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梯形
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1、知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念，掌握等腰梯形的性质；
2、运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算；
3、增强主动探索意识，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值．
1．直角梯形
梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形．
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个____和________．这是常用的一种
作辅助线的方法．
2．等腰梯形的性质
（1）等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的____的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（3）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成
____和两个全等的________，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性
质．
3．等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
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判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否_____，可以通过添加
辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
4．梯形中位线定理
（1）中位线定义：连接梯形两腰_____的线段叫做梯形的中位线．
（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）梯形面积与中位线的关系：
梯形中位线的2 倍乘高再除以2 就等于梯形的面积，即
梯形的面积=中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．
5．翻折变换（折叠问题）
（1）翻折变换（折叠问题）实质上就是________．
（2）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置
变化，对应边和对应角相等．
（3）在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形
间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段
长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角
形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
6．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新
图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减
去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．（即：横坐
标，右移___，左移___；纵坐标，上移___，下移___．）
1. 等腰梯形的性质．
【例1】（2014•湖北十堰六中期末）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则
下底BC 的长为（ ）
A．8
B．9
C．10 D．11
练1. 如图，已知等腰梯形ABCD 的底角∠B=45°，高AE=1，上底AD=1，则其面积为（ ）
3
A．4 B．
C．1
D．2
练2. 如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，AC 与BD 相交于点O，则下列判断不正确的是
（ ）
A．△ABC≌△DCB
B．△AOD≌△COB
C．△ABO≌△DCO
D．△ADB≌△DAC
2. 等腰梯形的性质；梯形中位线定理．
【例2】（2015•河北邯郸实验中学月考）如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯
形中位线EF 与对角线BD 相交于点M，且BD⊥CD，则MF 的长为（ ）
A．1.5
B．3
C．3.5
D．4.5
练3. 如图，等腰梯形ABCD 的对角线长为13，点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，则
四边形EFGH 的周长是（ ）
A．13 B．26 C．36 D．39
3. 直角梯形．
【例3】（2014•韶关第一中学期中）如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角
三角形和一个以BC 为底的等腰三角形．若梯形上底为5，则连接△DBC 两腰中点的线段的
长为 ．
练4. 如图，∠AOB=45°，过射线OA 上到点O 的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA 的垂
线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为S1，S2，S3，S4，…．观察图中
的规律，第n（n 为正整数）个黑色梯形的面积是Sn= ．
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练5. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD 平分∠ABC，则梯形
ABCD 的周长是 ．
4．等腰梯形的性质；平行四边形的判定．
【例4】（2014•锦州一中期末）如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD∥BC，连结AC、BD．在平面内
将△DBC 沿BC 翻折得到△EBC．
（1）四边形ABEC 一定是什么四边形？
（2）证明你在（1）中所得出的结论．
练6. 如下图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD 交CD 于E，则△BCE
的周长l 为 ．
5．等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【例5】（2014 秋•张家港市校级期末统考）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥DC，线段AG，BG 分
别交CD 于点E，F，DE=CF．
求证：△GAB 是等腰三角形．
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练7．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD 为边向外侧作等边三角形ABE 和等边
三角形DCF，连接AF，DE．
（1）求证：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE 和△DCF 的面积之和等于梯形ABCD 的面积，求BC 的长．
1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB 等于（ ）
A．10 B．
C．6
D．5
3．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G、H 在对角线AC 上．
若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）
A．2
B．3
C．5
D．6
4．菱形ABCD 的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC 为边作正方形ACEF，则BF 长为 ．
5．已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，点P 是腰DC 上的一个动点（P 与D、C 不重
合）， 点E、F、G 分别是线段BC、PC、BP 的中点．
（1）试探索四边形EFPG 的形状，并说明理由；
（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC 为何值时，四边形EFPG 是矩形并加以证明．
6．如图，在等腰梯形ABCD 中，∠BCD=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F 分别在AD、DC 的延长线
上，且DE=CF，AF、BE 于点P．
（1）求证：AF=BE；
6
（2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论．
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1．如图，若该图案是由8 个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1= ．
2．如图，等腰梯形ABCD 的周长为16，BC=4，CD=3，则AB= ．
3．如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，BD 平分∠ABC，∠A=120°．若梯形的周长为10，则AD 的长为
．
4．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD．若AD=4，BC=6，则梯形ABCD 的面积是
．
5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，若AD=2，BC=8，梯形的高是3，则∠B 的度数是
．
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6．如图，五边形ABCDE 中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=120°，AB=CD=1，AE=2，则五边形ABCDE
的面积等于 ．
7．如图①，在等腰梯形ABCD 中，AB∥CD，E、F 是边AB 上的两点，且AE=BF，DE 与CF 相交于梯形
ABDC 内一点O．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图②，当EF=CD 时，请你连接DF、CE，判断四边形DCEF 是什么样的四边形，并证明你的结
论．
8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥CD，CE∥DA，已知AB=8，DC=5，DA=6，求△CEB 的周长．
9．如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，AD=10，BC=18，求梯形ABCD 的周长．
10．如图梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C 的度数．
11．如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，点E 为梯形外一点，且AE=DE．
求证：BE=CE．
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课程顾问签字： 教学主管签字：
