文档文本内容
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梯形
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1、知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念，掌握等腰梯形的性质；
2、运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算；
3、增强主动探索意识，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值．
1．直角梯形
梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形．
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个____和________．这是常用的一种
作辅助线的方法．
2．等腰梯形的性质
（1）等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的____的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（3）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成
____和两个全等的________，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性
质．
3．等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
2
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否_____，可以通过添加
辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
4．梯形中位线定理
（1）中位线定义：连接梯形两腰_____的线段叫做梯形的中位线．
（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）梯形面积与中位线的关系：
梯形中位线的2 倍乘高再除以2 就等于梯形的面积，即
梯形的面积=中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．
5．翻折变换（折叠问题）
（1）翻折变换（折叠问题）实质上就是________．
（2）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置
变化，对应边和对应角相等．
（3）在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形
间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段
长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角
形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
6．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新
图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减
去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．（即：横坐
标，右移___，左移___；纵坐标，上移___，下移___．）
参考答案：
1.矩形直角三角形
2.（2）①中点；（3）矩形直角三角形
3.（3）相等
4.（1）中点
5.（1）轴对称变换
6.（2）加减加减
1.等腰梯形的性质．
【例1】（2014•湖北十堰六中期末）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则
下底BC 的长为（ ）
3
A．8
B．9
C．10
D．11
【解析】首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出
BF 即可．
解：过点A 作AF⊥BC 于点F，过点D 作DE⊥BC 于点E，
∵梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，
∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，
∴cos60°=
=
= ，
解得：BF=1.5，
故EC=1.5，
∴BC=1.5+1.5+5=8．
故选：A．
练1. 如图，已知等腰梯形ABCD 的底角∠B=45°，高AE=1，上底AD=1，则其面积为（ ）
A．4 B．
C．1
D．2
【解析】先根据等腰梯形的性质求出BC 的长，再由梯形的面积公式即可得出结论．
解：∵梯形ABCD 是等腰梯形，∠B=45°，AE=AD=1，
∴BE=AE=1，
∴BC=3AE=3，
∴S 梯形ABCD= （AD+BC）•AE= （1+3）×1=2．
故选D．
练2. 如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，AC 与BD 相交于点O，则下列判断不正确的是
（ ）
A．△ABC≌△DCB
B．△AOD≌△COB C．△ABO≌△DCO D．△ADB≌△DAC
【解析】由等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，可得∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，易证得
△ABC≌△DCB，△ADB≌△DAC；继而可证得∠ABO=∠DCO，则可证得△ABO≌△DCO．
解：A、∵等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC 和△DCB 中，
4
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；故正确；
B、∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵BC＞AD，
∴△AOD 不全等于△COB；故错误；
C、∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABO=∠DCO，
在△ABO 和△DCO 中，
，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；故正确；
D、∵等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ADB 和△DAC 中，
，
∴△ADB≌△DAC（SAS），故正确．
故选：B．
2.等腰梯形的性质；梯形中位线定理．
【例2】（2015•河北邯郸实验中学月考）如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯
形中位线EF 与对角线BD 相交于点M，且BD⊥CD，则MF 的长为（ ）
