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等腰三角形（1）
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1、了解等腰三角形的概念；
2、掌握等腰三角形的性质；
3、培养学习数学的兴趣，应用等腰三角形的性质进行计算和解决生产、生活中的有关问题
1．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和____第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两
条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差_____第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时
炸弹，容易忽略．
2. 三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内
角均大于____且小于____．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是___．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在
转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．
①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
3. 三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的____．
三角形共有__
个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为_ _ ．
②三角形的一个外角等于和它_ __
_ 的两个内角的和．
2
③三角形的一个外角_ __
和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外
角．
4．等腰三角形的概念与性质
（1）等腰三角形的概念
有__
_ 相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：__
___
_ 】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【简称：__
___
_ 】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取
出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
1. 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【例1】（2014•临沂实验中学期末）若等腰三角形底角为72°，则顶角为（ ）
练1. （2015 春•岳阳第一中学质检）等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则等腰三角形顶
角的度数为（ ）
A．30°
B．150°
C．60°或120° D．30°或150°
2. 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【例2】（2015•日照一中月考）如图射线BA、CA 交于点A．连接BC，己知AB=AC，∠B=40 度．那
么x 的值是（ ）
A．80
B．60
C．40 D．100
练2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A．60°
B．120°
C．60°或150°
D．60°或120°
练3.如图，△ABC 中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
3. 等腰三角形的性质；三角形三边关系．菁优网版权所有
【例3】已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x，则x 的取值范围是
（ ）
练4. 一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为 cm．
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4． 等腰三角形的性质；全等三角形的性质．菁
【例4】（2014•忻州一中期末）已知等腰△ABC 的周长为18cm，BC=8cm，若△ABC≌△A′B′C′，
则△A′B′C′中一定有一条边等于（ ）
A．7cm
B．2cm 或7cm
C．5cm
D．2cm 或5cm
练5. 已知等腰△ABC 中，AB=AC，D 是BC 边上一点，连接AD，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，
则∠C 的度数是 ．
5．线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【例5】（2014•赤峰市中期中）如图，等腰三角形ABC 中，已知AB=AC，∠A=30°，AB 的垂直平分
线交AC 于D，则∠CBD 的度数为 °．
练6．在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于
．
6. 等腰三角形的性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【例6】（2015 春•阳泉实验期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（0，
），点C 在坐标平面内．若以A，B，C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足
条件的点C 有 个．
练7．（2014•南通一中质检）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P（2，2），点Q 在y 轴上，△PQO
是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有（ ）
A．5 个
B．4 个 C．3 个 D．2 个
1．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB 于D，则∠DCB 等于（ ）
4
A．44° B．68°
C．46°
D．22°
2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B 是两格点，如果C 也是图中的格
点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是（ ）
A．6
B．7 C．8 D．9
3．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE 分别为∠ABC，∠ACB 的角平分线，则图中等腰三
角形共有（ ）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
4．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P、O、A 为
顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AB=AC﹣BD，则∠B：∠C 的值是 ．
6．△ABC 中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB= ．
7．等腰△ABC 的两边长为2 和5，则第三边长为 ．
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1．如图所示，矩形ABCD 中，AB=4，BC=
，点E 是折线段A﹣D﹣C 上的一个动点（点E 与点A 不
重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有（ ）
5
A．2 个
B．3 个 C．4 个
D．5 个
2．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC 或AC 上取一点P，使得△PAB 为等腰三
角形，则符合条件的点P 共有（ ）
A．4 个
B．5 个
C．6 个 D．7 个
3．如图所示，在△ABC 中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC 的平分线交AC 于D，则图中共有等腰三角
形（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个 D．3 个
4．等腰三角形的两边长分别为4 和9，则这个三角形的周长为 ．
5．从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸
片的底角等于 度．
6．△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，则∠B 的度数是 度．
7．如图，△ABC 的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC 于D，△ACD 的周长为24，那么AD 的长为 ．
8．已知等腰△ABC 的周长为10，若设腰长为x，则x 的取值范围是 ．
9．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E 在BC 上，且AE=EC，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC
上，则AC 的长是 ．
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10．夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图，中塔左右两边所挂的最长钢索AB=AC，塔柱底端D 与点B
间的距离是228 米，则BC 的长是 米．
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