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垂径定理—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1.下列结论正确的是（ ）
A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴
2．下列命题中错误的有( )．
(1)弦的垂直平分线经过圆心 (2)平分弦的直径垂直于弦
(3)梯形的对角线互相平分 (4)圆的对称轴是直径
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB⊥CD 于E，则图中不大于半圆的相等弧有( )．
A．l 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
第3 题 第5 题
4．（2016•桐城市模拟）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8 米，最深
处水深0.2 米，则此输水管道的直径是（ ）
A．0.5
B．1 C．2 D．4
5．如图所示，矩形ABCD 与⊙O 相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，v则MN 的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．已知⊙O 的直径AB=12cm，P 为OB 中点，过P 作弦CD 与AB 相交成30°角，则弦CD 的长为（ ）．
A．3 15cm
B．3 10cm
C．3 5cm
D．3 3cm
二、填空题
7．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．
8．（2016•安顺）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．
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9．圆的半径为5cm，圆心到弦AB 的距离为4cm，则AB=______cm．
10．如图，CD 为⊙O 的直径，AB⊥CD 于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．
10 题图 11 题图 12 题图
11．如图，⊙O 的半径OC 为6cm，弦AB 垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______°．
12．如图，AB 为⊙O 的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O 点到AB 的距离=______．
三、解答题
13．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60 米，拱高18 米，当洪水泛滥到跨度只有30 米时，要采取紧急
措施，若拱顶离水面只有4 米，即PN=4 米时是否要采取紧急措施?
14. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，求⊙O 半径．
15．（2015•绵阳模拟）如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E，连接CO 并延长交AD 于点F，且
CF AD
⊥
．
（1）请证明：E 是OB 的中点；
（2）若AB=8，求CD 的长．
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【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A；
【解析】图形的对称轴是直线，圆的对称轴是过圆心的直线，或直径所在的直线.
2.【答案】C；
【解析】(1)正确；
（2）“平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦”才是正确的，所以（2）不正确；
（3）对角线互相平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以（3）不正确；
（4）圆的对称轴是直径所在的直线，所以（4）不正确．故选C.
3.【答案】C；
【解析】
AB
AB
；
AC
AD
；
BC
BD
.
4.【答案】B.
【解析】设半径为r，过O 作OE⊥AB 交AB 于点D，连接OA、OB，
则AD=
AB=
×0.8=0.4 米，
设OA=r，则OD=r
DE=r
0.2
﹣
﹣
，
在Rt△OAD 中，
OA2=AD2+OD2，即r2=0.42+（r
0.2
﹣
）2，解得r=0.5 米，
故此输水管道的直径=2r=2×0.5=1 米．
故选B．
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5.【答案】C；
【解析】过O 作OH⊥CD 并延长，交AB 于P，易得DH=5，而AM=2，∴MP=3，MN=2MP=2×3=6.
6.【答案】A；
【解析】作OH⊥CD 于H，连接OD,则OH= 3
2
, OD=6,可求DH= 3 15
2
,CD=2DH=3 15 .
二、填空题
7．【答案】垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
8.【答案】4﹣
．
【解析】如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB 于点E，CD=6，
∴CE=ED=
CD=3．
∵在Rt△OEC 中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
∴OE=
=
，
∴BE=OB
OE=4
﹣
﹣
．
故答案为4﹣
．
9．【答案】6；
10．【答案】8；
11．【答案】
o
6 3, 120 ；
12．【答案】
a
2
2
，
a
2
1
；
三、解答题
13.【答案与解析】
设圆弧所在圆的半径为R，则R2-(R-18)2=302， ∴R=34
当拱顶高水面4 米时，有
，
∴不用采取紧急措施.
14.【答案与解析】
连结OC．设AP＝k，PB＝5k，
∵ AB 为⊙O 直径，
∴ 半径
1
1
1
(
)
(
5 )
3
2
2
2
OC
AB
AP
PB
k
k
k
．
且OP＝OA－PA＝3k－k＝2k．
∵ AB⊥CD 于P，
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∴ CP＝1
2 CD ＝5．
在Rt△COP 中用勾股定理，有
2
2
2
OC
PC
PO
，
∴
2
2
2
(3 )
5
(2 )
k
k
．
即
2
5
25
k
，∴
5
k
(取正根)，
∴ 半径
3
3 5
OC
k
(cm)．
15.【答案与解析】
（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB 垂直于弦CD 于点E，
∴
，
AC=AD
∴
，
∵过圆心O 的线CF AD
⊥
，
AF=DF
∴
，即CF 是AD 的中垂线，
AC=CD
∴
，
AC=AD=CD
∴
．
即：△ACD 是等边三角形，
FCD=30°
∴∠
，
在Rt
COE
△
中，
，
∴
，
∴点E 为OB 的中点；
（2）解：在Rt
OCE
△
中，AB=8，
∴
，
又∵BE=OE，
OE=2
∴
，
∴
，
∴
．
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