A．1.5
B．3
C．3.5
D．4.5
【解析】根据等腰梯形的性质，可得∠ABC 与∠C 的关系，∠ABD 与∠ADB 的关系，根据等腰三角形
的性质，可得∠ABD 与∠ADB 的关系，根据直角三角形的性质，可得BC 的长，再根据三角
形的中位线，可得答案．
解：已知等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，
∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠DBC．
∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC．
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC= ∠C=30°，
BC=2DC=2×3=6．
∵EF 是梯形中位线，
5
∴MF 是三角形BCD 的中位线，
∴MF= BC=
6=3，
故选：B．
总结：本题考查了等腰梯形的性质，利用了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线
的性质，本题关键是在△BCD 中，找出BC 与CD 的关系．
练3. 如图，等腰梯形ABCD 的对角线长为13，点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，则
四边形EFGH 的周长是（ ）
A．13 B．26
C．36
D．39
【解析】首先连接AC，BD，由点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，可得EH，FG，
EF，GH 是三角形的中位线，然后由中位线的性质求得答案．
解：连接AC，BD，
∵等腰梯形ABCD 的对角线长为13，
∴AC=BD=13，
∵点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，
∴EH=GF= BD=6.5，EF=GH= AC=6.5，
∴四边形EFGH 的周长是：EH+EF+FG+GF=26．
故选：B．
3.直角梯形．
【例3】（2014•韶关第一中学期中）如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角
三角形和一个以BC 为底的等腰三角形．若梯形上底为5，则连接△DBC 两腰中点的线段的
长为 ．
【解析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质和三角形中位线性质
进而得出四边形AEFD 是平行四边形，进而求出EF 的长．
解：解：连接△DBC 两腰中点的线段EF，AE，
由题意可得出：AD∥BC，
6
∵EF 是△DBC 的中位线，
∴EF
BC
∴AD∥BC，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
则∠DEF=∠DFE，
∵AD∥EF，
∴∠ADE=∠DEF，
∵BE=DE，∠BAD=90°，
∴AE=DE=BE，
∴∠EAD=∠ADE，
∴∠AED=∠FDE，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD 是平行四边形，
∴AD=EF=5．
故答案为：5．
练4. 如图，∠AOB=45°，过射线OA 上到点O 的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA 的垂
线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为S1，S2，S3，S4，…．观察图中
的规律，第n（n 为正整数）个黑色梯形的面积是Sn= ．
【解析】由∠AOB=45°及题意可得出图中的三角形都为等腰直角三角形，且黑色梯形的高都是2；
根据等腰直角三角形的性质，分别表示出黑色梯形的上下底，找出第n 个黑色梯形的上下
底，利用梯形的面积公式即可表示出第n 个黑色梯形的面积．
解：∵∠AOB=45°，
∴图形中三角形都是等腰直角三角形，
从图中可以看出，黑色梯形的高都是2，
第一个黑色梯形的上底为：1，下底为：3，
第2 个黑色梯形的上底为：5=1+4，下底为：7=1+4+2，
第3 个黑色梯形的上底为：9=1+2×4，下底为：11=1+2×4+2，
则第n 个黑色梯形的上底为：1+（n﹣1）×4，下底为：1+（n﹣1）×4+2，
7
故第n 个黑色梯形的面积为：×2×[1+（n﹣1）×4+1+（n﹣1）×4+2]=8n﹣4．
故答案为：8n﹣4．
练5. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD 平分∠ABC，则梯形
ABCD 的周长是 ．
【解析】根据题意得出AB=AD，进而得出BD 的长，再利用在直角三角形中30°所对的边等于斜边
的一半，进而求出CD 以及利用勾股定理求出BC 的长，即可得出梯形ABCD 的周长．
解：过点A 作AE⊥BD 于点E，
∵AD∥BC，∠A=120°，
∴∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABE=∠ADE=30°，
∴AB=AD，
∴AE= AD=1，
∴DE=
，则BD=2
，
∵∠C=90°，∠DBC=30°，
∴DC= BD=
，
∴BC=
=
=3，
∴梯形ABCD 的周长是：AB+AD+CD+BC=2+2+
+3=7+
．
故答案为：7+
．
4．等腰梯形的性质；平行四边形的判定．
【例4】（2014•锦州一中期末）如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD∥BC，连结AC、BD．在平面内
将△DBC 沿BC 翻折得到△EBC．
（1）四边形ABEC 一定是什么四边形？
（2）证明你在（1）中所得出的结论．
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【解析】（1）首先观察图形，然后由题意可得四边形ABEC 一定是平行四边形；
（2）由四边形ABCD 为等腰梯形，AD∥BC，可得AB=DC，AC=BD，又由在平面内将△DBC 沿
BC 翻折得到△EBC，可得EC=DC，DB=BE，继而可得：EC=AB，BE=AC，则可证得四边形
ABEC 是平行四边形．
（1）解：四边形ABEC 一定是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD 为等腰梯形，AD∥BC，
∴AB=DC，AC=BD，
由折叠的性质可得：EC=DC，DB=BE，
∴EC=AB，BE=AC，
∴四边形ABEC 是平行四边形．
练6. 如下图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD 交CD 于E，则△BCE
的周长l 为 ．
【解析】首先根据等腰梯形的性质可得∠D=∠C=45°，进而得到∠EBC=90°，然后证明四边形
ABED 是平行四边形，可得AB=DE=1，再得EC=2，然后再根据勾股定理可得BE 长，进而得到
△BCE 的周长．
解：∵梯形ABCD 是等腰梯形，
∴∠D=∠C=45°，
∵EB∥AD，
∴∠BEC=45°，
