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垂径定理
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1.掌握垂径定理中相关的概念；
2.掌握垂径定理的推理、应用.
1．弦心距：
（1）圆心到弦的距离叫做______。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相
等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，
则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
2.圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称
图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，
那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是____________，____________________是它的对称轴．
3.垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且____________________．
(2)平分弦(__________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)_________夹的弧相等．
参考答案：
1.（1）弦心距
2.(2) 轴对称图形,经过圆心的任一直线
3.(1) 平分弦所对的两条弧
(2) 不是直径
(5) 平行弦
2
1.垂径定理的基本概念
【例1】（2014 浙江绍兴中考）如图，已知⊙O 的直径AB⊥弦CD 于点E，下列结论中一定正确
的是（ ）
A.AE=OE
B.CE=DE
C.OE=CE
D. ∠AOC=60°
【解析】考查垂径定理的内容，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对应的弧。
【答案】B
练习1.(2014 四川梅州一模）如图所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
A.是正方形
B.是长方形
C.是菱形
D.以上答案都不对
【答案】C
练习2. （2014 甘肃天水一中期末）下面四个判断中正确的是（ ）
A. 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦
B. 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦
C. 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条
最短的弦
D. 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦
【答案】C
2.垂径定理的简单计算
【例2】（2014 江苏徐州一模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，
OP=3，则⊙O 的半径为（ ）
A.10
B.8
C.5
D.3
【解析】根据垂径定理，可求CP 的长度，根据勾股定理可求半径。
【答案】C
练习3. （2014 四川泸州一模）已知⊙O 的直径CD=10cm，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为
M，且AB=8cm，则AC 的长为（ ）
3
A.
cm
B.
cm
C.
cm 或
cm D.
cm 或
cm
【答案】C
练习4. （2014 浙江绍兴一模）如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC，甲、乙
两人的作法分别是：
甲：1、作OD 的中垂线，交⊙O 于B，C 两点，
2、连接AB，AC，△ABC 即为所求的三角形
乙：1、以D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交⊙O 于B，C 两点．
2、连接AB，BC，CA．△ABC 即为所求的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断（ A ）
A. 甲、乙均正确B. 甲、乙均错误C. 甲正确、乙错误D. 甲错误，乙正确
【答案】A
3.垂径定理的几何应用
【例3】（2014 河北邯郸一中期末）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦．若AB=10cm，
CD=8cm，那么A、B 两点到直线CD 的距离之和为（ ）
A.12cm
B.10cm
C.8cm
D.6cm
【解析】根据垂径定理，过O 作OG⊥CD 与G，可求弦心距为6，根据梯形中位线的性质定理可
求距离之和为2 倍的弦心距，可得距离之和。
【答案】解：作OG⊥EF，连接OD，
∴G 为CD 中点，又CD=8cm，
则DG= CD=4cm．
又AB=10cm，∴OD= AB=5cm，
所以OG=
=3cm．
根据梯形中位线定理，得A、B 两点到直线CD 的距离之和为3×2=6（cm）．
故选D．
4
