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让更多的孩子得到更好的教育
全等三角形判定一（SSS，SAS）（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
【要点梳理】
【高清课堂：379109 全等三角形判定一，基本概念梳理回顾】
要点一、全等三角形判定1——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果
＝AB，
＝AC，
＝BC，则△ABC≌△
.
要点二、全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝
，∠A＝∠
，AC ＝
，则△ABC≌△
.
注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC 与△ABD 中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不
全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“边边边”
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1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE.
【答案与解析】
证明：在△ABD 和△ACE 中，
∴△ABD≌△ACE（SSS）
∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）.
【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合
应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是
△BDA 和△CAE，然后证这两个三角形全等.
举一反三：
【高清课堂：379109 全等三角形的判定（一） 同步练习6】
【变式】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.
【答案】
证明：连接DC，
在△ACD 与△BDC 中
∴△ACD≌△BDC（SSS）
∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形对应角相等）
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、
（2016•济宁二模）已知：如图，点B、F、C、E 在一条直线上，BF=CE,AC=DF,且AC∥DF,
求证：△ABC≌△DEF．
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【思路点拨】求出BC=FE，∠ACB=∠DFE，再根据SAS 推出全等即可．
【答案与解析】
证明：∵BF=CE
∴BF+FC=CE+FC
∴BC=FE
∵AC∥DF
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【总结升华】本题考查利用“边角边”定理来证明三角形全等，注意等量加等量，和相等.
举一反三：
【变式】（2014 秋•慈溪市校级期中）如图，把两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，可以做成
一个测量内槽宽的卡钳，卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理
．
【答案】SAS．
解：卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，理由如下：
∵O 是AA′，BB′的中点，
∴AO=A′O，BO=B′O，
又∵∠AOB 与∠A′OB′是对顶角，
∴∠AOB=∠A′OB′，
在△AOB 和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
∴A′B′=AB，
∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB 是否符合标准．
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3、已知，如图：在△ABC 中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，
求证：AB＝CD－BD．
【思路点拨】在DC 上取一点E，使BD＝DE，则△ABD≌△AED，所以AB＝AE，只要再证出EC＝AE
即可．
【答案与解析】
证明：在DC 上取一点E，使BD＝DE
∵ AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE
在△ABD 和△AED 中， BD＝DE，AD＝AD．
∴△ABD≌△AED（SAS）．
∴AB＝AE，∠B＝∠AED．
又∵∠B＝2∠C＝∠AED＝∠C＋∠EAC．
∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC．
∴AB＝AE＝EC＝CD—DE＝CD—BD．
【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三
角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB＝CD－BD，把CD－
BD 转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD 沿AD 翻折，使线段BD 运动到DC 上，从而构造
出CD－BD，并且也把∠B 转化为∠AEB，从而拉近了与∠C 的关系.
举一反三：
【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于E，并且AE＝（AB＋AD），求
证：∠B＋∠D＝180°.
【答案】
证明：在线段AE 上，截取EF＝EB，连接FC，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝∠CEF＝90°
在△CBE 和△CFE 中，
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A
E
D
C
B
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∴△CBE≌△CFE（SAS）
∴∠B＝∠CFE
∵AE＝
（AB＋AD），∴2AE＝ AB＋AD
∴AD＝2AE－AB
∵AE＝AF＋EF，
∴AD＝2（AF＋EF）－AB＝2AF＋2EF－AB＝AF＋AF＋EF＋EB－AB＝AF＋AB－AB，
即AD＝AF
在△AFC 和△ADC 中
∴△AFC≌△ADC（SAS）
∴∠AFC＝∠D
∵∠AFC＋∠CFE＝180°，∠B＝∠CFE.
∴∠AFC＋∠B＝180°，∠B＋∠D＝180°.
类型三、全等三角形判定的实际应用
4、（2014 秋•紫阳县期末）雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=
AB，AF= AC，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关
系？说明理由．
【思路点拨】证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题OA=OA 公共边，可
考虑SSS 证明三角形全等，从而推出角相等．
【答案与解析】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD= CAD
∠
，
理由如下：
AB=AC
∵
，AE= AB，AF= AC，
AE=AF
∴
，
在△AOE 与△AOF 中，
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，
AOE
AOF
∴△
△
≌
（SSS），
∴ ∠BAD=∠CAD．
【总结升华】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，常常通过两个全等三角形，得出对
应角相等．
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