∴∠EBC=90°，
∵AB∥CD，BE∥AD，
∴四边形ABED 是平行四边形，
∴AB=DE=1，
∵CD=3，
9
∴EC=3﹣1=2，
∵EB2+CB2=EC2，
∴EB=BC=
，
∴△BCE 的周长为：2+2
，
故答案为：2+2
．
5．等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【例5】（2014 秋•张家港市校级期末统考）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥DC，线段AG，BG 分
别交CD 于点E，F，DE=CF．
求证：△GAB 是等腰三角形．
【解析】由题意得，在等腰梯形ABCD 中，AB∥DC，DE=CF，利用SAS，易证得△ADE≌△BCF，可得
∠DAE=∠CBF，则可得∠GAB=∠GBA，然后由等角对等边，证得：△GAB 是等腰三角形．
证明：∵在等腰梯形中ABCD 中，AD=BC，
∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，
在△ADE 和△BCF 中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠DAE=∠CBF，
∴∠GAB=∠GBA，
∴GA=GB，
即△GAB 为等腰三角形．
练7．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD 为边向外侧作等边三角形ABE 和等边
三角形DCF，连接AF，DE．
（1）求证：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE 和△DCF 的面积之和等于梯形ABCD 的面积，求BC 的长．
【解析】（1）根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明
△AED≌△DFA 即可；
（2）如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC 的长．
（1）证明：在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDA，
而在等边三角形ABE 和等边三角形DCF 中，
AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，
10
∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，
∴△AED≌△DFA（SAS），
∴AF=DE；
（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK，
∵∠BAD=45°，
∴∠HAB=∠KDC=45°，
∴AB=
BH=
AH，
同理：CD=
CK=
KD，
∵S 梯形ABCD=
，AB=a，
∴S 梯形ABCD=
=
，
而S△ABE=S△DCF=
a2，
∴
=2×
a2，
∴BC=
a．
1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
2．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB 等于（ ）
A．10 B．
C．6
D．5
3．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G、H 在对角线AC 上．
若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）
11
A．2
B．3
C．5
D．6
4．菱形ABCD 的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC 为边作正方形ACEF，则BF 长为 ．
5．已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，点P 是腰DC 上的一个动点（P 与D、C 不重
合），点E、F、G 分别是线段BC、PC、BP 的中点．
（1）试探索四边形EFPG 的形状，并说明理由；
（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC 为何值时，四边形EFPG 是矩形并加以证明．
6．如图，在等腰梯形ABCD 中，∠BCD=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F 分别在AD、DC 的延长线上，
且DE=CF，AF、BE 于点P．
（1）求证：AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论．
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1．如图，若该图案是由8 个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1= ．
2．如图，等腰梯形ABCD 的周长为16，BC=4，CD=3，则AB= ．
12
3．如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，BD 平分∠ABC，∠A=120°．若梯形的周长为10，则AD 的长为
．
4．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD．若AD=4，BC=6，则梯形ABCD 的面积是
．
5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，若AD=2，BC=8，梯形的高是3，则∠B 的度数是
．
6．如图，五边形ABCDE 中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=120°，AB=CD=1，AE=2，则五边形ABCDE
的面积等于 ．
7．如图①，在等腰梯形ABCD 中，AB∥CD，E、F 是边AB 上的两点，且AE=BF，DE 与CF 相交于梯形
ABDC 内一点O．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图②，当EF=CD 时，请你连接DF、CE，判断四边形DCEF 是什么样的四边形，并证明你的结
论．
8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥CD，CE∥DA，已知AB=8，DC=5，DA=6，求△CEB 的周长．
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9．如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，AD=10，BC=18，求梯形ABCD 的周长．
10．如图梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C 的度数．
11．如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，点E 为梯形外一点，且AE=DE．
求证：BE=CE．
14
参考答案：
当堂检测
1.
