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微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）
直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：
①一般方法：S=1
2|AB|d
（其中|AB|为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式
y=kx +m .
进一步，S=1
2|AB|d =
1
2 √1+k2√( x1+x2)2−4 x1 x1
|kx 0−y0+m|
√1+k2
②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一
般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.
③坐标法：设A(x1, y1),B(x2, y2)，则SΔ AOB=1
2|x1 y2−x2 y1|
④面积比的转化：
三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之
比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：
1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比
2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）
3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比
4.面积的割补和转化
⑤四边形的面积计算
在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公
式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，
借助三角形面积公式求解.
⑥注意某条边过定点的三角形和四边形
当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转
化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.
题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题
【精选例题】
【例1】已知椭圆
，
，
分别为左右焦点，点
，
在椭圆E
上.
(1)求椭圆E 的离心率；
(2)过左焦点
且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A，B 两点，若
的中点为M，O 为原点，直线
交直线
于点N，求
取最大值时直线l 的方程.
【例2】已知圆
：
和圆
：
，以动点
为圆心的圆与其中一个圆外
切，与另一个圆内切，记动点
的轨迹为
．
(1)求轨迹
的方程；
(2)若斜率为
的直线交轨迹
于
，
两点，求
的长度的最大值．
【跟踪训练】
1.已知椭圆C：
，圆O：
，若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点
作两条相互垂直的直线，
，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求
的取值范
围．
2．已知椭圆
：
的两焦点
，
，且椭圆
过
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
作不与坐标轴垂直的直线交椭圆
于
，
两点，线段
的垂直平分线与
轴负半轴交于点
，
若点
的纵坐标的最大值为
，求
的取值范围.
题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题
【精选例题】
【例1】已知椭圆
的方程为
，称圆心在坐标原点
，半径为
的圆为椭圆
的“蒙日圆”，椭圆
的焦距为
，离心率为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线与椭圆
交于
、
两点，与其“蒙日圆”交于
、
两点，当
时，求
面积的最
大值．
【例2】已知椭圆
的左、右焦点分别是
，
，上顶点为A，椭圆的焦距等于椭圆的
长半轴长，且
的面积为
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若B，C 是椭圆上不同的两点，且直线AB 和直线AC 的斜率之积为
，求
面积的最大值．
【例3】动点
满足方程
．
(1)求动点P 的轨迹
的方程；
(2)设过原点的直线l 与轨迹
相交于
两点，设
，连接
并分别延长交轨迹
于点
，记
的面积分别是
，求
的取值范围．
【例4】已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为
，且长轴长是短轴长的
倍．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A、B 两点，
是椭圆的另一个焦点，若
内切圆的半径
，
求直线l 的方程．
【跟踪训练】
1．如图，已知椭圆
的焦点为
，
，离心率为
，椭圆
的上、下顶点分别为
，右
顶点为
，直线过点
且垂直于
轴，点
在椭圆
上（且在第一象限），直线
与交于点
，直线
与
轴交于点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)判定
（
为坐标原点）与
的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说
明理由.
2．已知椭圆C 的方程为
，其离心率为
，
，
为椭圆的左右焦点，过
作一条
不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B 两点，
的周长为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过B 作x 轴的垂线交椭圆于点D．
①试讨论直线AD 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
②求
面积的最大值．
3．已知抛物线
的顶点为坐标原点
，焦点为
．椭圆
的中心为
，左焦点为
，上顶点为
，
右顶点为
，且
．
(1)求抛物线
和椭圆
的标准方程．
(2)设直线经过点
，与抛物线
交于
，
两点，与椭圆
交于
，
两点．记
和
的面
积分别为
和
，是否存在直线，使得
？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题
【精选例题】
【例1】如图所示，椭圆
的上顶点和右顶点分别是
和
，离心率
，
，
是椭圆上的两个动点，且
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形
面积的最大值；
(3)试判断直线
与
的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【例2】已知
，
分别为椭圆Γ：
的左、右焦点，过点
的直线与椭圆Γ 交于A，B 两点，
且
的周长为
.
(1)求椭圆Γ 的标准方程；
(2)若过点
的直线
与椭圆Γ 交于C，D 两点，且
，求四边形ACBD 面积的取值范围.
