文档文本内容
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几何图形（2）
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1、进一步认识点、线、面、体的概念，明确它们之间的关系；
2、通过对点、线、面、体的认识，经历用图形描述现实世界的过程，用它们来解释生活中的
现象；
3、认识数学与现实生活的密切联系，培养学生与他人交流、合作的意识．
1．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组
成了多姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看
___是组成图形的基本元素，________都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6 个平面组成，球由一个曲面组成．
2．几何体的表面积
（1）几何体的表面积=______ +______（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R 为圆柱体上下底圆半径，h 为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r 为圆锥体低圆半径，h 为其高，n 为圆锥侧面展开图中
扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a 为长方体的长，b 为长方体的宽，h 为长方体的高）
④正方体表面积：6a2 （a 为正方体棱长）
3．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应
立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同
时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．
②圆锥的侧面展开图是扇形．
③正方体的侧面展开图是长方形．
④三棱柱的侧面展开图是长方形．
2
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为
_______问题解决．
4．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，
然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
5．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与
几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则
截面最多为几边形．
6．圆柱的计算
（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的___，圆柱的底面周长等于矩形的___．
（2）圆柱的侧面积=底面圆的____×高
（3）圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积=底面积×高．
参考答案：
1.（3）点 线 面 体
2.（1）侧面积 底面积
3.（3）平面图形
6.（1）宽 长；（2）周长
1. 点、线、面、体．
【例1】（2014•韶关南雄中学期末）如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据半圆绕它的直径旋转一周形成球即可得出答案．
【解答】解：半圆绕它的直径旋转一周形成球体．
故选：A．
练1. 图中的几何体是由（ ）绕线旋转一周得到的．
3
A．
B．
C．
D．
【分析】我们可以首先考虑物体的轴截面，旋转轴就是轴截面的对称轴，因而这个物体可以看成由
轴截面一边的部分，沿着旋转轴旋转一周得到的图形．
【解答】解：根据平面图形旋转轴的定义及题目中的立体图形可知是第四个图形．故选D．
2. 线段的性质.
【例2】（2014•陕西榆林一中期中）如图所示，某同学的家在A 处，星期日他到书店去买书，想尽
快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线（ ）
A．A→C→D→B
B．A→C→F→B
C．A→C→E→F→B
D．A→C→M→B
【分析】根据线段的性质，可得C、B 两点之间的最短距离是线段CB 的长度，所以想尽快赶到书店，
一条最近的路线是：A→C→F→B，据此解答即可．
【解答】解：根据两点之间的线段最短，
可得C、B 两点之间的最短距离是线段CB 的长度，
所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．
故选：B．
练2. 如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解
释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条
直线．
故选：A．
3．两点间的距离.
【例3】（2014•江苏盐城第八中学期末）数轴上A、B、C 三点所表示的数分别为a、b、c，且C 在
AB 上．若|a|=|b|，AC：CB=1：3，则下列b、c 的关系式，何者正确？（ ）
A．|c|= |b|
B．|c|= |b| C．|c|= |b| D．|c|= |b|
练3．对坐标平面内不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），用|AB|表示A、B 两点间的距离（即线段
AB 的长度），用‖AB‖表示A、B 两点间的格距，定义A、B 两点间的格距为‖AB‖=|x1﹣x2|
+|y1﹣y2|，则|AB|与‖AB‖的大小关系为（ ）
A．|AB|≥‖AB‖ B．|AB|＞‖AB‖
C．|AB|≤‖AB‖
D．|AB|＜‖AB‖
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【分析】根据点的坐标的特征，|AB|、|x1﹣x2|、|y1﹣y2|三者正好构成直角三角形，然后利用两点
之间线段最短解答．
【解答】解：当两点不与坐标轴平行时，
∵|AB|、|x1﹣x2|、|y1﹣y2|的长度是以|AB|为斜边的直角三角形，
∴|AB|＜‖AB‖．