【考点】等腰梯形的性质．
【分析】过点A 作AE∥CD，交BC 于点E，可得出四边形ADCE 是平行四边形，再根据等腰梯形的性
质及平行线的性质得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定义求出∠EAC 的度数，故可
得出四边形ADEC 是菱形，再由等边三角形的判定定理得出△ABE 是等边三角形，由此可得
出结论．
解：过点A 作AE∥CD，交BC 于点E，
∵梯形ABCD 是等腰梯形，∠B=60°，
∴AD∥BC，
∴四边形ADCE 是平行四边形，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
∵CA 平分∠BCD，
∴∠ACE= ∠BCD=30°，
∵∠AEB 是△ACE 的外角，
∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，
∴∠EAC=30°，
∴AE=CE=3，
∴四边形ADEC 是菱形，
∵△ABE 中，∠B=∠AEB=60°，
∴△ABE 是等边三角形，
∴AB=BE=AE=3，
∴梯形ABCD 的周长=AB+（BE+CE）+CD+AD=3+3+3+3+3=15．
故选：D．
2．
【考点】等腰梯形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠DAB+∠ABC=180°，AD∥BC，故可得出∠DAP=∠ACB，
∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC 可知∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，所以
∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根据∠BAC=∠CDB=90°可知，3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由
直角三角形的性质求出∠DPC 的度数，进而得出结论．
解：∵梯形ABCD 是等腰梯形，
∴∠DAB+∠ABC=180°，AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，
∵AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，
15
∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，
∵∠BAC=∠CDB=90°，
∴3∠ABD=90°，
∴∠ABD=30°，
在△ABP 中，
∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，
∴∠APB=60°，
∴∠DPC=60°，
∴cos∠DPC=cos60°= ．
故选：A．
3．
【考点】等腰梯形的性质．
【分析】首先作辅助线：过点A 作AE∥CD 交BC 于点E，根据等腰梯形的性质，易得四边形AECD 是
平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可得AE=CD=AB=20，AD=EC，易得△ABE 是等
边三角形，即可求得AD 的长．
解：过点A 作AE∥CD 交BC 于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD 是平行四边形，
∴AE=CD=AB=20，AD=EC，
∵∠B=60°，
∴BE=AB=AE=20，
∴AD=BC﹣CE=50﹣20=30．
故答案为：30
4．
【考点】等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】过A 作AE∥DC 交BC 于E，得出等边三角形ABE 和平行四边形ADCE，推出
AB=AD=DC=BE=CE，求出AD 长，即可得出答案．
解：
过A 作AE∥DC 交BC 于E，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE 是平行四边形，
∴AD=EC=DC，AE=DC，
∵AB=CD，
∴AB=AE，
∴△ABE 是等边三角形，
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∴BE=AB=AE=DC=AD=CE，
∵BC=12，
∴AB=AD=DC=6，
∴梯形ABCD 的周长是AD+DC+BC+AB=6+6+12+6=30，
故答案为：30．
5．
【考点】等腰梯形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定．
【分析】根据中点的条件，可以利用．三角形的中位线定理证明四边形EFPG 的两组对边分别平行，
得出这个四边形是平行四边形；
在平行四边形的基础上要说明四边形是矩形，只要再说明一个角是直角就可以．
解：（1）四边形EFPG 是平行四边形．
理由：∵点E、F 分别是BC、PC 的中点，
∴EF∥BP．
同理可证EG∥PC．
∴四边形EFPG 是平行四边形．
（2）当PC=3 时，四边形EFPG 是矩形．
证明：延长BA、CD 交于点M．