练习5 ．（2014 辽宁锦州一模）如图，∠PAC=30° ，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，
DB=10cm，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E、F 两点，则线段EF 的长是 _________
cm．
【答案】6
练习6. （2014 广东佛山一中期末）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求
⊙O 的半径．
【答案】解：连接OA 交BC 于点D，连接OC，OB，
∵AB=AC=13，
∴
=
，
∴∠AOB=∠AOC，
∵OB=OC，
AO BC
∴
⊥
，CD= BC=12
在Rt△ACD 中，AC=13，CD=12
所以AD=
设⊙O 的半径为r
则在Rt
OCD
△
中，OD=r
5
﹣，CD=12，OC=r
所以（r﹣5）2+122=r2
解得r=16.9．
答：⊙O 的半径为16.9．
5
4.垂径定理的实际应用
【例4】银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所
示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶差距离为10cm，问修理人员应准备
内径多大的管道？
【解析】把问题简化为圆的垂径定理的求解问题，设半径为r，根据勾股定理苛求半径。
【答案】
练习7．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形
截面的半径，图2 是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有
水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半
径．
6
【答案】
练习8．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°，在点A 处有一栋居民楼，
AO=200m，如果火车行驶时，周围200m 以内会受到噪音的影响，那么火车在
铁路MN 上沿ON 方向行驶时，居民楼是否会受到噪音的影响？如果行驶的速度
为72km/h，居民楼受噪音影响的时间为多少秒？（结果保留根号）
【答案】
7
5. 垂径定理与动点问题
【例5】（2015 福建三明一模）如图，在半径是4 的⊙O 中，点Q 为优弧
的中点，圆心角
∠MON=60°，点P 在
（M 点除外）上运动，设点P 到弦MN 的距离为x，△OMN 的
面积是S．
（1）求弦MN 的长；
（2）试求阴影部分面积y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）试分析比较，当自变量x 为何值时，阴影部分面积y 与S 的大小关系．
【解析】根据已知条件可得△MON 是等边三角形，所以MN 的长度等于半径；阴影部分为一
个钝角三角形，面积为底乘高的积的一半，底为MN，高为x，可求阴影部分面积。
自变量x 的取值范围是从O 到等边三角形的高加半径的长度，即可求出x 的取值范围；
S 可求，令y=S 可求出临界范围，之后即可判断大小。
【答案】解：（1）∵OM=ON，∠MON=60°
∴△MON 是等边三角形
∴MN=ON=4
（2）作OH⊥MN 于H 点，∴MH= MN=2
y=S△PMN=
4x，即y=2x
在Rt△OHM 中，OH2=OM2﹣MH2
∴OH=2
∴0＜x≤4+2
（3）△OMN 的面积S=4
令y=s，即2x=4
8
∴x=2
当x=2
时，y=s
当0＜x＜2
时，y＜s
当2
时，y＞s．
练习9．（2014 福建宁德一模）如图，AB 是半圆O 的直径，BC 是弦，点P 从点A 开始，沿AB
向点B 以1cm/s 的速度移动，若AB 长为10cm，点O 到BC 的距离为4cm．
（1）求弦BC 的长；
（2）问经过几秒后△BPC 是等腰三角形？
【答案】解：（1）作OD⊥BC 于D，由垂径定理知，点D 是BC 的中点，BD= BC，
∵OB= AB=5，OD=4，
由勾股定理得，BD=
=3，
∴BC=2BD=6cm；
（2）设经过t 秒后，△BPC 是等腰三角形，
①当PC 为底边时，有BP=BC，10﹣t=6，解得：t=4（秒）；
②当BC 为底边时，有PC=PB，P 点与O 点重合，此时t=5（秒）；
③当PB 为底边时，有PC=BC，连接AC，作CE⊥AB 于E，
则BE=
，AE=
，
∵AB 是直径，
∴△ABC 是直角三角形，
根据勾股定理AC=
=
=8，
由AC2﹣AE2=BC2﹣BE2，
64﹣（
）
2=36﹣（
）
2，
9
解得：t=2.8（秒）．
综上，经过4 秒或5 秒或2.8 秒时，△BPC 是等腰三角形．
练习10. 如图2，在平面直角坐标系中，以点A（
，0）为圆心作⊙A，⊙A 与x 轴相交于点
B，C，与y 轴相交于点D，E，且C 点坐标为（
，0）．求线段DE 的长．
【答案】解：连接AE，
∵A（
，0）为圆心作⊙A，⊙A 与x 轴相交于点B，C，与y 轴相交于点D，E，
且C 点坐标为（
，0）．
∴OA=
，OC=3
，
∴圆的半径长是：3
﹣
=2
，
在直角△OAE 中，OE=
=
=3，
∵OA⊥DE，
∴DE=2OE=6．
10
【例6】（2014 徐州市中考题）如图1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动
点，则OM 的取值范围是（ ）
图1
A.
