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正方形
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1、掌握正方形的概念、判定与性质，理解正方形与平行四边形的之间的联系；
2、会用正方形的性质解决简单的证明和计算问题；
3、从正方形与平行四边形的区别与联系体会特殊与一般的关系，培养学生辩证唯物主义观点．
1．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是_____；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有
四条对称轴．
2．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1 或2 进行判定．
3．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的____相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：①旋转____；
②旋转____；
③旋转____．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
4．命题与定理
（1）判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，
结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
（2）有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
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（3）定理是真命题，但真命题不一定是定理．
（4）命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面
解的部分是结论．
（5）命题的“真”“假”指的是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的
正
确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y=kx+b，（k≠0，k，b 为常数）的图象是一条____．它与x 轴的交点坐标是（﹣，
0）；与y 轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于____长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2 及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的任意
一
条直角边．
7．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
8．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平
行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD 是平行
四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD 是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD 是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD 是平行四
边形．
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1.正方形的性质．
【例1】（2014•天津塘沽中学期末）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ）
A．8 B．4
C．8
D．16
练1. 如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为2
，若直线l 满足：
①点D 到直线l 的距离为
；
②A、C 两点到直线l 的距离相等．
则符合题意的直线l 的条数为（ ）
A．1
B．2 C．3
D．4
练2. 如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形，再以对角线AE 为边作第
三个正方形AEGH，如此下去，第n 个正方形的边长为 ．
2.正方形的判定．
【例2】（2014•哈尔滨师大附月考）下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
练3. 如图，四边形ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD 于点E，且四边形ABCD 的面积为
8，则BE=（ ）
A．2
B．3 C．
D．
3. 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【例3】（2014•湖北黄冈中学一模）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点
E．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 度．
4
练4. 已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F，那
么∠FAD= 度．
练5. 如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE，PE 交
CD 于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE 的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究
线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．
4．正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【例4】（2014•辽宁盘锦一中期末）正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、
A2、A3在x 轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2 上，则点A3的坐标为 ．
练6. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函
数y=x 的图象上，从左向右第3 个正方形中的一个顶点A 的坐标为（8，4），阴影三角形部
分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为 ．（用含n 的代数式表示，
n 为正整数）
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5．正方形的性质；命题与定理；旋转的性质．
【例5】（2014•海南海口一中月考）正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A，将正方形AEFG 绕点
A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．
（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；
（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认
为需要补充的一个条件，不必说明理由．
练7．正方形ABCD 的顶点A 在直线MN 上，点O 是对角线AC、BD 的交点，过点O 作OE⊥MN 于点E，
过点B 作BF⊥MN 于点F．
（1）如图1，当O、B 两点均在直线MN 上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）
（2）当正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转至图2、图3 的位置时，线段AF、BF、OE 之间又有怎样的关
系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
1．如图，四边形ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD 于点E，且四边形ABCD 的面积为
8，则BE=（ ）
A．2
B．3
C．
D．
2．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC 时，它是菱形 B．当AC⊥BD 时，它是菱形
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C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD 时，它是正方形
3．下列命题中正确的是（ ）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
4．边长为1 的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为 ．
5．已知正方形ABCD 的对角线AC=
，则正方形ABCD 的周长为 ．
6．我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如
矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有 个．
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1．如图，边长分别为4 和8 的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点
T，交FG 于点P，则GT=（ ）
A．
B．2
C．2
D．1
2．如图，四边形ABCD、AEFG 均为正方形，其中E 在BC 上，且B、E 两点不重合，并连接BG．根据
图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、∠4 的大小关系何者正确？（ ）
A．∠1＜∠2
B．∠1＞∠2
C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4
3．附图为正三角形ABC 与正方形DEFG 的重叠情形，其中D、E 两点分别在AB、BC 上，且BD=BE．
若AC=18，GF=6，则F 点到AC 的距离为何？（ ）
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A．2
B．3
C．12﹣4
D．6
﹣6
4．如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E，使ME=MC，以DE 为边作
正方形DEFG，点G 在边CD 上，则DG 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2
的值为（ ）
A．16 B．17
C．18
D．19
6．已知四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那
么这个条件可以是（ ）
A．∠D=90° B．AB=CD C．AD=BC
D．BC=CD
7．下列判断中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
8．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪
口线与折痕成（ ）
A．22.5°角
B．30°角
C．45°角
D．60°角
9．下列说法错误的是（ ）
8
A．矩形的四个角都相等
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．等腰梯形的对角线相等
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
10．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BEC 的度数．
11．如图，正方形AEFG 的顶点E、G 在正方形ABCD 的边AB、AD 上，连接BF、DF．
（1）求证：BF=DF；
（2）连接CF，请直接写出BE：CF 的值（不必写出计算过程）．
12．如图，在正方形ABCD 中，点P 在AD 上，且不与A、D 重合，BP 的垂直平分线分别交CD、AB 于
E、F 两点，垂足为Q，过E 作EH⊥AB 于H．
（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD 的边长为12，AP=4，求线段EQ 的长．
课程顾问签字： 教学主管签字：
