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平行四边形
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1、掌握平行四边形的概念及性质；
2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题；
3、培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．
1．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离___________．
2．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和_____第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两
条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差_____第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时
炸弹，容易忽略．
3．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内
角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是____°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在
转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，
用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
4．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为____°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外
角．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取
出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别____的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
7．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平
行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD 是平行
四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD 是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD 是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD 是平行四
边形．
1. 平行四边形的性质．
【例1】（2014•哈尔滨道外区第一中学期末）在▱ABCD 中，∠A，∠B 的度数之比为5：4，则∠C
等于（ ）
A．60°
B．80°
C．100° D．120°
练1. 在下列命题中，结论正确的是（ ）
3
A．平行四边形的邻角相等
B．平行四边形的对边平行且相等
C．平行四边形的对角互补
D．沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能够完全重合
练2. 平行四边形具有而非平行四边形的图形不具有的性质是（ ）
A．内角和与外角和都是360°
B．不稳定性
C．对角线互相平分 D．最多有三个钝角
2. 平行四边形的性质；三角形三边关系．
【例2】（2014•湖北监利县中考模拟）若平行四边形的两条对角线长是8cm 和16cm，则这个平行
四边形的一边长可以是（ ）
A．3cm
B．4cm
C．8cm
D．12cm
练3. 若平行四边形的两条对角线长为6 cm 和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的
是（ ）
A．5cm
B．8cm
C．12cm D．16cm
3.平行四边形的判定．
【例3】（2014 秋•乐清市校级月考）如图，已知△ABC，分别以A，C 为圆心，BC，AB 长为半径画
弧，两弧在直线BC 上方交于点D，连接AD，CD，则有（ ）
A．∠ADC 与∠BAD 相等
B．∠ADC 与∠BAD 互补
C．∠ADC 与∠ABC 互补
D．∠ADC 与∠ABC 互余
练4. 点A、B、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A、B、C、D 四点
恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个 D．4 个
4．平行四边形的性质；平行四边形的判定．
【例4】（2014•江苏盐城二中期末）如图，D、E、F 分别为△ABC 三边的中点，则与△DEF 全等的
三角形有（ ）
A．1 个
B．2 个 C．3 个 D．5 个
练5. 如图，在▱ABCD 中，EF∥AB，GH∥AD，EF 与GH 交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有
（ ）
A．7 个 B．8 个 C．9 个 D．11 个
4
5．全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．
【例5】（2014•山东枣庄中学月考质检）如图，△ABC 中，∠ABC=∠BAC，D 是AB 的中点，
EC∥AB，DE∥BC，AC 与DE 交于点O．下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．AC=DE B．AB=AC
C．AD=EC D．OA=OE
练6．如图，点B，E，C，F 在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，BE=CF．
求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）四边形ABED 是平行四边形．
1．如图，在▱ABCD 中，AB=8，AD=6，∠DAB=30°，点E，F 在AC 上，且AE=EF=FC，则△BEF 的面
积为（ ）
A．8
B．4
C．6 D．12
2．在▱ABCD 中，AC、BD 相交于O，AC=10，BD=8，则AD 的长度的取值范围是（ ）
A．AD＞1
B．1＜AD＜9
C．AD＜9 D．AD＞9
3．平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可能是（ ）
A．8 和12 B．9 和13 C．12 和12
D．11 和14
4．如图所示，一个平行四边形被分成面积为S1，S2，S3，S4的四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左
向右在平行四边形内平行滑动时，S1•S4与S2•S3的大小关系为（ ）
A．S1•S4＞S2•S3 B．S1•S4＜S2•S3 C．S1•S4=S2•S3
D．不能确定
5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH 的交点P 在BD 上，则图中面积
相等的平行四边形有（ ）
5
A．平行四边形AEPG 和平行四边形ABHG
B．平行四边形AEPG 和平行四边形PHCF
C．平行四边形ABHG 和平行四边形GPFD
D．平行四边形GPFD 和平行四边形AEPG
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1．如图，▱ABCD 中，EF∥AD，GH∥CD，EF、GH 相交于O，则图中平行四边形的个数为（ ）
A．9 B．8
C．6
D．4
2．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，那么下列说法正确的有（ ）
①四边形ABCD 是平行四边形，记做“四边形ABCD 是”；
▱
②BD 把四边形ABCD 分成两个全等的三角形；
③AD∥BC，且AB∥CD；
④四边形ABCD 是平行四边形，可以记做“▱ABDC”．
A．1 个
B．2 个
C．3 个 D．4 个
3．下列说法中错误的个数是（ ）
①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是矩形
③两条对角线互相垂直的矩形是正方形；④两条对角线相等的菱形是正方形
⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形
⑥角既是轴对称图形又是中心对称图形
⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形
⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
4．下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形
的面积等于三角形的面积的2 倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等
的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个 D．4 个
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5．已知直线a∥b，点M 到直线a 的距离是5cm，到直线b 的距离是3cm，那么直线a 和直线b 之间
的距离为 ．
6．若一个平行四边形一个内角的平分线把一条边分为2cm 和3cm 的两条线段，则该平行四边形的
周长是 ．
7．在▱ABCD 中，AD=2，AE 平分∠DAB 交CD 于点E，BF 平分∠ABC 交CD 于点F．若EF=1，则▱ABCD
的周长为 ．
8．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与
B，C 不重合），连接PM 并延长交AD 的延长线于Q．
（1）试说明△PCM≌△QDM．
（2）当P 在B、C 之间运动到什么位置时，四边形ABPQ 是平行四边形？并说明理由．
9．如图1，在四边形ABCD 中，已知AB=BC=CD，∠BAD 和∠CDA 均为锐角，点P 是对角线BD 上的一
点，PQ∥BA 交AD 于点Q，PS∥BC 交DC 于点S，四边形PQRS 是平行四边形．
（1）当点P 与点B 重合时，图1 变为图2，若∠ABD=90°，求证：△ABR≌△CRD；
（2）对于图1，若四边形PRDS 也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD 还应满足什么条件？
10．己知：如图，E、F 分别是▱ABCD 的AD、BC 边上的点，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若M、N 分别是BE、DF 的中点，连接MF、EN，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你
的结论．
课程顾问签字： 教学主管签字：