当两点与坐标轴平行时，
∴|AB|=‖AB‖．
故选：C．
4．几何体的表面积．
【例4】（2015•北京第六十四中学期末）附图的长方体与下列选项中的立体图形均是由边长为1 公
分的小正方体紧密堆砌而成．若下列有一立体图形的表面积与附图的表面积相同，则此图
形为何？（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据立体图形的面积求法，分别得出几何体的表面积即可．
【解答】解：∵立体图形均是由边长为1 公分的小正方体紧密堆砌而成，
∴附图的表面积为：6×2+3×2+2×2=22，
只有选项B 的表面积为：5×2+3+4+5=22．
故选：B．
练4. 从棱长为2 的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1 的小正方体，得到一个如图所示的零件，
则这个零件的表面积为 ．
【分析】根据几何体表面积的计算公式，从正方体毛坯一角挖去一个小正方体得到的零件的表面积
等于原正方体表面积，即可得出答案．
【解答】解：挖去一个棱长为1 的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，
则表面积是2×2×6=24．
故答案为：24．
5. 圆柱的计算．
【例5】（2015•山西长治新城区一中月考）一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为6 和8 的矩形，
则该圆柱的底面圆半径是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
5
【分析】分8 为底面周长与6 为底面周长两种情况，求出底面半径即可．
【解答】解：若6 为圆柱的高，8 为底面周长，此时底面半径为
=
；
若8 为圆柱的高，6 为底面周长，此时底面半径为
=
，
故选C．
练5. 一个长方形长为4cm，宽为2cm，以它的长边为轴，把长方形转一周后，得到一个圆柱体体积
为（ ）
A．8πcm3
B．4πcm3
C．16πcm3
D．12πcm3
【分析】根据面动成体可知旋转后的圆柱体的半径为2cm，根据圆柱体的面积计算公式即可解．
【解答】解：根据圆柱体的体积计算公式，体积=πr2×高=4π×4=16πcm3．故选C．
1．如图，将一张边长为6cm 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这
个六棱柱的侧面积为 cm2．
2．一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，则这个圆柱的侧面积是 cm2（结果保留π）．
3．棱长是1cm 的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积为（ ）
A．36cm2
B．33cm2
C．30cm2
D．27cm2
4．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为3，2，1，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，
在这些新长方体中，表面积最小值为（ ）
A．42
B．38
C．20
D．32
5．一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14 个棱长为1 分米的正方体摆在课桌上成
如图形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为（ ）
A．33 分米2 B．24 分米2 C．21 分米2 D．42 分米2
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1．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，把它们叠放在一起组成一个新的
长方体，在这些新的长方体中，表面积最大是 cm2．
2．一位画家把边长为1 米的7 个相同正方体摆成如图的形式，然后把露出的表面涂上颜色，则涂
色面积为 平方米．
3．一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27 个大小相等的小立方块，设其中仅有i
个面（1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为xi，则x1、x2、x3之间的关系为（ ）
A．x1
x
﹣2+x3=1
B．x1+x2
x
﹣3=1
C．x1+x3
x
﹣2=2
D．x1
x
﹣3+x2=2
4．如图，C、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD 的长为（
）
A．2cm
B．3cm C．4cm
D．6cm
5．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边
6．点A、B、C 在同一条数轴上，其中点A、B 表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC 等于
（ ）
A．3
B．2
C．3 或5
D．2 或6
7．如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因 ．
8．如图1 是边长为1 的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2 的正方体，则图1 中小正方形顶
点A，B 围成的正方体上的距离是（ ）
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A．0
B．1 C．
D．
9．已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是（ ）
A．30cm2 B．30πcm2
C．15cm2 D．15πcm2
10．将图1 的正四角锥ABCDE 沿着其中的四个边剪开后，形成的展开图为图2．判断下列哪一个选
项中的四个边可为此四个边？（ ）
A．AC、AD、BC、DE
B．AB、BE、DE、CD
C．AC、BC、AE、DE
D．AC、AD、AE、BC
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参考答案：
当堂检测
1.
