设直线
的倾斜角为
，则
，
（
为坐标原点），在
中，
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.
，由于直线与
的右支交于两点，且
的
一条渐近线的斜率为
，倾斜角为
，结合图形可知
，即
，所以，
，故D 正确.故选：ABD.
考点五：已知具有公共焦点
的椭圆与双曲线的离心率分别为
是它们的一个交点，且
，则有
.
【精选例题】
【例1】已知
，
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是它们的一个公共点，且
，则椭圆和双曲
线离心率倒数之和的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【详解】设椭圆的长半轴为
，双曲线的实半轴为
，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，设
，
，
，
椭圆和双曲线的离心率分别为
，
，
因
是它们的一个公共点，且
，则由余弦定理可得：
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……①
在椭圆中，由定义知
，①式化简为：
……②
在双曲线中，由定义知
，①式化简为：
……③
由②③两式消去
得：
，等式两边同除
得
，
即
，
由柯西不等式得
，
.
故选：B
【例2】已知椭圆
与双曲线
，
有公共焦点
（左焦点），
（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为
，若△
是以
为底边的等腰三角形，
，
的
离心率分别为
和
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】A 由已知共焦点及椭圆、双曲线参数的关系判断；B、C 由椭圆、双曲线的定义可得
，而
，即可判定；D 记
，应用余弦定理可得
，由已知及B、C 分析，即可判断.
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【详解】设
，
的焦距为
，由
，
共焦点知：
，故A 正确；
△
是以
为底边的等腰三角形知
，由
在第一象限知：
，
即
，即
，即
，故B 错；
由
且
，易得
，故C 正确；
在△
中，记
，根据定义
．
由余弦定理有
．
整理得
，两边同时除以
，可得
，故
．
将
代入，得
．故D 正确
故选：ACD．
【跟踪训练】
1．已知F 是椭圆
：
（
）的右焦点，A 为椭圆
的下顶点，双曲线
：
（
，
）与椭圆
共焦点，若直线
与双曲线
的一条渐近线平行，
，
的离心率分别为
，
，则
的最小值为______．
【答案】
【分析】根据直线
与
的一条渐近线平行，得到
，再结合双曲线与椭圆共焦点得到
，再
利用基本不等式求解.
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【详解】解：设
的半焦距为c（
），则
，又
，
所以
，又直线
与
的一条渐近线平行，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
又
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
即
的最小值为
．
故答案为：
考点六：设圆锥曲线
的焦点
在
轴上，过点
且斜率为
的直线交曲线
两点，若
，则
．
【精选例题】
【例1】已知椭圆
过焦点
的直线与椭圆C 交于A，B 两点（点A 位于
轴上方），若
，则直线的斜率
的值为 ．
【答案】
【详解】由题，点A 位于
轴上方且
，则直线l 的斜率存在且不为0，
，设
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，则可得
，设直线l 方程为
，联立直线与椭圆
可得
，
，
，
，解得
，
则直线的斜率为
.故答案为：
.
【例2】已知
是双曲线
的右焦点，直线经过点
且与双曲线相交于
两点，
记该双曲线的离心率为，直线的斜率为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，设直线的方程为
，联立方程组
，整理得
，
设
，可得
，因为
，即
，可得
，代入上式，可得
， 可得
，整理得
，即
，又由
，可得
，即
，所以
，可得
，即
.
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故选：C.
【例3】已知
，
是双曲线
：
的左，右焦点，过点
倾斜角为30°的直线与双
曲线的左，右两支分别交于点
，
.若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【详解】设
，则
，从而
，进而
.过
作
，则
.如图：
在
中，
，
；在
中，
，
即
，所以
.故选：A
【跟踪训练】
1.斜率为
的直线过椭圆
的焦点
，交椭圆于
两点，若
，则该椭
圆的离心率为 ．
【答案】
【详解】设
，
，由
得：
，
，即
；不妨令
，
则直线
，由
得：
，
，
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，即
，
，
；由椭圆对称性可知：当
时，
；
椭圆的离心率为
.