B.
C.
D.
【解析】如果题中含有圆心和弦，一般过圆心作弦的垂线，利用弦心距平分弦这一性质证
题。此题主要是垂径定理的考查，OM 在半径和弦心距之间，利用垂径定理求出弦心
距即可。
【答案】 解：过O 点作OC⊥AB 于C，则
。联结OA，则
，
在Rt△AOC 中，
，因为M 是弦AB 上的动点，所以
，即
，故选A。
练习11. （2014 内蒙古呼伦贝尔一模）如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上
的动点，则线段OM 长的最小值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】B
练习12.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm．则OM 的长为（ )
【答案】B
A .
cm
B.
cm
C. 2cm
D. 3cm
1．下列命题中正确的是( ) 【答案】D
A．平分弦的直径垂直于这条弦; B．切线垂直于圆的半径
C．三角形的外心到三角形三边的距离相等; D．圆内接平行四边形是矩形
2.如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长是3，则弦AB 的长是 ( )
【答案】D
A．4
B. 6
C. 7
D . 8
11
3.如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E。若______,则CE=DE（只须填上一个适
合的条件即可）。 【答案】AB⊥CD
4.在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，若AB⊥CD 于E，且AE=2，EB=8，则CD=__________．
【答案】8
5．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=2, OC 是⊙O 的半径，OC⊥AB，点D 在
上，点P 是半径
OC 上一个动点，那么 AP＋ DP 的最小值等于
. 【答案】√3
6.半径为10cm 的圆内有两条平行弦，长度分别为12cm.16cm，则这两条平所弦间的距离为
_______cm。【答案】2cm 或14cm
7．在直径为10 厘米的圆中,两条分别为6 厘米和8 厘米的平行弦之间的距离是
厘米
【答案】7 或1
8．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8 米，净高CD 为8 米，那么这个
隧道所在圆的半径OA 是___________米
【答案】5
9．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点
D。若AC=8cm，DE=2cm，则OD 的长为 cm
12
【答案】3
10．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5 的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上
的高为
【答案】8 或2
11．如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为
【答案】
12．已知⊙O 的弦AB 长为10，半径长R 为7，OC 是弦AB 的弦心距，求OC 的长
【答案】
13.如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深CD 为15cm，求油面宽度AB
【答案】40
14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=12m，求△ACD 的
周长
【答案】
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13
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1. 如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值
为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM 的长为（ ）
A．9cm
B．6cm
C．3cm
D．
【答案】C
4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB 在O 点钉在一起
并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8 个单位，OF=6
个单位，则圆的直径为（ ）
A．12 个单位 B．10 个单位 C．1 个单位 D．15 个单位
【答案】B
5．如图，
的直径
垂直弦
于
，且
是半径
的中点，
，则直径
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
14
【答案】D
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
【答案】D
7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24 米，拱的半径为13 米，则拱
高为( )
A．5 米
B．8 米
C．7 米
D．5
米
【答案】B
8．⊙O 的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( )
A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm 或4 cm D． 1cm 或7cm
【答案】D
9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5 的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的
高为( )
A．2
B．8
C．2 或8
D．3
【答案】C
10．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3 厘米，则CD＝
厘米
【答案】
cm
11.如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC⊥AB 于点D，交⊙O 于点C， 且CD＝l，则弦AB
的长是
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【答案】6
12．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间
柱CD 的高度为 m
【答案】4
13．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB，交AB 于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为
【答案】5
14．如图，已知C 是弧AB 的中点，OC 交弦AB 于点D．∠AOB=120°，AD=8．求OA 的长
【答案】
15．已知：如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD⊥BC，垂足为点E，BC=8，AD=10．
求：（1）OE 的长；（2）∠B 的正弦值
【答案】（1）3 （2）
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课程顾问签字： 教学主管签字：