∵AD∥BC，AB=CD，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠C=60°．
∴∠M=60°，
∴△BCM 是等边三角形．（7 分）
∵∠MAD=180°﹣120°=60°，
∴AD=DM=2．
∴CM=DM+CD=2+4=6．（8 分）
∵PC=3，
∴MP=3，
∴MP=PC，
∴BP⊥CM 即∠BPC=90 度．
由（1）可知，四边形EFPG 是平行四边形，
∴四边形EFPG 是矩形．
6．
【考点】等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】由ASA 可证△BAE≌△ADF，继而得证，并得出∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE，结合题意，可
得∠BPF=120°．
（1）证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，
∴AB=DC，
又∵AD=DC，
∴BA=AD（等量代换），
又∵∠BAE=∠ADF（等腰梯形的性质），
∵AD=DC，DE=CF，
∴AD+DE=DC+CF，
∴AE=DF（等量代换），
在△BAE 和△ADF 中，
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，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE=AF（对应边相等）；
（2）解：猜想∠BPF=120°．
∵由（1）知△BAE≌△ADF（已证），
∴∠ABE=∠DAF（对应角相等）．
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAP+∠EAF=∠BAE（等量代换）．
∵AD∥BC，∠DCB=∠ABC=60°（已知），
∴∠BPF=∠BAE=180°﹣60°=120°（等量代换）．
家庭作业
1．
【考点】等腰梯形的性质；多边形内角与外角．
【分析】首先求得正八边形的内角的度数，则∠1 的度数是正八边形的度数的一半．
解：正八边形的内角和是：（8﹣2）×180°=1080°，
则正八边形的内角是：1080÷8=135°，
则∠1= ×135°=67.5°．
故答案是：67.5°．
2．
【考点】等腰梯形的性质．
【分析】根据等腰梯形的性质可得出AD=BC，再由BC=4，CD=3，得出AB 的长．
解：∵四边形ABCD 为等腰梯形，
∴AD=BC，
∵BC=4，
∴AD=4，
∵CD=3，等腰梯形ABCD 的周长为16，
∴AB=16﹣3﹣4﹣4=5，
故答案为：5．
3．
【考点】等腰梯形的性质．
【分析】由等腰梯形ABCD，AD∥BC，BD 平分∠ABC，易求得△ACD 是等腰三角形，继而可得
AB=AD=CD，又由∠A=120°，△BCDD 的是直角三角形，即可得BC=2CD，继而求得答案．
解：∵AD∥BC，BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∵∠A=120°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵梯形ABCD 是等腰梯形，
∴∠C=∠ABC=60°，AB=CD，
∴∠BDC=180°﹣∠CBD﹣∠C=90°，AB=CD=AD，
∴BC=2CD=2AD，
∵梯形的周长为10，
18
∴AB+BC+CD+AD=10，
即5AD=10，
∴AD=2．
故答案为：2．
4．
【考点】等腰梯形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】首先过点D 作DE∥AC，交BC 的延长线于点E，可得四边形ACED 是平行四边形，又因为在
等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，可得△BDE 是等腰直角三角形，继而求得答
案．
解：过点D 作DE∥AC，交BC 的延长线于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形ACED 是平行四边形，
∴AC=DE，CE=AD=4，
∴BE=BC+CE=6+4=10，
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD，
∵四边形ABCD 是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BD=DE，
∴BD=DE=
=5
，
∴S 梯形ABCD= ×AC×BD=25．
故答案为：25．
5．
【考点】等腰梯形的性质．
【分析】首先过点A 作AE⊥BC 交BC 于E，过点D 作DF⊥BC 交BC 于F，易得四边形AEFD 是长方形，
易证得△ABE 是等腰直角三角形，即可得∠B 的度数．
解：过点A 作AE⊥BC 交BC 于E，过点D 作DF⊥BC 交BC 于F，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD 是长方形，
∴EF=AD=2，
∵四边形ABCD 是等腰梯形，
∴BE=（8﹣2）÷2=3，
∵梯形的高是3，