故答案为：
.
2.已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，
，过点
且倾斜角为
的直线与双曲线的左､
右支分别交于点
，
，且
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：过
作
于点
，设
，因为直线的倾斜角为
，所以在直角三角形
中，
，
，由双曲线的定义可得
，所以
，同理可得
，所以
，即
，所以
，因此
，在直角三
角形
中，
，所以
，所以
，则
.故选：A.
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考点七：已知双曲线方程为
)
0
,0
(
1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的右焦点为
，过点
且与渐近线
垂直的
直线分别交两条渐近线于
两点.
情形1.如图1.若
)
1
,0
(
FQ
FP
,则
图1 图2
如图2.若
，则
【精选例题】
【例1】过双曲线
的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为
，与双曲线的另一条
渐近线交于点
，若
，则此双曲线的离心率为________
【答案】满足情形1，即
，故
，则
【例2】已知双曲线
，
过
的右焦点
作垂直于渐近线的直线交两渐近线于
、
两点
、
两点分别在一、四象限，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【详解】解：由题意知：双曲线的右焦点
，渐近线方程为
，即
， 如下图所示:
由点到直线距离公式可知：
，
又
，
，
，即
，设
，
由双曲线对称性可知
，而
，
，由正切二倍角公式可知：
，即
，化简可得：
，即
，由双曲线离心
率公式可知：
.故选：A.
【跟踪训练】
1.已知双曲线
的两条渐近线分别为直线
，
，经过右焦点
且垂直于
的直线分
别交
，
于
两点，且
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】满足情形2，即
，
.
2．
是双曲线
的左右焦点，过
且斜率为1 的直线与两条渐近线分别交于
两
点，若
，则双曲线的离心率为
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设直线方程为
，与渐近线方程
联立方程组解得
因为
，所以
，选B.
1．已知点
在椭圆
上，
，
是椭圆的左、右焦点，若
，且
的
面积为2，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】画出图形，结合解三角形知识、数量积的定义、椭圆的定义以及平方关系即可求解.
【详解】
如图所示：
设
，由题意
，
，
两式相比得
，
又
，且
，
所以
，
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而由余弦定理有
，即
，
且由椭圆定义有
，
所以
，解得
.
故选：C.
2．椭圆
与直线
交于M，N 两点，连接原点与线段
中点所得直线的斜率为
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，利用点差法可推出
，设线段
中点为
，结合
题意推出
，
，代入
化简，即可得答案.
【详解】设
，则
，
两式相减得
，
由已知椭圆
与直线
交于M，N 两点，可知
，
故
，即
，
设线段
中点为
，则
，而
，
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连接原点与线段
中点所得直线的斜率为
，即
，
故
，即
，
故选：A
3．已知双曲线
的离心率为
，焦点到渐近线距离为，则双曲线
实轴长（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由双曲线的性质可得双曲线渐近线方程，由点到直线的距离公式可得
，再结合离心率即可得
解.
【详解】由题意，双曲线的一个渐近线为
即
，
设双曲线的的右焦点为
，则
，
所以焦点到渐近线的距离
，
又离心率
，所以
，
所以双曲线
实轴长
.
故选：D.
4．（多选题）已知椭圆
的左右焦点分别为
､
，离心率为
，且经过点
在椭圆上，则（ ）
A．
的最大值为3
B．
的周长为4
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C．若
，则
的面积为
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】先求出椭圆方程，然后根据椭圆的几何性质逐项判断即可.
【详解】
由题意，椭圆离心率为
，则
，
则
，代入
，得
，
所以
，
对
，由题意
，故
正确；
对
的周长为
，故B 错误；
对
，若
，则由余弦定理得：
.
