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等腰三角形（2）
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1、了解等腰三角形的概念；
2、掌握等腰三角形的性质；
3、培养学习数学的兴趣，应用等腰三角形的性质进行计算和解决生产、生活中的有关问题
1．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：_ ___
_ 】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③判定定理在同一个三角形中才能适用．
2. 等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
等边三角形是特殊的_ __
三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．
在等边三角形中，腰 和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于__
_ °．
等边三角形是轴对称图形，它有__
_ 对称轴；
它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
3. 等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它
的
边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，
同
样具备__
___
_ 的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有
30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，
若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出
发，
则想法获取一个60°的角判定．
4．含30 度角的直角三角形
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（1）含30 度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的_ _ ．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问
题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：
①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角
三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
1. 等腰三角形的判定．
【例1】（2014•株洲二中期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B 是
两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
练1. （2015 春•宁波中学质检）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE 分别为∠ABC，
∠ACB 的角平分线，则图中等腰三角形共有（ ）
A．5 个 B．6 个
C．7 个
D．8 个
练2. （2015 •济南中学调研）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC 或AC 上取
一点P，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）
A．4 个
B．5 个 C．6 个
D．7 个
2. 等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
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【例2】（2014•荆门一中月考）如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O 为原点，P 是x 轴上的一
个动点，如果以点P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数
为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
练3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P（2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足
条件的点Q 共有（ ）
A．5 个
B．4 个 C．3 个
D．2 个
3. 等边三角形的性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质．
【例3】（2014•攀枝花实验期末）如图所示，在等边△ABC 中，点D、E 分别在边BC、AB 上，且
BD=AE，AD 与CE 交于点F，则∠DFC 的度数为（ ）
A．60°
B．45°
C．40°
D．30°
练4. 如图，过边长为1 的等边△ABC 的边AB 上一点P，作PE⊥AC 于E，Q 为BC 延长线上一点，当
PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D，则DE 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
4．等边三角形的判定与性质．
【例4】（2014•曲靖中学期末）如图，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰
好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ）
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A．25°
B．30°
C．45°
D．60°
练5. 一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40 海里到达B 地，再由B 地向北偏西
20°的方向行驶40 海里到达C 地，则A、C 两地相距（ ）
A．30 海里
B．40 海里
C．50 海里 D．60 海里
5．平移的性质；等边三角形的性质．
【例5】（2014•太谷县中学期中）如图，将边长为2 个单位的等边△ABC 沿边BC 向右平移1 个单位
得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为（ ）
A．6 B．8
C．10
D．12
练6．下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm 时，这个六边
形的周长为（ ）cm．
A．30 B．40
C．50
D．60
1．如图，一个六边形的6 个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边
形的周长是 cm．
2．在△ABC 中，AB=AC，高线AD= BC，AE 为∠BAC 的平分线，则∠CAD 的度数为 ．
3．如图，△ABC 中，AB=AC，若BC=CD=DE=EF=FA，则∠A= °．
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4．如图，已知△ABC 为等边三角形，点D、E 分别在BC、AC 边上，且AE=CD，AD 与BE 相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD 的度数．
5．如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中
的一组全等三角形，并说明理由．
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1．△ABC 中，AB=AC，∠ABC=36°，D，E 是BC 上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形有
个．
2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AB=AC﹣BD，则∠B：∠C 的值是 ．
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3．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E，若AC 平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有
如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC= ∠DAC；④△ABC 是正三角形．请写出正确结论
的序号 （把你认为正确结论的序号都填上）
4．如图所示，在△ABC 中，∠BAC=106°，EF、MN 分别是AB、AC 的中垂线，E、N 在BC 上，则
∠EAN=（ ）
A．58°
B．32° C．36°
D．34°
5．在△ABC 中，∠B=2∠C，则AC 与2AB 之间的大小关系是（ ）
A．AC＞2AB B．AC=2AB
C．AC≤2AB D．AC＜2AB
6．已知，如图，延长△ABC 的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF 为等
边三角形．求证：
（1）△AEF≌△CDE；
（2）△ABC 为等边三角形．
7．如图，直线CF 垂直且平分AD 于点E，四边形ADCB 是菱形，BA 的延长线交CF 于点F，
连接AC．
（1）图中有几对全等三角形，请把它们都写出来；
（2）证明：△ABC 是正三角形．
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8．已知：如图△ABC 是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG∥BC，交AC 于点G，在GD 的延长线上
取点E，使DE=DB，连接AE、CD．
（1）求证：△AGE≌△DAC；
（2）过点E 作EF∥DC，交BC 于点F，请你连接AF，并判断△AEF 是怎样的三角形，试证明你
的结论．
9．如图，在等边△ABC 中，点D，E 分别在边BC，AB 上，且BD=AE，AD 与CE 交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠DFC 的度数．
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