∴△ABE 是等腰直角三角形，
∴∠B=45°．
故答案为：45°．
19
6．
【考点】等腰梯形的性质；含30 度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】延长DC，AB 交于点F，作AG∥DE 交DF 于点G，四边形AFDE 是等腰梯形，且
∠F=∠D=60°，△AFG 是等边三角形，四边形AGDE 是平行四边形，求得等腰梯形AFDE 的
面积和△BCF 的面积，二者的差就是所求五边形的面积．
解：延长DC，AB 交于点F，作AG∥DE 交DF 于点G．
∵AE∥CD，∠A=∠E=120°，
∴四边形AFDE 是等腰梯形，且∠F=∠D=60°，△AFG 是等边三角形，四边形AGDE 是平行四边形．
设BF=x，
∵在直角△BCF 中，∠BCF=90°﹣∠F=30°
∴FC=2x，
∴FD=2x+1．
∵平行四边形AGDE 中，DG=AE=2，
∴FG=2x﹣1，
∵△AFG 是等边三角形中，AF=FG，
∴x+1=2x﹣1，
解得：x=2．
在直角△BCF 中，BC=BF•tanF=2
，
则S△BCF= BF•BC= ×2×2
=2
．
作AH⊥DF 于点H．
则AH=AF•sinF=3×
=
，
则S 梯形AFDE= （AE+DF）•AH= ×（2+5）•
=
．
∴S 五边形ABCDE=S 梯形AFDE﹣S△BCF=
﹣2
=
．
故答案为：
．
7．
【考点】等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
【分析】（1）由等腰梯形的性质得AD=BC，∠A=∠B，因为AE=BF，根据SAS 判定△ADE≌△BCF，
从而得到∠CEA=∠DFB，即OE=OF；
20
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形DCEF 是平行四边形，
又知CE=DF，所以得到四边形DCEF 是矩形．
（1）证明：∵梯形ABCD 为等腰梯形，AB∥CD
∴AD=BC，∠A=∠B，
在△ADE 与△BCF 中，
∵
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠DEA=∠CFB，
∴OE=OF；
（2）解：▱CDEF 为矩形．
证明：∵DC∥EF 且DC=EF
∴四边形CDEF 是平行四边形
又由（1）得△ADE≌△BCF
∴DE=CF
∴CDEF
▱
为矩形．
8．
【考点】等腰梯形的性质．
【分析】由已知可得到四边形AECD 是平行四边形，从而得到DC=AE，AD=CE=BC，此时再求周长就不
难了．
解：∵AB∥DC，CE∥DA，
∴四边形AECD 是平行四边形，
∴DA=CE=6，DC=AE=5，∠DAB=∠CEB，
∴EB=AB﹣AE=8﹣5=3．
又∵四边形ABCD 为等腰梯形，
∴∠DAB=∠B，
∴∠CEB=∠B，
∴CE=CB=6，
∴△CEB 的周长为：CE+CB+EB=6+6+3=15
9．
【考点】等腰梯形的性质；含30 度角的直角三角形．
【分析】此题主要是求得梯形的两条腰．可以作梯形的两条高，构造了两个全等的直角三角形和一
个矩形；也可平移一腰，构造了一个平行四边形和一个等边三角形，根据特殊梯形的性质
进行求解．
解：过点A、D 分别作AE⊥BC 于E，DF⊥BC 于F，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD 是矩形，
∴AD=EF
∵四边形ABCD 是等腰梯形，根据梯形的轴对称性知：BE=CF
21
∴BE= （BC﹣AD）=4
在Rt△ABE 中，
∵∠B=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°
∴BE= AB，即AB=2BE=8
∴AB=CD=8
∴L 梯形ABCD=10+8+18+8=44．
10．
【考点】等腰梯形的性质．
【分析】由AB=AD=CD，可知∠ABD=∠ADB，又AD∥BC，可推得BD 为∠B 的平分线，而由题可知梯形
ABCD 为等腰梯形，则∠B=∠C，那么在RT△BDC 中，∠C+∠C=90°，可求得∠C=60°．
解：∵AB=AD=CD
∴∠ABD=∠ADB
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠DBC
∴BD 为∠B 的平分线
∵AD∥BC，AB=AD=CD
∴梯形ABCD 为等腰梯形
∴∠B=∠C
∵BD⊥CD
∴∠C+∠C=90°
∴∠C=60°
11．
【考点】等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】首先求出∠EAB=∠EDC．根据全等三角形的判定推出△ABE≌△DCE 即可求解．
证明：在等腰梯形ABCD 中，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDA，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠EAB=∠EDC．
在△ABE 和△DCE 中，
∵AB=DC，∠EAB=∠EDC，EA=ED，
∴△ABE≌△DCE，
∴EB=EC．
22
课程顾问签字： 教学主管签字：