即
，故
，
故
，故C 正确；
对D，由余弦定理
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，
即
，
解得
，故
，故D 正确，
故选:ACD
5．（多选题）设椭圆的方程为
，斜率为k 的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B 两点，
M 为线段AB 的中点，下列结论不正确的是（ ）
A．直线AB 与OM 垂直
B．若点M 坐标为
，则直线方程为
C．若直线方程为
，则点M 坐标为
D．若直线方程为
，则
【答案】AC
【分析】根据椭圆中点弦的性质
，可以判断ABC，对于D,直线方程与椭圆方程联立，利
用弦长公式即可求得
，从而判断正误．
【详解】对于A：设
,则
，相减可得
，所以
，故 A 错误；
对于B：根据
，
，所以
，所以直线方程为
，即
，
故B 正确；
对于C：若直线方程为
，点
，则
，所以C 错误；
对于D：若直线方程为
，与椭圆方程
联立，得到
，整理得：
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，解得
，
所以
，故D 正确；
故选：AC．
6．（多选题）设A，B 是双曲线
上的两点，下列四个点中可以为线段
中点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】A 选项由双曲线的对称性可直接判断，B、C、D 选项，首先根据点差法分析可得
，结合
双曲线的渐近线斜率可判断B，C、D 可通过联立直线方程与双曲线方程，利用判别式即可判断.
【详解】对于选项A：因为双曲线关于y 轴对称，
所以当直线AB 的方程为
时，线段AB 的中点为
，故A 正确；
当直线AB 的斜率存在且不为0 时，
设
，则
的中点
，
可得
，
因为
在双曲线上，则
，两式相减得
，
所以
.
对于选项B：可得
，则
，即
，
双曲线的渐近线方程为
，由于
与其中一条渐近线平行，故不可能有两个交点，故B 错误；
对于选项C：可得
，则
，即
，
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联立方程
，消去y 得
，
此时
，故直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；
对于选项D：
，则
，即
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；
故选：AD.
7．（多选题）若
是椭圆
与双曲线
在第一象限的交点，
且
，
共焦点
，
，
，
，
的离心率分别为
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
，
B．
C．若
，则
D．若
，则
的最小值为2
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A；由余弦定理计算判断B；再结合B，基本不
等式等讨论CD 选项即可.
【详解】解：依题意，
，解得
，A 不正确；
令
，由余弦定理得：
，
因为在椭圆
中
，在双曲线
中，
，
所以
，故B 选项正确；
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当
时，
，即
，
所以
，即
，
所以，
，故C 选项正确；
当
时，
，即
，
所以，
，有
，
因为
，
所以，
，解得
，D 不正确；
故选：BC
8．（多选题）如图，
是椭圆
与双曲线
在第一象限的
交点，且
共焦点
的离心率分别为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
的最小值为2
D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算
判断B，C，D 作答.
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【详解】由椭圆和双曲线的定义得：
，解得
，
，A 正确；
在
中，由余弦定理得：
，
整理得
，
，即
，
当
时，
，即
，B 正确；
当
时，
，
，
当且仅当
时取“=”，而
，C 不正确；
在椭圆中，
，即
，
在双曲线中，
，即
，
于是得
，而
，则
，D 正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关
的计算或证明
常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a，c 的关系.
9．己知椭圆
的焦点分别为
，
，设直线与椭圆
交于
，
两点，且点
为线段
的中点，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】先由题意求出
，再由点差法可以求出直线的斜率，由直线的点斜式化简即可求解.
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【详解】根据题意，因为焦点在
轴上，所以
，则
，
即椭圆
，所以P 点为椭圆内一点，
设
，则
，
，
两式相减得
，变形得
，
因为点
为线段
的中点，所以
，
所以直线的斜率为
，
所以直线的方程为
，即
.
故答案为：
.
10．已知点
是离心率为
的双曲线
上的三点, 直线
的斜率分
别是
点
分别是线段
的中点,
为坐标原点，直线
的斜率分别是
.若
则
【答案】3
【分析】本题考查点差法，根据点差法的内容，设点，作差，计算得出
结合离心率为
，
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求得
同理求得
代入问题计算即可.
【详解】因为双曲线
的离心率为
所以
不妨设
因为点
在
上，所以
两式相减,得
,
因为点
是
的中点，所以
,
,
所以
即
所以
同理
因为
所以
故答案为：3.