【分析】这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为6，宽为6 减去两个六边形的高，再用长方
形的面积公式计算即可求得答案．
【解答】解：∵将一张边长为6 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六边形的棱柱，
∴这个正六边形的底面边长为1，高为
，
∴侧面积为长为6，宽为6﹣2
的长方形，
∴面积为：6×（6﹣2
）=36﹣12
．
故答案为：36﹣12
．
2．
【分析】直接利用圆柱体侧面积公式求出即可．
【解答】解：∵一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，
∴这个圆柱的侧面积是：πd×10=60π（cm2）．
故答案为：60π．
3．
【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数的和的2 倍．
【解答】解：正视图中正方形有6 个；
左视图中正方形有6 个；
俯视图中正方形有6 个．
则这个几何体中正方形的个数是：2×（6+6+6）=36 个．
则几何体的表面积为36cm2．
故选：A．
4．
【分析】把长、宽、高分别为3，2，1 的两个面叠放在一起组成一个新的长方体的表面积最小，就
要求把两个面积最大的面组合在一起．
【解答】解：根据以上分析：其最小值是：4×（3×1+2×1）+2×3×2=32．
故选D．
5．
【分析】解本类题要从各角度去观察露出的正方形个数，然后计算其表面积．
【解答】解：从正面、后面，左面，右面看都有6 个正方形，从上面看有9 个正方形，则共有33
个正方形，因为每个正方形的面积为1 分米2，则涂上涂料部分的总面积为33 分米2．
故选A．
家庭作业
1.
【分析】把长、宽、高分别为5，4，3cm 的两个面叠放在一起组成一个新的长方体的表面积最大，
就要求把两个面积最小的面组合在一起．
【解答】解：根据以上分析：表面积最大的是2×（4×3）+4×（5×4+5×3）=164cm2．
故答案为：164cm2．
2．
【分析】依据图形，从上面，前后面，左右面5 个方向看．
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【解答】解：根据分析，涂色面积=5+4×2+5×2=23．
故答案为：23 平方米．
3．
【分析】根据图示：在原正方体的8 个顶点处的8 个小正方体上，有3 个面涂有颜色；2 个面涂有
颜色的小正方体有12 个，1 个面涂有颜色的小正方体有6 个．
【解答】解：根据以上分析可知x1+x3
x
﹣2=2．
故选C．
4．
【分析】由AB=10cm，BC=4cm，可求出AC=AB﹣BC=6cm，再由点D 是AC 的中点，则可求得AD 的长．
【解答】解：∵AB=10cm，BC=4cm，
∴AC=AB﹣BC=6cm，
又点D 是AC 的中点，
∴AD= AC=3cm，
答：AD 的长为3cm．
故选：B．
5．
【分析】此题为数学知识的应用，由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的
里程，就用到两点间线段最短定理．
【解答】解：要想缩短两地之间的里程，就尽量是两地在一条直线上，因为两点间线段最短．
故选：C．
6．
【分析】要求学生分情况讨论A，B，C 三点的位置关系，即点C 在线段AB 内，点C 在线段AB 外．
【解答】解：此题画图时会出现两种情况，即点C 在线段AB 内，点C 在线段AB 外，所以要分两种
情况计算．
点A、B 表示的数分别为﹣3、1，
AB=4．
第一种情况：在AB 外，
AC=4+2=6；
第二种情况：在AB 内，
AC=4﹣2=2．
故选：D．
7．
【分析】根据线段的性质解答即可．
【解答】解：为抄近路践踏草坪原因是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
8．
【分析】根据展开图折叠成几何体，可得正方体，A，B 是同一棱的两个顶点，可得答案．
【解答】解；AB 是正方体的边长，
AB=1，
故选：B．
10
9．
【分析】圆柱侧面积=底面周长×高．
【解答】解：根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：2π×3×5=30πcm2．
故选B．
10．
【分析】由平面图形的折叠及正四角锥的展开图解题．
【解答】解：将图1 的正四角锥ABCDE 沿着其中的四个边剪开后，形成的展开图为图2．
四个边可为AC、AD、BC、DE．
故选：A．
课程顾问签字： 教学主管签字：