【跟踪训练】
1．已知椭圆
：
，椭圆
：
，动点
在
上运动，过
作
的两
条切线，切点分别为A，B.（提示：过椭圆C：
上一点
与C 相切的直线方程
为
）
(1)求直线AB 的方程（用
，
表示）；
(2)O 为坐标原点，求四边形OAPB 的面积.
2．已知焦距为2 的椭圆
：
，
，
分别为其左右焦点，过点
的直线与椭圆交
于
，
两点，
的周长为8．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若过点
的直线
与椭圆交于
，
两点且满足
，求四边形
面积的最小值．
1．设椭圆
的左右顶点分别为
，左右焦点
．已知
，
．
(1)求椭圆方程．
(2)若斜率为1 的直线交椭圆于A，B 两点，与以
为直径的圆交于C，D 两点．若
，
求直线的方程．
2．已知圆O：
，点M 是圆O 上任意一点，M 在x 轴上的射影为N，点P 满足
，记
点P 的轨迹为E.
(1)求曲线E 的方程；
(2)已知
，过F 的直线m 与曲线E 交于A，B 两点，过F 且与m 垂直的直线n 与圆O 交于C，D 两点，
求
的取值范围.
3．已知椭圆
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆
过
，斜率为
的直线与椭圆
交于
、
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若线段
的垂直平分线交
轴于点
，记
的中点为
坐标为
且
，求直线
的方程，并写出
的坐标.
4．已知椭圆
的左､右焦点分别为
，离心率为
，点
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
的直线与椭圆
相交于
，
两点，记
的面积为，求的最大值.
5．已知椭圆C：
的离心率为
，椭圆上一动点P 与左、右焦点构成的三角形面积的
最大值为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A，B，直线PQ 交椭圆C 于P，Q 两点，记直线AP 的斜率为
，直线BQ
的斜率为
，已知
，设
和
的面积分别为
，
，求
的最大值．
6．已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别为
，直线
与椭圆
交于
两点，且
的周长最大值为8．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知点
是椭圆
上一动点（不与端点重合），
分别为椭圆
的左右顶点，直线
交
轴于点
，若
与
的面积相等，求直线
的方程．
7．在平面直角坐标系
中，
、
为圆
：
与
轴的交点，点
为该平面内异于
、
两点
的动点，且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答.
条件①：直线
与直线
的斜率之积为
；
条件②：设
为圆
上的动点，
为点
在
轴上的射影，且
为
的中点；
注：如果选择多个条件作答，按第一个计分.
(1)求动点
的轨迹方程
；
(2)若直线与（1）问中轨迹方程
交于
、
两点，与圆
相交于
、
两点，且
，求
面积最大值.
8．设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上、下顶点分别为
，
，短轴长为
，
过
且垂直于长轴的直线与椭圆
相交所得的弦长为3．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
的直线与椭圆
交于不同的两点
，
，若
，试求
内切圆的面积．
9．已知直线
与椭圆
有且只有一个公共点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)是否存在实数
，使椭圆
上存在不同两点
、
关于直线
对称？若存在，求
的取值范
围；若不存在，请说明理由；
(3)椭圆
的内接四边形
的对角线
与
垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形
的面积，求
的最小值.
10．已知点
与定点
的距离和它到定直线
的距离的比是
．
(1)求点
的轨迹
的标准方程；
(2)设点
，若点
是曲线
上两点，且在
轴上方，满足
，求四边形
面积的最大
值．
11．已知椭圆
与椭圆
有相同的离心率，椭圆
焦点在y 轴上且经过点
.
(1)求椭圆
的标准方程：
(2)设A 为椭圆
的上顶点，经过原点的直线交椭圆于
干P，Q，直线AP､AQ 与椭圆
的另一个交点分
别为点M 和N，若
与
的面积分别为
和
，求
取值范围.
12．已知椭圆
的离心率为
，焦距为2，过
的左焦点
的直线与
相交于
，
两点，与直线
相交于点
.
(1)求椭圆方程；
(2)若
，求证：
；
(3)过点
作直线的垂线
与
相交于
，
两点，与直线
相交于点
.求
的最大值.
